(试题)第三章综合素能检测 新人教A版必修1

第三章综合素能检测

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2012～2013河北广平县高一期中试题)函数f(x)＝－x3－3x＋5有零的区间是( )

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(1,2) D．(2,3)

[答案] C

[解析]∵f(0)＝5，f(－1)＝9，f(1)＝1，f(2)＝－9，

∴f(1)f(2)＜0，故选C.

2．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

[答案] C

[解析]当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．

3．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )

A．大于0 B．小于0

C．等于0 D．无法判断

[答案] D

[解析]如图(1)和(2)都满足题设条件．

4．函数f (x )＝ax ＋b 的零点是－1(a ≠0)，则函数g (x )＝ax 2

＋bx 的零点是( )

A ．－1

B ．0

C ．－1和0

D ．1和0

[答案] C

[解析] 由条件知f (－1)＝0，∴b ＝a ，∴g (x )＝ax 2

＋bx ＝ax (x ＋1)的零点为0和－1. 5．(2012～2013山东鱼台一中期中试题)函数f (x )在区间[a ，b ]上为减函数，则f (x )在[a ，b ]上( )

A ．至少有一个零点

B ．只有一个零点

C ．没有零点

D ．至多有一个零点

[答案] D

6．(2012～2013山东梁山一中期中试题)函数f (x )＝x

12

－(13)x

的零点个数为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

[答案] B

[解析] f (x )＝x 12 －(13)x

在(0，＋∞)上为增函数，

当x ＝0时，f (0)＝－1＜0， 当x ＝1时，f (1)＝2

3

＞0，

∴f (0)f (1)＜0，因此f (x )在(0,1)上有一个零点，又f (x )单调递增，因此只有这一个零点故选B.

7．(2012～2013山东梁山一中期中试题)若函数f (x )＝x 3

－x －1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下

A ．1.2

B ．1.3125

C ．1.4375

D ．1.25

[答案] B

[解析] 由于f (1.375)＞0，f (1.3125)＜0，且

1．375－1.3125＜0.1，故选B.

8．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额， ①如果不超过200元，则不予优惠．

②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．

③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠． 某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )

A ．413.7元

B ．513.6元

C ．546.6元

D ．548.7元

[答案] C

[解析] 两次购物标价款：168＋423

0.9＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋

138×0.7＝546.6(元)．

9．(2012～2013河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快，到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S 1、S 2分别表示乌龟和兔子所行的路线，

t 为时间，则图中与故事情节相吻合的是( )

[答案] D

10．设函数f (x )＝?

??

??

2－x ，x ∈－∞，1]

log 81x ，x ∈，＋，则方程f (x )＝1

4

的解为( )

A.74 B ．3 C ．3或7

4

D ．无解

[答案] B

[解析] 当x ≤1时 2－x ＝14∴x ＝7

4

(舍)，

当x >1时log 81x ＝1

4

∴x ＝3，故选B.

11．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P (n )表示第n s 时机器人所在位置的坐标，且记P (0)＝0，则下列结论中错误的是( )

A ．P (3)＝3

B ．P (5)＝1

C ．P (2 003)>P (2 005)

D ．P (2 007)>P (2 008)

[答案] D

[解析] 机器人程序为前进3步、后退2步，则P (3)＝3，P (5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，

∴P (2 003)＝P (2 000)＋P (3)＝403，

P (2 005)＝P (2 000)＋P (5)＝401，

∴P (2 003)>P (2 005)正确．

又P (2 007)＝P (2 005)＋P (2)＝403，

P (2 008)＝P (2 005)＋P (3)＝404，

∴P (2 007)>P (2 008)错误．

12．已知函数f (x )的图象如图，则它的一个可能的解析式为( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝4－

4

x ＋1

C ．y ＝log 3(x ＋1)

D ．y ＝x 1

3

(x ≥0)

[答案] B

[解析] 由于过(1,2)点，排除C 、D ；由图象与直线y ＝4无限接近，但到达不了，即y ＜4知排除A ，∴选B.

第Ⅱ卷(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)

13．如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．

[答案] 3

[解析]代入x＝0得m＝－3.

∴f(x)＝x2－3x，则x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3

因此另一个零点为3.

14．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________.

[答案]

15．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2013，则x1＋x2＋…＋x2013＝________.

[答案]0

[解析]由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称，所以x1＋x2＋…＋x2013＝0.

16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．

①有三个实根；

②x＞1时恰有一实根；

③当0＜x＜1时恰有一实根；

④当－1＜x＜0时恰有一实根；

⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．

[答案]①⑤

[解析]f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故

f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，12)和(12

，1)内，故只有

①⑤正确．

三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)方程x 2

－1x

＝0在(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．

[解析] 不存在，因为当x ＜0时，－1

x

＞0，

∴x 2－1x ＞0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2

－1x

＝0.

18．(本小题满分12分)北京市的一家报刊摊点，从报社买进《北京日报》的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须相同，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

[解析] 设每天从报社买进x 份报纸，每月获得的总利润为y 元，则依题意有

y ＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x －250)

＝0.5x ＋625，x ∈[250,400]．

该函数在[250,400]上单调递增，所以x ＝400时，y max ＝825(元)．

答：摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元． 19．(本小题满分12分)某公司今年1月份推出新产品A ，其成本价为492元/件，经试销调查，销售量与销售价的关系如下表：

由此可知，＋b 的关系(通常取表中相距较远的两组数据所得的一次函数较为精确)．

试问：销售价定为多少时，1月份利润最大？并求最大利润和此时的销售量．

[解析] 由表可知?

??

??

350＝650k ＋b ，

200＝800k ＋b ??

??

??

k ＝－1，

b ＝1000，

故y ＝－x ＋1000. 设1月份利润为W ，则

W ＝(x －492)(－x ＋1000)＝－x 2＋1492x －492000＝－(x －746)2＋64516，

∴当x ＝746，W max ＝64516，此时销售量为1000－746＝254件，即当销售价定为746元/件时，1月份利润最大，最大利润为64516元，此时销售量为254件．

20．(本小题满分12分)用二分法求f (x )＝x 3

＋x 2

－2x －2在x 的正半轴上的一个零点(误

差不超过0.1)．

[解析] 显然f (2)＝23

＋22

－2×2－2＝6＞0.

当x ＞2时f (x )＞0，又f (0)＝－2＜0，f (1)＝－2＜0， 故f (x )在(1,2)区间内有零点.

21．(本小题满分12分)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是：行李质量不超过50kg 时，按0.25元/kg 计算；超过50kg 而不超过100kg 时，其超过部分按0.35元/kg 计算；超过100kg 时，其超过部分按0.45元/kg 计算．

(1)计算出托运费用；

(2)若行李质量为56kg ，托运费用为多少？

[解析] (1)设行李质量为x kg ，托运费用为y 元，则 ①若0＜x ≤50，则y ＝0.25x ；

②若50＜x ≤100，由y ＝12.5＋0.35(x －50)； ③若x ＞100，则y ＝30＋0.45(x －100)， 所以，由①②③可知， y ＝

????

?

0.25x ＜x

，12.5＋x － ＜x

，

30＋

x －

x ＞

(2)因为50kg ＜56kg ＜100kg ，所以y ＝12.5＋6×0.35＝14.6元．

22．(本小题满分12分)一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的2

2

.

(1)求每年砍伐面积的百分比．

(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？

[分析] (1)根据10年的砍伐面积为原来的一半，列方程求解．

(2)根据到今年为止，森林剩余面积为原来的

2

2

，列方程求解． (3)求出第n 年后森林剩余面积，根据森林面积至少要保留原面积的1

4列不等式求解．

[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0

＝12.

解得x ＝1－(12)1

10

.

(2)设经过m 年剩余面积为原来的

2

2

，则 a (1－x )m ＝22a ，即(12)m 10＝(12)12

， m

10＝1

2

，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，以后砍伐了n 年， 则n 年后剩余面积为2

2

a (1－x )n . 令

22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24

，

故今后最多还能砍伐15年．

[规律总结] 通过本题，重点强调高次方程、指数不等式的解法．对于高次方程应让学生明确，主要是开方运算；对于指数不等式，强调化为同底，应用指数函数的单调性求解，本题中化为同底是一大难点．