高中数学选修1-2第三章推理与证明1归纳与类比12类比推理

1.2 类比推理

一、教学目标

1.知识与技能：（1）结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义；

（2）能利用类比进行简单的推理；

（3）体会并认识类比推理在数学发现和生活中的作

用。

2.方法与过程：递进的了解、体会类比推理的思维过程；体验类比法在

探究活动中：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的

关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。

3.情感态度与价值观：体会类比法在数学发现中的基本作用：即通过类

比，发现新问题、新结论；通过类比，发现解决问题的新方法。培养分

析问题的能力、学会解决问题的方法；增强探索问题的信心、收获论证

成功的喜悦；体验数学发现的乐趣、领略数学方法的魅力！同时培养学

生学数学、用数学，完善数学的正确数学意识。

二、教学重点：了解类比推理的含义，能利用类比进行简单的推理。

教学难点：培养学生“发现—猜想—证明”的推理能力。

三、教学方法：探析归纳，讲练结合

四、教学过程

（一）复习：归纳推理的概念：根据一类事物中部分事物具有某

种属性，推断该类事物中每一个事物都具有这种属性。我们将这种推理

方式称为归纳推理。

注意：利用归纳推理得出的结论不一定是正确的。

1.归纳推理的要点：由部分到整体、由个别到一般；

2.典型例子方法归纳。

（二）引入新课：据科学史上的记载，光波概念的提出者，荷兰物

理学家、数学家赫尔斯坦?惠更斯曾将光和声这两类现象进行比较，发

现它们具有一系列相同的性质：如直线传播、有反射和干扰等。又已知

声是由一种周期运动所引起的、呈波动的状态，由此，惠更斯作出推

理，光也可能有呈波动状态的属性，从而提出了光波这一科学概念。惠更斯在这里运用的推理就是类比推理。

（三）例题探析

例1：已知：“正三角形内一点到三边的距离之和是一个定值”，将空间与平面进行类比，空间中什么样的图形可以对应三角形？在对应图形中有与上述定理相应的结论吗？

解：将空间与平面类比，正三角形对应正四面体，三角形的边对应四面体的面。得到猜测：正四面体内一点到四个面距离之和是一个定值。

例2：根据平面几何的勾股定理，试类比地猜测出空间中相应的结论。

解：平面中的直角三角形类比到空间就是直四面体。如图，在四面体P-ABC中，平面PAB、平面PBC、平面PCA两两垂直

勾股定理：斜边长的平方等于两个直角边的平方和。

类比到空间就是：△ABC面积的平方等于三个直角三角形面积的平方

和。

即：

在上述各例的推理过程中，都有共同之处：由于两类不同对象具有

某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类

对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比

推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的

经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测

出某些结果的推理方式。

(四) 巩固练习：

练习1已知实数加法满足下列运算规律：（1）；

（2）．

类比实数的加法运算律，列出实数的乘法与加法相似的运算律．

练习2 我们已经学过了等差数列,是否想到过等和数列?

(1)类比“等差数列”给出“等和数列”定义；

(2)探索等和数列的奇数项和偶数项有什么特点；

练习3若数列是等差数列，且则也是等差数列。类比上述性质，相应

地，数列是等比数列，且，，则也是等比数列（以上）

练习4在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正

确结论是：在四面体中，若两两互相垂直，，则四面体的外接球半径( )

A． B． C． D．

练习5类比解答（1）（2）：（1）求证：；

（2）设为非零常数，且试问：是周期函数吗？证明你的结论。

（五）小结：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理。

注意：利用类比推理得出的结论不一定是正确的。归纳推理和类比推理是最常见的合情推理。合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论（定义、公理、定理等），推测出某些结果的推理方式。

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理。

（六）作业：1.课本P57练习：2．课本。P57习题3-1：4,5

五、教后反思：

高中数学选修2-2推理与证明直接证明与间接证明

2.2.1综合法和分析法 [学习目标] 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法与综合法.2.了解分析法和综合法的思维过程和特点.3.会用分析法、综合法证明实际问题. 知识点一综合法 1.定义一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法. 2.基本模式综合法的证明过程如下：已知条件?…?…?结论即用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图可表示为： P?Q1→Q1?Q2→Q2?Q3→…→Q n?Q 3.综合法的证明格式因为…，所以…，所以…，…，所以…成立. 思考综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答案演绎推理. 知识点二分析法 1.分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法. 2.基本模式

用Q 表示要证明的结论，P 表示条件，则分析法可用框图表示为： Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3→…→得到一个明显成立的条件 3.分析法的证明格式要证…，只需证…，只需证…，…，因为…成立，所以…成立. 思考分析法与综合法有哪些异同点？答案相同点：两者都是直接利用原命题的条件(或结论)，逐步推得命题成立的证明方法——直接证明法.不同点：证法1，由因导果，使用综合法；证法2，执果索因，使用分析法. 题型一综合法的应用例1 已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，求证：1a ＋1 b ≥4. 证明方法一 ∵a ，b 是正数，且a ＋b ＝1， ∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤12，∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1 ab ≥4. 方法二 ∵a ，b 是正数，∴a ＋b ≥2ab >0， 1a ＋1 b ≥2 1 ab >0， ∴(a ＋b )???? 1a ＋1b ≥4. 又a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ≥4. 方法三 1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4.当且仅当a ＝b 时，取“＝”号. 反思与感悟利用综合法证明问题的步骤： (1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法. (2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路. (3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法. 跟踪训练1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2，∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)，即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等. ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.

高中数学专题讲义-直接证明与间接证明

题型一：综合法【例1】若 11 0a b <<,则下列结论不正确的是 ( ) Ａ．22a b < Ｂ．2ab b < Ｃ．2b a a b +> Ｄ．a b a b -=- 【例2】如果数列{}n a 是等差数列，则（）。（A ）1845a a a a +<+ （B ） 1845a a a a +=+ （C ）1845a a a a +>+ （D ）1845a a a a = 【例3】在△ABC 中若2sin b a B =,则A 等于( ) (A)003060或 (B)004560或 (C)0060120或 (D)0030150或【例4】下列四个命题：①若1 02 a << ,则()()cos 1cos 1a a +<-;②若01a <<,则11a -1a >+>2a ;③若x 、y ∈R ，满足2y x =,则()2log 22x y +的最小值是7 8；④ 若a 、b ∈R ，则221a b ab a b +++>+。其中正确的是（）。 (A) ①②③ (B) ①②④ (C) ②③④ (D) ①②③④ 【例5】下面的四个不等式：①ca bc ab c b a ++≥++222；②()4 1 1≤ -a a ；③2≥+a b b a ；④()()()2 2222bd ac d c b a +≥+?+.其中不成立的有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个【例6】已知,a b R ∈且,0a b ≠，则在① ab b a ≥+222；②2≥+b a a b ；典例分析板块二.直接证明与间接证明

③2 )2 (b a ab +≤；④2)2(222b a b a +≤+这四个式子中，恒成立的个数是（） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个【例7】已知c b a ,,均大于1，且4log log =?c b c a ，则下列各式中，一定正确的是（） A b ac ≥ B c ab ≥ C a bc ≥ D c ab ≤ 【例8】已知不等式1()()9,a x y x y ++≥对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值是（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【例9】α、β为锐角()sin a αβ=+，sin sin b αβ=+，则a 、b 之间关系为（） A ．a b > B ．b a > C ．a b = D ．不确定【例10】设M 是ABC ?内一点，且AB AC ?=u u u r u u u r 30BAC ∠=?，定义()(,,)f M m n p =，其中m 、n 、p 分别是MBC ?，MCA ?，MAB ?的面积，若1 ()(,,)2 f P x y =，则14x y + 的最小值是（） A ．8 B ．9 C ．16 D ．18 【例11】若函数32)1(2++-=mx x m y 是偶函数，则)4 3(-f ，)1(2+-a a f （a ∈R ）的大小关系是)4 3(-f )1(2+-a a f . 【例12】设≥++=++>>>c b a c b a c b a 111 ,1,0,0,0则若【例13】函数()y f x =在（0，2）上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则 ()1f ,()2.5f ,()3.5f 的大小关系是 . 【例14】已知 5,2==b a ρρ，向量b a ρρ与的夹角为0 120，则a b a ρρρ．)2(-=

高二数学归纳推理演绎推理

3月5日高二理科数学测试题 1．由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，球心与切点连线与平面垂直，用的是（） A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理 D ．传递性推理 2．下列正确的是（） A ．类比推理是由特殊到一般的推理 B ．演绎推理是由特殊到一般的推理 C ．归纳推理是由个别到一般的推理 D ．合情推理可以作为证明的步骤 3．下面几种推理中是演绎推理．．．．的序号为（） A ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=； B ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电； C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质； D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= ． 4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等”，补充以上推理的大前提是 ( ) A ．正方形都是对角线相等的四边形 B ．矩形都是对角线相等的四边形 C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形 D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5．设 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x)＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N ，则f 2009(x )＝( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos x D ．－cos x 6．命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( ) A ．使用了归纳推理 B ．使用了类比推理 C ．使用了“三段论”，但大前提使用错误 D ．使用了“三段论”，但小前提使用错误 7.观察下列等式： 1－； 1－；1－ ...... 据此规律，第n 个等式可为______________________. 8.观察下列等式：,……，根据上述规律，第五个等式为 ______________________. 1122=1111123434+-=+1111111123456456+-+-=++332123,+=3332 1236,++=33332123410+++=

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题考试时间120分钟总分150分一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（）颗珠宝。第2件第3件第1件

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结第一部分合情推理学习目标: 了解合情推理的含义(易混点）理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢,第二个图有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__．【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤：第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想．思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

高中数学四大推理方法巧解证明题

高中数学四大推理方法巧解证明题高中数学四大推理方法巧解证明题高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。一、合情推理法在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。二、演绎推理法对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。

三、间接和直接证明法（一）直接证明法直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。（二）间接证明法间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。四、归纳推理法同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况

高中数学数学归纳法

13.4 数学归纳法一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不等式是________．解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________．解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳

高二数学选择进修2-2第二章推理与证明

高二数学选修2-2第二章推理与证明 1、下列表述正确的是（）. ①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A ．①②③； B ．②③④； C ．②④⑤； D ．①③⑤. 2、下面使用类比推理正确的是（）. A.“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?” C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“ a b a b c c c +=+ （c ≠0） ” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线 b ?/平面α，直线a ≠ ?平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（） A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 4、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。 (A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 5、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 6、利用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1=a a n --+112 ， (a ≠1，n ∈N)”时，在验证n=1 成立时，左边应该是（） (A)1 (B)1＋a (C)1＋a ＋a 2 (D)1＋a ＋a 2＋a 3 7、某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时

高中数学选修2-2推理与证明教(学)案及章节测试及答案

推理与证明一、核心知识 1.合情推理（1）归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。（2）类比推理的定义：根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理 (1)定义：演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。 (2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段论”可以表示为：①大前题：M 是P②小前提：S 是M ③结论：S 是 P。其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。 3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。（1）综合法就是“由因导果” ，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。（2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。（2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；②从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③从矛盾判定假设不正确，即所求证命题正

高一数学直接证明与间接证明练习题

推理与证明综合测试题一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）Ａ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．等价条件答案：Ａ 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（）Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数Ｄ．n 为正偶数答案：Ｃ 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（）Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．不确定答案：Ｃ 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述

性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（）Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 答案：Ｂ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥，（2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（）Ａ．(1)与(2)的假设都错误Ｂ．(1)与(2)假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：Ｄ 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，2221117 12344 +++<，，则可归纳出式子为（）Ａ．22211 111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ．22 211111(2)2321 n n n + +++ <+≥

苏教版数学高二- 选修2-2试题《合情推理—归纳推理》(1)

2.1.1 合情推理—归纳推理同步检测一、基础过关 1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________ 2．f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f(2)＝32，f(4)>2，f(8)>52，f(16)>3，f(32)>7 2，推测当n≥2时，有________． 3．已知sin 230°＋sin 290°＋sin 2150°＝32，sin 25°＋sin 265°＋sin 2125°＝3 2. 通过观察上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题：____________________. 4．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33＝________. 5．数列－3,7，－11,15，…的通项公式是________．二、能力提升 6．设x ∈R ，且x≠0，若x ＋x － 1＝3，猜想x2n ＋x －2n (n ∈N *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________． 8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________． 9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题． (1)按照要求填表：

n 1 2 3 4 … S n 1 3 6 … (2)S 10＝________.(3)S n 10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测： (1)b 2 012是数列{a n }中的第______项； (2)b 2k －1＝________.(用k 表示) 11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1 S n ＋2＝0(n≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式． 12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． (1)3条直线最多将平面分成多少部分？ (2)设n 条直线最多将平面分成f(n)部分，归纳出f(n ＋1)与f(n)的关系； (3)求出f(n)．三、探究与拓展 13．在一容器内装有浓度r%的溶液a 升，注入浓度为p%的溶液1 4a 升，搅匀后再倒出溶液1 4a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式．

选修1 2推理与证明

选修1 2推理与证明选修1 2推理与证明选修1 2推理与证明考纲导读（一）合情推理与演绎推理 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。（二）直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。 2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。（三）数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。高考导航 1.推理与证明的内容是高考的新增内容，主要以选择填空的形式出现。 2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。 1、由数列1，10，100，1000，……猜测该数列的第n项可能是( ) A.10n; B.10n-1; C.10n+1; D.11n.

2、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等;③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 A.①; B.①②; C.①②③; D.③。 3、下列表述正确的是( ) ①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理;⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。 A.①②③; B.②③④; C.②④⑤; D.①③⑤。 4、演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法( ) A.一般的原理原则; B.特定的命题; C.一般的命题; D.定理、公式。 5、实数a、b、c不全为0的条件是( ) A.a、b、c均不为0; B.a、b、c中至少有一个为0; C.a、b、c至多有一个为0; D.a、b、c至少有一个不为0。 6、设m≠n，x=m4-m3n，y=n3m-n4，则x与y的大小关系为( ) A.x>y; B.x=y; C.x 来源网络搜集整理，仅作为学习参考，请按实际情况需要自行编辑

2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练

福利：本教程由捡漏优惠券（https://www.360docs.net/doc/655612834.html, ）整理提供领红包：支付宝首页搜索“527608834”即可领取支付宝红包哟领下面余额宝红包才是大红包，一般都是5-10元支付的时候把选择余额宝就行呢每天都可以领取早餐钱哟！ 2020年高考理科数学《推理与证明》题型归纳与训练合情推理与演绎推理题型一归纳推理 1 与数字有关的等式的推理【易错点】例1观察下列等式： ????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43 ×1×2； ????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43 ×4×5； … 照此规律，????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋????sin 3π2n ＋1－2＋…＋??? ?sin 2n π2n ＋1－ 2＝__________. 【答案】 4 3 ×n ×(n ＋1) 【解析】观察等式右边的规律：第1个数都是4 3，第2个数对应行数n ，第3个数为n ＋1. 2 与不等式有关的推理例2已知a i >0(i ＝1,2,3，…，n )，观察下列不等式： a 1＋a 2 2≥a 1a 2； a 1＋a 2＋a 33≥3 a 1a 2a 3； a 1＋a 2＋a 3＋a 44≥4 a 1a 2a 3a 4； … 照此规律，当n ∈N *，n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n n ≥______. 【答案】 n a 1a 2…a n

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理

2019-2020年高中数学选修1-2合情推理教学目标：结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用教学过程一、引入新课 1归纳推理 (一)什么是归纳推理归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现它能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，“这种草能治好某一种病。”这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。 (二)归纳推理与演绎推理的区别和联系归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。 (三)观察与实验归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，

高中数学四大推理方法巧解证明题.doc

高中数学四大推理方法巧解证明题- 高中数学是数学各种基础知识的总结和归纳，同时也是以前所学到的数学知识的深化和检验。针对高中数学的这一特性，可以通过四大推理方法来进行证明题的解答，不但可以掌握数学知识脉络，也可以把所学到的知识上升到思维层面，使自己可以综合运用数学知识，达到学以致用的目的。一、合情推理法在高中数学证明题的解答过程中使用合情推理，有着比较重要的作用以及影响。比较常用的合情推理法就是类比推理法，这是一种从特殊转向特殊的推理方法，两种类似对象间的推理，一个对象有着某个性质，而另一个对象同时也有类似性质。进行类比时，对已知对象性质推理的过程进行充分的考虑，之后类比推导出类比对象性质。高中数学知识的结构很复杂，难度也比其他学科大，而通过合情推理法，并结合多种的思维方法，使学生可以进行思考和分析，也培养了学生对于数学学习的兴趣，提高了学生数学的学习能力。所以，合情推理法是一种很好的解答高中数学证明题的方法。二、演绎推理法对于演绎推理法来说，这是一种从一般转向特殊的推理方法，高中数学证明题的证明过程大都是通过演绎推理来证明的，保证演绎推理的前提以及形式正确，就能保证结论是正确的，同时要注意推理的过程具有正确性以及完备性。三、间接和直接证明法（一）直接证明法直接证明法比较常见的就是综合法以及分析法。其中，综

合法就是利用已知的条件以及数学定理和公理等，进行推理论证，之后推导出结论成立。综合法也被称作为顺推证法或者由因导果法。而分析法是从结论出发，对结论充分成立的条件进行逐步的寻求，把结论归纳总结成明显成立的一个条件。（二）间接证明法间接证明法比较常用的就是反证法，其证明步骤为首先反设，之后归谬，最后存真。首先假设结论不成立，就是把结论反面假设为真，之后的归谬就是在己知条件和反设背景下推理，得出同假设命题相矛盾的结论，最后的存真就是由归谬得出的结果进行反设命题不真的断定，来说明原先结论是成立的。四、归纳推理法同上述的推理方法相比较来说，归纳推理法注重对高中数学知识总体的规划，总结和归纳所学到知识。我们都知道，高中数学的知识点比较多，每个知识点之间都有着一定的关系，一道证明题中，可能存在几个知识点，如果同学们不能归纳知识的话，短时间内就不能看出题目中知识点之间的联系，就会严重影响题目的解答。在高中数学的证明题目中，虽然有限的研究对象比较常见，但是，更为常见的是研究对象众多，一些特定的情况下研究对象可能是无穷的，同学们很难找到突破口。如果同学们把研究对象根据形成的情况进行分类，之后根据分类在进行证明，假如每种情况都可以得到证明，那么所得到的结论就必然是正确的，这种分类证明、归纳方法，可以使同学们找到突破口，从而使证明题得到解答。结束语：在数学证明题的实际解答过程中，要根据题目的具体情景

归纳推理-高中数学知识点讲解

归纳推理 1．归纳推理【知识点的认识】 1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}， ?1具有属性? 具有属性?} ? ? ??类事物中的每一个对象都可能具有属性? ? 2．特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题． 3．作用：（1）获取新知，发现真理；（2）说明和论证问题．【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论． 1/ 4

（1）考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．例 1：下列表述正确的是（） ①归纳推理是由部分到整体的推理； ②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理； ④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理． A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤ 分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D 点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例 2：下列推理是归纳推理的是（） A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线 B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式 ?2 ?2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+ ?2 ?2 =1的面积 S＝πab D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断． 2/ 4

高中数学-推理与证明

推理与证明一、合情推理 1.归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的全部对象都具有这种性质的推理叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理（1）特点：由部分到整体、由个别到一般（2）归纳推理的思维过程大致如图：实验、观察概括、推广猜测一般性结论（3）归纳推理的特点： ○1归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象○2由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具 ○3归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题 2.类比推理：根据两类事物之间具有某些类似(一致)性，推测一类事物具有另一类事物类似(或相同)的性质的推理（1）特点：由特殊到特殊（2）类比推理的一般步骤: ○1找出两类事物的相似性或一致性 ○2用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) ○3一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的 ○4一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠（3）共性：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理二、演绎推理 1.定义：由概念的定义或一些真命题，依照一定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常

叫做演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理 2.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：（1）大前提——已知的一般原理（2）小前提——所研究的特殊情况（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断三、直接证明直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法 1.综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法（1）特点：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件（2）步骤的符号表示：P0(已知)?P1?P2?P3?P4(结论) 2.分析法：从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法（1）特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件（2）步骤的符号表示：B(结论)?B1?B2…?B n?A(已知) 四、间接证明：间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法 1.反证法的定义：一般地，由证明p?q 转向证明：非q?r?…?t，t 与假设矛盾，或与某个真命题矛盾，从而判定非q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法 2.用反证法证明的一般步骤：（1）反设——假设命题的结论不成立（2）归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止（五）结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立五、数学归纳法：它是一个递推的数学论证方法 1.证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n 取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立