函数的性质的高考试题汇编

函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期

性

一、选择题

1.(2013·福建高考文科·T5)函数()()2ln 1=+f x x 的图像大致是 ( )

(

【解题指南】f(x)的定义域为R,通过奇偶性,单调性进行筛选或带特殊点计算.

【解析】选 A. ()()()2

2ln(1)ln(1)f x x x f x -=-+=+=,所以()f x 的图象关

于y 轴对称,又x ∈(0,+∞)时, ()f x 是增函数.且过点(0,0).

2.（2013·辽宁高考理科·Ｔ11）【备注：（2013·辽宁高考文科·Ｔ12）与此题干相同，选项顺序不同】

已知函数2222()2(2),()2(2)8,f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+

设{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==（{}max ,p q 表示,p q 中的

较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记1()H x 的最小值为A , 2()H x 的

最大值为B ,则A B -=（ ）

）

2

2

.16

.16.

216

.

216

A B C a a D a a ---+-

【解题指南】 搞清楚{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==的确切含义。数形结合解决问题。

【解析】选B.

{}1(),()(),

()max (),()(),()().f x f x g x H x f x g x g x f x g x ≥?==?

()min (),()(),()().f x f x g x H x f x g x g x f x g x ≤?==?

>?

；

由2222()()2(2)2(2)8,f x g x x a x a x a x a =?-++=-+--+ 解得122, 2.x a x a =-=+

而函数2222()2(2),()2(2)8,f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+的图像的对称轴恰好分别为2, 2.x a x a =+=-

可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。如图1所示， 结合{}1(),()(),

()max (),()(),()().

f x f x

g x H x f x g x g x f x g x ≥?==?

、

{}2(),()(),

()min (),()(),()().f x f x g x H x f x g x g x f x g x ≤?==?

>?可知

12(),()H x H x 的图像分别如图2，图3所示（图中实线部分）

2x a =-2x a =+~

()g x

()f x

图1

可见，1min ()(2)44A H x f a a ==+=--，2max ()(2)124.B H x g a a ==-=-从而

16.A B -=-

3. （2013·湖南高考文科·Ｔ4）已知f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，且f （－1）+g （1）=2，f （1）+g （－1）=4，则g （1）等于（ ）

：

【解题指南】结合函数的奇偶性定义)()(),()(x g x g x f x f =--=-即可。 【解析】选B ， 因为)1()1(),1()1(g g f f =--=-，代入条件等式再相加，得3)1(=g

4.（2013·北京高考文科·Ｔ3）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+ ∞)上单调递减的是( )

=1

x

=e -x =-x 2+1

=lg ∣x ∣

：

【解析】选C. 根据在区间(0,+∞)上单调递减排除D,根据奇偶性排除A,B.

5.（2013·广东高考理科·Ｔ2）

定义域为R 的四个函数32,2,1,2sin x y x y y x y x ===+=中，奇函数的个数是（ ） A. 4

C. 2

【解题指南】四个函数的定义域R 关于原点对称，因此按照定义逐一验证奇偶性即可.

【解析】选C. 3,2sin y x y x ==是奇函数，21y x =+是偶函数，2x y =是

非奇非偶函数.

6.（2013·湖北高考文科·Ｔ8）x为实数，[]x表示不超过x的最大整数，则函数()[]

f x x x

=-在R上为( )

A．奇函数 B．偶函数C．增函数D．周期函数

【解题指南】画出图象求解.

【解析】选D. 由图象可知选D.

:

7.（2013·湖北高考文科·Ｔ10）已知函数()(ln)

f x x x ax

=-有两个极值点，则实数a的取值范围是( )

A．(,0)

-∞B．1

(0,)

2

C．(0,1) D．(0,)

+∞

【解题指南】利用导数求极值,转化为两个函数交点的问题.

【解析】选B.令()

f x

'=lnx-2ax+1=0,则lnx=2ax-1有两解,即函数y=lnx 与y=2ax-1有两个交点,直线是曲线y=lnx的割线;y=2ax-1恒过点A(0,-1),设过A(0,-1)点的直线与y=lnx的切点为M,则

k=

1

x

,y-lnx0=

1

()

x x

x

-,-1-lnx0=0

1

()

x

x

-,所以x0=1,k=1,所以

0<2a<1,0

2

,

"

8.（2013·山东高考文科·Ｔ3）与（2013·山东高考理科·Ｔ3）相同

已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+x

1

,则f(-1)= ( )

【解题指南】本题可利用函数为奇函数f(-1)=- f(1)，再利用当x>0时, f(x) =x 2+x

1即可求得结果.

【解析】选A. 因为函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=- f(1)，又因为当x>0时, f(x) =x 2+x 1，所以()1

1112+=f =2，f(-1)=- f(1)=-2.

9. （2013·天津高考文科·Ｔ7）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212

(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则

a 的取值范围是（ ）

—

A.

[1,2] B . 10,2??

???

C.

1,22??????

D.

(0,2]

【解题指南】根据对数的运算性质和函数的奇偶性，将条件

212

(log )(log )2(1)f a f f a ≤+化为2(1(log ))≤f a f ，再结合单调性转化为2log 1

≤a 求解.

【解析】选 C. 根据对数的运算性质和函数的奇偶性可知

()()

1222

(log )log log =-=f a f a f a ，因此

212

(log )(log )2(1)

f a f f a ≤+可化为

2(1(log ))≤f a f ，又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)

+∞单调递增，故2log 1≤a

，解得

1

2.2

≤≤a 10.（2013·重庆高考文科·Ｔ9）已知函数3()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈，

2(lg(log 10))5f =，则(lg(lg 2))f =

A.5-

B.1-

C.3

D.4

—

【解题指南】根据函数的奇偶性求解.

【解析】选C.因为)2lg(lg 2lg 11)10lg(log 2-=???

?

??=g 54))2lg(lg sin())2lg(lg ())2lg(lg ())10(lg(log 32=+-+-=-=b a f f

所以1))2lg(lg sin())2lg(lg (3=-+-b a

所以3414))2sin(lg(lg ))2(lg(lg ))2(lg(lg 3=+-=++=b a f . "

二、填空题

11. （2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ13）

()[)()21,3=

f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时，2

-x ，则

=-)1(f .

【解题指南】根据函数周期为2=T ，得)2()(+=x f x f ，从而将)1(-f 的函数值转化为求)1(f 的值.

【解析】因为2=T ，则)2()(+=x f x f ，又)1()21()1(f f f =+-=-，因为

)3,1[∈x 时，2)(-=x x f ，所以121)1(-=-=-f .

^

【答案】1-

12.（2013·北京高考文科·Ｔ13）函数f （x ）=12

log ,1

2,1

x x x x ≥????

【解题指南】分别求出每段的值域，再取并集。

【解析】当1x ≥时，12

log 0x ≤；当1x <时，22x <.因此，值域为(,2)-∞。

【答案】(,2)-∞

~

13. （2013·四川高考理科·Ｔ14）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2()4f x x x =-，那么，不等式(2)5f x +<的解集是

________ ．

【解析】依据已知条件求出y=f(x),x∈R的解析式,再借助y=f(x)的图象求解.设x<0,则-x>0.

当x≥0时,f(x)=x2-4x,

所以f(-x)=(-x) 2-4(-x).

因为f(x)是定义在R上的偶函数,

、

得f(-x)=f(x),

所以f(x)=x2+4x(x<0),

故

2

2

4,0

()

4,0

?-≥

?

=?

+<

??

x x x

f x

x x x

由f(x)=5得

22

4545

00

??

-=+=

??

≥<

??

x x x x

x x

或，

得x=5或x=-5.

》

观察图象可知由f(x)<5,得-5

所以由f(x+2)<5,得-5

故不等式f(x+2)<5的解集是{x|-7

【答案】{x|-7

】

14.（2013·上海高考理科·T12）设a为实常数，()

y f x

=是定义在R

上的奇函数，当0x <时，2

()97a f x x x

=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成

立，则a 的取值范围为________

【解析】(0)0f =，故011a a ≥+?≤-；当0x >时，2

()971a f x x a x

=+-≥+

即6||8a a ≥+，又1a ≤-，故87

a ≤-． 【答案】87

a ≤- 三、解答题

~

15.（2013·江西高考理科·Ｔ21）已知函数1f (x)a(12|x |)2

=--，a 为常数且a ＞0.

（1）证明：函数f （x ）的图像关于直线1x 2

=对称；

（2）若x 0满足f （f （x 0））= x 0，但f （x 0）≠x 0，则x 0称为函数f （x ）的二阶周期点，如果f （x ）有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；

（3）对于（2）中的x 1，x 2，和a ，设x 3为函数f （f （x ））的最大值点，A （x 1，f （f （x 1））），B （x 2，f （f （x 2））），C （x 3，0），记△ABC 的面积为S （a ），讨论S （a ）的单调性.

【解题指南】（1）要证函数f （x ）的图像关于直线1x 2

=对称，只需证明11f (x)f (x)2

2

+=-即可.（2）分10a 2

<<、1a 2

=、1a 2

>三种情况求f (f (x))的解析式，根据函数f （x ）的二阶周期点的定义求解；（3）求x 3，由（2）求出的x 1，x 2可得S （a ），借助导数研究函数的单调性. 【解析】（1）因为1

f (x)a(12|x |)2

+=-，1f (x)a(12|x |)2

-=-，即

11

f (x)f (x)22

+=-. 所以函数f (x)的图像关于直线1

x 2

=对称.

(2)当10a 2<<时，有2

214a x,x ,2f (f (x))14a (1x),x .

2

?≤??=??->??

所以f (f (x))x =只有一个解x=0，又f (0)0,=故0不是二阶周期点.

当1a 2=时，有1x,x ,2f (f (x))11x,x .

2

?≤??=??->??

所以f (f (x))=x 有解集1x |x 2??≤???

?

，又当1x 2

≤时，f （x ）=x ，故1x |x 2?

?≤??

?

?

中的所有点都不是二阶周期点.

当1a 2>时，有2

222214a x,x ,4a 112a 4a x,x ,4a 2

f (f (x))14a 12a(12a)4a x,x ,

24a 4a 14a 4a x,x .

4a ?≤??

?-<≤?=?-?-+<≤??-?->?

所以f (f (x))=x 有四个解0，2

22

2a 2a 4a ,,

14a 12a 14a +++，又 f (0)0,=2a 2a

f (

)12a 12a

=++， 22

2a 2a

f ()14a 14a ≠

++，22224a 4a f ()14a 14a ≠++，故只有2222a 4a ,14a 14a ++是f (x)的二阶周期点.

综上所述，所求a 的范围为1

a .2

>

（3）由（2）得2

1222

2a 4a x ,x 14a 14a ==++，因为3x 为函数f (f (x))的最大值

点，所以31x 4a =

或34a 1x 4a

-=. 当31

x 4a =

时，22a 1S(a)4(14a )

-=+

，因为S (a)'=

所以当1a (2∈时，S(a)

单调递增，当a )∈+∞时，S(a)单调

递减；

当34a 1x 4a -=时，228a 6a 1S(a)4(14a )-+=+，求导得：222

12a 4a 3S (a)2(14a )+-'=+，因为1

a 2>，从而有22212a 4a 3S (a)02(14a )+-'=>+，所以当1a (,)2

∈+∞时，S(a)单调递增.