反函数和反三角函数(最新)课件

三角函数,反三角函数公式大全

三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A = A tan 12tanA 2 - Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2 A )= A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cos b = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgB=sin(A+B)/sinAsinB 积化和差 sinasinb = - 21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1 [cos(a+b)+cos(a-b)]

分段函数及反函数教案

第 16次课 学生： 蒋昊秋 授课时间: 2012 年 7 月 28 日 10 ： 00 --- 12 ： 00 教师 唐文 审核教师 授课课题 解函数解析式 一、 授课目的与考点分析： 1． 会用待定系数法以及配凑法求函数解析式 2． 会求分段函数定义域及值域。 3． 掌握反函数的性质，会求反函数。 二、 授课内容： 一：函数解析式的常用方法： 1、直接法：由题给条件可以直接寻找或构造变量之间的联系。 例1. 已知函数y ＝f （x ）满足xy ＜0，4x 2－9y 2＝36，求该函数解析式。 说明：这是一个分段函数，必须分区间写解析式，不可以写成 229 3 x y -=± 的形式。 2、待定系数法：由题给条件可以明确函数的类型，从而可以设出该类型的函数的一般式，然后再求出各个参变量的值。 例2. 已知在一定条件下，某段河流的水流量y 与该段河流的平均深度x 成反比，又测得该段河流某段平均水深为2m 时，水流量为340m 3/s ，试求该段河流水流量与平均深度的函数关系式。 变式.已知()f x 为二次函数，过原点，且f(1)=3, f(3)=6,求()f x 的解析式 。 说明：二次函数的表达形式有三种：一般式：2 ()f x ax bx c =++；顶点式：2 ()()f x a x m n =-+；零点式： 12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。 3、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将内函数用一个变量代换。 例3. 已知2211 ()x x x f x x +++= ，试求()f x 。 说明：要注意转换后变量范围的变化，必须确保等价变形。 变式：（1）已知,sin )cos 1(2 x x f =-求()2 x f 的解析式 起航学校个性化辅导教案提纲

三角和反三角函数图像

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)

人教版数学高一-新课标 反函数 精品教学设计

课时教案 年 月 日 第 周 星 期 执教人 学 科 数学 高中 年级 班 课 题 2.2.3反函数 课 型 新授课 教 学 目 标 学习反函数的概念，理解对数函数和指数函数互为反函数，能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质 重 点 难 点 反函数的概念，对数函数和指数函数互为反函数 反函数的概念 教 学 用 具 教 学 主 线 教 学 过 程 一、课前预习、复习 阅读以下内容： 材料一： 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P 与生物死亡年数t 之间的关系．回答下列问题： （1）求生物死亡t 年后它机体内的碳14的含量P ，并用函数的观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （2）已知一生物体内碳14残留量为P ，试求该生物死亡的年数t ，并用函数观点来解释P 和t 之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？ （3）这两个函数有什么特殊的关系？ （4）用映射的观点来解释P 和t 之间的对应关系是何种对应关系？ （5）由此你能获得怎样的启示？ 材料二： 探究：如何由x y 2=求出x ？ 分析：函数2log x y =由2x y =解出，是把指数函数2x y =中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x 表示自变量，y 表示函数，即写为x y 2log =。 由对数函数的定义可知，对数函数x y 2log =是把指数函数x y 2 =中的自变量与因变量对调位置而得出的，在列表画x y 2log =的图象时，也是把指数函数x y 2=的对应值表里的x 和y 的数值对换，而得到对数函数x y 2log =的对应值表，如下： 表一 x y 2= x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … … 表二 x y 2log = 引导学生分析归纳，总结概括得出结论： （1）P 和t 之间的对应关系是一一对应； （2）P 关于t 是指数函数 t P ??? ? ??=573021； t 关于P 是对数函 数 x t 5730 2 1log =， 它们的底数相同，所描述的都是碳14的衰变过程中，碳14含量P 与死亡 年数t 之间的对应 关系； （3） 本问题中的同底数的指数函数和对数函数，是描述同一种关系（碳14含量 P 与死亡年 数t 之间的对应关系）的不同数学模型．

反函数怎么表示【整理反函数数学教案】

反函数怎么表示【整理反函数数学教案】 反函数数学教案数学教案【数学教案】教学目标1.使学生了解 反函数的概念；2.使学生会求一些简单函数的反函数；3.培养学生 用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 教学重点1.反函数的概念；2.反函数的求法。 教学难点反函数的概念。 教学方法师生共同讨论教具装备幻灯片2张第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）；第二张：本课时作业中的预习 内容及提纲。 教学过程（I）讲授新课（检查预习情况）师：这节课我们来学 习反函数（板书课题）§2.4.1反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？生：（略）（学生回答 之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点：（1）根据y=f(x)中x与y的 关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）；（2）对于y在c中的 任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。 师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y=f(x)中与y=f-1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前 者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位 不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。）在y=f(x)中与y=f–1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，

即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是 后者中的y,前者中的y是后者中的x。）由此，请同学们谈一下， 函数y=f(x)与它的反函数y=f–1(x)两者之间，定义域、值域存在 什么关系呢？生：（学生作答，教师板书）函数的定义域，值域分 别是它的反函数的值域、定义域。 师：从反函数的概念可知：函数y=f(x)与y=f–1(x)互为反函数。 从反函数的概念我们还可以知道，求函数的反函数的方法步骤为：（1）由y=f(x)解出x=f–1(y)，即把x用y表示出；（2）将 x=f–1(y)改写成y=f–1(x)，即对调x=f–1(y)中的x、y。 （3）指出反函数的定义域。 下面请同学自看例1（II）课堂练习课本P68练习1、2、3、4。 （III）课时小结本节课我们学习了反函数的概念，从中知道了 怎样的映射确定的函数才有反函数并求函数的反函数的方法步骤， 大家要熟练掌握。 （IV）课后作业一、课本P69习题2.41、2。 二、预习：互为反函数的函数图象间的关系，亲自动手作题中要求作的图象。 板书设计课题：求反函数的方法步骤：定义：（幻灯片）注意：小结一一映射确定的函数才有反函数函数与它的反函数定义域、值 域的关系。

三角和反三角函数图像

三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020

三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x

函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ- 2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在［2kπ+2 π ,2kπ+32π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π，kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)

反函数(教学设计)教学设计

3.7 反函数 【高教版中职（基础）数学第一册第三章3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念.有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律是至关重要的。 2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质，对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系，又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程

高中一年级数学反函数教学设计

高中一年级数学反函数教学设计 一、教材分析： 1、教材的地位与作用 “反函数”一节课是《高中代数》第一册的重要内容。这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为日后反三角函数的教学做好准备,起到承上启下的重要作用。 2、重点与难点：反函数的定义和求法 二、教学目标分析： (1)知识与技能：使学生接受、理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；使学生能够求出指定函数的反函数，并能理解原函数和反函数之间的内在联系； (2)能力与方法：培养学生发现问题、观察问题、解决问题的能力； (3)情感与态度：使学生树立对立统一的辩证思维观点。 三、学情分析： 学生已经学习了函数的基本概念和表示法，掌握了函数的基本知识，理解反函数的概念及互为反函数的两个函数的性质和特征，更有助于学生将函数的思想理解得更透彻。 四、教学过程设计 1、创设问题情境： 导入阶段的教学中，抓住反函数也是函数这一实质，以对函数概念的复习来引出反函数。指明函数是一种映射的实质，分析原函数中映射的具体情况，进而引导学生考虑，若将定义域、值域互换，此时映射还是不是一个函数呢？ 首先提问学生函数基本概念，使学生明白函数是一种单值对应，即映射。再出示电脑动画，以函数y=2x来具体分析，结合图象引导学生注意：在定义域内所有自变量，都能在值域内找到唯一确定的一个函数值，即存在x→y的单值对应，例如：１→２，２→４，３→６，……若将定义域与值域互换，则对应变为２→１，４→２，６→３，…这种对应是否构成单值对应，即映射呢？这种对应是否构成函数呢？至此，引出反函数的概念，为概念的新授做好准备。 设计意图：这样的引入方式，抓住了反函数概念的实质，确保学生不会产生概念上的偏差。此外，可以使学生明白新知识来源于旧知识，促使学生主动运用函数的研究方法去学习反函数，为顺利完成教学任务做好思维上的准备。 2、知识建构： 给出概念后，必须防止学生对于反函数f-1(y)形式的误解（以为是1/f(x)）。此外，还

三角及反三角函数

三角、反三角函数 一、考纲要求 1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。 2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。 3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。 5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+?)的简图，理解A 、w 、?的物理意义。 6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arcotx 表示。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。 8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。 二、知识结构 1.角的概念的推广： (1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。 (2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。 (3)象限角：由角的终边所在位置确定。 第一象限角：2k π＜α＜2k π+2 π ,k ∈Z 第二象限角：2k π+ 2 π ＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+2 3π ,k ∈Z 第四象限角：2k π+2 3π ＜α＜2k π+2π,k ∈Z (4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k 2360°+α，k ∈Z 。 (5)特殊角的集合： 终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝ 2 π k ，k ∈Z ｝ 终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π ，k ∈Z ｝ 终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π ，k ∈Z ｝ 终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4 π ，k ∈Z ｝ 2.弧度制： (1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。 (2)角度与弧度的互化：

函数反函数 教案

函数反函数教案 教案示例 反函数 教学目标 使学生了解反函数的概念,初步掌握求反函数的方法. 通过反函数概念的学习,培养学生分析问题,解决问题的能力及抽象概括的能力. 通过反函数的学习,帮助学生树立辨证唯物主义的世界观. 教学重点,难点 重点是反函数概念的形成与认识. 难点是掌握求反函数的方法. 教学用具 投影仪 教学方法 自主学习与启发结合法 教学过程 揭示课题 今天我们将学习函数中一个重要的概念----反函数. 反函数(板书) (一)反函数的概念(板书) 二.讲解新课 教师首先提出这样一个问题:在函数中,如果把当作因变量,把当作自变量,能否构成一个函数呢?(让学生思考后回答,要讲明理由)可以 根据函数的定义在的允许取值范围内的任一值,按照法则

都有唯一的与之相对应.(还可以让学生画出函数的图象,从形的角度解释“任一对唯一”) 学生解释后教师指出不管从哪个角度,它都是一个函数,即有反 函数,而且把这个函数称为的反函数.那么这个反函数的解析式是什么呢? 由学生回答出应为 .教师再提出它作为函数是没有问题的,但不太符合我们的表示习惯,按习惯用表示自变量,用表示因变量,故 它又可以改写成 ,改动之后带来一个新问题: 和是同一函数吗? 由学生讨论,并说明理由,要求学生能从函数三要素的角度去认识,并给出解释,让学生真正承认它们是同一函数.并把叫做的反函数.继而再提出: 有反函数吗？是哪个函数? 学生很快会意识到是的反函数,教师可再引申为 与是互为反函数的.然后利用问题再引申:是不是所有的函 数都有反函数呢?如果有,请举出例子.在教师启发下学生可以举出象这样的函数,若将当自变量,当作因变量,在允许取值范围内一个可能对两个 (可画图辅助说明,当时,对应 ),不能构成函数,说明此函数没有反函数. 通过刚才的例子,了解了什么是反函数,把对的反函数的研究过程一般化,概括起来就可以得到反函数的定义,但这个数学的抽象概括,要求比较高,因此我们一起阅读书上相关的内容. 反函数的定义:(板书)(用投影仪打出反函数的定义) 为了帮助学生理解,还可以把定义中的换成某个具体简单的函数如解释每一步骤,如得 ,再判断它是个函数,最后改写为 .给出定义后,再对概念作点深入研究. 2.对概念得理解(板书)

{高中试卷}高一上数学各知识点梳理：反函数[仅供参考]

20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：

7、反函数 一、选择题（每小题5分，共60分，请将所选答案填在括号内） 1．设函数f (x)＝1－2x 1-(－1≤x ≤0)，则函数y ＝f －1(x )的图象是（ B. － －1 O x 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2－1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．若f (x －1)= x 2－2x ＋3 (x ≤1)，则f － 1(4)等于 （ ） A ．2 B ．1－2 C ．－2 D ．2－2 4．与函数y=f (x)的反函数图象关于原点对称的图象所对应的函数是 （ ） A ．y=－f (x ) B ．y= f -1(x ) C ．y =－f -1(x ) D ．y =－f -1(－x ) 5．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为 （ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 6．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于 （ ） A ．a B ．1 a - C ． b D ．1 b - 7．已知函数()1 3 ax f x x += -的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 8．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ） A ．有且只有一个实数根 B ．至少有一个实数根 C ．至多有一个实数根 D ．没有实数根 9．函数f (x )=－ 2 2 ·12-x (x ≤－1)的反函数的定义域为 （ ） A ．(－∞，0］ B ．(－∞，＋∞) C ．(－1，1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 10．若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点 （ ） A ．(－1，4) B ．(－4，－1) C ．(－1，－4) D ．(1，－4)

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质

反三角函数的概念和性质 一．基本知识： 1．正确理解反三角函数的定义，把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系； 2．掌握反三角函数的定义域和值域，y＝arcsin x, x∈[－1, 1], y∈[－，], y＝arccos x, x∈[－1, 1], y∈[0, π], 在反三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围； 3．符号arcsin x可以理解为[－，]上的一个角或弧，也可以理解为区间[－，]上的一个实数；同样符号arccos x可以理解为[0，π]上的一个角或弧，也可以理解为区间[0，π]上的一个实数； 4．y＝arcsin x等价于sin y＝x, y∈[－，], y＝arccos x等价于cos y＝x, x∈[0, π], 这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；

1)∈(0, π), arccos(－)∈[0, π], (D)中，arctg(tgπ)∈[－, ], 而π[－ ，], ∴ (A)(B)(D)都不正确。 例二．下列函数中，存在反函数的是（D）。 （A）y＝sin x, x∈[－π, 0]（B）y＝sin x, x∈[, ] （C）y＝sin x, x∈[,] （D）y＝sin x, x∈[,] 解：本题是判断函数y＝sin x在哪个区间上是单调函数，由于y＝sin x在区间[,]上是单调递减函数，所以选D。 例三． arcsin(sin10)等于（C）。 （A）2π－10 （B）10－2π（C）3π－10 （D）10－3π 解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10相

高中数学《反函数》教案

课 题：2.4.1 反函数（一） 教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数 教学重点：反函数的定义和求法 教学难点：反函数的定义和求法 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教材分析： 反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握 教学过程： 一、复习引入： 我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v s t = ，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0. 又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32 -=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32 -= y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R. 综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v s t = ；由函数62+=x y 得出

三角、反三角函数图像及性质与三角公式

三角、反三角函数图像 (附：资料全部来自网络，仅对排版做了改动，以方便打印及翻阅，其中可能出现错误，阅者请自行注意。） 1.六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 2.三角函数的图像和性质： 3.反三角函数的图像和性质： arcsinx arccosx arctanx arccotx

arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx arcsinx+arccosx=arctanx+arccotx=π/2 sin(arcsinx)=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)=x 当 x∈[-π/2, π/2] arcsin(sinx)=x x∈[0,π] arccos(cosx)=x x∈(-π/2, π/2) arctan(tanx)=x x∈(0, π) arccot(cotx)=x

三角公式总表 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⊿ = 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.同角关系： ⑴商的关系：①θtg =θθ cos sin =θθsec sin ? ②θθθ θθcsc cos sin cos ?==ctg ③θθθtg ?=cos sin ④θθθθcsc cos 1 sec ?== tg ⑤θθθctg ?=sin cos ⑥θθθ θsec sin 1 csc ?== ctg ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg ⑶平方关系：1csc sec cos sin 2 22222=-=-=+θθθθθθctg tg ⑷)sin(cos sin 22?θθθ++= +b a b a （其中辅助角?与点（a,b ）在同一象限，且 a b tg = ?） 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos(μ=±

高一数学暑假作业(20)反函数

（二十）反函数 一、选择题： 1．若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ） A 、5 B 、5- C 、15 D 、3 2．函数y =1－1-x (x ≥1)的反函数是 （ ） A ．y =(x －1)2＋1，x ∈R B ．y =(x －1)2 －1，x ∈R C ．y =(x －1)2＋1，x ≤1 D ．y =(x －1)2－1，x ≤1 3．设函数()[]() 242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ） A ．[)4,-+∞ B ．[)0,+∞ C ．[]0,4 D ．[]0,12 4．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b - 5．已知函数()13 ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ） A ．3- B ．1 C ．3 D ．1- 二、填空题： 6．若点(1,2)既在函数b ax x f += )(的图象上，又在函数f(x)的反函数)(1x f -的图象上，则_____,_____a b == 7. 若函数f (x )的图象经过点(0，－1)，则函数f (x ＋4)的反函数的图象必经过点__________。 8．已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为__ 。 9．设13,2x y x -=≥，则求反函数1()f x -=__ ______。 10．已知f (x )＝f －1(x )＝ x m x ++12(x ≠－m )，则实数m = 。 11. 点(2，1)既在函数f (x )=a b x a +1的图象上，又在它的反函数的图象上，则适合条件的数组(a ，b )有__________组。 12. 已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，1(1)f x -+=____________。

反函数教学设计教学设计.doc

3.7 反函数【高教版中职（基 础）数学第一册第三章 3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基 本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念. 有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法 严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历 将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律 是至关重要的。 2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质， 对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但 毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计 更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单 的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系， 又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们 的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3 ）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程

反三角函数公式大全

反三角函数公式大全 三角函数的反函数，是多值函数。它们是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x，反正割Arcsec x=1/cosx，反余割Arccsc x=1/sinx等，各自表示其正弦、余弦、正切、余切、正割、余割为x的角。为限制反三角函数为单值函数，将反正弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，将y为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2

arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=∏－arccotx arcsinx+arccosx=∏/2=arctanx+arccotx sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx) 当x∈〔—∏/2，∏/2〕时，有arcsin(sinx)=x 当x∈〔0,∏〕,arccos(cosx)=x x∈(—∏/2，∏/2),arctan(tanx)=x x∈(0，∏),arccot(cotx)=x x〉0,arctanx=arctan1/x,arccotx类似 若(arctanx+arctany)∈(—∏/2，∏/2),则arctanx+arctany=arctan(x+y/1-xy)

高中数学《反函数》课程教案(2)—优享文档

高中数学《反函数》课程教案（2） 定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f -1 (x) 。反函数y=f -1 (x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。（不求过深理解） 引申 一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，y=f（x），则y=f（x）的反函数为y=f -1(x)。存在反函数(默认为单值函数）的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的）。 注意：上标"?1"指的并不是幂。 在微积分里，f (n)(x)是用来指f的n次微分的。 若一函数有反函数，此函数便称为可逆的（invertible）。 性质 （1）函数f（x）与它的反函数f-1（x）图象关于直线y=x对称； 图1 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y=f(x)，定义域是{0} 且f(x)=C （其中C是常数），则函数f(x)是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}, 值域为{0} ）。奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 （5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数； （6）反函数是相互的且具有唯一性； （7）定义域、值域相反，对应法则互逆（三反）； （8）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））； （9）反函数的导数关系：如果x=f(y）在区间I上单调，可导，且f'（y)≠0，那么它的反函数y=f'（x)在区间S={x|x=f(y),y属于I }内也可导，且[f'（x)]'=1\[f'（x）]'。 （10）y=x的反函数是它本身。

高中数学反函数教案

高中数学反函数教案 1.使学生了解反函数的概念； 2.使学生会求一些简单函数的反函数； 3.培养学生用辩证的观点观察、分析解决问题的能力。 1.反函数的概念； 2.反函数的求法。 反函数的概念。 教学方法 师生共同讨论 幻灯片2张 第一张：反函数的定义、记法、习惯记法。（记作A）； 第二张：本课时作业中的预习内容及提纲。

（I）讲授新课 （检查预习情况） 师：这节课我们来学习反函数（板书课题）§2.4.1 反函数的概念。 同学们已经进行了预习，对反函数的概念有了初步的了解，谁来复述一下反函数的定义、记法、习惯记法？ 生：（略） （学生回答之后，打出幻灯片A）。 师：反函数的定义着重强调两点： （1）根据y= f(x)中x与y的关系，用y把x表示出来，得到x=φ（y）； （2）对于y在c中的任一个值，通过x=φ（y），x在A中都有惟一的值和它对应。

师：应该注意习惯记法是由记法改写过来的。 师：由反函数的定义，同学们考虑一下，怎样的映射确定的函数才有反函数呢？ 生：一一映射确定的函数才有反函数。 （学生作答后，教师板书，若学生答不来，教师再予以必要的启示）。 师：在y= f(x)中与y= f -1(y)中的x、y，所表示的量相同。（前者中的x与后者中的x都属于同一个集合，y也是如此），但地位不同（前者x是自变量，y是函数值；后者y是自变量，x是函数值。） 在y= f(x)中与y= f –1(x)中的x都是自变量，y都是函数值，即x、y在两式中所处的地位相同，但表示的量不同（前者中的x是后者中的y,前者中的y是后者中的x。） 由此，请同学们谈一下，函数y= f(x)与它的反函数y= f –1(x)两者之间，定义域、值域存在什么关系呢？

反函数(教学设计解读

3.7 反函数 南市区职教中心宋红燕 【高教版中职（基础）数学第一册第三章3.7“反函数”第一节】 一、教材与学生的数学现实分析 1．现在的世界已进入信息时代，计算机和互联网迅速普及，计算机科学和信息科学蓬勃发展，由此促使了离散教学的地位日益上升，于是映射成了数学中最基本的概念之一。映射也是日常生活中许多现象的抽象，中学生学习映射的概念.有多方面的用处，本教材就是运用映射的观点阐述反函数的概念，给出了反函数的求法，与传统的方法不同，我们的创新，使得反函数概念的本质容易理解，反函数的求法严谨且易于掌握。所以，抓住反函数这一典型课题，通过科学的设计，使学生亲历将映射的观念惯穿始终的由特殊抽象到一般思维过程，感受知识的形成与发展规律是至关重要的。 2．此前学生已经学习了映射的基本概念，同时也学习了函数的基本性质，对于理论性的研究有了初步的尝试，有了一定得分析、对比、抽象概括的能力，但毕竟以前接触的函数等知识较为简单，而反函数的知识较为抽象，因此本节的设计更加具体、细致、突出学生的主动认知性。 3．考虑到中学生基础较差，辨析与理解力较低。所以本节应用两个较简单的例子引入，而且应用了“对应法则”这个很熟悉的词来寻找互为反函数的关系，又将其应用至求反函数的整个过程中，使学生原本厌学的情绪有所转化，激发他们的学习兴趣，进一步培养他们的学习能力。 通过以上分析，可得出： 1）学习重点和难点：重点是反函数概念的理解、应用和在代数中有着重要和广泛应用的由特殊到一般的化归思想；难点是反函数概念的理解。 2）教学方法：引导类比探索法，从具体到抽象，让学生充分感受和理解知识的发生、发展过程，展开学生的思维，培养学生抽象概括能力。 3）教学工具：多媒体教学 二、教学目标 知识目标：（1）对反函数概念的理解。 （2）给定函数的反函数的求法。 能力目标：让学生亲自体验知识的形成过程，加深对知识及其内在联系的理解，并进一步强化映射、函数知识的应用。培养学生的逻辑推理、逆向思维、 发散思维、综合归纳的能力。 情感目标：（1）培养学生对立统一的辩证唯物主义观点。 （2）在民主、和谐的教学气氛中，促进师生的情感交流。 三、教学过程