1.7定积分的简单应用

§1.7定积分的简单应用（二课时）

一：教学目标

知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积

分的几何意义以及微积分的基本定理。

过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方

法

情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功），

培养学生唯物主义思想。

二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法

难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习

1、求曲边梯形的思想方法是什么？

2、定积分的几何意义是什么？

3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用

（一）利用定积分求平面图形的面积

例1．计算由两条抛物线2

y x =和2

y x =所围成的图形的面积.

【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。

解：2

01y x x y x

?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积

S=1

20

0x dx =

-?

?

，所以

?1

20S =x )dx 32

1

3023

3x x ??=-????=13

【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。

巩固练习 计算由曲线3

6y x x =-和2

y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-

，曲线y =

x 轴所围图形的面积S.

分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形

2

x y =y x

A

B

C D O

的面积问题．与例 1 不同的是，还需把所求图形的面积分成两部分S 1和S 2．为了确定出被积函数和积分的上、下限，需要求出直线4y x =-

与曲线y =

4y x =-与 x 轴的交点．

解：作出直线4y x =-

，曲线y = 1. 7一2 阴影部分的面

积．

解方程组4

y y x ?=??=-??

得直线4y x =-

与曲线y =

8,4) .

直线4y x =-与x 轴的交点为（4,0). 因此，所求图形的面积为S=S 1+S

2

8

4

4

[(4)]x dx =+--?

?

?

33

482822044

140||(4)|23

x x x =-=. 由上面的例题可以发现，在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，

再借助图形直观确定出被积函数以及积分的上、下限．

例3.求曲线],

[sin 320π∈=x x y 与直线,,3

20π==x x x 轴所围成的图形面积。 答案： 2

33

2320

=

-=?

ππo x xdx S |cos sin ＝ 练习

1、求直线32+=x y 与抛物线2x y =所围成的图形面积。

答案：3

32

33323132

23

1=-+=--?

|))x x x dx x x S （－＋（＝

2、求由抛物线342-+-=x x y 及其在点M （0，－3） 和N （3，0）处的两条切线所围成的图形的面积。 略解：42+-=x y / ，切线方程分别为34-=x y 、

62+-=x y ，则所求图形的面积为

4

62343423

3

2

3

2＝＝

x x dx x x x S ()[()]()[(--+-+

-+---?

?

3、求曲线x y 2log =与曲线)(log x y -=42以及x 轴所围成的图形面积。 略解：所求图形的面积为

dy dy y f y g S y

??

?-=

-1

1

2

24)()()(【＝

e e y y 210224224log |)log -=?-=（

4、在曲线)0(2

≥=x x y 上的某点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为

12

1

.试求：切点A 的坐标以及切线方程.

略解：如图由题可设切点坐标为),2

00x x （为2

002x x x y -=，切线与x 轴的交点坐标为

),(02

0x

，则由题可知有22

0220

2

00-+=?

?

x x x dx x S x x x (10=∴x ，所以切点坐标与切线方程分别为12),1,1(A -=x y

总结：1、定积分的几何意义是：a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积的代数和，即

轴下方

轴上方－x x b

a

S S

dx x f =?)(.

因此求一些曲边图形的面积要可以利用定积分的几何意义以及微积分基本定理，但要

特别注意图形面积与定积分不一定相等，如函数］［０　π2,sin ∈=x x y 的图像与x 轴围成的

图形的面积为4,而其定积分为0.

2、求曲边梯形面积的方法与步骤：

（1） 画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；

（2） 对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； （3） 确定被积函数；

（4） 求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和。

3、几种常见的曲边梯形面积的计算方法： （1）x 型区域：

①由一条曲线）其中0≥=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成

的曲边梯形的面积：?

b

a

dx x f S )(＝（如图（1））；

②由一条曲线）其中0≤=)()((x f x f y 与直线)(,b a b x a x <==以及x 轴所围成

的曲边梯形的面积：?

?

b

a

b

a

dx x f dx x f S )()(＝－＝

（如图（2））；

③由两条曲线）其中，)()()(()(x g x f x g y x f y ≥==与直线)(,b a b x a x <==

所围成的曲边梯形的面积：?

b

a

dx x g x f S |)()(|－＝（如图（3））；

（2）y 型区域：

①由一条曲线）其中0≥=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的

曲边梯形的面积,可由)(x f y =得)(y h x =，然后利用?

b

a

dy y h S )(＝求出（如图（4））；

②由一条曲线）其中0≤=x x f y )((与直线)(,b a b y a y <==以及y 轴所围成的

曲边梯形的面积，可由)(x f y =先求出)(y h x =，然后利用?

?

b

a

b

a

dy

y h dy y h S )()(＝－＝求出（如图（5））；

③由两条曲线)()(x g y x f y ==，与直线)(,b a b y a y <==所围成的曲边梯形的面积，可由)()(x g y x f y ==，先分别求出)(y h x 1=，)(y h x 2=，然后利用?

b

a

dy y h y h S |)()(|21－＝求出（如图（6）

）；

2．求平面曲线的弧长

设曲线AB 方程为()()y f x a x b =≤≤，函数()f x 在区间[,]a b 上可导，且'()f x 连续，则曲线AB 的弧长为

a

l =?

.

3．求旋转体的体积和侧面积

由曲线()y f x =，直线,x a x b ==及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成的旋转体体积为

2[()]b

a

V f x dx π=?.

其侧面积为

2(b

a

S f x π=?侧.

（二）、定积分在物理中应用（第二课时）

(1)求变速直线运动的路程 我们知道，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) ≥0) 在时间区间[a,b]上的定积分，即()b

a

s v t dt =

?

例 4。一辆汽车的速度一时间曲线如图1.7 一3 所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 解：由速度一时间曲线可知：

3,010,()30,10401.590,4060.t t v t t t t ≤≤??

=≤≤??-+≤≤?

因此汽车在这 1 min 行驶的路程是：

10

40

60

010403[30( 1.590)s tdt dt t dt =++-+???21040

2600104033|30|(90)|1350()24

t t t t m =++-+= 答：汽车在这 1 min 行驶的路程是 1350m .

2．变力作功 一物体在恒力F （单位：N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移（单位：m)，则力F 所作的功为W=Fs .

探究

如果物体在变力 F(x ）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a

与求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题．可以得到

()b

a

W F x dx =?

例5．如图1·7一4 ，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置lm 处，求克服弹力所作的功．

解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力 F ( x ）与弹簧拉伸（或压缩）的长度 x 成正比，即 F ( x ）= kx ,

其中常数 k 是比例系数． 由变力作功公式，得到

22

0011|()22

l

l W kxdx x kl J ==

=?

答：克服弹力所作的功为2

12kl J .

例6．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站B 开往站，电车开出ts 后到达途中C 点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C 点的速度为24m/s ，从C 点到B 点前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经ts 后，速度为（24-1.2t ）m/s ，在B 点恰好停车，试求

（1）A 、C 间的距离；（2）B 、D 间的距离；（3）电车从A 站到B 站所需的时间。 分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分,即?

b

a

dt t v S )(＝

略解：（1）设A 到C 的时间为t 1则1.2t=24, t 1=20(s),则AC ＝?

==20

20

022406021)(|..m t tdt

（2）设D 到B 的时间为t 21则24-1.2t 2=0, t 21=20(s), 则DB ＝

?

==20

20

022********)(|..m t dt t ）－（

（3）CD=7200-2?240=6720(m),则从C 到D 的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320

（s ）

例3：如果1N 能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm ，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J

略解：设kx F =，则由题可得010.=k ，所以做功就是求定积分1800106

..=?

xdx 。

四：课堂小结

本节课主要学习了利用定积分求一些曲边图形的面积与体积，即定积分在几何中应用，以及定积分在物理学中的应用，要掌握几种常见图形面积的求法，并且要注意定积分的几何意义，不能等同于图形的面积，要注意微积分的基本思想的应用与理解。

五、教后反思