量子力学IWOP技术发展表象变换理论
量子力学发展简史
量子力学发展简史 摘要: 相对论是在普朗克为了克服经典理论解释黑体辐射规律的困难,引入能量子概念的基础上发展起来的,爱因斯坦提出光量子假说、运用能量子概念使量子理论得到进一步发展。玻尔、德布罗意、薛定谔、玻恩、狄拉克等人为解决量子理论遇到的困难,进行了开创性的工作,先后提出电子自旋概念,创立矩阵力学、波动力学,诠释波函数进行物理以及提出测不准原理和互补原理。终于在1925 年到1928年形成了完整的量子力学理论,与爱因斯坦的相对论并肩形成现代物理学的两大理论支柱。 关键词:量子力学,量子理论,矩阵力学,波动力学,测不准原理 量子力学是研究微观粒子(如电子、原子、分子等)的运动规律的物理学分 支学科,它主要研究原子、分子、凝聚态物质,以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论,它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础,是现代物理学的两大基本支柱。经典力学奠定了现代物理学的基础,但对于高速运动的物体和微观条件下的物体,牛顿定律不再适用,相对论解决了高速运动问题;量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。量子力学认为在亚原子条件下,粒子的运动速度和位置不可能同时得到精确的测量,微观粒子的动量、电荷、能量、粒子数等特性都是分立不连续的,量子力学定律不能描述粒子运动的轨道细节,只能给出相对机率,为此爱因斯坦和玻尔产生激烈争论,并直至去世时仍不承认量子力学理论的哥本哈根诠释。 量子力学是一个物理学的理论框架,是对经典物理学在微观领域的一次革命。 它有很多基本特征,如不确定性、量子涨落、波粒二象性等,在原子和亚原子的微观尺度上将变的极为显著。爱因斯坦、海森堡、玻尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。原子核和固体的性质以及其他微观现象,目前已基本上能从以量子力学为基础的现代理论中得到说明。现在量子力学不仅是物理学中的基础理论之一,而且在化学和许多近代技术中也得到了广泛的应用。上世纪末和本世纪初,物理学的研究领域从宏观世界逐渐深入到微观世界;许多新的实验结果用经典理论已不能得到解释。大量的实验事实和量子论的发展,表明微观粒子不仅具有粒子性,同时还具有波动性(参见波粒二象性),微观粒子的运动不能用通常的宏观物体运动规律来描写。德布罗意、薛定谔、海森堡,玻尔和狄拉克等人逐步建立和发展了量子力学的基本理论。应用这理论去解决原子和分子范围内的问题时,得到与实验符合的结果。因此量子力学的建立大大促进了原子物理。固体物理和原子核物理等学科的发展,它还标志着人们对客观规律的认识从宏观世界深入到了微观世界。量子力学是用波函数描写微观粒子的运动状态,以薛定谔方程确定波函数的变化规律,并用算符或矩阵方法对各物理量进行计算。因此量子力学在早期也称为波动力学或矩阵力学。量子力学的规律用于宏观物体或质量和能量相当大的粒子时,也能得出经典力学的结论。在解决原子核和基本粒子的某些问题时,量子力学必须与狭义相对论结合起来(相对论量子力学),并由此逐步建立了现代的量子场论。
量子力学中几种表象及其之间的关系
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写,力学量则以作用在这种波函数上的算符(量子力学中的算符代表对波函数的一种运算)来表示,这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态(量子态)和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论,则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x (表示全部坐标变量)为变量的波函数ψ(x,t)来描写,也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数, dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数,而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知,粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t )可知,粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态,即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中,粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么,态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢? 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …,对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确: (1)量子力学适用于微观体系,而经典力学适用于宏观体系; (2)量子力学适用于η不能忽略的体系,而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答:(1)量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系,它可以包容整个经典力学体系。 (2)对于宏观体系或η可以忽略的体系,并非量子力学不能适用,而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学,二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述,这里“完全”的含义是什么? 解答:按着波函数的统计解释,波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子(不考虑自旋)波函数)(r ? ψ,则不仅可以确定粒子的位置概率分布,而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同,它一般只能预言测量的统计结果,而只要已知体系的波函数,便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说,有关体系的全部信息显然已包含在波函数中,所以说微观粒子的状态用波函数完全描述,并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例,说明态的叠加原理。 解答:设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数,当两个缝同时打开时,实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示,可见态的叠加不是概率相加,而是波函数的叠加,屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定,2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ,1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为:“如果1ψ和2ψ是体系的可能态,则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 (1)是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=; (2)对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数,但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗? 解答:(1)可能,这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处?有哪些不成功的地方?试举一例说明。 (简述波尔的原子理论,为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的?) 答:Bohr 理论中核心的思想有两条:一是原子具有能量不连续的定态的概念;二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先,Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性,但对于复杂原子光谱,甚至对于氦原子光谱,Bohr 理论就遇到了极大的困难(这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题),对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题,在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果,但不能提供系统解决它的办法;其次,Bohr 理论只能处理简单的周期运动,而不能处理非束缚态问题,例如:散射;再其次,从理论体系上来看,Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等,与经典力学不相容的,多少带有人为的性质,并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应?光电效应有什么规律?爱因斯坦是如何解释光电效应的? 答:当一定频率的光照射到金属上时,有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应;光电效应的规律:a.对于一定的金属材料做成的电极,有一个确定的临界频率0υ,当照射光频率0υυ<时,无论光的强度有多大,不会观测到光电子从电极上逸出;b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关,而与光强无关;c.当入射光频率0υυ>时,不管光多微弱,只要光一照,几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为:(1)电磁波能量被集中在光子身上,而不是象波那样散布在空间中,所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量,所以对应弛豫时间应很短,是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量,光强则对应于光子的数目,光强越大,光子数目越多,所以遏止电压与光强无关,饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比,频率越高,对应光子能量越大,所以光电效应也容易发生,光子能量小于逸出功时,则无法激发光电子。 3.简述量子力学中的态叠加原理,它反映了什么? 答:对于一般情况,如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加:1122c c ψψψ=+(12c c ,是复数)也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时,粒子是既处于态1ψ,又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态?定态有什么性质? 答:体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-,所描写的状态时,能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质:(1)粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化;(2)任何力学量(不显含时间)的平均值不随时间变化;(3)任何力学量(不显含时间)取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系? 答:算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量,则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F (r,p )中将p 换为算符?p 而得出的,即:
第22章量子力学基础教案
第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程, 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学, 形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求: * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义; * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长; * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件,
会简单计算粒子的概率密度及归一化常数; * 理解不确定关系并作简单的计算; * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤, 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容: §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程(简略,一维定态薛定谔方程) §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点: 实物粒子的波粒二象性及其统计意
义; 概率密度和发现粒子的概率计算; 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年,法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世 纪以来,在辐射理论方面,比起波动的研究方法来, 是过于忽略了粒子的研究方法;那么在实物理论上, 是否发生了相反的错误,把粒子的图象想象得太多, 而过于忽略了波的图象?”德布罗意根据光与实物的
量子力学与能带理论
量子力学与能带理论 孟令进 专业: 应用物理 班级:1411101 学号:1141100117 摘要:曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成,从定态薛定谔方程出发,将原子中原子实假定固定不动,并且在结构上呈现周期性排列,那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动,利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构,从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题,一维定态问题,即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ,沿着x 方向运动,势场的势能为V(x),那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ,因为处于一定的能量E 状态,定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ,两式整理可得,)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ,或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时,我们需要带入边界条件,连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中,当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时,如果E>V ,则粒子能够顺利的越过这个势垒,如果E
量子力学的矩阵形式和表象变换.
§4.5 量子力学的矩阵形式和表象变换 态和力学量算符的不同表示形式称为表象。 态有时称为态矢量。力学量算符对态的作用实际上是对矢量量进行变换,因此可与代数中线性变换进行类比。 1、量子态的不同表象 幺正变换 (1)直角坐标系中的类比 取平面直角坐标系21X OX 其基矢(我们过去称之为单位矢)可表示为21,e e ,见图 其标积可写成下面的形式 )2,1,(),(==j i e e ij j i δ 我们将其称之为基矢的正交归一关系。 平面上的任一矢量A 可以写为 2211e A e A A += 其中),(11A e A =,),(22A e A =称为投影分量。 而),(21A A A = 称为A 在坐标系21X OX 中的表示。 现在将坐标系21X OX 沿垂直于自身面的轴顺时针转θ角度,则单位基矢变为','21e e ,且同样有 )2,1,()','(==j i e e ij j i δ 而平面上的任一矢量A 此时可以写为 ''''2211e A e A A += 其中投影分量是),'('11A e A =,),'('22A e A =。 而)','(21A A A = 称为A 在坐标系'X 'OX 21中的表示。 现在的问题是:这两个表示有何关系? 显然,22112211''''e A e A e A e A A +=+=。
用'1e 、'2e 分别与上式中的后一等式点积(即作标积),有 ),'(),'('2121111e e A e e A A += ),'(),'('2221212e e A e e A A += 表成矩阵的形式为 ??? ? ?????? ??=???? ??212212211121),'(),'(),'(),'(''A A e e e e e e e e A A 由于'1e 、1e 及'2e 、2e 的夹角为θ,显然有 ??? ? ?????? ??-=??? ? ?????? ??=???? ??21212212211121cos sin sin cos ),'(),'(),'(),'(''A A A A e e e e e e e e A A θθθθ 或记为 ??? ? ??=???? ??2121)(''A A R A A θ 其中 ??? ? ? ?-=θθ θθθcos sin sin cos )(R 是把A 在两坐标中的表示???? ??''21A A 和??? ? ??21A A 联系起来的变换矩阵。 变换矩阵的矩阵元正是两坐标系基矢间的标积,它表示基矢之间的关系。故R 给定,任何矢量在两坐标系间的关系也确定。 很容易证明,R 具有下述性质: I R R R R ==~ ~ 由于1)(det )~ det(2==R R R , 其中 321321)1()det(p p p t R R R R -∑=, 故称这种矩阵为正交矩阵。 但1det =R (对应于真转动(proper rotation ))且R R =* (实矩阵)
量子力学史简介
近代物理学史论文题目:量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名: 学号: 学院: 2016年12月27
量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论,它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景,甚至对当前科技的进步起着决定性的作用,但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展,与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末,物理学家存在一种乐观情绪,他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善,而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题,比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中,维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式,但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好,而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式,而该公式只在长波波段和实验符合的很好,而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式,普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单,在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式:对于一定频率f的电磁辐射,物体只能以hf为单位吸收
量子力学基础简答题(经典)【精选】
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释; 2、对“轨道”和“电子云”的概念,量子力学的解释是什么? 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点? 4、简述能量的测不准关系; 5、电子在位置和自旋z S ?表象下,波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化?解释各项的几率意义。 6、何为束缚态? 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时,简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时,若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥?采用Dirac 符号时,位置表象中的波函数应如何表示? 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么? 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么? 12、两个对易的力学量是否一定同时确定?为什么? 13、测不准关系是否与表象有关? 14、在简并定态微扰论中,如 () H 0的某一能级) 0(n E ,对应f 个正交归一本征函数i φ(i =1,2,…, f ),为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数? 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中, S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少? 16、在定态问题中,不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解?同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解? 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定?举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的,关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋? 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的? 23、据[a ?,+ a ?]=1,a a N ???+=,n n n N =?,证明:1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么?写出其适用条件。
第十三章 量子力学基础2作业答案
(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. (基础训练 10)氢原子中处于2p 状态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为 (A) (2,2,1,2 1 -). (B) (2,0,0,21). (C) (2,1,-1,2 1 -). (D) (2,0,1,21). ★提示:2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1,只有答案(C )满足。 [ C ]2. (基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性,而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性,而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性. [ D ]3. (自测提高7)直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验. (B) 卢瑟福实验. (C) 戴维孙-革末实验. (D) 斯特恩-革拉赫实验. [ C ]4. (自测提高9)粒子在外力场中沿x 轴运动,如果它在力场中的势能分布如图19-6所示,对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子,若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0,0 < x a 三个区域发现粒子的概率,则有 (A) ρ1 ≠ 0,ρ2 = ρ3 = 0. (B) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 = 0. (C) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. (D) ρ1 = 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. ★提示:隧道效应。 二. 填空题 1. (基础训练17)在主量子数n =2,自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中,能够填充的最大电子数是___4___. ★提示:主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子(电子组态为2622s p ),如 仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态,则能够填充的电子数为上述值的一半。 图 19-6
量子力学的表象与表示
第五章 量子力学的表象与表示 §5.1 幺正变换和反幺正变换 1, 幺正算符定义 对任意两个波函数)(r ?、)(r ψ,定义内积 r d r r )()(),(ψ?ψ?*?= (5.1) 按第一章中所说,(5.1)式的含义是:当微观粒子处在状态()r ψ时,找 到粒子处在状态()r ?的概率幅。 依据内积概念,可以定义幺正算符如下: “对任意两个波函数?、ψ,如果算符 U 恒使下式成立 ),()?,?(ψ?ψ?=U U (5.2) 而且有逆算符1?-U 存在,使得I U U U U ==--11????1,称这个算符U ?为幺正算符。” 任一算符A ?的厄米算符+A ?定义为:+A ?在任意?、ψ中的矩阵元恒由下式右方决定 ??(,)(,)A A ?ψ?ψ+= (5.3) 由此,幺正算符U ?有另一个等价的定义: “算符U ?为幺正算符的充要条件是 I U U U U ==++???? (5.4a) 或者说 1??-+=U U 。” (5.4b) 证明:若),()?,?(ψ?ψ?=U U 成立,则按+U ?定义, ),??()?,?(),(ψ?ψ?ψ?U U U U +== 由于?、ψ任意,所以 I U U =+?? 又因为U ?有唯一的逆算符1?-U 存在,对上式右乘以1?U -,即得 1??U U +-= 这就从第一种定义导出了第二种定义。类似,也能从第二种定义导出第一种定义。从而,幺正算符的这两种定义是等价的。 2, 幺正算符的性质 幺正算符有如下几条性质: i, 幺正算符的逆算符是幺正算符 证明:设 1-+=U U , 则()()(),1 11--+++-===U U U U 所以1-U 也是幺正 1 这里强调了 U -1 既是对 U 右乘的逆又是对 U 左乘的逆。和有限维空间情况不同,无限维空间情况下,任一算符 U 有逆算符的三种情况:1)有一个左逆算符和无穷多个右逆算符;2)有一个右逆算符和无穷多个左逆算符;3)有一个左逆算符和一个右逆算符,并且它俩相等,唯有此时可简单地写为 U -1 。
量子力学原理及其应用
量子力学原理及其应用 师燕光电8班2012059080029 量子力学是近代自然科学的最重要的成就之一.在量子力学的世界里,一个 量子微观体系的状态是由一个波函数来描述的,而非由粒子的位置和动量描述, 这就是它与经典力学最根本的区别。这是被爱因斯坦和玻尔用“上帝跟宇宙玩掷骰子”来形容的学科,也是研究“极度微观领域物质”的物理学分支,它带来了许许多多令人震惊不已的结论——例如科学家们发现,电子的行为同时带有波和粒子的双重特征(波粒二象性),但仅仅是加入了人类的观察活动,就足以立刻改变它们的特性;此外还有相隔千里的粒子可以瞬间联系(量子纠缠):不确定的光子可以同时去向两个方向(海森堡测不准原理);更别提那只理论假设的猫既死了又活着(薛定谔的猫)?? 诸如以上,这些研究结果往往是颠覆性的,因为它们基本与人们习惯的逻辑思维相违背。以至于爱因斯坦不得不感叹道:“量子力学越是取得成功,它自身就越显得荒诞。” 直到现在,与一个世纪之前人类刚刚涉足量子领域的时候相比,爱因斯坦的观点似乎得到了更为广泛的共鸣。量子力学越是在数理上不断得到完美评分,就越显得我们的本能直觉竟是如此粗陋不堪。人们不得不承认,虽然它依然看起来奇异而陌生,但量子力学在过去的一百年里,已经为人类带来了太多革命性的发明创造。正像詹姆斯·卡卡廖斯在《量子力学的奇妙故事》一书引言中的所述:“量子力学在哪?你不正沉浸于其中吗。” 一、量子计算机 量子力学的海森堡测不准原理决定了粒子的位置和动量是不能同时确定的( )。当计算机芯片的密度很大时(即很小)将导致很大, 电子不再被束缚, 产生 量子干涉效应,而这种干涉效应会完全破坏芯片的功能。为了克服量子力学对计算机发展的限制,计算机的发展方向必然和量子力学相结合,这样不仅可以越过 量子力学的障碍,而且可以开辟新的方向。量子计算机就是以量子力学原理直接 进行计算的计算机.保罗·贝尼奥夫在1981 年第一次提出了制造量子计算机的理论。量子计算机的存储和读写头都以量子态存在的,这意味着存储符号可以是0、1 以及它们的叠加。 近年来的种种试验表明,量子计算机的计算和分析能力都超越了经典计算机。它具有如此优越的性质正在于它的存储读取方式量子化。对量子计算机的原理分析可知,以下两个个特性是令量子计算机优越性的根源所在:存储量大,速度高;可以实现量子平行态。 随着现代科学技术的发展,量子计算机也会逐渐走向现实研制和现实运用。量子计算机不但于未来的计算机产业的发展紧密相关,更重要的是它与国家的保密、电子银行、军事和通讯等重要领域密切相关。实现量子计算机是21 世纪科学技术的最重要的目标之一。 二、晶体管 美国《探索》杂志在线版给出的真实世界中量子力学的一大应用,就是人们早已不陌生的晶体管。1945 年的秋天,美国军方成功地制造出世界上第一台真空管计算机ENIAC。据当时的记载,这台庞然大物总重量超过30 吨,占地面积接近一个小型住宅,总花费高达100 万美元。如此巨额的投入,注定了真空管这种
第十九章 量子力学基础2(答案)
第十九章 量子力学基础(Ⅱ) (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1.(基础训练10)氢原子中处于2p 状态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为 (A) (2,2,1,21?). (B) (2,0,0,21 ). (C) (2,1,-1,21?). (D) (2,0,1,2 1 ). 【提示】p 电子:l =1,对应的m l 可取-1、0、1, m s 可取 21或2 1?。 [ C ]2.(基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性,而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性,而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性. [ D ]3.(自测提高7)直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验. (B) 卢瑟福实验. (C) 戴维孙-革末实验. (D) 斯特恩-革拉赫实验. [ C ]4.(自测提高9)粒子在外力场中沿x 轴运动,如果它在力场中的势能分布如附图所示,对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子,若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0,0 < x a 三个区域发现粒子的概率,则有 (A) ρ1 ≠ 0,ρ2 = ρ3 = 0. (B) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 = 0. (C) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. (D) ρ1 = 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. 【提示】隧道效应 二. 填空题 1.(基础训练17)在主量子数n =2,自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中,能够填充的最大电子数是_________. 【提示】L 壳层:n =2,能够填充的最大电子数是2n 2=8。考虑到本题m s 只取2 1 ,此时能够填充的最大电子数是4。 2.(基础训练20)在下列给出的各种条件中,哪些是产生激光的条件,将其标号列下:(2) (3 ) (4) (5). (1)自发辐射.(2)受激辐射.(3)粒子数反转.(4)三能极系统.(5)谐振腔. x O U (x )U 0 a
量子力学基本原理
量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念,运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示,状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程,该方程预言体系的行为,物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示;测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作,对应于代表该量的算符对其状态函数的作用;测量的可能取值由该算符的本征方程决定,测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。(一般而言,量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之,它预言一组可能发生的不同结果,并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说,如果我们对大量类似的系统作同样地测量,每一个系统以同样的方式起始,我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数,为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值,但不能对个别测量的特定结果做出预言。)状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设,量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示,状态函数,用<Ψ|和|Ψ>表示,状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示,其概率流密度用(?/2mi)(Ψ*▽Ψ-Ψ▽Ψ*)表示,其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ,其中|i>为彼此正交的空间基矢, 为狄拉克函数,满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程, ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ,En是能量本征值,H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。
3、现代量子力学的几个疑难问题讲解
3、现代量子力学的几个疑难问题 核子的结构也不清楚。为什么氦核如此稳定?为什么铀238非常稳定,而铀235却是裂变的?为什么中子的寿命只有十几分钟,可是和质子结合在一起形成原子核以后就可以稳定了?为什么粒子的寿命相差几十个数量级?为什么物质的导电率相差几十个数量级?射电类星体到底是什么东西? 1、高压物理实验:发现许多物质(包括单质、化合物)在超高压力作用下电阻要随之减小。例如,中国科学院物理研究所鲍忠兴等人所做的非晶碳电阻的压力效应实验,在高压物理实验中对非晶碳样品进行了多次电阻随压力变化的实验测量,非晶碳样品在2GPa内电阻发生较大变化,在2GPa时,其电阻值减小72%;在2~4GPa以内,电阻值随压力增加继续减小,在4GPa时,电阻值减小83%;而在4GPa以后,电阻随压力增加变化很小。旧量子论和旧量子力学是不能解释的。【3】 2.阿佛加德罗常数的测定:即阿佛加德罗常数定律:在相同的温度与压强下,相等容积所含任何气体的分子数(摩尔数)相等。并且多次物理实验证明是正确的。即在理想气体状下,任何气体的一摩尔体积内所含的分子数都等于6.022045×1023mol1 。理想气体是对实际气体的简化,它要求分子间除碰撞外没有能量耦合,这使得系统的内能严格地等于各分子动能的总和。当实际气体密度足够小时,它的行为接近理想气体,可以把压强趋于零的实际气体当作理想气体来处理。【4】为什么不同元素气体分子的体积在压强趋于零时其体积趋于一个相等的常数?即为什么任何理想气体分子体积膨胀量相等,并且是一个常数?如何从本质上解释,需要理论突破。 4、物质的热膨胀、冷收缩的实质问题:传统理论认为,物体的状态方程,在压强不变条件下气体的体积随温度升高而增加;对于液体和固体,在平衡位置附近作热振动的粒子间的平均距离随温度而改变,温度越高,距离越大。以上解释,只算得上是一种维象理论,尚未涉及热胀冷缩的本质。这种理论无法回答,当物体(分子)热膨胀的时候,其原子的体积是收缩或是膨胀;当物体(分子)冷收缩的时候,也不能回答其原子的体积是膨胀或是收缩。因此这个问题仍有待进一步的研究【6】。 5、固体的比热问题:1907年,由于Einstein和德拜的工作解释了固定比热在温度进入低温区时,其比热迅速减小的现象。但是,他们的解释并没有回答比热变化与原子内结构变化的相互关系,没有回答比热变化的本质问题。因此,固体比热的本质问题有待进一步探讨,以使理论趋于统一【7】。
量子力学习题
河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业(类) 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共20分,每小题4分) 1、简述波函数的统计解释; 2、对“轨道”和“电子云”的概念,量子力学的解释是什么? 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点? 4、简述能量的测不准关系; 5、电子在位置和自旋z S ?表象下,波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化?解释 各项的几率意义。 二(20分)设一粒子在一维势场c bx ax x U ++=2)(中运动(0>a )。求其定态能级和波函数。 三(20分)设某时刻,粒子处在状态)cos (sin )(212kx kx B x +=ψ,求此时粒子的平均动量和平均动能。 四(20分)某体系存在一个三度简并能级,即E E E E ===)0(3)0(2 )0(1。在不含时微扰H '?作用下,总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为????? ? ?=**2110 0E E E H βαβα。求 受微扰后的能量至一级。 五(20分)对电子,求在x S ?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。 A —1—1 河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷 — 学年第 学期 级 专业(类) 考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B (注:考生务必将答案写在答题纸上,写在本试卷上的无效) 一、概念题:(共20分,每小题4分)
量子力学的矩阵形式及表象理论
第三章一维定态问题
第三章 目 录 §3.1一般性质 (2) (1)定理1:一维运动的分立能级(束缚态),一般是不简 并的 ...................................... 2 (2)不同的分立能级的波函数是正交的。 .......... 4 (3)振荡定理 .................................. 4 (4)在无穷大位势处的边条件 .................... 5 §3.2阶梯位势 ....................................... 6 §3.3位垒穿透 (8) (1) E
量子力学的矩阵形式及表象理论
量子力学习题(三年级用) 北京大学物理学院 二O O三年
第一章 绪论 1、计算下列情况的Broglie d e -波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ;被铀吸收; (2)能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ; (3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3、利用Broglie d e -关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能量 可能值。
第二章 波函数与波动力学 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? (1)求归一化常数 (2).?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的结 论?(其中k 为实数) 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态,其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 0=?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子,在0=t 时,波函数为 ()()x ,x δ=?0 求: ?)t ,x (=?2
第三章 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中,求:E >0V 时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 (1)求粒子的能级和对应的波函数; (2)若粒子处于)x (n ?态,证明:,/a x 2= ().n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+= 这即“出射”波和“入射”波之间的关系,
量子力学基本概念及理解
量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波?有为什么就是概率波。 什么就是概率波?为什么就是概率波? 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。