专题2《函数与方程、不等式的关系》
专题2《函数与方程、不等式的关系》
破解策略
1．函数与方程的关系
（1）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的解 抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交点的横坐标的值；
（2）关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝mx＋n（am≠0）的解抛物线y＝ax2＋bx＋c （a≠0）与直线y＝mx＋n（m≠0）交点的横坐标的值．
2．函数与不等式的关系
（1）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x 轴上方的所有点的横坐标的值；
（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于x 轴下方的所有点的横坐标的值；
（3）关于x的不等式ax2＋bx＋c＞mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）上方的所有点的横坐标的值；
（4）关于x的不等式ax2＋bx＋c＜mx＋n（ma≠0）的解集抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）位于直线y＝mx＋n（m≠0）下方的所有点的横坐标的值．
例题讲解
例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx－2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．若该抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l：y＝－2x＋2的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的表达式．
解：如图，因为抛物线的对称轴是x＝1，且直线l与直线AB关于对称轴对称．
所以抛物线在－1＜x＜0这一段位于直线l的下方．
又因为抛物线在－2＜x＜－1这一段位于直线l的上方，所以抛物线与直线l的一个交点的横坐标为－1．
当x＝－1时，y＝－2×（－1）＋2＝4，则抛物线过点（－1，4），将（－1，4）代入y ＝mx2－2mx－2，得m＋2m－2＝4，则m＝2．所以抛物线的表达式为y＝2x2－4x－2．例2已知y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的自变量x与函数值y满足：当－1≤x≤1时，－1≤y≤1，且抛物线经过点A（1，－1）和点B（－1，1）．求a的取值范围．
解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（1，－1）和点B（－1，1），代入得a＋b＋c＝－1，a－b＋c＝1，
所以a＋c＝0，b＝－1，则抛物线y＝ax2－x－a，对称轴为x＝1
2a
．
①当a＜0时，抛物线开口向下，且x＝1
2a
＜0，
如图可知，当1
2a ≤－1时符合题意，所以－1
2
≤a＜0．
当－1＜1
2a
＜0时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．
②当a＞0时，抛物线开口向上，且x＝1
2a
＞0．
如图可知，当1
2a ≥1时符合题意，所以0＜a≤1
2
．
当0＜1
2a
＜1时，图像不符合－1≤y≤1的要求，舍去．
综上所述，a的取值范围是－1
2≤a＜0或0＜a≤1
2
．
例3在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，'b）给出如下定义：
1'1 b a b b a ≥?=?-
，则称点Q 为点P 的限变点． 例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（﹣2，5）的限变点的坐标是（﹣2，﹣5）．
（1）若点P 在函数y ＝﹣x ＋3（﹣2≤x ≤k ，k ＞﹣2）的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是﹣5≤b ′≤2，求k 的取值范围 ；
（2）若点P 在关于x 的二次函数y ＝x 2﹣2tx ＋t 2＋t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，其中m ＞n ．令s ＝m ﹣n ，求s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围 ．
解：（1）依题意，y ＝﹣x ＋3（x ≥﹣2）图象上的点P 的限变点必在函数y ＝313-21
x x x x -+≥??-≤
∴b ′≤2，即当x ＝1时，b ′取最大值2．
当b ′＝﹣2时，﹣2＝﹣x ＋3．
∴x ＝5．
当b ′＝﹣5时，﹣5＝x ﹣3或﹣5＝﹣x ＋3．
∴x ＝﹣2或x ＝8．
∵﹣5≤b ′≤2，
由图象可知，k 的取值范围是5≤k ≤8．
（2）∵y ＝x 2﹣2tx ＋t 2＋t ＝（x ﹣t ）2＋t ，
∴顶点坐标为（t ，t ）．
若t ＜1，b ′的取值范围是b ′≥m 或b ′＜n ，与题意不符．
若t ≥1，当x ≥1时，y 的最小值为t ，即m ＝t ；
当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2＋t]，即n＝﹣[（1﹣t）2＋t]．
∴s＝m﹣n＝t＋（1﹣t）2＋t＝t2＋1．
∴s关于t的函数解析式为s＝t2＋1（t≥1），
当t＝1时，s取最小值2，
∴s的取值范围是s≥2．
故答案为（3，1）；点B；5≤k≤8；s≥2．
进阶训练
1．若关于x的一元二次方程x2＋ax＋b＝0有两个不同的实数根m，n（m＜n），方程x2＋ax＋b＝1有两个不同的实数根p，q（p＜q），则m，n，p，q的大小关系为（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜q＜n
B
【提示】函数y＝x2＋ax＋b和函数y＝x2＋ax＋b－1的图像如图所示，从而得到p＜m ＜n＜q
解：函数y＝x2＋ax＋b如图所示：
2．在平面直角坐标系xOy中，p（n，0）是x轴上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线，交一次函数y＝kx＋b的图像于点M，交二次函数y＝x2－2x－3的图像于点N，若只有当－2＜n＜2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的表达式．
y＝－2x＋1
【提示】依据题意并结合图像可知，一次函数的图像与二次函数的图像的交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为（－2，5）和（2，－3）将交点坐标分别代入一次函数表达式即可
3．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2－（2m＋1）x＋m－5的图像与x轴有两个公共点，若m取满足条件的最小整数，当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值
n的值为－2
【提示】根据已知可得m＝1．图像的对称轴为直线x＝3
2．当n≤x≤1＜3
2
时，函数值y
随自变量x的增大而减小，所以当x＝1时，函数的值为－6，当x＝n时，函数值为4－n．所以n2－3n－4＝4－n，解得n＝－2或n＝4（不符合题意，舍去），则n的值为－2