幂函数练习题及答案解析

幂函数练习题及答案解析

1.下列幂函数中为偶函数的是 y = x^

2.

解析：定义域为实数集，f(-x) = (-x)^2 = x^2，因此是偶函数。

2.若 a < 1，则 5a < 0.5a < 5-a。

解析：因为 a < 1，所以 y = x 是单调递减函数且 0.5 < 5 < 5-a，因此 5a < 0.5a < 5-a。

3.α 可能的取值为 1 和 3，使得函数y = x^α 的定义域为实数集且为奇函数。

解析：只有函数 y = x 和 y = x^3 的定义域是实数集且为奇函数，因此α 可能的取值为 1 和 3.

4.当 n = -1 或 n = 2 时，满足 (-2)^n。(-3)^n。

解析：因为 (-2)^n。0 且 (-3)^n < 0，所以 y = x^n 在 (-∞。+∞) 上为减函数。因此 n = -1 或 n = 2.

1.函数 y = (x+4)^2 的递减区间是 (-∞。-4)。

解析：函数的开口向上，关于 x = -4 对称，因此在 (-∞。-4) 上递减。

2.幂函数的图像过点(2.4)，则其单调递增区间是(-∞。0)。

解析：因为 y = x^2 的图像是开口向上的抛物线，过点(2.4)，因此其单调递增区间为 (-∞。0)。

3.正确的说法有 2 个。

解析：①错误；②中 y = x^-1 的图像不过点 (1.1)；③正确；④正确，因此有 2 个正确的说法。

4.使f(x) = x^α 为奇函数且在(0.+∞) 上单调递减的α 的值

的个数是 1.

解析：因为f(x) = x^α 为奇函数，所以α 为奇数，因此α

可能的取值为 -3.-1.1.3.因为在(0.+∞) 上单调递减，所以只有α = -1 满足条件。因此个数为 1.

1.α=-1,1,3.

由于f(x)在(，+∞)上为减函数，所以α=-1.

2.使(3-2x-x^2)/4有意义的x的取值范围是(-3

解析：(3-2x-x^2)/4要有意义，需要3-2x-x^2>0，解得-

3

3.函数y=(x-1)^α(其中α的取值范围可以是1,2,3，-1)，的图像恒过点(2,1)。

当x-1=1，即x=2时，无论α取何值，都有1=1，所以函数y=(x-1)恒过点(2,1)。

4.已知2.4>2.5，则α的取值范围是α<0.

由于2.42.5^α，所以y=x^α在(，+∞)为减函数，即α<0.

5.把(3-5)/(5-6)，(1/3)^2，(1/2)^2，(5/6)^2按从小到大的顺序排列。

解析：(3-5)/(5-6)=-2，(1/3)^2=1/9，(1/2)^2=1/4，

(5/6)^2=25/36.

所以顺序为-2，1/9，1/4，25/36.

6.求函数y=(x-1)^3的单调区间。

y=(x-1)^3= (x-1)(x-1)^2 = (x-1)x^2-2(x-1)+1/x-1，定义域为x≠1.令t=x-1，则y=t^3，t≠0为奇函数。

由于α=-1/3<0，所以t^3在(，+∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增。又t=x-1单调递增，故y=(x-1)^3在(1，+∞)上单调递减，在(－∞，1)上单调递增。

1.原不等式为 m+4.3-2m，化简得 3-3m。0，解得 m。0，所以 m 的取值范围为 (-∞。1)。

2.已知幂函数 y = xm^2 + 2m - 3(m∈Z) 在(0.+∞) 上是减函数，求 y 的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性。由幂函数的性质可知 2m^2 + 2m - 3 < 0，解得 -3 < m < 1.当 m = 0 或m = -2 时，y = x^-3，定义域为 (-∞。0)∪(0.+∞)。因为 -3 < 0 < 1，所以 y = x^-3 在 (-∞。0) 和(0.+∞) 上都是减函数，又因为f(-x) = (-x)^-3 = -x^-3 = -f(x)，所以 y = x^-3 是奇函数。当 m = -1 时，y = x^-4，定义域为 (-∞。0)∪(0.+∞)。因为 -4 < 0 < 1，所以 y = x^-4 在(0.+∞) 上是减函数，又因为 f(-x) = (-x)^-4 =

x^-4 = f(x)，所以 y = x^-4 是偶函数。在 (-∞。0) 上是增函数。

1.选 D。y = x^3 的定义域为 R，值域为 (-∞。+∞)，与其他三个函数的定义域和值域不同。

2.选 B。当 x = 2 时，2^2.2.2^-2，即 C1：y = x，C2：y = x^2，C3：y = x^2，C4：y = x^-2.

3.选 C。y = x^0 = 1，当x ≠ 1 时，y = 1/x，即除点 (1.1) 外的一条直线。

4.函数 f(x) = (1-x)^2 的定义域为 x < 1.

1.已知幂函数$f(x)$的图象经过点$(2,n)$，则$f(4)$的值为()。

解析：设$f(x)=x^n$，则有$2^{\frac{1}{n}}=n$，解得

$n=-\frac{1}{\log_2 2}= -1$，即$f(x)=\frac{1}{x}$。因此，

$f(4)=\frac{1}{4}$。选项C。

2.下列幂函数中，定义域为$\{x|x>0\}$的是()。

解析：选项D。因为$y=x^{\frac{1}{4}}$的定义域为

$\{x|x\geq 0\}$，不符合要求；$y=x^{\frac{1}{3}}$的定义域为$\{x|x\in \mathbb{R}\}$，也不符合要求；

$y=x^{\frac{1}{2}}$的定义域为$\{x|x\geq 0\}$，也不符合要求。只有$y=x^{\frac{1}{4}}$的定义域为$\{x|x>0\}$。

3.已知幂函数的图象$y=x^{m^2-2m-3}(m\in

\mathbb{Z},x\neq 0)$与$x$，$y$轴都无交点，且关于$y$轴对称，则$m$为()。

解析：因为图象与$x$轴、$y$轴均无交点，所以$m^2-

2m-3<0$，即$-1

\mathbb{Z}$，所以$m-2m-3$是偶数，即$m=-1,1,3$。故选项B。

4.下列结论中，正确的是()。

解析：选项D。因为幂函数$y=x^\alpha$的图象可能在第四象限，结论①不正确；对于$y=x^\alpha$，当$\alpha=0$时，图象过点$(1,1)$，不过点$(0,0)$，结论②不正确；对于

$y=x^\alpha$，当$\alpha\geq 0$时，是增函数，结论③正确；对于$y=x^\alpha$，当$\alpha<0$时，在第一象限内，随$x$的增大而减小，结论④正确。

5.在函数$y=2x^3$，$y=x^2$，$y=x^2+x$，$y=x$中，幂函数有()。

解析：选项B。因为$y=x^2$和$y=x$是幂函数。

6.幂函数$f(x)=x^\alpha$满足$x>1$时$f(x)>1$，则

$\alpha$满足条件()。

解析：选项A。因为$x>1$时，$f(x)>1$，即$f(x)>f(1)$，$f(x)=x^\alpha$为增函数，且$\alpha>1$。

7.幂函数$f(x)$的图象过点$(3,3)$，则$f(x)$的解析式是$f(x)=x$。

解析：设$f(x)=x^\alpha$，则有$3=3^\alpha$，解得

$\alpha=1$，即$f(x)=x$。

8.设$x\in (0,1)$时，$y=x^p(p\in \mathbb{R})$的图象在直线$y=x$的上方，则$p$的取值范围是$p<1$。

9.如图所示的函数F(x)的图像，由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xα“拼接”而成。求aa、aα、αa、αα按由小到大的顺序排列为多少。

解析：根据题意，我们可以列出以下等式：

F(1)=a^1=aa

F(2)=a^4= aα

F(4)=4^α= αa

F(16)=16^α= αα

将其代入aa、aα、αa、αα中，得到aα<αα

答案为aα<αα

1.已知函数f(x)=(m^2-m-5)x^(m-1)是幂函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)是增函数。求m的值。

解：根据幂函数的定义，我们可以列出以下等式：

m^2-m-5=1

解得m=3或m=-2.

当m=3时，f(x)=x^2在(0，+∞)上是增函数；当m=-2时，f(x)=x^-3在(0，+∞)上是减函数，不符合要求。故m=3.

11.已知函数f(x)=(m^2+2m)·x^(m^2+m-1)，求m的值使得

f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂

函数。

解：根据题意，我们可以列出以下等式：

1) 若f(x)为正比例函数，有m^2+2m=1，解得m=1.

2) 若f(x)为反比例函数，有m^2+2m=-1，无实数解。

3) 若f(x)为二次函数，有m^2+2m=2-1±√13，解得m=-1±2.

4) 若f(x)为幂函数，有m^2+2m=1，解得m=-3或m=-1.

12.已知幂函数y=x^(m^2-2m-3)（m∈Z）的图像与x、y 轴都无公共点，且关于y轴对称。求m的值，并画出它的图像。

解：根据题意，我们可以列出以下不等式：

m^2-2m-3<0，解得-1≤m≤3.

因为y轴对称，所以m为偶数。又因为图像与x、y轴都无公共点，所以m≠0.

综上所述，m=±2或m=±4.当m=-2或m=4时，y=x为奇函数，其图像不关于y轴对称，不符合题意。所以m=-4或m=2.

当m=-4或m=2时，有y=x^(17)或y=x^5，其图像如下图所示：