最短路径问题总动员(含答案)
最短路径问题专题练习
1. 如图，长方体中，，，，一蚂蚁从点出发，沿长方
体表面爬到点处觅食，则蚂蚁所行路程的最小值为
A. B. C. D.
2. 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是，，，和是这个台
阶的两个相对的端点，点有一只壁虎，它想到点去吃可口的食物，请你想一想，这只壁虎从点出发，沿着台阶面爬到点，至少需爬
A. B. C. D.
3. 如图，个边长为的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从点到点只能沿图中
的线段走，那么从点到点的最短距离的走法共有
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
4. 如图所示，圆柱的底面周长为，是底面圆的直径，高，点是母线上一点且．一只蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是
A. B. C. D.
5. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为，，，和是这个
台阶两个相对的端点，点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程是．
A. B. C. D.
6. 如图，已知，，，要在长方体上系一根绳子连接，绳子与交于点，
当所用绳子最短时，绳子的长为
A. B. C. D.
7. 已知蚂蚁从长、宽都是，高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线
的长是
A. B. C. D.
8. 如图所示，一圆柱高，底面半径长，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短
路程（取）是
A. B. C. D. 无法确定
9. 如图圆柱底面半径为 cm，高为 cm，点，分别是圆柱两底面圆周上的点，且，在同
一母线上，用一棉线从顶着圆柱侧面绕圈到，则棉线最短为
A. cm
B. cm
C. cm
D. cm
10. 如图，点为正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从
点沿其表面爬到点的最短路程是
A. B. C. D.
11. 如图所示是一棱长为的正方体，把它分成个小正方体，每个小正方体的边长都是 .
如果一只蚂蚁从点爬到点，那么，间的最短距离满足
A. B. C. D. 或
12. 如图所示，圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有
一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为
A. B. C. D.
13. 如图，点的正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，一蚂蚁从
点沿其表面爬到点的最短路程是
A. B. C. D.
14. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五
周而达其顶，问葛藤之长几何?”，题意是如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度是尺．
15. 如图，已知圆柱体底面的半径为，高为，，分别是两底面的直径．若一只小虫从点
出发，沿圆柱侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线长度是（结果保留根号）．
16. 如图，圆柱形容器高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，
此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离为 .
17. 如图所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到
如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为 .QQ群450116225
18. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过
个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要．
19. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点距离点，一只蚂蚁如果要
沿着长方体的表面从点爬到点，蚂蚁爬行的最短距离是．
20. 我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立在地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，
五周而到其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图，把枯木看做一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高是尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中的葛藤的最短的长度是尺．
21. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为，若一只蚂蚁从点开始经过个侧
面爬行一圈到达点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 .
22. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，那么它爬行的最短路
线的长是．
23. 如图所示是一段三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为，，，和是这
段台阶两个相对的端点. 点有一只蚂蚁，想到点去吃可口的食物，设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为，则以为边长的正方形的面积为 .QQ群450116225
24. 如图，长方体的底面边长分别为和，高为．如果用一根细线从点开始经过
个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要；如果从点开始经过个侧面缠绕圈到达点，那么所用细线最短需要
25. 在一个长为米，宽为米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽
平行且大于，木块的正视图是边长为米的正方形，一只蚂蚁从点处，到达处需要走的最短路程是米（精确到米）
26. 如图为一圆柱体工艺品，其底面周长为，高为，从点出发绕该工艺品侧面一周镶
嵌一根装饰线到点，则该装饰线最短长为．
27. 如图，一个没有上盖的圆柱盒高为，底面圆的周长为，点距离下底面，一只
位于圆柱盒外表面点处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点处吃东西，则蚂蚁需爬行的最短路程的长为．
28. 图1 所示的正方体木块棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如
图 2 的几何体，一只蚂蚁沿着图 2 的几何体表面从顶点爬行到顶点的最短距离为．
29. 一只蚂蚁沿棱长为的正方体表面从顶点爬到顶点，则它走过的最短路程为．
30. 如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为，假若点有一蚂蚁只能沿圆锥的
表面爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是．
31. 如图，圆锥的母线长是，底面半径是，是底面圆周上一点，从点出发绕侧面一周，再回
到点的最短的路线长是．QQ群450116225
32. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处沿着
木柜表面爬到柜角处．
（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；
（2）当正方体木柜的棱长为时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
33. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个
绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．
（1）如果树的周长为，绕一圈升高，则它爬行路程是多少?
（2）如果树的周长为，绕一圈爬行，则爬行一圈升高多少?如果爬行圈到达树顶，则树干多高?
34. 如图所示，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间相距，
一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是多少?
35. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．
（1）已知蜘蛛在顶点处；
①苍蝇在顶点处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；
②苍蝇在顶点处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近
路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近；
（2）在图③中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线．若与相切，试求的长度的范围．QQ群450116225
36. 如图，直四棱柱侧棱长为，底面是长为，宽为的长方形．一只蚂蚁从顶点出
发沿棱柱的表面爬到顶点．求：
（1）蚂蚁经过的最短路程；
（2）蚂蚁沿着棱爬行（不能重复爬行同一条棱）的最长路程．
37. 如图，观察图形解答下面的问题：
（1）此图形的名称为．
（2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿剪开，铺在桌面上，则它的侧面展开图是一个．
（3）如果点是的中点，在处有一只蜗牛，在处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿爬到处，只能沿此立体图形的表面爬行．你能在侧面展开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?
（4）的长为，侧面展开图的圆心角为，请你求出蜗牛爬行的最短路程．
38. 如图，一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处，圆柱的高为，圆柱底面圆的周长
为，求虫子爬行的最短路程．
39. 如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角处
沿着木柜表面爬到柜角处.
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；
（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长；
40. 如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿
着木柜表面爬到柜角处．当＝，＝，＝时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
41. 一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点，如图，求它
爬行的最短路线的长．
42. 如图所示是一段楼梯，已知，，楼梯宽 .一只蚂蚁要从点爬到
点，求蚂蚁爬行的最短路程.QQ群450116225
43. 如图，一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着
木柜表面爬到柜角处．
（1）请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径．
（2）当，，时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．
（3）求点到最短路径的距离．
44. 已知圆锥的底面半径为，高，现在有一只蚂蚁从底边上一点出
发．在侧面上爬行一周又回到点，求蚂蚁爬行的最短距离．
45. 如图，是一个长方体盒子，长，宽，高．
（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子表面爬到点，求它所行走的最短路线的长．
（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?
46. 图1、图2为同一长方体房间的示意图，图 3为该长方体的表面展开图．
（1）蜘蛛在顶点处．
①苍蝇在顶点处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线．
②苍蝇在顶点处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板爬行的最近
路线和往墙面爬行的最近路线，试通过计算判断哪条路线更近．（2）在图中，半径为的与相切，圆心到边的距离为，蜘蛛在线段上，苍蝇在的圆周上，线段为蜘蛛爬行路线，若与相切，试求长度的范围．
47. 如图，长方体中，，，一只蚂蚁从点出发，沿长方体
表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少?
48. 如图，平行四边形中，，，，将平行四边形沿过点
的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若点时直线上的一个动点，请计算的最小值．
49. 实践操作
在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点，是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．QQ群450116225
（1）初步思考
若点落在矩形的边上（如图①）．
①当点与点重合时，，当点与点重合时，
；
②当点在上，点在上时（如图②），求证：四边形为菱形，并直接写出
当时菱形的边长．
（2）深入探究
若点落在矩形的内部（如图③），且点，分别在，边上，请直接写出的最小值．
（3）拓展延伸
若点与点重合，点在上，射线与射线交于点（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段与线段的长度相等?若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由．
答案
1. B
2. C 【解析】将台阶面展开，连接，如图，
线段即为壁虎所爬的最短路线．
因为，，
在中，根据勾股定理，得，
所以．
所以壁虎至少爬行．
3. C 【解析】
4. B
5. D
6. A 【解析】 .
7. B 8. B 9. B 10. C
11. B 12. A 13. C 【解析】将正方体的左侧面与前面展开，构成一个长方形，用勾股定理求出距离即可．
如图，．
14.
15.
【解析】将圆柱的侧面沿剪开并铺平得长方形，连接，如图．
线段就是小虫爬行的最短路线．
根据题意得．
在中，由勾股定理，得，
．
所以．
16.
17.
18.
19.
【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 1：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 2：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图 3：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
20.
21.
【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的做法就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答.
如图
最短路径流程图及算法详解
:算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue
数据结构课程设计校园最短路径问题
一、课程设计题目：校园最短路径问题 二、课程设计目的： 1.了解并掌握数据结构与算法的设计方法，具备初步的独立分析和设计能力； 2.初步掌握软件开发过程的问题分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能； 3.提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力； 4.训练用系统的观点和软件开发一般规进行软件开发，培养软件工作者所具备的科学工作方法和作风。 三、课程设计要求： 1.设计的题目要求达到一定的工作量（300行以上代码），并具有一定的深度和难度。 2.编写出课程设计报告书，容不少于10页（代码不算）。 四、需求分析： 1、问题描述 图的最短路径问题是指从指定的某一点v开始，求得从该地点到图中其它各地点的最短路径，并且给出求得的最短路径的长度及途径的地点。除了完成最短路径的求解外，还能对该图进行修改，如顶点以及边的增删、边上权值的修改等。 校园最短路径问题中的数据元素有： a) 顶点数 b) 边数 c) 边的长度 2、功能需求 要求完成以下功能： a)输出顶点信息：将校园各位置输出。 b)输出边的信息：将校园每两个位置（若两个位置之间有直接路径）的距 离输出。 c)修改：修改两个位置（若两个位置之间有直接路径）的距离，并重新输 出每两个位置（若两个位置之间有直接路径）的距离。 d)求最短路径：输出给定两点之间的最短路径的长度及途径的地点或输出 任意一点与其它各点的最短路径。 e)删除：删除任意一条边。 f)插入：插入任意一条边。 3、实现要点 a) 对图的创建采用邻接矩阵的存储结构，而且对图的操作设计成了模板类。 为了便于处理，对于图中的每一个顶点和每一条边都设置了初值。 b) 为了便于访问，用户可以先输出所有的地点和距离。 c) 用户可以随意修改两点之间好的距离。 d) 用户可以增加及删除边。 e) 当用户操作错误时，系统会出现出错提示。 五、概要设计:
中考专题复习——最短路径问题
A B C D A B A B L A B C D 图(2) E D A C P 图(3) D O C P 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。 4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。 第4题第5题第6题第7题 5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。 6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。 第2题 张村李庄 A B A B 第1题第3题 ⌒⌒⌒
基于Floyd算法的最短路径问题的求解c++
摘要 现实生活中许多实际问题的解决依赖于最短路径的应用，其中比较常用的是floyd 算法。通过floyd算法使最短路径问题变得简单化。采用图的邻接矩阵或邻接表实现最短路径问题中图的存储。采用Visual C++6.0的控制台工程和MFC工程分别实现基于floyd算法求最短路径的应用。 关键词：最短路径；floyd算法；邻接矩阵；MFC工程
目录 1需求分析 (1) 2算法基本原理 (1) 2.1邻接矩阵 (1) 2.2弗洛伊德算法 (2) 3类设计 (2) 3.1类的概述 (2) 3.2类的接口设计 (3) 3.3类的实现 (4) 4基于控制台的应用程序 (7) 4.1主函数设计 (7) 4.2运行结果及分析 (8) 5基于MFC的应用程序 (9) 5.1图形界面设计 (9) 5.1程序代码设计 (11) 5.3运行结果及分析 (20) 结论 (21) 参考文献 (22)
1需求分析 Floyd算法又称为插点法，是一种用于寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。 假若要在计算机上建立一个交通咨询系统则可以采用图的结构来表示实际的交通网络。这个资讯系统可以回答游客提出的各种问题。例如，一位旅客要从A城到B城，他希望选择一条途中中转次数最少的路线。假设图中每一站都需要换车，则这个问题反映到图上就是要找一条从顶点A到B所含边的数目最少的路径。我们只需从顶点A出发对图作广度优先搜索，一旦遇到顶点B就终止。由此所得广度优先生成树上，从根顶点A到顶点B的路径就是中转次数最少的路径，路径上A与B之间的顶点就是途径中的中转站数。但是这只是一类最简单的图的最短路径的问题。有时对于旅客来说，可能更关心的是节省交通费用；对于司机来说里程和速度则是他们感兴趣的信息。为了在图上标示有关信息可对边赋以权的值，权的值表示两城市间的距离，或图中所需时间，或交通费用等等。此时路径长度的量度就不再是路径上边的数目，而是路径上边的权值之和。边赋以权值之后再结合最短路径算法来解决这些实际问题。Floyd算法是最短路径经典算法中形式较为简单，便于理解的一种。 2算法基本原理 2.1 邻接矩阵 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：是表示顶点之间相邻关系的矩阵。设G=(V,E)是一个图，其中V={v1,v2,…,vn}。G的邻接矩阵是一个具有下列性质的n阶方阵：（1）对无向图而言，邻接矩阵一定是对称的，而且对角线一定为零（在此仅讨论无向简单图），有向图则不一定如此。 （2）在无向图中，任一顶点i的度为第i列所有元素的和，在有向图中顶点i的出度为第i行所有元素的和，而入度为第i列所有元素的和。 （3）用邻接矩阵法表示图共需要个空间，由于无向图的邻接矩阵一定具有对称关系，所以扣除对角线为零外，仅需要存储上三角形或下三角形的数据即可，因此仅需
中考专题复习——最短路径问题
B C D A L 图(3) C 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值 第2题 张村 李庄 A B B 第1题 第3题
最新人教版八年级数学上册《最短路径问题》教学设计(精品教案)
13.4 课题学习最短路径问题 学习目标 1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想.（重点） 2.利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题.（难点） 教学过程 一、情境导入 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 二、合作探究 探究点：最短路径问题 【类型一】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题 例1：如图所示，在河a两岸有A、B两个村庄，现在要在河上修建一座大桥，为方便交通，要使桥到这两村庄的距离之和最短，应在河上哪一点修
建才能满足要求？（画出图形，做出说明。） 解析：利用两点之间线段最短进而得出答案. 解：如图所示：连接AB交直线a于点P，此时桥到这两村庄的距离之和最短．理由：两点之间线段最短. 【方法总结】求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标练习” 第2题 【类型二】运用轴对称解决距离最短问题 例2：在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 解析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 解：如图所示：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点． 【方法总结】利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．
前N条最短路径问题的算法及应用
第36卷第5期2002年9月 浙 江 大 学 学 报(工学版) Jo ur nal o f Zhejiang U niv ersity(Eng ineer ing Science) Vol.36No.5Sep.2002 收稿日期:2001-10-24. 作者简介:柴登峰(1974-),男,浙江江山人,博士生,从事遥感图像处理、地理信息系统方面研究.E-mail:chaidf@z https://www.360docs.net/doc/6518845745.html, 前N 条最短路径问题的算法及应用 柴登峰,张登荣 (浙江大学空间信息技术研究所,杭州浙江310027) 摘 要:现有最短路径问题指的是狭义最短路径问题,针对该问题而设计的算法只能求得最短的一条路径.前N 条最短路径拓宽了最短路径问题的内涵(即不仅要求得最短路径,还要求得次短、再次短…第N 短路径),是广义最短路径问题.在图论理论基础上分析问题之后,设计了一个递归调用Dijkstr a 算法的新算法,该算法可以求取前N 条最短路径,而且时间、空间复杂度都为多项式阶.该算法已经成功应用于一个交通咨询系统中,自然满足实时应用需要. 关键词:最短路径;N 条最短路径;网络分析;地理信息系统;交通咨询系统 中图分类号:P 208;O 22 文献标识码:A 文章编号:1008-973X (2002)05-0531-04 Algorithm and its application to N shortest paths problem CHAI Deng-f eng,ZHAN G Deng-rong (I nstitute of Sp ace and I n f ormation T echnical ,Zhej iang U niv er sity ,H angz hou 310027,China ) Abstract :As the shor test path denotes one path ,algorithms designed for shor test path problem can g et only one path .N shortest paths are N paths including the shortest one ,the one inferior to the shortest one,eto.After reviewing the application of shortest poth pro blem ,an N shortest paths problem w as put fo rw ard and described.Gr aph theo ry w as used to analy ze the problem and results in fo ur theoretical con-clusions .T hen ,algo rithm recursively calling the Dijkstra algor ithm was desig ned and analy zed .Bath time co nplexity and space conplex ity are poly nom ial order.The algo rithm w as tested by ex periment and applied to a traffic consultatio n system of Guang zhou City ,it can meet the need of r eal-time application.Key words :sho rtest path;N shor test paths;netw ork analysis;tr affic consultation system ;GIS 20世纪中后期,随着计算机的出现和发展,图论的理论和应用研究得到广泛重视,图论作为一个数学分支的地位真正得到了确立.现在,图论的应用已经深入到众多领域,GIS 网络分析就是图论在地理信息领域的重要应用[3] ,此外,还有城市规划、电子导航、交通咨询等等. 最短路径问题是图论中的一个典范问题[1],主要研究成果有Dijkstra 、Floy d 等优秀算法[1,2],Dijk-stra 还被认为是图论中的好算法[1] .目前的研究工作主要集中于算法实现的优化改进与应用方面[3,4].最短路径问题通常有两类[2]:一类是求取从某一源点到其余各点的最短路径;另一类是求取每一对顶 点之间的最短路径.它们从不同的角度描述问题,但有一个共同的缺陷:这里的最短路径指两点之间最 短的那一条路径,不包括次短、再次短等等路径.在此不妨称以上两类问题为狭义最短路径问题,为此设计的算法只能求得最短的一条路径,而不能得到次短、再次短等等路径. 实际上,用户在使用咨询系统或决策支持系统时,希望得到最优的决策参考外,还希望得到次优、再次优等决策参考,这同样反映在最短路径问题上.因此,有必要将最短路径问题予以扩充,成为N 条最短路径问题,即不但要求得到最短路径,还要得到次短、再次短等路径.这称之为广义最短路径问题.
数据结构课程设计报告Dijkstra算法求最短路径
中南大学 《数据结构》课程设计 题目第9题 Dijkstra算法求最短路径 学生姓名 XXXX 指导教师 XXXX 学院信息科学与工程学院 专业班级 XXXXXXX 完成时间 XXXXXXX
目录 第一章问题分析与任务定义---------------------------------------------------------------------3 1.1 课程设计题目-----------------------------------------------------------------------------3 1.2 原始数据的输入格式--------------------------------------------------------------------3 1.3 实现功能-----------------------------------------------------------------------------------3 1.4 测试用例-----------------------------------------------------------------------------------3 1.5 问题分析-----------------------------------------------------------------------------------3 第二章数据结构的选择和概要设计------------------------------------------------------------4 2.1 数据结构的选择--------------------------------------------------------------------------4 2.2 概要设计-----------------------------------------------------------------------------------4 第三章详细设计与编码-----------------------------------------------------------------------------6 3.1 框架的建立---------------------------------------------------------------------------------6 3.2 点结构体的定义---------------------------------------------------------------------------7 3.3 创立带权值有向图------------------------------------------------------------------------8 3.4 邻接矩阵的显示---------------------------------------------------------------------------9 3.5 递归函数的应用---------------------------------------------------------------------------10 3.6 Dijkstra算法实现最短路径--------------------------------------------------------------10 第四章上机调试------------------------------------------------------------------------------------11 4.1 记录调试过程中错误和问题的处理---------------------------------------------------11 4.2 算法的时间课空间性能分析------------------------------------------------------------11 4.3 算法的设计、调试经验和体会---------------------------------------------------------11 第五章测试结果-----------------------------------------------------------------------------------12 第六章学习心得体会-----------------------------------------------------------------------------12 第七章参考文献-----------------------------------------------------------------------------------12 附录------------------------------------------------------------------------------------------------------12
动点问题中的最值、最短路径问题(解析版)
专题01 动点问题中的最值、最短路径问题 动点问题是初中数学阶段的难点，它贯穿于整个初中数学，自数轴起始，至几何图形的存在性、几何 图形的长度及面积的最值，函数的综合类题目，无不包含其中. 其中尤以几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解最为繁琐且灵活多变，而其中又有一些 技巧性很强的数学思想（转化思想），本专题以几个基本的知识点为经，以历年来中考真题为纬，由浅入深探讨此类题目的求解技巧及方法. 一、基础知识点综述 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）； （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位 置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值的作图.
（2）双动点模型 P 是∠AOB 内一点，M 、N 分别是边OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值. 作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点 M 、N 即为所求. O B P P' P''M N 5. 二次函数的最大（小）值 ()2 y a x h k =-+，当a >0时，y 有最小值k ；当a <0时，y 有最大值k . 二、主要思想方法 利用勾股定理、三角函数、相似性质等转化为以上基本图形解答. （详见精品例题解析） 三、精品例题解析 例1. （2019·凉山州）如图，正方形ABCD 中，AB =12，AE =3，点P 在BC 上运动（不与B 、C 重合），过点P 作PQ ⊥EP ，交CD 于点Q ，则CQ 的最大值为 例2. （2019·凉山州）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8,0），（0,8）. 点C 、F 分别是直线x =－5 和x 轴上的动点，CF =10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 面积取最小值时，tan ∠BAD =（ ）
人教版八年级上册13.4最短路径问题练习题
13.4课题学习最短路径问题 知识点： 1．最短路径问题 (1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． (2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 2.运用轴对称解决距离最短问题 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．3．利用平移确定最短路径选址 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 同步练习： 1.如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点． 2.如图所示，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短， B A l 3..在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．
4. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 5. 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？
参考答案： 1. 2.这时先作点B 关于直线l 的对称点B ′，则点C 是直线l 与AB ′的交点． 为了证明点C 的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，B ′C ′，证明AC ＋CB ＜AC ′＋C ′B .如下： 证明：由作图可知，点B 和B ′关于直线l 对称， 所以直线l 是线段BB ′的垂直平分线． 因为点C 与C ′在直线l 上， 所以BC ＝B ′C ，BC ′＝B ′C ′. 在△AB ′C ′中，AB ′＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋B ′C ＜AC ′＋B ′C ′， 所以AC ＋BC ＜AC ′＋C ′B . 3. 解：如图所示：(1)作点B 关于直线l 的对称点B ′； (2)连接AB ′交直线l 于点M . (3)则点M 即为所求的点． 4.解：(1)如图1，取线段AB 的中点G ，过中点G 画AB 的垂线，交EF 于P ， 则P 到A ，B 的距离相等．也可分别以A 、B 为圆心，以大于12 AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求． (2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短． 5.解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．
专题训练之最短路径问题(最全面的经典例题)
最短路径问题 1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点面 爬到点B处，则它爬行的最短路径是 _______________ 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2假设一只蚂蚁在点A处, 它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是____________________ 。 2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 *李庄 张村. ②如图，直线L同侧有两点A B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3, 两点的水平距离为3,要在直线L上找一个点P,使PA+PB勺和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+P啲最小值。.B A■ _____________________ L ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km张村与李庄的水平距离为3Km则所用水管最短长度为。 A沿木块侧 A B
是一个长方体木块，已知 AB=5,BC=3,CD=4假设一只蚂 蚁在点A D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是2、 现要在如图所示的圆柱体侧面 A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度 忽略不计），圆柱体高为6cm 底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值 为 。 3、 如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从 A 点爬到点B 处吃到 食物，知圆柱体的高为5 cm ,底面圆的周长为24cm 则蚂蚁爬行的最短路径 为 。 5、 在菱形ABCD 中 AB=2 / BAD=60，点E 是AB 的中点，P 是对角线 AC 上 的一个动点，贝S PE+PB 勺最小值为 ___________ 。 6、 如图，在△ ABC 中, AC= BC= 2,Z ACB= 90°, D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边 上一动点，则EO ED 的最小值为 ____________ 。 7、 AB 是OO 的直径，AB=2 OC 是O O 的半径，OCL AB,点 D 在 AC 上，AD 二 2CD 点P 是半径OC 上的一个动点，贝S AP+PD 勺最小值为 __________ 。 &如图，点P 关于OA OB 的对称点分别为 C D,连接CD 交OA 于M 交OB 于N 若CD= 18cm 则厶PMN 勺周长为 ___________ 。 9、已知，如图DE >^ ABC 的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于 E ,且 AC= 5, BC= 8,则厶 AEC 的周长为 __________ 。 10、已知，如图，在△ ABC 中, AB 最短路径问题的算法分析及建模案例 最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。 1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题 最短路径问题专题学习 【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ．23 B ．26 C ．3 D ．6 2．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（ ） A ．2 B ．32 C ．32 D ．4 3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小 时，∠AMN +∠ANM 的度数为（ ） A ．120° B ．130° C ．110° D ．140° 4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是 ． 5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重 合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是 ． 6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________． D E A B C A D E P B C D A M A B M N 第2题 第3题 第4题 第5题 7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． 8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为 ， 此时 C 、D 两点的坐标分别为 ． 9．已知A （1，1）、B （4，2）． （1）P 为x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值和此时P 点的坐标； （2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标； （3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标； 10．点C 为∠AOB 内一点． （1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形； （2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数． 第6题 第7题 13.4.课题学习《最短路径》教学设计 一、教材分析 1、地位作用：随着课改的深入，数学更贴近生活，更着眼于解决生产、经营中的问题，于是就出现了为省时、省财力、省物力而希望寻求最短路径的数学问题。这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”或“垂线段最短”，由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别。初中数学中路径最短问题，体现了数学来源于生活，并用数学解决现实生活问题的数学应用性。 2、目标和目标解析： （1）目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想. （2）目标解析：达成目标的标志是：学生能讲实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；能通过逻辑推理证明所求距离最短；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想. 3、教学重、难点 教学重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题 教学难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题 突破难点的方法：利用轴对称性质，作任意已知点的对称点，连接对称点和已知点，得到一条线段，利用两点之间线段最短来解决. 二、教学准备：多媒体课件、导学案 三、教学过程 基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ ，线段PQ 为旅游船最短路径中的 必经线 路．将河岸抽象为一条直线BC ，这样问题就转化为“点P ，Q 在直线BC 的 同侧，如何在BC 上找到一点R ，使PR 与QR 的 和最小”． 问题5 造桥选址问题 如图，A 和B 两地在一条河的 两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A 到B 的 路径AMNB 最短？（假定河的 两岸是平行的 直线，桥要与河垂直） 思维分析：1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A 到B 的 路径是AM+MN+BN ，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？ 思维点拨：改变AM+MN+BN 的 前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？（估计有以下方法） 1、把A 平移到岸边. 独立完 成，交 流经验 观察思考，动 手画图，用轴对称知识进 行解决 各抒己 见 合作与 体会转化思想， 体验轴对称知识的 应用 B A Ｍ Ｎ B A A B C P Q 山 河岸 大桥 数据结构课程设计题目 2012-1 1、医务室模拟。（5人） 问题描述：假设只有一位医生，在一段时间内随机地来几位病人；假设病人到达的时间间隔为0~14分钟之间的某个随机值，每个病人所需处理时间为1~9分钟之间的某个随机值。试用队列结构进行模拟。 实现要求：要求输出医生的总等待时间和病人的平均等待时间。 程序设计思路：计算机模拟事件处理时，程序按模拟环境中的事件出现顺序逐一处理，在本程序中体现为医生逐个为到达病人看病。当一个病人就诊完毕而下一位还未到达时，时间立即推进为下一位病人服务，中间时间为医生空闲时间。当一个病人还未结束之前，另有一位病人到达，则这些病人应依次排队，等候就诊。 2、招聘模拟（5人） 问题描述：某集团公司为发展生产向社会公开招聘m个工种的工作人员，每个工种各有不同的编号（0，1，2，…，m-1）和计划招聘人数，参加招聘的人数有n个（编号为0，1，2，。。。，n-1）。每位应聘者可以申报两个工种，并参加公司组织的考试。公司将按应聘者的成绩，从高到低的顺序排队录取。公司的录取原则是：从高分到低分依次对每位应聘者按其第一志愿录取；当不能按第一志愿录取时，便将他的成绩扣去5分后，重新排队，并按其志愿考虑录取。 程序为每个工种保留一个录取者的有序队列。录取处理循环直至招聘额满，或已对全部应聘者都做了录用处理。 实现要求：要求程序输出每个工种录用者的信息（编号、成绩），以及落选者的信息（编号、成绩）。 3、组织机构问题（5人） 问题描述：以物资学院为例，实现对我校组织结构的管理。要求把我校的组织结构以树型结构存储，实现要求： （1）树中每个结点保存部门名称； （2）假定处级部门（含院系）在树中第二层，科级部门在第三层（即最后一层），软件应该能计算出处级部门有几个，有哪几个？ （3）软件可以查询某部门下面的具体编制？ 4、最少换车次数问题（5人） 问题描述：设某城市有n个车站，并有m条公交线路连接这些车站。设这些公交车站都是单向的，这n个车站被顺序编号为0~n-1。编程序，输入该城市的公交线路数，车站个数，以及各公交线路上的各站编号。 实现要求：求得从站0出发乘公交车至站n-1的最少换车次数。 设计思路：利用输入信息构建一张有向图G（邻接矩阵存储），有向图的顶点表示车站，若某条公交线路经i站能到达j站，就在图G中存在一条有向边 课程设计任务书 目录 第1章概要设计 (1) 1.1题目的内容与要求 (1) 1.2总体结构 (1) 第2章详细设计 (2) 2.1主模块 (2) 2.2构建城市无向图 (3) 2.3添加城市 (4) 2.4修改城市距离 (5) 2.5求最短路径 (6) 第3章调试分析 (7) 3.1调试初期 (7) 3.2调试中期 (7) 3.3调试末期 (7) 第4章测试及运行结果 (7) 附页（程序清单） (10) 第1章概要设计 1.1题目的内容与要求 内容：给出一张无向图，图上的每个顶点表示一个城市，顶点间的边表示城市间存在路径，边上的权值表示城市间的距离。试编写程序求解从某一个城市出发到达任意其他任意城市的最短路径问题。 要求： 1)能够提供简单友好的用户操作界面，可以输入城市的基本信息，包括城市名 称，城市编号等； 2)利用矩阵保存城市间的距离； 3)利用Floyd算法求最短路径； 4)独立完成系统的设计，编码和调试； 5)系统利用C语言完成； 6)按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2总体结构 本程序主要分为四个模块（功能模块见图1.1）：主模块对整个程序起一主导作用，开始构建一城市无向图，对其进行添加城市顶点，以及对原来的距离数据进行修改，整体构建结束可以实现求一城市到其他城市的最短路径问题。 图1.1 功能模块图 第2章详细设计 2.1主模块 用户根据屏幕上显示的操作提示输入要进行操作的模块，通过调用相对应的模块程序，达到用户所想进行操作。程序的总框架大致分为四个模块：1.建立城市无向图2.添加城市模块3.修改城市距离4.求最短路径。具体实现过程见2.2：建立城市无向图2.3：添加城市2.4：修改城市距离2.5：求最短路径。流程图中通过输入n，由n的值来选择调用相对应子函数，实现所选择的功能，调用完后可以返回调用主函数进行下一次选择，从而实现反复调用子函数而实现四个模块的功能等。 图2.1 主模块流程图最短路径问题的算法分析及建模案例
初二最短路径问题归纳
人教版八年级数学上册13.4 课题学习 最短路径问题 (4)
数据结构课程设计题目(最终版)-2011
弗洛伊德算法求解最短路径