【必考题】高二数学上期中试题含答案

【必考题】高二数学上期中试题含答案

一、选择题

1．如图所示，墙上挂有边长为a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶

点为圆心，半径为

2

a

的圆弧，某人向此板投镖，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中阴影部分的概率是 （ ）

A ．18

π-

B ．

4

π C ．14

π-

D ．与a 的值有关联

2．一组数据如下表所示：

x

1 2 3 4

y e

3e 4e 6e

已知变量y 关于x 的回归方程为+0.5

?bx y

e =，若5x =，则预测y 的值可能为( ) A ．5e

B ．

11

2e

C ．

132

e

D ．7e

3．设样本数据1210,,,x x x L 的均值和方差分别为1和4，若(i i y x a a =+为非零常数，

1,2,,10)i =L ，则1210,,,y y y L 的均值和方差分别为（ ）

A ．1,4a +

B ．1,4a a ++

C ．1,4

D ．1,4a +

4．从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对

()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机

模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．

2m n

B ．

2m

n

C ．

4m n

D ．

16m n

5．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据.则下列叙述正确的是（ ）

A．这12天的AQI的中位数是90

B．12天中超过7天空气质量为“优良”

C．从3月4日到9日，空气质量越来越好

D．这12天的AQI的平均值为100

6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）

A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8

7．微信中有个“微信运动”，记录一天行走的步数，小王的“微信步数排行榜”里有120个人，今天，他发现步数最少的有0.85万步，最多的有1.79万步．于是，他做了个统计，作出下表，请问这天大家平均走了多少万步？（）

A．1.19B．1.23C．1.26D．1.31

8．执行如图的程序框图，则输出x的值是 ( )

A．2018B．2019C．1

2

D．2

9．为计算

11111

1

23499100

S=-+-++-

…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入

A．1

i i=+

B．2

i i=+

C．3

i i=+

D．4

i i=+

10．我国古代名著《庄子g天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度(单位：尺)，则①②③处可分别填入的是( )

A ．17?,,+1i s s i i i

≤=-= B ．1128?,,2i s s i i i

≤=-= C ．1

7?,,+12i s s i i i ≤=-

= D ．1

128?,,22i s s i i i

≤=-

= 11．从区间[]

0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对

()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机

模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A ．

4n m

B ．

2n m

C ．

4m

n

D ．

2m

n

12．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）

4

2

3

5

销售额

（万元）

49

26

39

54

根据上表可得回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元

B ．65.5万元

C ．67.7万元

D ．72.0万元

二、填空题

13．在5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5,然后将它们混合,再任意排列成一行,则得到的数能被2或5整除的概率是___________.

14．从标有1，2，3，4，5的五张卡中，依次抽出2张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；

15．在区间[]

3,3-上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为______．

16．甲乙两人一起去游“西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个

景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是________.

17．某单位为了了解用电量y （度）与气温x （℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量

与当天气温（如表），并求得线性回归方程?360y

x =-为:

不小心丢失表中数据c ，d ，那么由现有数据知3c d -____________．

18．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．

19．已知函数log 2

,3()(5)3,3a x x f x a x x ->?=?--≤?（）满足对任意的实数12x x ≠，都有

()()1212

0f x f x x x ->-成立，则实数a 的取值范围为______________；

20．已知变量,x y 之间的一组数据如下表：

则y 与x 的线性回归方程y b x a ∧∧∧

=+必过点_______________

三、解答题

21．某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分：100分）数据，统计结果如下表所示．

（1）已知此次问卷调查的得分Z 服从正态分布(),210N μ，μ近似为这1000人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），请利用正态分布的知识求

()3679.5P Z <≤；

（2）在（1）的条件下，环保部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案. （ⅰ）得分不低于μ的可以获赠2次随机话费，得分低于μ的可以获赠1次随机话费； （ⅱ）每次赠送的随机话费和相应的概率如下表.

现市民甲要参加此次问卷调查，记X 为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X 的分布列及数学期望．

14.5≈，若()2

,X N

μσ:，则()0.6827P X μσμσ-<≤+=，

()220.9545P X μσμσ-<≤+=，()330.9973P X μσμσ-<≤+=.

22．某车间为了规定工时额定，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了6次试验，得到数据如下：

（1）试对上述变量x 与y 的关系进行相关性检验，如果x 与y 具有线性相关关系，求出y 对x 的回归直线方程；

（2）根据（1）的结论，你认为每小时加工零件的数量额定为多少（四舍五入为整数）比较合理？

附：相关性检验的临界值表

()()

n

n

i

i

i i

x x y y x y nx y

r ---=

=

∑∑()()(

)

1

1

2

2

21

1

n n

i

i

i i

i i n

n

i i i i x x y y x y nx y

b

x x

x nx

====---==

--∑∑∑∑$，$$y

a

bx =+$

42.0≈27.5≈

23．自从高中生通过高校自主招生可获得加分进入高校的政策出台后，自主招生越来越受到高中生家长的重视.某机构为了调查A 城市和B 城市的高中家长对于自主招生的关注程度，在这两个城市中抽取了100名高中生家长进行了调查，得到下表：

（1）完成上面的列联表；

（2）根据上面列联表的数据，是否有95%的把握认为家长对自主招生关注与否与所处城市有关；

（3

）为了进一步研究家长对自主招生的直法，该机构从关注的学生家长里面，按照分层抽样方法抽取了5人，并再从这5人里面抽取2人进行采访，求所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率.

附：()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）.

0k

2.072 2.706

3.841 5.024 6.635

24．已知椭圆的焦距为2，离心率12

e =． （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P 是椭圆上一点，且1260F PF ∠=o

，求△F 1PF 2的面积．

25．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．

(1)求图中a 的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x )与数学成绩相应分数段的人数(y )之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数. 分数段 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) x ∶y

1∶1

2∶1

3∶4

4∶5

26．某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：

（1）试估计这款保险产品的收益率的平均值；

（2）设每份保单的保费在20元的基础上每增加x 元，对应的销量为y （万份）．从历史销售记录中抽样得到如下5组x 与y 的对应数据：

x 元

25 30 38 45 52 销量为y （万份）

7.5

7.1

6.0

5.6

4.8

由上表，知x 与y 有较强的线性相关关系，且据此计算出的回归方程为10.0?y

bx =-．

（ⅰ）求参数b 的值；

（ⅱ）若把回归方程10.0?y

bx =-当作y 与x 的线性关系，用（1）中求出的收益率的平均值作为此产品的收益率，试问每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大利润，并求出最大利润．注：保险产品的保费收入=每份保单的保费?销量．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【解析】

试题分析：本题考查几何概型问题，击中阴影部分的概率为22

2()214

a

a a ππ-=-．

考点：几何概型，圆的面积公式． 2．C

解析：C 【解析】 【分析】

令ln z y $=，求得,x z 之间的数据对照表，结合样本中心点的坐标满足回归直线方程，即可求得b ；再令5x =，即可求得预测值y . 【详解】

将式子两边取对数，得到$ln 0.5y bx =+，令ln z y $=，得到0.5z bx =+， 根据已知表格数据，得到,x z 的取值对照表如下：

x

1 2 3

4 z

1

3

4

6

1234

2.54x +++=

=，1346 3.54

z +++==， 利用回归直线过样本中心点，即可得3.5 2.50.5b =+， 求得 1.2b =，则 1.20.5z x =+， 进而得到$ 1.2+0.5x y e =，将5x =代入， 解得13

6.5

2

y e e ==.

故选：C .

【点睛】

本题考查利用样本中心点坐标满足回归直线方程求参数值，以及由回归方程进行预测值得求解，属中档题.

3．A

解析：A 【解析】

试题分析：因为样本数据1210,,,x x x L 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是

121012101210

(1101010)

y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据

i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,,10i =L ），以及数据1210,,,x x x L 的方差为4可知数

据1210,,,y y y L 的方差为2144?=，综上故选A. 考点：样本数据的方差和平均数．

4．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据随机模拟试验的的性质以及几何概型概率公式列方程求解即可. 【详解】 如下图：

由题意，从区间[]0,2随机抽取的2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，落在面积为4的正方形内，两数的平方和小于4对应的区域为半径为2的圆内，满足条件的区域

面积为2

124ππ?=，所以由几何概型可知

4

2π

=

m n ，所以2π=m n

. 故选：B

【点睛】

本题主要考查几何概型，属于中档题.

5．C

解析：C 【解析】

这12天的AQI 指数值的中位数是9592

93.52

+= ，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确；；

从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为

110，故D 不正确. 故选 C ．

6．C

解析：C 【解析】

试题分析：由题意得5x =，1

16.8(915101824)85

y y =+++++?=，选C. 考点：茎叶图

7．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据频率分布直方图中平均数的计算方法求解即可. 【详解】

由题,区间[)[)[)[)0.8,1.0,1.0,1.2,1.2,1.4,1.6,1.8所占频率分别为：

0.20.50.1,0.2 1.250.25,0.2 2.250.45,0.20.250.05,?=?=?=?=

故区间[)1.4,1.6所占频率为10.10.250.450.050.15----=. 故0.90.1 1.10.25 1.30.45 1.50.15 1.70.05 1.26x =?+?+?+?+?=. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了补全频率分布直方图的方法以及根据频率分布直方图计算平均数的问题.属于中档题.

8．D

解析：D 【解析】 【分析】

模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】

解：模拟执行程序框图，可得

2,0x y ==.

满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=；

满足条件2019y <，执行循环体，1

,22

x y =

= ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==；

满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …

观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733?＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，

当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选D ． 【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键．

9．B

解析：B 【解析】

分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.

详解：由11111123499100

S =-

+-+?+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

分析程序中各变量的作用，再根据流程图所示的顺序，可得该程序的作用是累加并输出S 的值，由此可得到结论. 【详解】

由题意，执行程序框图，可得： 第1次循环：1

1,42

S i =-=； 第2次循环：11

1,824

S i =-

-=；

第3次循环：111

1,16248

S i =-

-==； 依次类推，第7次循环：11111,256241288

S i =----==L ， 此时不满足条件，推出循环，

其中判断框①应填入的条件为：128?i ≤， 执行框②应填入：1S S i

=-，③应填入：2i i =. 故选：B . 【点睛】

本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，其中解答中正确理解程序框图的含义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

11．C

解析：C 【解析】

此题为几何概型．数对(,)i i x y 落在边长为1的正方形内，其中两数的平方和小于1的数落在四分之一圆内，概型为

41

m P n π

==，所以4m

n

π=．故选C ． 12．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：423549263954

3.5,4244

x y ++++++====Q ， ∵数据的样本中心点在线性回归直线上，

回归方程???y

bx a =+中的?b 为9.4， ∴42=9．4×

3．5+a ， ∴?a

=9．1， ∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，

∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5 考点：线性回归方程

二、填空题

13．【解析】【分析】首先计算出五位数的总的个数然后根据可被或整除的五位数的末尾是偶数或计算出满足的五位数的个数根据古典概型的概率计算公式求出概率即可【详解】因为五位数的总个数为：能被或整除的五位数的个数

解析：3

5

【解析】 【分析】

首先计算出五位数的总的个数，然后根据可被2或5整除的五位数的末尾是偶数或5计算出满足的五位数的个数，根据古典概型的概率计算公式求出概率即可. 【详解】

因为五位数的总个数为：5

5A =120，能被2或5整除的五位数的个数为：4

43A =72?， 所以723

1205P =

=. 故答案为：35

. 【点睛】

本题考查排列组合在数字个数问题方面的应用，难度一般.涉及到不同数字组成的几位数个数问题时，若要求数字不重复，可以通过排列数去计算相应几位数的个数.

14．【解析】【分析】设事件A 表示第一张抽到奇数事件B 表示第二张抽取偶数则P （A ）P （AB ）利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下第二次抽到偶数的概率【详解】解：从标有12345的五张卡片中依 解析：

12

【解析】 【分析】

设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”，则P （A ）35

=，P （AB ）323

5410

=

?=，利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率． 【详解】

解：从标有1、2、3、4、5的五张卡片中，依次抽出2张，

设事件A 表示“第一张抽到奇数”，事件B 表示“第二张抽取偶数”， 则P （A ）35=

，P （AB ）3235410

=?=， 则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为：

P （A|B ）()()3P AB 1

103P A 25

=

==． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查条件概率等基础知识，考查运算求解能力．

15．【解析】【分析】求出不等式的解集计算长度运用几何概型即可求出概率【详解】或则在区间上随机取一个数x 使得成立的概率为故答案为【点睛】本题考查了几何概型中的长度型概率只需将题目中的含有绝对值不等式进行求 解析：

23

【解析】 【分析】

求出不等式的解集，计算长度，运用几何概型即可求出概率 【详解】

11x +≥Q

0x ∴≥或2x ≤-

则在区间[]

33-，

上随机取一个数x ，使得11x +≥成立的概率为42

63

= 故答案为23

【点睛】

本题考查了几何概型中的长度型概率，只需将题目中的含有绝对值不等式进行求解，然后计算出长度，即可得到结果

16．【解析】【分析】所有的游览情况共有种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有种由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率【详解】所有的游览情况共有 种则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 种

解析：

16 【解析】 【分析】

所有的游览情况共有4466

A A ? 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33

556A A ?? 种，由此求得最后一小时他们同在一个景点的概率．

【详解】

所有的游览情况共有4466

A A ? 种，则最后一小时他们同在一个景点的游览方法共有 33556A A ?? 种，

故则最后一小时他们同在一个景点的概率为 33

5544

6661

6

A A A A ??=?， 故答案为 1

6

． 【点睛】

本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，属于基础题．

17．【解析】分析：由题意首先确定样本中心点然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果详解：由题意可得：回归方程过样本中心点则：即：整理可得：故答案为：270点睛：(1)正确理解计算的公式和准确

解析：【解析】

分析：由题意首先确定样本中心点，然后结合回归方程过样本中心点整理计算即可求得最终结果.

详解：由题意可得：91412244c c x ++-+=

=，1848309644

d d

y ++++==， 回归方程过样本中心点，则：

9622

36044

d c ++=?-， 即：()96322240d c +=+-， 整理可得：3270c d -=. 故答案为：270．

点睛：(1)正确理解计算$,b

a $的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键． (2)回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点中心(),x y ．

(3)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测．

18．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19 解析：19

【解析】

∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本， ∴样本组距为56÷4=14， 则5+14=19，

即样本中还有一个学生的编号为19.

19．【解析】为单独递增函数所以点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性除注意各段的单调性外还要注意 解析：45a ≤<

【解析】

()()1212

0f x f x x x ->-? log 2,3()(5)3,3a x x f x a x x ->?=?--≤?

（）

为单独递增函数，所以

15045log (32)3(5)3a

a a a a >?

?

->?≤

?-≥--? 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[,]a b 上

单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围

20．【解析】由题意∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(154) 解析：()1.5,4

【解析】

由题意,()()11

0123 1.5,1357444

x y =

+++==+++= ∴x 与y 组成的线性回归方程必过点(1.5,4)

三、解答题

21．（1）0.8186；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据题中所给的统计表，利用公式计算出平均数μ的值，再利用数据之间的关系将

36、79.5表示为362μσ=-，79.5μσ=+，利用题中所给数据，以及正态分布的概率

密度曲线的对称性，求出对应的概率；

（2）根据题意，高于平均数和低于平均数的概率各为

1

2

，再结合得20元、40元的概率，分析得出话费的可能数据都有哪些，再利用公式求得对应的概率，进而得出分布列，之后利用离散型随机变量的分布列求出其数学期望. 【详解】 （1）由题意可得

352545150552006525075225851009550

651000

μ?+?+?+?+?+?+?=

=，

易知14.5σ=

≈，36652965214.52μσ∴=-=-?=-，

79.56514.5μσ=+=+，

()()()()

3679.522P Z P Z P Z P Z μσμσμσμμμσ∴<≤=-<≤+=-<≤+<≤+()()0.95450.6827022.818622

P X P X μσμσμσμσ+===-<≤++-<≤+；

（2）根据题意，可得出随机变量X 的可能取值有20、40、60、80元，

()13320248P X ==?=，()1113313

402424432P X ==?+??=，

()113360224416P X ==???=，()1111

8024432

P X ==??=.

所以，随机变量X 的分布列如下表所示：

所以，随机变量X 的数学期望为204060808

3216322

EX =?+?+?+?=

. 【点睛】

本题考查概率的计算，涉及到平均数的求法、正态分布概率的计算以及离散型随机变量分布列及其数学期望，在解题时要弄清楚随机变量所满足的分布列类型，结合相应公式计算对应事件的概率，考查计算能力，属于中等题. 22．（1）答案见解析.（2）96 【解析】 【分析】

（1）根据表中所给数据，计算出||r ，即可求得答案.

（2）每小时加工零件的数量，即60x =，将60x =代入?0.65757y

x =+，即可求得答案. 【详解】

（1）由表中数据得：

6

1

17950i i

i x y

==∑，6

2

1

9100i i x ==∑，6

21

39158i i y ==∑，35,80x y ==

∴0.05||0.997r r =

=>

从而有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系，

∴此求回归直线方程是有意义的．

计算得：??0.657,57b

a

== ∴?0.65757y

x =+ （2）Q 每小时加工零件的数量，即60x =

将60x =代入?0.65757y x =+ ?96.42y

= 故每小时加工零件的数量额定为96比较合理 【点睛】

本题考查回归直线方程以及应用，考查基本分析与求解能力，属基本题.

23．（1）详见解析；（2）有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关；（3）0.6. 【解析】 【分析】

（1）根据相关数据完成.

（2）根据2K 的观测值的计算公式求解，再对应2K 下结论.，

（3）关注的人共有50人，根据分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人，算出从5人抽取两的方法数，,A B 两城市各取一人的方法数，再代入古典概型的概率公式求解. 【详解】

（1）

（2）由题意，得K 的观测值为

()()()()()

()

22

100203030304 3.84150505050n ad bc k a b c d a c b d -??-?===>++++???，

所以有95%的把握认为家长对自主招生的关注与否与所处城市有关. （3）关注的人共有50

人，按照分层抽样的方法，A 城市2人，B 城市3人.

从5人抽取两人有2

510C =种不同的方法，

,A B 两城市各取一人有11

23236C C =?=种不同的方法，

故所抽取的2人恰好,A B 两城市各一人的概率为11

322

56

0.610

C C C ==. 【点睛】

本题主要考查独立性检验的应用和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

24．（Ⅰ）22143x y +=或22

143

y x +=（Ⅱ

【解析】 【分析】

（Ⅰ）由已知可得1c =，再由离心率求得2a =，结合隐含条件求得b 的值，从而求得椭圆的方程；

（Ⅱ）在焦点三角形中利用余弦定理求得|PF 1||PF 2|=4，代入三角形的面积公式得答案. 【详解】

（Ⅰ）椭圆方程可设为2222

222211x y y x a b a b

+=+=或

且c =1，又1

2

c e a =

=，得a =2， ∴b 2=a 2-c 2=4-1=3，

∴椭圆的方程为22143x y +=或22

143

y x +=.

（Ⅱ）在△PF 1F 2中，由余弦定理可得：2

2

2

12124||2c PF PF PF PF cos =+-∠F 1PF 2， 即2

12124()2PF PF PF PF =+--2|PF 1||PF 2|×cos 60°，

∴4=16-3|PF 1||PF 2|，即|PF 1||PF 2|=4．

∴△F 1PF 2的面积S =12|PF 1||PF 2|sin 60°=142?= 【点睛】

该题考查的是有关椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的标准方程的求解，椭圆焦点三角形的面积，余弦定理，属于简单题目. 25．（1）0.005a ＝（2）73 (分)（3）10 【解析】 【分析】

（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到a 的值； （2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；

（3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的

人数即可得出数学成绩在[5090，）之外的人数．

26．（1）0.275;（2）（ⅰ）0.1b =;（ⅱ）99万元 【解析】

试题分析：（1）根据平均值为0.275各组的组中值与面积的乘积之和，计算得；（2）（ⅰ）先求得38x =； 6.2y =，由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得

0.1b =；（ⅱ）易得这款保险产品的保费收入为

()()()()2

20100.13600.140f x x x x =+-=--?当40x =，即每份保单的保费为60

元时，保费收入最大为360万元?预计这款保险产品的最大利润为3600.27599?=万元．

试题解析：（1）收益率的平均值为0.050.10.150.20.250.25?+?+?

0.350.30.450.10.050.050.275+?+?+?=． （2）（ⅰ）2530384552190

3855

x ++++=

==； 7.57.1 6.0 5.6 4.831 6.255

y ++++===

由10y bx =-，得1038 6.2b -=．解得0.1b =．

（ⅱ）设每份保单的保费为()20x +元，则销量为100.1y x =-． 则这款保险产品的保费收入为()()()20100.1f x x x =+-万元． 于是，()()2

220080.13600.140f x x x x =+-=--．

所以，当40x =，即每份保单的保费为60元时，保费收入最大为360万元． 预计这款保险产品的最大利润为3600.27599?=万元．