常见的几个函数不等式及其应用
常见的几个函数不等式及其应用
在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.
一、函数不等式的介绍
（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x x
x ① 证明：令x x x f -+=)1ln()(，则x
x x x f +-=-+='1111)(. 当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .
所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，
所以)1()1ln(->≤+x x x . 令x x x x g +-+=1)1ln()(，则2
2)1()1()1(11)(x x x x x x x g +=+-+-+='. 当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .
所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，
)1)(1ln(1->+≤+∴x x x
x . 综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x x
x . 变式：)0(1ln >-≤x x x ， ②
)0(11ln >≥+x x
x . ③ （2）)1)(1(21ln ≥-≤x x
x x ④ )10)(1(21ln ≤<-≥x x
x x ⑤ 证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x x
x x f . 所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.
所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤ 所以，不等式④，⑤成立. 变式：)0(1 )1ln(≥+≤+x x x x ⑥ （3）)1(1 )1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦ )10(1 )1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧ 证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0) 1()1()(22≥+-='x x x x f . 所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增. 当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤ 所以，不等式⑦，⑧成立. （4）)10(2 11)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨ 证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则2 21)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='， 而) 1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='， 由⑥式)0(1 )1ln(≥+≤+x x x x 知，0)(<'x f ， 所以)(x f 在10≤ ln 1)1()(-=≥f x f . 由⑦式)1(1 )1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x . 综上可知，不等式⑨成立. （5）)0(1 )211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩ 证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(2 2≤+-='x x x f . 故0)0()(=≤f x f . 所以，不等式⑩成立. 变式：)0)(1 11(21)11ln(>++≤+x x x x ? 利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式： （6）贝努尼不等式：当1->x 时， )0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ， ? )10(1)1(<<+≤+αααx x ? （7）)0(2 1)1ln(2≥- ≥+x x x x ? 二、常见的函数不等的作用 利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。 （1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值 例1 （2008年湖南卷，理21）已知函数x x x x f +-+=1)1(ln )(22. （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若不等式e )11(≤++αn n 对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值. 解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得 2 2 )1()1(211)1ln(2)(x x x x x x x f +-+-+?+=' )]111(21)1[ln(12x x x x +-+-++=. 由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1(21ln ≤<-≥x x x x 可知： 当0≥x 时，11≥+x ，有)111(21)1ln(x x x +-+≤+，0)(≤'x f ； 当01≤<-x 时，110≤+ x x +-+≥+，0)(≥'x f . 因此，当0≥x 时，)(x f 为减函数；当01≤<-x 时，)(x f 为增函数. （Ⅱ）由e )11(≤++αn n 可知，1)11ln()(≤+?+n n α，所以n n -+≤)11ln(1α. 记]1,0(1∈=t n ，则t t 1)1ln(1-+≤α，]1,0(∈t . 由不等式⑨)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ，可知12ln 11)1ln(1-≥-+t t ， 12 ln 1-≤∴α. 所以，α的最大值为12 ln 1-. （2）利用常用不等式求参数的取值范围 例2 （2010年全国卷，理22）设x x f --=e 1)(. （Ⅰ）证明：1->x 时，1 )(+≥x x x f ； （Ⅱ）设0≥x 时，1 )(+≤ax x x f ，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）利用分析法，结合①式)1()1ln(1->≤+≤+x x x x x 可以证明. （Ⅱ）因为1e 110+≤- 110+≤- )1(ln 11≥--≤∴t t t t a . 由不等式⑦)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 可知)1(1 )1(2ln ≥+-≥t t t t ， 所以1>t 时，2 1)1(211ln 11=-+-->--t t t t t t t . 又由导数定义可知11 ln lim 1=-→t t t ， 所以21ln )1(lim 1=-+→t t t t ，故2 1ln 11≥--t t t . 综上，所求a 的取值范围为]2 1,0[. 例3 （2014年湖南卷，理22）已知常数0>a ，2 2)1ln()(+-+=x x ax x f . （Ⅰ）讨论)(x f 在区间),0(+∞上单调性； （Ⅱ）若)(x f 存在两个极值点21,x x ，且0)()(21>+x f x f ，求a 的取值范围. 解：（Ⅰ）2 22)2)(1()1(4)2(41)(++--=+-+='x ax a ax x ax a x f . 因为0)2)(1(2>++x ax ，所以当01≤-a ，即1≥a 时，0)(≥'x f 恒成立，则函数)(x f 在区间),0(+∞上单调递增. 当10< 1)(,1ln 0000x x g k kx x 解之得2e -=k . (Ⅱ) 由2 e mx x = ，得2e x m x =. 令2e )(x x g x =，则3 )2(e )(x x x g x -='. 当20< e 2 >m 时有两个交点. (Ⅲ) 记a b a b a f b f b f a f M a b b a ---+=---+=e e 2e e )()(2)()(，令0>=-t a b ， 则t a b M a t a t a a a b b a e e 2e e e e 2e e --+=---+=++ )]2()2(e [2e )1e 2e 1(e ++-=--+=t t t t t a t t a . 再令0),2()2(e )(>++-=t t t t h t ， 在2≥t 时，可知0)(>t h . 在20< t t -+<22e . 事实上，令t t t -+='22，则1>'t ，且1 12+'-'=t t t . 只需证)1(ln 1 )1(2>''<+'-'t t t t . 而由常见不等式⑦)1(1 )1(2ln ≥+-≥x x x x 可知上式恒成立. 从而0)2()2(e )(>++-=t t t h t 在0>t 时恒成立. 所以0>M ，即a b a f b f b f a f -->+)()(2)()(. （4）利用常用不等式研究存在性问题 例5（2011年湖南卷，文22）设函数)(ln 1)(R ∈--=a x a x x x f . （Ⅰ）讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若)(x f 有两个极值点1x 和2x ，记过点))(,(11x f x A ，))(,(22x f x B 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得a k -=2？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞. 22211'()1a x ax f x x x x -+=+-= 令1)(2+-=ax x x g ，其判别式42-=?a . 当22≤≤-a 时，0≤?，0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增． 当2-x ，有0)(≥'x f ，故)(x f 在),0(+∞上单调递增． 当2>a 时，0>?，012=+-ax x 的两根为2421--=a a x ，2 422-+=a a x . 故)(x f 在),0(1x 上单调递增，在),(21x x 上单调递减，在),(2+∞x 上单调递增. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，2>a ，且a x x =+21，121=x x ． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+ --， 所以2 1212121212121ln ln 2ln ln 11)()(x x x x a x x x x a x x x x x f x f k --?-=--?-+=--= 若存在a ，使得a k -=2，则1ln ln 2 121=--x x x x . 而121=x x ，所以2 221ln 2x x x -=. 由不等式④)1)(1(21ln >-≤x x x x 可知上式不可能成立， 故不存在a ，使得a k -=2. （5）利用常用不等式证明不等式 例6 （2013年全国大纲卷，理22）已知函数x x x x x f ++-+=1)1()1ln()(λ. （Ⅰ）若0≥x 时，0)(≤x f ，求λ的最小值； （Ⅱ）设数列}{n a 的通项n a n 131211++++=Λ，证明：2ln 412>+-n a a n n . 第十二讲 基本初等函数 一：教学目标 1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质； 2、理解基本初等函数的性质； 3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数 二：教学重难点 教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用； 教学难点：基本初等函数基本性质的应用 三：知识呈现 1.指数与指数函数 1).指数运算法则：（1）r s r s a a a +=； （2）()s r rs a a =； （3）()r r r ab a b =； （4）m n m n a a =； （5）m n n m a a -= （6）,||,n n a n a a n ?=??奇偶 2). 指数函数：形如(01)x y a a a =>≠且 2.1）对数的运算： 1、互化：N b N a a b log =?= 2、恒等：N a N a =log 3、换底： a b b c c a log log log = 指数函数 0 推论1 a b b a log 1log = 推论2 log log log a b a b c c ?= 推论3 log log m n a a n b b m =)0(≠m 4、N M MN a a a log log log += log log log a a a M M N N =- 5、M n M a n a log log ?= 2）对数函数： 3.幂函数 一般地，形如 a y x =（a R ∈）的函数叫做幂函数，其中 a 是常数 1)性质： (1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1, 1); 对数函 数 0 六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）； α 1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称； 2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数 n m 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）； 4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m 3.（选，补充）指数函数值的大小比较* N ∈a ； a.底数互为倒数的两个指数函数 x a x f =)(， x a x f ? ? ? ??=1)( 的函数图像关于y 轴对称。 b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y = 的图像越靠近y 轴； b.2.当10<∈>=n Z n m a a a n m n m (2)) 1,,,0(1 1*>∈>= =- n Z n m a a a a n m n m n m y x f x x x x g ? ? ?=1)( 初等函数的基本不等式 安徽省潜山二中 一. 初等函数的基本不等式 1. 三角、反三角型不等式 (1) 335111sin min{,},0;66120 x x x x x x x x - ≤≤-+≥ (2) 2 2 2 sin (0);2 4 1(1)x x x x x π π π ≥ ≥ ≤≤ +- 22sin (0);111163 x x x x x x x π≤ ≤≤≤≤++ (3) 224 1111cos 1;2224 x x x x -≤≤-+ (4) 22 111- cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5) 2 32 23arctan ,32113 x x x x x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥ 2 arctan ,01;41(1)x x x x π ≤ ≤≤+- .0,4 1arctan 2 2 ≥+ ≤ x x x x π （5）的证明: .0,1arctan 3 2 ≥+≤ x x x x 设=)(x f ,0,1arctan 3 2 ≥+- x x x x 0.132>+=x m 则 2 2 -3 2 23 '24222321(1)113()(1)(2)/0,13(1) x x x f x m m m x x +-+=-=--+≤++ ,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略) 2. 对数型不等式 (1) 23 5111ln (1)(1),0;1221511(1)26 x x x x x x x x x x x x x - ≤≤+≤≤≤+-≤≥++++ (2) 2111 (1)ln (1),0;1212112 x x x x x x x x x x x +-≤≤+≤≤-≤<+++ (3) 对数平均不等式11 3312 ()()().2ln ln 63 x y x y xy x y xy x y +-<<++- (4).2 ln 1ln ln }ln 1),max{ln( y x y x y y x x xy y x ++≤--≤++ 或写成.2 )(1},max{1 y x y x e xy e y x y x y x +≤≤+- (4)中的 )ln(ln ln y x y x y y x x +≥-- 的证明： 不等式即,)(1 y y x y x y x x y x y x y x y x y y x x y x y x ?-+?-≥?+≥---由赫尔德不等式 （或加权算数 -几何平均不等式，...)得证. 显然利用它得到 ,01 2) 1ln()1(ln ≥----x x x x x 由此可见函数)1ln()(ln )(x x x f -?=在 ]21,0(上单调增，在)1,2 1 (上单调减. 后一结果，一般称为指数平均不等式. 3. 指数数型不等式 (1) 21...(1,0;0,);2!! m x x x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(! ...!212为偶数m x m x x x e m x ≤++++≤ (3) 2 (1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+-≥=取等号 (3)可推广为1 2 [(1)()], 1.x t e e e x t x t x t -≥-++-≥- 4. 幂不等式 指数函数及其性质 一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念 1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 表示，负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． 2 n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． 3、根式的性质 ：n a =；当n 为奇数时 ， a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． 2 、正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． 3、a 0=1 (a ≠0) a -p = 1/a p (a ≠0；p ∈N *) 4、指数幂的运算性质 (0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。 二、指数函数的概念 一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：○ 1 指数函数的定义是一个形式定义； ○ 2 注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． 66 一、常见数列极限的存在情况： (1)1,1,1,1,1,L L 。通项1n y =，极限11()n y n =??￥（收敛） 即lim11n ?￥ = (2)11111, ,,,,,234n L L 。通项1n y n =，极限1 0()n y n n =??￥（收敛） 即01 lim =￥?n n (如图2) (3) 01 n n =+ (4))?￥（收 敛）即n ( (5)2,(6)1,-(如图6) n y 67 (7) 1,2,3,,,n L L 。通项n y n =，极限()n y n n =?￥?￥（发散）(如图7) 。 (8) (1)2n n y =- 极限 (1)n n y =-(如图8) （一）当x (1) 函数y y -￥ 68 (3)函数y x =-，极限lim x x ?±￥ -=￥m （）； (4)函数1y x = ，极限1 lim 0x x ?±￥= 限不存 y 69 2、指数函数部分 (9)函数(1x y a a =>），极限lim (1)x x a a ?+￥ =+￥>（极限不存在）（注意：x ?+￥） (10)函数(1x y a a =>）极限lim 0 (1)x x a a ?-￥ =>;（注意：x ?-￥） (11)函数 (01)x y a a =<<，极限lim 0 (01)x x a a ?+￥ =<< （注意：x ?+￥） (12)函数 (01)x y a a =<<，极限lim (01)x x a a ?-￥ =+￥<< 极限不存在（注意：x ?-￥） （x ?+￥ （注意：x ?-￥） x x 初等函数的基本不等式 一. 初等函数的基本不等式 1. 三角、反三角型不等式 (1) ;0},,120 161-{min sin 61- 533≥+≤≤x x x x x x x x (2) 2 2 2 sin (0);2 4 1(1-)x x x x x π π π ≥ ≥ ≤≤ + 22s i n (0);111163 x x x x x x x π≤≤≤≤≤++ (3) ;24 121-1cos 21-14 22x x x x +≤≤ (4) 22 111- cos ,0;221x x x x π≤≤≤≤+ (5) 2 32 23arctan ,32113 x x x x x x x x ≤≤≤≤+++0;x ≥ ;10,)1-4(1a r c t a n 2 ≤≤+≤ x x x x π .0,4 1a r c t a n 2 2 ≥+ ≤x x x x π （5）的证明: .0,1arctan 3 2 ≥+≤ x x x x 设=)(x f ,0,1arctan 3 2 ≥+- x x x x 0.132>+=x m 则 ,0/)2()1(31-) 1()1(32-1-11)(423223 2 -22 3 2 2'≤+-=++++=m m m x x x x x x f ,0)0()(=≤f x f 不等式得证！(其余部分证明类似, 此略) 2. 对数型不等式 (1) 23 5111- ln (1)(1-),0;1221511(1)26 x x x x x x x x x x x x x ≤≤+≤≤≤+≤≥++++ (2) ;0,21 -2 11)1(ln 1)11-1(212<≤≤+≤+≤+≤++x x x x x x x x x x x (3) 对数平均不等式11 3312 ()()().2ln ln 63 x y x y xy x y xy x y +-<<++- 3. 指数数型不等式 (1) 21...(1,0;0,);2!! m x x x e x m x x m m ≥++++≥≥<或为奇数 (2) ).,0(! ...!212为偶数m x m x x x e m x ≤++++≤ (3) 2(-1),0(0,1 ).x e ex x x x ≥+≥=取等号 (3)可推广为.1-],)-()1-([21-t x t x t x e e e t x ≥++≥ 4. 幂不等式 贝努利不等式 (1) ;01,1,1)1(≤≥->+≥+αααα 或x x x (2) ;10,1,1)1(<<->+≤+ααα x x x 赫尔德不等式 （3）;10,0, ,)-1(-1≤≤>+≤αααα α y x y x y x (4) .10,0, ,)-1(-1><>+≤ααααα α或y x y x y x 事实上也就是 ,)-1()(-1y x y x ααα α +≥≤),1-(1)()(y x y x αα+≥≤ 可见贝努利不等式与赫尔德不等式是等价的. 二．应用举例 例1 (1) 2arctan (sin )(0);1212 x x x x π ≥ ≤≤+ 必修1基本初等函数复习题 换底公式：log a b = logc b ( a 0，且 a=1 ; c 0，且 c = 1 ; b 0) log c a n 1 (1 ) log a m b n log a b ； ( 2) log a b ——. m log b a 3、定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: （1）偶次方根的被开方数不小于零； （2）对数式的真数必须大于零； （3）分式的分母不等于零；（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 4、函数单调区间与单调性的判定方法 1、 幂的运算性质 (1 ) a r ala r s (r,s R); (3) a r b r =(ab J (^ R) 2、 对数的运算性质 如果 a 0，且 a=1 , M 0 , (Dog a M N = log a M log a N ； ?og a M n 二 n log a M , n R . r s rs (2) (a ) =a ; (r,s R) m (4)a n =Q a m (a >0, m, n ^ N *,n >1) a * 二 N ：= log a N 二 N 0，那么: M D log a log a M - log a N ； N ④ log 0, log 1 C 、 0 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数（μ是常数）叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ是什么数而定。 但不论μ取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图] 4 2 -551015 -2 -4 -6 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1 注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0 无限接近y轴，向右无限接近x轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数（a是常数且a>0,a≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x，总有，又，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点(0,1)。若a>1，指数函数是单调增加的。若0 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x 对称（图1-22）。 的图形总在y 轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)函数值为负，而在区间(1,+∞ )函数值为正。 若0 基本初等函数知识点总结 一、指数函数的概念 （1）、指数函数的定义 一般地，函数x y a =（0a >，且1a ≠）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R 。 （2）、因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数0a >且1a ≠的前提下，x R ∈。 （3）、指数函数x y a =（0a >且1a ≠）解析式的结构特征 1、底数：大于0且不等于1的常数。 2、指数：自变量x 。 3、系数：1。 二、指数函数的图象与性质 一般地，指数函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象与性质如下表： 三、幂的大小比较方法 比较幂的大小常用方法有：（1）、比差（商）法；（2）、函数单调性法；（3）、中间值法： 要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。 四、底数对指数函数图象的影响 （1）、对函数值变化快慢的影响 1、当底数1a >时，指数函数x y a =是R 上的增函数，且当0x >时，底数a 的值越大，函数图象越“陡”，说明其函数值增长得越快。 2、当底数01a <<时，指数函数x y a =是R 上的减函数，且当0x <时，底数a 的值越小，函数图象越“陡”，说明其函数值减小得越快。 （2）、对函数图象变化的影响 指数函数x y a =与x y b =的图象的特点： 1、1a b >>时，当0x <时，总有01x x a b <<<；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有1x x a b >>。 2、01a b <<<时，当0x <时，总有1x x a b >>；当0x =时，总有1x x a b ==；当 0x >时，总有01x x a b <<<。 五、对数的概念 （1）、对数：一般地，如果x a N =（0a >，且1a ≠），那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。 （2）、常用对数：我们通常把以10为底的对数叫做常用对数，为了简便，N 的常用对数10log N 简记为lg N 。 （3）、自然对数：我们通常把以无理数e （ 2.71828e =）为底的对数称为自然对数， 为了简便，N 的自然对数log e N 简记为ln N 。 六、对数的基本性质 根据对数的定义，对数log a N （0a >，1a ≠）具有如下性质： 1、0和负数没有对数，即0N >； 2、1的对数是0，即log 10a =； 3、底数的对数等于1，即log 1a a =； 4、对数恒等式：如果把b a N =中的b 写成log a N ，则log a N a N =。 七、对数运算性质 如果0a >且1a ≠，0M >，0N >，那么 （1）、()log log log a a a MN M N =+； （2）、log log log a a a M M N N =-； （3）、log log n a a M n M =（n R ∈）。 八、换底公式 基本不等式及应用 一、基本不等式及应用 1、（2018苏锡常一模9题）已知0a >，0b >，且 23a b +=，则ab 的最小值是． 解析：∵ 0a >，0b > ∴ 23a b +=≥ab > 2、已知实数x ，y 满足122=-+xy y x ，则y x +的最大值为________． 解析：因为122=-+xy y x ，所以xy y x +=+122. 所以22)2 (3131)(y x xy y x ++≤+=+， 即4)(2≤+y x ，解得22≤+≤-y x . 当且仅当1==y x 时等号成立．所以y x +的最大值为2. 3、已知0>x ，0>y ，且082=-+xy y x ，求： (1)xy 的最小值；(2)y x +的最小值． 解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得xy y x y x xy 882282=?≥+=，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64. （2）由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，则x ＋y ＝))(28(y x y x ++＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋21882=x y y x .当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋y 的最小值为18. 4、设1->x ，则函数1 )2)(5(+++=x x x y 的最小值为____________． 解析：因为1->x ，所以01>+x ，设01>=+z x ，则1-=z x ，所以 95425445)1)(4(2=+?≥++=++=++=z z z z z z z z z z y ，当且仅当2=z ，即x ＝1时取等号．所以当x ＝1时，函数y 有最小值9. 5、设a ，b ，c 均为正数，满足032=+-c b a ，则ac b 2的最小值是________． 解析：∵a －2b ＋3 c ＝0，∴b ＝a ＋3c 2，∴ac b 2＝a 2＋9 c 2＋6ac 4ac ≥6ac ＋6ac 4ac ＝3， 当且仅当a ＝3c 时取“＝”． 6、 已知0>x ，0>y ，若 m m y x x y 2822+>+恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：因为0>x ，0>y ，所以816282=≥+y x x y .要使原不等式恒成立，只需822<+m m ，解得24<<-m .所以实数m 的取值范围是)2,4(-. 1.1初等函数图象及性质 1.1.1 幕函数 1函数 .1 ^ ■■-l ' GI 是常数） 叫做幕函数。 2幕函数的定义域，要看 ?i 是什么数而定。 但不论取什么值，幕函数在（0,+ ：:）内总有定义。 3最常见的幕函数图象如下图所示： ［如图］ 4①口 >0时，图像都过（0,0 ）、（ 1,1 ）点，在区间（0, +∞）上是增函数； 注意〉> 1与0<〉V 1的图像与性质的区别. -10 ② 二V 0时，图像都过（1,1 ）点，在区间（0, +∞）上是减函数；在第一象限内，图像向 上无限 接近y 轴，向右无限接近 X 轴. ③ 当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 K, 15 图 1-2Q M 10 1指数函数 1函数.1 ' ■（a是常数且a>O,a U 1 ）叫做指数函数，它的定义域是区间 （-：：,+ ：：）。 2因为对于任何实数值X,总有?寸Iii ,又；-;,所以指数函数的图形，总在X轴的上方, 且通过点（0,1） 若a>1,指数函数「:’是单调增加的。若0 由此可知「二今后常用关系式―宀， 指数函数y=a的反函数，记作y =IO S a X（a是常数且a>0,式al ）,叫做对数函数。它的定义域是区间（0,+ ：：）。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = X对称（图1-22 ）。 丿…也” ■■■■■的图形总在y轴上方，且通过点（1,0）若a>1 ,对数函数?二=是单调增加的，在开区间（0,1）内函数值为负，而在区间（1,+二）内函数值为正。 若0 初等函数常用公式 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 初等代数 1．乘法公式与因式分解 222 (1)()2a b a ab b ±=±+ 2222(2)()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++ 22(3)()()a b a b a b -=-+ 33223(4)()33a b a a b ab b ±=±+± 3322(5)()()a b a b a ab b ±=±+m 123221(6)()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++…… 2．比例 ( )a c b d = (1)a b c d b d ++=合比定理 (2)a b c d b d --=分比定理 (3)a b c d a b c d ++=--合分比定理 (4),.a c e a c e a c e a c e t b d f b d f b d f b d f ++========++若则令于是(5)y x y kx k =若与成正比，则（为比例系数） (6)k y x y k x =若与成反比，则（为比例系数） 3．不等式 10,0n n a b n a b >>>>（）设，则 0,n n a b n a b >>>（2）设为正整数，则 (3),a c a a c c b d b b d d +<<<+设则 312312(4),2 ,3 n n n a b ab a b c abc a a a a a a a n +≥++≥+++≥非负数的算术平均值不小于其几何平均值，即 ………… 初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数 μ x y =，μ是常数； 1.当u 为正整数时，函数的定义域为区间 ),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当 u>1时在原点处与X 轴相切。且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称； 2.当u 为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3.当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n 图形于x 轴相切,如果m (2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. (3) 对数函数 x y a log = (a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区 间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/ 1.1 初等函数图象及性质 1.1.1 幂函数 1函数 （μ 是常数） 叫做幂函数。 2幂函数的定义域，要看μ 是什么数而定。 但不论μ 取什么值，幂函数在(0,+ ∞ )内总有定义。 3最常见的幂函数图象如下图所示：[如图 ] 4①α＞0时，图像都过（0,0）、（1,1注意α＞1与0<α＜1的图像与性质的区别. ②α＜0时，图像都过（1,1）点，在区间（0上无限接近y 轴，向右无限接近x 轴. ③当x>1时，指数大的图像在上方. 1.1.2 指数函数与对数函数 1．指数函数 1函数 （a 是常数且a>0,a ≠ 1）叫做指数函数，它的定义域是区间(-∞ ,+∞ )。 2因为对于任何实数值x ，总有，又，所以指数函数的图形，总在x 轴的上方， 且通过点(0,1)。 若a>1，指数函数是单调增加的。若0 2．对数函数 由此可知 ，今后常用关系式 ， 如： 指数函数的反函数，记作 （a是常数且a>0，≠ a1），叫做对数函数。 它的定义域是区间(0,+∞ )。 对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。 的图形总在y轴上方，且通过点(1,0)。 若a>1，对数函数是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负，而在区间(1,+∞ )内函数值为正。 若0 基本初等函数 实数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈R )． 2·2x = =+--x x 113 33 (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈R )． (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈R )． 1．指数函数的定义 一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量． 2．指数函数的图象和性质 指数函数的底数互为倒数，它们的图象关于 对称 3、比较幂值大小的三种类型及处理方法 4、如图所示的是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜1＜c ＜d B ．b ＜a ＜1＜d ＜c C ．1＜a ＜b ＜c ＜d D ．d ＜c ＜1＜b ＜a 1、指数式与对数式的互化及有关概念． 2、常用对数与自然对数 3、对数的基本性质 (1)负数和零没有对数； (2)log a 1＝ (a ＞0，且a ≠1)； (3)log a a ＝ (a ＞0，且a ≠1)． 4、对数恒等式：(1)lo g a a b ＝ ；(2)a lo g a N ＝ 5、对数的运算性质 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0那么： (1) log a M ＋log a N = (2) log a M －log a N = (3)nlog a M = (n ∈R )．（4）=n a b m log 6、换底公式 lo g a b ＝log c b log c a = ===b a b 2log ln lg (a >0，且a ≠1；c>0，且c ≠1；b >0)． 1．对数函数的定义 一般地，我们把函数 (a >0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是 ． 2．对数函数的图象及性质 基本初等函数 一、单项选择 1. 已知幂函数)(x f y =的图象经过点(2,2)，则=)4(f ( ) A.2 B.21 C.2 2 D.22 2. 下列式子正确的是( ) A.2log 20= B.lg101= C.2510222?=1 22-= 3. 函数y ＝3x 与y ＝－3－x 的图象关于下列哪种图形对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y ＝x D ．原点中心对称 4. 函数x e y -=的图象 A.与x e y =的图象关于y 轴对称 B.与x e y =的图象关于坐标原点对称 C.与x e y -=的图象关于 y 轴对称 D.与x e y -=的图象关于坐标原点对称 5. 下列不等式中错误的是 （ ） A 、 B 、 C 、 D 、2log 3log 22>>> 6. 若函数f(x)＝log a (x ＋b)的大致图象如图所示，其中a ，b(a>0且a ≠1)为常数，则函数g(x)＝a x ＋b 的大致图象是( ) 7. 若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3)(a >0且a ≠1)，满足对任意的x 1、x 2，当x 1 A ．(0,1)∪(1,3) B ．(1,3) C ．(0,1)∪(1,23) D ．(1,23) 8. 设min{, }p q 表示p ，q 两者中的较小的一个，若函数221()min{3log , log }2 f x x x =-，则满足()1f x <的x 的集合为 （ ） A.(0, B. （0，+∞） C. ),16()2,0(+∞? D.),16 1(+∞ 9. 已知函数f(x)＝)x (log 12+，若f(α)＝1，则α＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 10. 设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝x 2－2}，B ＝{x |y ＝log 2(3－x )}，则 A )∩ B 等于( ) A ．[－2,3) B ．(－∞，－2] C ．(－∞，3) D ．(－∞，－2) 11. 函数)34(log 1)(22-+-= x x x f 的定义域为( ) A.(1,2)(2,3) B.(,1)(3,)-∞+∞ C.(1,3) D.[1,3] 12. 电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中，连续剧甲每次播放时间为80 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min ，其中广告时间为1 min ，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min 广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min 的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为（ ） A ．220万 B ．200万 C ．180万 D ．160万 二、填空题 13. 将一张厚度为0.04mm 的白纸对折至少 次(假设可能的话),其高度就可以超过珠穆朗玛峰的高度(8848m). 14. 设5 3 07538 01615625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________. 15. 已知1414log 7,log 5,a b ==则用,a b 表示35log 28= 。 16. 求值：22log 3321272log 8 -?+=__________ 三、解答题 17. 某出版公司为一本畅销书定价如下:C(n)=?? ???∈∈∈）*N ，49≥（10）*N ，48≤ ≤25（11）*N ，24≤ ≤1（12n n n n n n n n n 这里n 表示定购书的数量,C(n)表示定购n 本所付的钱数(单位:元). (1)有多少个n,会出现买多于n 本书比恰好买n 本书所花钱少? (2)若一本书的成本价是5元,现在甲、乙两人来买书(甲、乙不合买),每人至少买1本, 甲买的书不多于乙买的书,两人共买60本,问出版公司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱? 江苏省洪泽中等专业学校数学试卷(集合?不等式?函数?基本初等函数) 时间：90分钟 满分：150分 一、选择题（每题5分，共60分） 1.给出四个结论： ①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合 ② 集合｛1｝表示仅由一个“1”组成的集合 ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合 ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集 其中正确的是 ( ) A.只有③④ B.只有②③④ C.只有①② D.只有② 2.I =｛0,1,2,3,4｝,M=｛0,1,2,3｝ ,N=｛0,3,4｝,)(N C M I =( ); A.｛2,4｝ B.｛1,2｝ C.｛0,1｝ D.｛0,1,2,3｝ 3.下列对象能组成集合的是( ); A.最大的正数 B.最小的整数 C. 平方等于1的数 D.最接近1的数 4.如果函数()f x 为偶函数，若点(,)a b 在()f x 的图像上，则下列各点一定在()f x 的图像上的是（ ） .(,)A a b - .(,)B a b - .(,)C a b -- .(,)D b a 5.如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f(x)在区间[-7，-3]上是（ ） A 、增函数且最小值为-5 B 、增函数且最大值为-5 C 、减函数且最小值为-5 D 、减函数且最大值为-5 6.（1）2()2f x x =（2）()f x x =-（3）()35f x x =+（4）53()f x x x x =++，其中是奇函数的个数为（ ） .1A .2B .3C .4D 7．下列各选项中正确的是 ( ) A. 22a b ac bc >?> B. 22a b ac bc >?> C. a b ac bc >?> D. a b ac bc >?> 8．不等式()2 3x -≥0的解集是( ) 函数及其基本初等函数 〖1.1〗函数及其表示 【1.1.1】函数的概念 （1）函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及 A 到 B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．（所以进行已知对应关系()f x 的函数，一定先求出函数的定义域） ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．而且无论闭区间或者开区间，,a b 均称为端点。 （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．最新基本初等函数经典总结
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