高中数学必修一模块检测

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(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1．如果A ＝{x |x >－1}，那么

( )．

A ．0?A

B ．{0}∈A

C ．?∈A

D ．{0}?A

解析 A 、B 、C 中符合“∈”“?”用错． 答案 D

2．已知函数f (x )＝1

1－x

的定义域为M ，g (x )＝ln(1＋x )的定义域为N ，则M ∩N ＝

( )．

A ．{x |x >－1}

B ．{x |x <1}

C ．{x |－1

D ．?

解析 由1－x >0得x <1，∴M ＝{x |x <1}．∵1＋x >0，∴x >－1.∴N ＝{x |x >－1}．∴M ∩N ＝{x |－1

答案 C

3．若0

A ．2m >2n

B ．(12)m <(12)n

C ．log 2m >log 2n

D ．

解析 ∵y ＝2x 是增函数0

2)x 是减函数，0

∴(12)m >(1

2)n ；y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴log 2m

4．若函数f (x )唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那

么下列命题中正确的是

( )．

A ．函数f (x )在区间(0,1)内有零点

B ．函数f (x )在区间(0,1)或(1,2)内有零点

C ．函数f (x )在区间[2,16)内无零点

D ．函数f (x )在区间(1,16)内无零点 解析 零点在(0,2)内，则不在[2,16)内． 答案 C

5．已知函数f (x )＝???

2x ＋1 x <1

x 2＋ax x ≥1若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于 ( )．

A.12

B.45 C ．2

D ．9

解析 ∵f (0)＝20＋1＝2.∴f (f (0))＝f (2)＝22＋2a ＝4a ， ∴2a ＝4，∴a ＝2. 答案 C

6．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (1

3)＝0，则满足的x 的取值范围是

( )．

A ．(0，＋∞)

B ．(0，1

2)∪(2，＋∞) C ．(0，18)∪(1

2，2) D

．(0，12)

答案 B 7．函数y ＝

x ＋4

3－2x

的定义域是

( )．

A ．(－∞，3

2] B ．(－∞，3

2) C ．[3

2，＋∞)

D ．(3

2，＋∞)

解析 由3－2x >0得x <3

2. 答案 B

8．已知U ＝R ，A ＝{x |x >0}，B ＝{x |x ≤－1}，则(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝( )． A ．? B ．{x |x ≤0}

C ．{x |x >－1}

D ．{x |x >0或x ≤－1}

解析 U B ＝{x |x >－1}，U A ＝{x |x ≤0}，∴A ∩U B ＝{x |x >0}，B ∩U A ＝{x |x ≤

－1}，

∴(A ∩U B )∪(B ∩U A )＝{x |x >0或x ≤－1}． 答案 D

9．设a >0，a ≠1，则函数y ＝log a x 的反函数和函数y ＝log a 1

x 的反函数的图象关于

( )．

A ．x 轴对称

B ．y 轴对称

C ．y ＝x 对称

D ．原点对称

解析 y ＝log a x 与y ＝log a 1

x ＝－log a x 关于y 轴对称， 则其反函数也关于y 轴对称． 答案 B

10．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)当x 1f (x 2)”的是

( )．

A ．f (x )＝1

x B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x

D ．f (x )＝ln(x ＋1)

解析 由题意知需f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案 A

11．已知函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 21

x ＋1

的图象关于y ＝x 对称，则f (1)的值为

( )．

A ．1

B ．－1

C.1

2D．－

1

2

解析(m，n)关于y＝x的对称点(n，m)，要求f(1)，即求满足1＝log2

1

x＋1

的

x的值，解得x＝－1 2.

答案 D

12．若函数f(x)＝log a(x＋1)(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a等于

()．

A.1

3 B. 2

C.

2

2D．2

解析∵x∈[0,1]，∴x＋1∈[1,2]．当a>1时，log a1≤log a(x＋1)≤log a2＝1，∴a＝2.当0

二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13．计算：0.25×(－1

2)

－4＋lg 8＋3lg 5＝________.

解析原式＝1

4×2

4＋3lg 2＋3lg 5＝4＋3＝7.

答案7

14．满足对定义域内任意x1，x2，都有f(x1)f(x2)＝f(x1＋x2)成立的函数f(x)＝________(写出一个即可)．

解析由于指数函数y＝a x，有故只需写一个指数函数即可．

答案2x

15．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，f(2)＝0，则不等式f(log2x)>0的解集为________．

解析∵f(x)是定义在R上的偶函数，

∴f (log 2x )>0，可化为：

f (|lo

g 2x |)>f (2)，又f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴|log 2x |>2，∴log 2x >2或log 2x <－2， ∴x >4或0

4.

答案 (0，1

4)∪(4，＋∞) 16．设在m >1时，a 、b 、c 的大小关系是

________．

解析 因为m >1，所以0

3，

故b >a >c .

答案 b >a >c

三、解答题(共6小题，共70分)

17．(10分)设A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}． (1)当x ∈N *时，求A 的子集的个数；

(2)当x ∈R 且A ∩B ＝?时，求m 的取值范围． 解 (1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 子集的个数为25＝32.

(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝?，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝?时，即m －1>2m ＋1?m <－2；

②当B ≠?时，可得??? 2m ＋1<－2m －1≤2m ＋1或???

m －1>5

m －1≤2m ＋1，

解得－2≤m <－3

2或m >6. 综上：m <－3

2或m >6.

18．(12分)已知函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(a >0，且a ≠1)． (1)求函数f (x )的定义域和值域；

(2)若函数f (x )有最小值为－2，求a 的值．

解 (1)由???

1－x >0

x ＋3>0

得－3

所以函数的定义域{x |－30，则0

当a >1时，y ≤log a 4，值域为{y |y ≤log a 4}． 当0

2.

19．(12分)已知函数f (x )＝ax ＋1

x 2(x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；

(2)若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围． 解 (1)定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．

当a ＝0时，f (x )＝1

x 2，满足对定义域上任意x ，f (－x )＝f (x )，∴a ＝0时，f (x )是偶函数；

当a ≠0时，f (1)＝a ＋1，f (－1)＝1－a ， 若f (x )为偶函数，则a ＋1＝1－a ，a ＝0矛盾； 若f (x )为奇函数，则1－a ＝－(a ＋1)，1＝－1矛盾， ∴当a ≠0时，f (x )是非奇非偶函数． (2)任取x 1>x 2≥3，

f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 21

－ax 2－1

x 22

＝a (x 1－x 2)＋x 22－x 2

1

x 21x 22＝(x 1－x 2)(a －x 1＋x 2x 21x 22

)．

∵x 1－x 2>0，f (x )在[3，＋∞)上为增函数，

∴a >x 1＋x 2x 21x 22

，即a >1x 1x 22

＋1

x 21x 2

在[3，＋∞)上恒成立．

∵1x 1x 22＋1x 21x 2

<227，∴a ≥227. 20．(12分)已知函数f (x )＝a x －a ＋1，(a >0且a ≠1)恒过定点(3,2)，

(1)求实数a；

(2)在(1)的条件下，将函数f(x)的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g(x)，设函数g(x)的反函数为h(x)，求h(x)的解析式；

(3)对于定义在[1,9]的函数y＝h(x)，若在其定义域内，不等式[h(x)＋2]2≤h(x2)＋m＋2恒成立，求m的取值范围．

解(1)由已知a3－a＋1＝2，∴a＝3，

(2)∵f(x)＝3x－3＋1，∴g(x)＝3x，∴h(x)＝log3x(x>0)．

(3)要使不等式有意义，则有1≤x≤9且1≤x2≤9，

∴1≤x≤3，

据题有(log3x＋2)2≤log3x2＋m＋2在[1,3]恒成立．

∴设t＝log3x(1≤x≤3)，∴0≤t≤1.

∴(t＋2)2≤2t＋m＋2在[0,1]时恒成立，

即：m≥t2＋2t＋2在[0,1]时恒成立，

设y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1，t∈[0,1]，

∴t＝1时有y max＝5，∴m≥5.

21．(12分)设函数f(x)＝ax－1

x＋1

，其中a∈R.

(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；

(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．

解f(x)＝ax－1

x＋1

＝

a(x＋1)－a－1

x＋1

＝a－

a＋1

x＋1

，

设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝a＋1

x2＋1

－

a＋1

x1＋1

＝(a＋1)(x1－x2) (x1＋1)(x2＋1)

.

(1)当a＝1时，f(x)＝1－

2

x＋1

，设0≤x1

则f(x1)－f(x2)＝

2(x1－x2)

(x1＋1)(x2＋1)

，

又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)

∴f(x)在[0,3]上是增函数，

∴f(x)max＝f(3)＝1－2

4＝

1

2，f(x)min＝f(0)＝1－

2

1＝－1.

(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.

若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，而f(x1)－f(x2)＝(a＋1)(x1－x2)

(x1＋1)(x2＋1)

，

∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，

∴f(x1)

∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．

22．(12分)某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量

f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝

1

150x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．

(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．

(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？

解(1)由题意知：

g(x)＝f(x)－f(x－1)

＝

1

150·x(x＋1)(35－2x)－

1

150(x－1)x[35－2(x－1)]

＝

1

150x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]

＝

1

150x(72－6x)＝

1

25x(12－x)．

∴g(x)＝1

25x(12－x)(x∈N且x≤12)．

(2)g(x)＝

x

25(12－x)＝－

1

25(x

2－12x＋36－36)

＝－1

25[(x－6)

2－36]＝－

1

25(x－6)

2＋

36

25，

∴当x＝6时，g(x)有最大值36 25.

即第六个月需求量最大，为36

25万件．