离散数学形成性考核作业7答案

一、填空题

1．命题公式()

→∨的真值是 1 ．

P Q P

2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (P∨Q )→R ．3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是

(P Q R)∨(P Q┐R) ．

4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为

x

P

Q

?．

x∧

(x

))

(

(

)

5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式)

x

∨

?消去量词后的等值式为

xA?

yB

)

(

(y

b

B

a

A

B

∨．

∨

A∧

a

)

(b

(

))

(

(

)

)

(

6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 0 ．

7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为

y ．

8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为

x ．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：设P：今天是晴天，

命题“今天是晴天”翻译成命题公式为P。

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游．

命题“小王去旅游，小李也去旅游”翻译成命题公式为P∧Q。

3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式．

解：设P：明天天下雪，Q：我就去滑雪．

命题“如果明天天下雪，我就去滑雪”翻译成命题公式为P→Q。

4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：设P ：他去旅游，Q ：他有时间．

命题“他去旅游，仅当他有时间”翻译成命题公式为P →Q 。

5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作．

命题“有人不去工作”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x ?∧?。

6．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 努力工作．

命题“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式为))()((x Q x P x →?

四、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）

1．命题公式P P 的真值是1．

答：不正确。因为当P 是真命题时，┐P 是假命题，当P 是假命题时，┐P 是真命题，所以┐P ∧P 是假命题，真值是0。

2．命题公式P (P Q )P 为永真式．

答：正确。因为┐P ∧（P →┐Q ）P Q P P ???∨?∧??)(，┐P ∨P 1?，所以命题公式是永真式。

3．谓词公式))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?是永真式．

答：正确。因为))(),(()(x xP y x yG x xP ?→?→?))(),(()(x xP y x yG x xP ?∨??→??

)(),()())(),(()(x xP y x yG x xP x xP y x yG x xP ?∨??∨????∨??∨??? 1),(1),())()((???∨???∨?∨???y x yG y x yG x xP x xP 。

所以命题公式是永真式。

4．下面的推理是否正确，请给予说明．

(1) (x )A (x ) B (x ) 前提引入

(2) A (y ) B (y ) US (1)

答：不正确。因为x ?的辖域是)(x A ，不包含)(x B ，所以根据全称量词消去规则，只能得到)()(x B y A ∧，而不能得到)()(y B y A ∧。

四．计算题

1． 求P Q R 的析取范式，合取范式、主析取范式，主合取范式．

解：4M R Q P R Q P ?∨∨??∨→Θ

所以P Q R 的析取范式为R Q P ∨∨?，

合取范式为)(R Q P ∨∨?，

主合取范式为)(R Q P ∨∨?，即4M 。

则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨，

2．求命题公式(P Q )(R Q ) 的主析取范式、主合取范式．

解：)()()()()()(Q R Q P Q R Q P Q R Q P ∨∨?∧??∨∨∨??∨→∨Θ

1)()1()()()(∧∨∨??∨∧∨∨??∨∨?∧∨∨??R Q P R Q R P Q R Q Q R P 4M R Q P ?∨∨??

所以(P Q )(R Q )的主合取范式为)(R Q P ∨∨?，即4M 。

则主析取范式为7653210m m m m m m m ∨∨∨∨∨∨，

3．设谓词公式()((,)()(,,))()(,)x P x y z Q y x z y R y z ?→?∧?．

（1）试写出量词的辖域；

（2）指出该公式的自由变元和约束变元．

解：（1）量词)(x ?的辖域为),,()(),(z x y Q z y x P ?→，量词)(z ?的辖域为),,(z x y Q ，量词)(y ?的辖域为),(z y R ；

（2）该公式的自由变元为z y ,，y 自由出现2次，z 自由出现1次，约束变元为z y x ,,，x 约束出现2次，z y ,各约束出现1次。

4．设个体域为D ={a 1, a 2}，求谓词公式y xP (x ,y )消去量词后的等值式；

解：谓词公式y xP(x,y)消去量词后的等值式为：??∧?),(),(21a x xP a x xP )),(),(()),(),((22211211a a P a a P a a P a a P ∨∧∨

五、证明题

1．试证明 (P (Q R ))P Q 与 (P Q )等价．

证明：Q P R Q P Q P R Q P ∧?∧?∨∨??∧?∧?∨→))(())((

)()))(((Q P Q P Q P R Q P ?∨??∧??∧?∧?∨∨??

所以，(P

(Q R ))P Q 与 (P Q )等价

2．试证明(x )(P (x ) R (x ))(x )P (x ) (x )R (x )．

证明：(1) (x )(P (x ) R (x )) P

(2) P (c) R (c) ES(1)

(3) P(c) T (2) E

(4) R(c) T (2) E (5) (x )P (x ) EG(3) (6) (x ) R (x ) EG(4) (7) (x )P (x ) (x )R (x ) T (5) (6) E

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