双曲线的定义、方程和性质(精)
双曲线的定义、方程和性质
执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6
一、学习目标：
掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。
二、知识要点：
1．定义
（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；
若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；
若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。
3．几个概念
（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。
（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴
双曲线，例：12222=-b
y a x 的共轴双曲线是122
22-=-b y a x 。
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共
轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
三、 解题方法指导：
例1．设双曲线方程为12
22
=-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。
解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴
长为2，离心率为
26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3
3
4，渐近线方程为x y 2
2
±
=，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0，
（22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12
22
=-x y 。 说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。
例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则
① C 表示椭圆的充要条件是
②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是
⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是
解：C 的方程可化为)0(1112
2≠=+AB B
y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1
A 1
,0B 1
,0A 1
≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>，
②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，
说明：方程Ax 2+By 2=1，可表示圆、椭圆、双曲线，而圆、椭圆、双曲线是有心曲线，故Ax 2+By 2=1表示有心曲线。
例3．求以2x ±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程x y 3
2
=
，得232y <=。 ∴ 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方，∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是y 轴
可设方程为12222=-b x a y ，其渐近线方程为0,02222=??
?
??-??? ??+=-a y b x a y b x b x a y
∴
2
3
=a b ∴a b 23= ①
又 ∵（1，2）在双曲线上，∴
11
422=-b
a ② ① 代入② 8,932,14
91422
2
2==∴=-b a a a
∴ 所求双曲线方程为1893222=-x y 解法二：方程4x 2
-9y 2=λ，是所有渐近线方程为032=±y x 的双曲线系方程，即共渐近线
方程，因为（1，2）点适合此方程 ∴ 4-36=λ，∴ λ=-32
∴ 方程为4x 2
-9y 2
=-32，即
189
322
2=-x y 说明：双曲线是具有渐近线的曲线，学习时要注意如下两个问题 （1） 已知双曲线方程，求出它的渐近线方程。
（2） 求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为0=±by ax 时，可设双曲线方程为
a 2x 2-
b 2y 2=)0(≠λλ，再利用其它条件确定入的值，这求法实质上是待定系数法。
例4．设动点P （x ，y ）到定点A （5，0）的距离与它到定直线X=3的距离之比为3，求其轨迹方程。
错解：根据双曲线的第二定义A （5，0）为焦点，∴C=5，又32
=c
a ∴ a 2
=15 b 2=c 2-a 2
=25-15=10 ∴ P 点的轨迹方程为双曲线
110
y 15x 2
2=-
而此双曲线的离心率应为
331515
5≠==a c ∴所以双曲线的中心不在坐标原点。 正确解答：由动点运动的条件可得：
33
)5(2
2=++-x y x 化简后得：2x 2- y 2-8x+2=0
说明：错解错误地按曲线中心为原点得出焦点从标F （C ，0）和准线方程为c
a x 2
=的结论，
四、练习题 （一） 选择题
1．双曲线14
22
=-y x 的离心率e 为（ ） A 、
25 B 、2
3
C 、21
D 、23
2．已知双曲线以椭圆19252
2=+y x 的焦点为焦点，且它的离心率为2，则该双曲线的方程。 A 、
141222=+y x B 、112422=-y x C 、127922=-y x D 、19272
2=-y x 3．双曲线的渐近线方程为4
3
±=y ，则它的离心率e 为（ ） A 、35 B 、45 C 、45或35 D 、3
4
（二） 填空题
4．与双曲线
12052
2=-y x 有共同的渐近线，且经过点（15,5-）的双曲线方程 5．双曲线19
42
2
=-x y 的渐近线方程是 6．双曲线
19
252
2=-y x 的两焦点为F 1、F 2，此双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离
7．双曲线116
92
2=-y x 上有一点P 到左准线的距离4.5，则点P 到右焦点的距离为
8．以椭圆x 2+4y 2=64的焦点为顶点，一条渐近线方程为03=+y x 的，双曲线方程
（三） 解答题： 给定双曲线12
2
=-
p
x ，过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在说明理由。
参考答案
（一） 选择题
（1）A （2）B （3）C （二） 填空题
（4）
1401022=-y x （5）x y 61±= （6）22或者2 （7）13.5 (8)116
482
2=-y x （三） 解答题
解：假设所求的直线m 存在，其方程为y=k （x-1）+1代入双曲线方程整理得：
032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k ①
设Q 1(x 1y 1),Q 2(x 2y 2),则21,x x 必是方程①的两根 即2222
221--=+k k
k x x 若B 是Q 1、Q 2的中点，就有
1221=+x x ，而221=+x x ∴应有22
2222=--k k
k ∴ k 应满足
0)32)(2(4)22(2
2
2
2
≥-+----k k k k k ②
22
222
2=--k k
k ③ 由③?k=2代入②得，－8＜0，即k=2不满足 ∴①无解，故这样的直线M 不存在。
双曲线及其标准方程详解
2．2 双曲线 2．2.1 双曲线及其标准方程 【课标要求】 1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 【核心扫描】 1．用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程．(重点) 2．与双曲线定义有关的应用问题．(难点 ) 自学导引 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 试一试：在双曲线的定义中，必须要求“常数小于|F 1F 2|”，那么“常数等于|F 1F 2|”，“常数大于|F 1F 2|”或“常数为0”时，动点的轨迹是什么？ 提示 (1)若“常数等于|F 1F 2|”时，此时动点的轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线F 1A ，F 2B (包括端点)，如图所示． (2)若“常数大于|F 1F 2|”(3)若“常数为0”，此时动点轨迹为线段F 1F 2的垂直平分线． 想一想：如何判断方程x a 2－y b 2＝1(a >0，b >0)和y a 2－x b 2＝1(a >0，b >0)所表示双曲线的焦点 的位置？ 提示 如果x 2项的系数是正的，那么焦点在x 轴上，如果y 2项的系数是正的，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 不一定大于b ，因此，不能像椭圆那样比较分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上． 名师点睛 1．对双曲线定义的理解 (1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在． (2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上． (3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)． (4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．” 2．双曲线的标准方程 (1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程． (2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，
双曲线的标准方程及其性质
双曲线的标准方程及其性质 一、双曲线的定义 1、已知双曲线22 1916 x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________. 2、若双曲线22 221x y a b -=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程. 3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？ 4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|?|PF 2|=32，求12F PF S ?； （2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120?，求12F PF S ?. 二、双曲线的标准方程 1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________. 2、已知双曲线方程为22 1205 x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线22 19 y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13 322 =+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件. （C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件. 5、双曲线22 2x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________. 三、双曲线的性质 1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________. 2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________. 3、若双曲线的渐近线方程为 ,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=
双曲线的定义、方程和性质(精)
双曲线的定义、方程和性质 执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6 一、学习目标： 掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。 二、知识要点： 1．定义 （1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。 说明： ①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线； 若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。 ②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a； 若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。 3．几个概念 （1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。
（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴 双曲线，例：12222=-b y a x 的共轴双曲线是122 22-=-b y a x 。 ① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共 轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。 三、 解题方法指导： 例1．设双曲线方程为12 22 =-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。 解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴 长为2，离心率为 26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3 3 4，渐近线方程为x y 2 2 ± =，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0， （22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12 22 =-x y 。 说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。 例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则 ① C 表示椭圆的充要条件是 ②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是 ⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是 解：C 的方程可化为)0(1112 2≠=+AB B y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1 A 1 ,0B 1 ,0A 1 ≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>， ②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，
双曲线的定义及标准方程 (1)
双曲线的定义及标准方程 题型一、圆锥曲线的标准方程 例1、讨论 19252 2 =-+ -k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 课时作业(十) [学业水平层次] 一、选择题 1．方程x 22＋m －y 2 2－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2 B ．m ＞0 C ．m ≥0 D ．|m |≥2 【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0. ∴－2＜m ＜2. 【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 2 16＝1 B.y 29－x 2 16＝1 C.x 29－y 2 16＝1(x ≤－3) D.x 29－y 2 16＝1(x ≥3) 【解析】 由题意知，轨迹应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16， ∴P 点的轨迹方程为x 29－y 2 16＝1(x ≥3)． 【答案】 D 3．(2014·福州高级中学期末考试)已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为( ) A.x 22－y 2 3＝1 B.x 23－y 2 2＝1 C.x 24－y 2 ＝1 D ．x 2 －y 2 4＝1 【解析】 由? ?? |PF 1|· |PF 2|＝2，|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(25)2 ， ?(|PF 1|－|PF 2|)2＝16， 即2a ＝4，解得a ＝2，又c ＝5，所以b ＝1，故选C. 【答案】 C 4．已知椭圆方程x 24＋y 2 3＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( ) A.2 B. 3 C ．2 D ．3 【解析】 椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a ＝1，c ＝2，所以双曲线的离心率为e ＝c a ＝2 1＝2. 【答案】 C 二、填空题 5．设点P 是双曲线x 29－y 2 16＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________. 【解析】 由双曲线的标准方程得a ＝3，b ＝4. 于是c ＝ a 2＋ b 2＝5. (1)若点P 在双曲线的左支上， 双曲线方程及性质的应用 （45分钟 100分） 一、选择题(每小题6分,共30分) 1.(2012·湖南高考)已知双曲线C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( ) A.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 B.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 C.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 D.错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1 2.(2013·昆明高二检测)过双曲线x2-错误!未找到引用源。=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有( ) A.一条 B.两条 C.三条 D.四条 3.(2013·大理高二检测)若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线错误!未找到引用源。-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 4.(2013·聊城高二检测)双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 5.已知点M(1,4),双曲线错误!未找到引用源。-y2=1的左顶点为A,若双曲线一 条渐近线与直线AM平行,则实数a等于( ) A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 二、填空题(每小题8分,共24分) 6.已知双曲线a n-1y2-a n x2=a n-1a n的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=错误!未找到引用源。x,其中{a n}是以4为首项的正项数列,则数列{a n}的通项公式是. 7.双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为. 8.(2013·吉林高二检测)已知双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为 y=±错误!未找到引用源。x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为. 三、解答题(9题,10题14分,11题18分) 9.(2013·洛阳高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B,求实数k的取值范围. 10.已知双曲线C1:x2-错误!未找到引用源。=1. (1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,错误!未找到引用源。)的双曲线C2的标准方程. (2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当错误!未找到引用源。·错误!未找到引用源。=3时,求实数m的值. 11.(能力挑战题)已知双曲线C:错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±错误!未找到引用源。x,O为坐标原点,点M(错 双曲线的定义及其基本性质 一、双曲线的定义： （1）到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜ 2 1F F ）的点的轨迹。两定点叫双曲线的焦点。 a PF PF 221=-＜2 1F F （2）动点P 到定点F 的距离与到一条定直线的距离之比是常数e （e ＞1）时，这个动点的轨迹是双曲线。这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。 二、双曲线的方程： 双曲线标准方程的两种形式： ① 12 222=-b y a x ，2 2b a c +=，焦点是 F 1(-c,0),F 2(c,0) 12222=-b x a y , 22b a c +=， 焦点是F 1(0, -c),F 2(0, c) 三、双曲线的性质： （1）焦距F 1F 2=2c,实轴长A 1A 2=2a,虚轴长2b,且a 2+b 2=c 2 （2）双曲线的离心率为e= a c ，e>1恒成立。 （3）焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ，通径长EF ＝ a b 2 2 （4）有两条准线，c a x l 21:- =c a x l 2 2:= 四、双曲线的渐近线： （1）若双曲线为12222=-b y a x ?渐近线方程为x a b y ±=， （2）若已知某双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，则可设此双曲线为λ=-22 22b y a x ， （3）特别地当a=b 时?2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y =±x ，此时双曲线为等轴双曲线 五、共轭双曲线： 双曲线A 的实轴为双曲线B 的虚轴，双曲线A 的虚轴为双曲线B 的实轴，即11 122=+B A e e 。 K 2 O F 1 F 2 x y O F 1F 2 x y § 2.3双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方程 课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题． 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于|F 1F 2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________． 平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值大于|F 1F 2|时的点的轨迹__________． (2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点F 1、F 2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________． 2．双曲线的标准方程 (1)焦点在x 轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F 1__________，F 2__________. (2)焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F 1__________，F 2__________. (3)双曲线中a 、b 、c 的关系是________________． 一、选择题 1．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ，命题甲：||MF 1|－|MF 2||＝2a(a 为常数)，命题乙：M 点轨迹是以F 1、F 2为焦点的双曲线，则甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2．若ax 2＋by 2＝b(ab<0)，则这个曲线是( ) A ．双曲线，焦点在x 轴上 B ．双曲线，焦点在y 轴上 C ．椭圆，焦点在x 轴上 D ．椭圆，焦点在y 轴上 3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B .x 23－y 2＝1 C ．y 2－x 23＝1 D .x 22－y 22＝1 4．双曲线x 2m －y 23＋m ＝1的一个焦点为(2,0)，则m 的值为( ) A .12 B ．1或3 C .1＋22 D .2－12 5．一动圆与两圆：x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( ) A ．抛物线 B ．圆 双曲线的标准方程及其几何性质 一、双曲线的标准方程及其几何性质. 1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。 (1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线. (3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：22 a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -2 2b x =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线. 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2 、y 2 的分母的大小，而是x 2 、y 2 的系数 的符号，焦点在系数正的那条轴上. 4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。 （1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式?，则有：?>?0直线与双曲线相交于两个点；?=?0直线与双曲线相交于一个点；? (3)直线l 被双曲线截得的弦长2 212))(1(x x k AB -+=或2 212 ))(11(y y k -+ ，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且 212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出． 二、例题选讲 例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距 离为2，则双曲线方程为 ( ) A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝ 2 D ．x 2－y 2＝1 2 解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2 a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ， ∴ |2a | 2 ＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程． (1)过点)2,3(-P ，离心率2 5= e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且 ?=∠6021PF F ，31221=?F PF S ． 解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下． 如双曲线的实轴在x 轴上，设122 22=-b y a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ① 由点)2,3(-P 在双曲线上，得 12 922 =-b a ．②， 又222c b a =+，由①、②得12=a ，4 1 2= b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19 222=-b a ， 222c b a =+．解之，得2 17 2- =b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为142 2 =-y x ． (2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a c e ，由双曲线的定义，得 双曲线标准方程及性质 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 范围 顶点 轴长 焦点 焦距 对称性 离心率 渐近线方程 3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 第1课时 双曲线及其标准方程 一、选择题 1．已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点为F 1、F 2，过F 1作直线交双曲线同一支于A 、B 两点， 且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长是( ) A ．4a B ．4a －m C ．4a ＋2m D ．4a －2m 2．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2 cos θ＝1 所表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆 3．(2010·安徽理，5)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.??? ? 22，0 B.?? ??52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 4．k >9是方程x 29－k ＋y 2 k －4＝1表示双曲线的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 5．已知双曲线x 225－y 2 9＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距 离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于( ) A.2 3 B ．1 C ．2 D ．4 6．已知双曲线x 2－ y 22 ＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离为( ) A.43 B.53 C.233 D. 3 7．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 8．以椭圆x 23＋y 2 4＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是( ) A.x 23 －y 2 ＝1 B ．y 2－ x 23＝1 C.x 23－y 2 4 ＝1 D.y 23－x 2 4 ＝1 9．已知双曲线中心在原点，一个焦点为F 1(－5，0)，点P 在该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( ) A.x 24 －y 2 ＝1 B ．x 2－ y 24＝1 C.x 22－y 2 3 ＝1 D.x 23－y 2 2 ＝1 10．已知双曲线x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线上一点P 使∠F 1PF 2＝90°，则 △F 1PF 2的面积是( ) A ．12 B ．16 C ．24 D ．32 二、填空题 11．若双曲线x 2－y 2＝1右支上一点P (a ，b )到直线y ＝x 的距离是2，则a ＋b ＝________. 12．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为____________． 13．若双曲线x 2m －y 2n ＝1(m >0，n >0)和椭圆x 2a ＋y 2 b ＝1(a >b >0)有相同的焦点F 1，F 2，M 为两曲线的交 点，则|MF 1|·|MF 2|等于________． 直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程 归纳整理：杜响 1.斜率公式 21 21 y y k x x -= -（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 2.直线的五种方程 （1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). 3.两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222 ||A B C l l A B C ?=≠； ②1212120 l l A A B B ⊥?+=； 4.夹角公式 (1)21 21 tan | |1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2 π . 5. 1l 到2l 的角公式 (1)21 21 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120 A A B B +≠). 直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2 π . 6．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． 双曲线及其标准方程习 题 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 [学业水平训练] 1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( ) A．双曲线B．双曲线的一支 C．两条射线D．一条射线 解析：选D.依题意|PM|－|PN|＝2＝|MN|， 所以点P的轨迹不是双曲线，而是一条射线． 2．若方程x2 10－k ＋ y2 5－k ＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．(5,10) B．(－∞，5) C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)解析：选A.由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5 双曲线的标准方程及性质应用2018/11/18 题型一、双曲线的标准方程： 例题：1、到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹方程是 2、方程11122 =-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是 3、过双曲线19 162 2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ?（F 2为右焦点）的周长 4、已知双曲线22 112x y n n -=-。则n ＝ 5、双曲线116 92 2=-y x 的两个焦点为F 1F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF ２，则点P 到x 轴的距离为 练习： 1、 动点P 到点M (1,0)及点N (3,0)的距离之差为2，则点P 的轨迹是 2、 椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 22 ＝1有相同的焦点，则a 的值是 3、 k >9是方程x 29－k ＋y 2 k －4 ＝1表示双曲线的 条件 4、 双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共的焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为 5、 椭圆x 234＋y 2n 2＝1和双曲线x 2n 2－y 216 ＝1有相同的焦点，则实数n 的值是________ 题型二、双曲线的基本性质： 例题：1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x 225＋y 29＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_____ ___；渐近线方程为____ ___ 2、双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m 的值为 3、双曲线2 4 x －212y =1的焦点到渐近线的距离为 4、已知双曲线22291(0)y m x m -=>的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15 ，则m = 5、双曲线122 22=-a y b x 的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 练习： 1、双曲线13 62 2=-y x 的渐近线与圆)0()3(222>=+-r r y x 相切，则r = 2、过点A （52，-12），且双曲线的一条渐近线平行于直线12x -5y +35=0．则双曲线的标准方程 3、过双曲线()22 2210,0x y a b a b -=>>的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_____ ___ 双曲线及其标准方程练习题 高二一部数学组 刘苏文 2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E 、F 的距离之差的绝对值等于|EF |的点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．一条直线 C ．一条线段 D ．两条射线 2．已知方程x 21＋k －y 2 1－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1 第二课时 双曲线及其性质 【学习目标】 ① 了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用． ②了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质． 【考纲要求】 双曲线为A 级要求 【自主学习】 1．双曲线的定义 (1) 平面内与两定点F 1，F 2的 常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线． 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，p 点的轨迹是 ． ②2a ＞|F 1F 2|时，p 点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 (1) 标准方程：12 22 2 =- b y a x ，焦点在 轴上；1 2 22 2 =- b x a y ，焦点在 轴上．其中：a 0， b 0，=2a ． (2) 双曲线的标准方程的统一形式： ) 0(12 2 <=+nm ny mx 3．双曲线的几何性质(对 ,0,12 22 2>>=- b a b y a x 进行讨论) (1) 范围：∈x ，∈y ． (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标为 ，焦点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长 为 ，渐近线方程为 ． (4) 离心率e = ，且∈e ，e 越大，双曲线开口越 ，e 越小，双曲线 开口越 ，焦准距P ＝ ． (5) 具有相同渐近线x a b y ±=的双曲线系方程为 (6) 的双曲线叫等轴双曲线，等轴双曲线的渐近线为 ，离心率 为 ． (7) 1 2 22 2=- b y a x 的共轭双曲线方程为 ． 【基础自测】 1.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 . 2.过双曲线x 2-y 2=8的左焦点F 1有一条弦PQ 在左支上，若|PQ |=7，F 2是双曲线的右焦点， 则△PF 2Q 的周长是 . 3.已知椭圆2 22 2b y a x + =1（a ＞b ＞0）与双曲线 2 22 2n y m x - =1（m ＞0,n ＞0）有相同的焦点（-c ， 0）和（c ，0）.若c 是a 与m 的等比中项，n 2 是m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率等于 . 4.设F 1、F 2分别是双曲线 2 22 2b y a x - =1的左、右焦点.若双曲线上存在点A ， 使∠F 1AF 2=90°且|AF 1|=3|AF 2|,则双曲线的离心率为 . 5.（2008·上海春招）已知P 是双曲线 9 2 2 2y a x - =1右支上的一点，双曲线的一条渐近线 方程为3x -y =0,设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF 2|=3，则|PF 1|= . [典型例析] 例1根据下列条件，写出双曲线的标准方程 (1) 中心在原点，一个顶点是(0，6)，且离心率是1.5． (2) 与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)． 变式训练1：根据下列条件，求双曲线方程。 （1）与双曲线1 16y 9x 2 2 =- 有共同渐近线，且过点（-3，3 2）； （2）与双曲线1 4 y 16 x 2 2 =- 有公共焦点，且过点（2 3 ，2）. 例2. 双曲线C ： 2 22 2b y a x - =1 (a ＞0,b ＞0)的右顶点为A ，x 轴上有一点Q （2a ，0），若C 上存在一点P ，使AP ·PQ =0，求此双曲线离心率的取值范围. 圆锥曲线教案双曲线的定义及其标准方程教案 教学目标 1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义，双曲线的标准方程的探索推导过程． 2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力． 3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重点与难点 双曲线的定义和标准方程及其探索推导过程是本课的重点．定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解是难点． 教学过程 师：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ （学生口述椭圆的两个定义，标准方程，教师利用投影仪把椭圆的定义、标准方程和图象放出来．） 师：椭圆的两个定义虽然都是由轨迹的问题引出来的，但所采用的方法是不同的．定义二是在认识上已经把椭圆和方程统一起来，在掌握了坐标法基础上利用坐标方法建立轨迹方程．这是通过方程去认识轨迹曲线．定义中设定的常数2a，|F 1F2|=2c ，它们之间的变化对椭圆有什么影响？ 生：当a=c时，相应的轨迹是线段FF.当a v c时，轨迹不存在.这是因 为a、c 的关系违背了三角形中边与边之间的关系． 师：如果把椭圆定义中的“平面内与两个定点F i、F2的距离的和”改写为“平面内与两个定点F i、F2的距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程又是怎样的呢？ （师生共同做一个简单的实验，请同学们把准备好的实验用具拿出来，一起做实验.教师把教具挂在黑板上，同时板书：平面内与两个定点F i、F2的距离之差为常数的点的轨迹是什么曲线？边画、边操作、边说明. ） 师：做法是：适当选取两定点F i、F2,将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F i 处，在另一边上截取一段AF（v F i F2），作为动点M到两定点F i和F?距离之 差.而后把它固定在F2处.这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉锁的逐渐打开铅笔就徐徐画出一条曲线；同理可画出另一支?如图2-36 . 双曲线及其标准方程练习题答案及详解 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 练习题 高二一部数学组刘苏文2017年5月2日 一、选择题 1．平面内到两定点E、F的距离之差的绝对值等于|EF|的点的轨迹是() A．双曲线 B．一条直线C．一条线段D．两条射线 2．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) A．－1双曲线及其标准方程练习题
双曲线方程及性质的应用
双曲线的定义及其基本性质
2.3.1 双曲线及其标准方程
高中数学双曲线的标准方程及其几何性质
双曲线标准方程及性质(有答案)
直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及标准方程
双曲线及其标准方程习题
双曲线的方程及性质
双曲线及其标准方程练习题答案及详解
双曲线标准方程及其简单的性质
双曲线的定义及其标准方程教案
双曲线及其标准方程练习题答案及详解