二次函数与二元一次方程

二次函数与二元一次方程11

教学目标

1．体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值． 2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力． 教学重点

1．待定系数法求二次函数解析式（三种方法）

2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知

识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．

教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题． 教学准备：

1.如果抛物线y =－2x 2+mx －3的顶点在x 轴正半轴上，则m =______.

2.二次函数y =－2x 2+x －2

1

，当x =______时，y 有最______值，为______.它的图

象与x 轴______交点(填“有”或“没有”).

3.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图1所示. ①这个二次函数的表达式是y =______；②当x =______时，y =3；③根据图象回答：当x ______时，y

>0.

图1

图2 一、相关知识回顾：

1．Y=x+1你们把我叫一次函数，我也是二元一次方程啊！这是怎么回事，你知道吗？

2、函数y=x+1上的任意一点的坐标是否满足方程x-y=-1？

以方程x-y=-1的解为坐标的点在不在函数y=x+1的图象上？

方程x-y=-1与函数y=x+1有何关系？

3．以方程x-y=-1的解为坐标的点一定在函数y=x+1的图象上吗？

函数y=x+1和方程x-y=-1到底有何关系呢？

4.在同一坐标系下，化出y=x+1与y=4x-2

方程组y=x+1的解是什么？二者有何关系？

总结 法解决方程问题，也可以用方程的方法解决图象问题。

二、教材补充 探究根与系数的关系定理 1．求解一元二次方程ax 2+bx+c=0的根。

显然ax 2+bx+c=0可以写成a(x －x 1)(x －x 2)=0的形式，其中x 1= x 2= 故y ＝ax 2+bx+c 可以写成y ＝a(x －x 1)(x －x 2)的形式，其中x 1= x 2= 然后再求出12x x +和12x x ?的值，观察有什么特点。

2．已知是x 1和x 2方程ax 2+bx+c=0的两根，写出下列已知方程的12x x +和12x x ?

2(1)560x x -+= 2(2)2310x x --= 24510x x ++=（3）

3、已知方程22630x x +-=的两根是12,x x ，利用根与系数的关系求下列各式的值。

12

11

(1)

x x + 2212(2)x x + 221212(3)x x x x + 221122(4)x x x x ++ 12

21

(5)

x x x x + 212(6)()x x - 12(7)(2)(2)x x -- 12(8)x x -

4．已知关于x 的方程2(3)80x m x --+=的两个实数根的平方根的和等于13，求m 的值及方程的两根。

5．已知两根是1±，求作一个以这两数为根的一元二次方程。

6．已知两根是1±，求作一个以这两数为根的一元二次方程，使所作的方程的二次项系数为1

2

例1、已知方程01422=--x x ，利用根与系数的关系求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知是已知方程的两根的平方。

判断下列各式分别表示什么？

34)1(2+-=x x y 042)2(2=+-x x 44)3(2+-=x x y

32

1

)2()4(-=

-x x x 54)5(2+-=x x y

问1、你知道这两种表达式之间有什么关系吗？二次函数能转化为一元二次方程吗？

问题2、请你们画出三个二次函数图像，并求出当y=0时的x 的值，观测图像与x 轴交点与X 的值有什么关系？

34)1(2+-=x x y 44)2(2+-=x x y 54)3(2+-=x x y

小结：二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交点有三种情况： 有两个交点、

一个交点、 没有交点。二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴的交点坐标一元二次方程ax 2+bx+c=0的根之间的关系。懂得了二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交点的横坐标就是当 =0时的一元二次方程的根。于是我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数的图像与x 轴交点的横坐标即可.但是, 在图像上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.

例1利用二次函数的图象求一元二次方程x 2+2x-10=3的近似根. (1).用描点法作二次函数y=x 2+2x-10的图象；

(2) 作直线y=3；

(3).观察估计抛物线y=x2+2x-10和直线y=3的交点的横坐标

(4).确定方程x2+2x-10=3的解;

由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值).

由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:

x1≈-4.7,x2≈2.7

解法二:

(1).原方程可变形为x2+2x-13=0；

(2).用描点法作二次函数y=x2+2x-13的图象(3).观察估计抛物线y=x2+2x-13和x轴的

交点的横坐标；由图象可知,它们有两个交点,其横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,分别约为-4.7和2.7(可将单位长再十等分,借助计算器确定其近似值) (3).

确定方程x2+2x-10=3的解;

由此可知,方程x2+2x-10=3的近似根为:

x1≈-4.7,x2≈2.7

随堂练习：用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.

1．二次函数解析式常用的有三种形式： (1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a(x －h)2＋k (a ≠0)； (3)两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0).

当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 形式.

当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y ＝a(x －h)2＋k 形式. 当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为两根式y ＝a(x －x 1)(x －x 2).

2．已知，如图，直线l 经过)0,4(A 和)4,0(B 两点，它与抛物线2

ax y =在第一象限内相交于点P ，又知AOP ?的面积为

2

9

，求a 的值；

3.已知抛物线y=x 2+(2n-1)x+n 2-1 (n 为常数).

(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；

(2)设A 是(1)所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB ⊥x 轴于B ，DC ⊥x 轴于C. ①当BC=1时，求矩形ABCD 的周长；

②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.

4、探究拓展与应用(共20分)

21.已知抛物线y =ax 2(a >0)上有两点A 、B ，其横坐标分别为－1，2，请探求关于a 的取值情况，△ABO 可能是直角三角形吗？不能，说明理由；能是直角三角形，写出探求过程，并与同伴交流.

5、探究拓展与应用(共12分)

21.如图3，直线AB 过x 轴上的点A (2，0)，且与抛物线y =ax 2相交于B 、C 两点，B 点坐标为(1，1). (1)求直线和抛物线所表示的函数表达式;

(2)在抛物线上是否存在一点D ，使得S △OAD =S △OBC ，若不存在，说明理由；若存在，请求出点D 的坐标，与同伴交流.

x

y

A

B C

D O

6.有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB 宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10米;

(1)在如图2的坐标系中，求抛物线的表达式.

(2)若洪水到来时，再持续多少小时才能到拱桥顶？(水位以每小时0.2米的速度上升)

x

y

C D

A

O

7.(10分) 如图，已知抛物线过点A(―1,0)、B(4,0)、1112,5

5C ??

-

??? (1) 求抛物线对应的函数关系式及对称轴；

(2) 点C ′是点C 关于抛物线对称轴的对称点，证明直线

4

(1)3

y x =-+必经过点C ′；

(3) 问：以AB 为直径的圆能否过点C ？并说明理由。