如何计算抛物线某点处的曲率和曲率半径资料讲解
用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径
对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。
对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。
今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。
举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像
设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。
我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。
接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。
接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：
曲率与挠率
曲率与挠率 摘要:三维欧氏空间中的曲线中的曲率与挠率是空间曲线理论中最基本、最重要的两个概念,分别刻画空间曲线在一点邻近的弯曲程度和离开密切平面的程度,本文中给出了曲率与挠率的定义及其计算公式,并根椐公式 实例进行计算,以及曲率和挠率关于刚性运动及参数变换的不变性. 关键词：曲率与挠率 平面特征 刚性运动 1. 曲率与挠率的定义及其几何意义 1.1曲率的解析定义 设曲线C 的自然参数方程为()s r r =,且()s r 有二阶连续的导矢量r ,称()s r 为曲线C 在弧长为s 的点处的曲率,记为()()s r s k =,并称()s r 为C 的曲率向量,当 ()0≠s k 时,称()() s k s p 1 = 为曲线在该点处的曲率半径. 1.2 挠率的解析定义 空间曲线不但要弯曲,而且还要扭曲,即要离开它的密切平面,为了能刻画这一扭曲程度,等价于去研究密切平面的法矢量（即曲线的副法矢量）关于弧长的变化率,为此我们先给出如下引理. 引理:设自然参数曲线C :()s r r =本向量为βα ,和γ ,则0=?α r ,即r r 垂直于α . 另一方面由于1=r ,两边关于弧于s 求导便得 0=?r r , 即r 垂直于r ,这两方面说明r 与γα ?共线,即r 与β 共线. 由()βτ s r -=（负号是为了以后运算方便而引进的）所确定的函数()s r 称为曲线C
的挠率.当()0≠s τ时,它的倒数 () 1 s τ称为挠率半径. 1.3曲率与挠率的几何意义 1.3.1 曲率的几何意义 任取曲线C :()s r r =上的一点()p s 及其邻近点()Q s s +?,P 和Q 点处的单位 切向量分别为()()s r s =α和()()s s r s s ?+=?+ α,它们的夹角设为θ?,将()s s ?+α 的起点移到()p s 点,则()()2 sin 2θ αα?=-?+s s s ,于是 ()() s s s s s s ?????=??= ?-?+θθθ θαα2 2sin 2sin 2 故 ()()s r s k = ()() s s s s s s s s ??=?????=?-?+=→?→?→?→?θθθθ ααθθ000 lim lim 2 2sin lim lim 这表明曲线在一点处的曲率等于此点与邻近点的切线向量之间的夹角关于弧长的变化率,也就是曲线在该点附近切线方向改弯的程度,它反映了曲线的弯曲程度.如果曲线在某点处的曲率愈大,表示曲线在该点附近切线方向改变的愈快,因此曲线在该点的弯曲程度愈大. 1.3.2挠率的几何意义 由挠率的定义和()γ τ =s ,因此挠率的绝对值表示曲线的副法向量关于弧长的变化率,换句话说,挠率的绝对值刻画了曲线的密切平面的变化程度.所以曲线的挠率就绝对值而言其几何意义是反映了曲线离开密切平面的快慢,即曲线的扭曲程度. 1.4 直线与平面曲线的特征
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全) 一 导数公式： 二 基本积分表： 三 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
曲面曲率计算方法的比较与分析
研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号：201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空 间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量和曲
率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K1、K2，那么平均曲率则为：H= (K1 +K 2 ) / 2。 K 表示曲面的高斯曲率, 两个主曲率的乘积即为高斯曲率，又称
如何计算抛物线点处的曲率和曲率半径
用物理方法计算抛物线某点处的曲率和曲率半径 对于一般的弧来说，各点处曲率可能不同，但当弧上点A处的曲率不为零时，我们可以设想在弧的凹方一侧有一个圆周，它与弧在点A相切（即与弧有公切线），这样的圆就称为弧上A点处的曲率圆。 对于函数图形某点的曲率和曲率半径，在数学上我们需要用到求二阶导数的方法。 今天我想简单说一种有趣的方法，将该问题用物理的思维来解决，无需求导便能够知道抛物线某点处的曲率和曲率半径。这种方法不属于主流方法，因此不能用它代替常规方法。介绍此方法的目的，只是为了让大家对抛物线及抛体运动和圆周运动乃至整个曲线运动本质上的联系有更加深刻的认识。 举一个最简单的例子：y=-x2，我们作出它的图像 设图像上存在一点A（a，-a2），求该点的曲率和曲率半径。 我们假设一质点从顶点O开始做平抛运动，恰经过A（a，-a2）。 接下来，我们可以算出该点处质点的速度大小：先得到下落时间，接着算出水平速度和竖直速度分量，再合成。质点在该点处速度大小为v=√(g/2+2a2g）。 接下来，我们利用角度关系，将A处的加速度（即重力加速度g）沿速度方向和垂直于速度方向分解，如下图：
令A点处质点速度方向与水平方向的夹角为θ，可得垂直于速度方向的加速度分量为gcosθ。我们可以求出cosθ=v0/v=1/√(1+4a2)，那么垂直于速度方向的加速度分量就等于g/√(1+4a2)。 我们想象一下在A点处有个圆与抛物线切于A，且该圆为抛物线A点处的曲率圆，半径为r。 根据圆周运动向心加速度计算式a=v2/r，得到gcosθ=g/√(1+4a2)=(g/2+2a2g）/r。 从而可以求出r=(1/2+2a2)√(1+4a2) 我们用微积分可求出该函数图象某点处曲率半径为：R=|{1+[y’(x)]2}3/2/y”|(x)。 在A点，导数为-2a，二阶导数为-2，所以上式就等于(1+4a2)3/2/2=(1/2+2a2)√(1+4a2)。 与上面算出的半径相等！ 因而，曲率半径K=1/r=2/(1+4a2)3/2 抛体运动和圆周运动都是曲线运动，但在高中课本里它们是分开学习的，大家或许曲线运动学得都不错，但或许很少有人想过抛体运动和圆周运动的内在联系。 高中阶段数学还没有曲率半径的概念，写本文的目的并不在于提前灌输曲率知识，也并不代表这种求法能够替代微积分。表面上看，这是一种新的数学求法，但实质上是以数学的形式为物理服务，目的是让大家看到抛体运动和圆周运动这两种曲线运动并不是割裂开的，它们内部有着非常大的联系，甚至可以说本质是相同的，我们甚至可以将抛体运动视为由无数个圆周运动组合而成！
缓和曲线曲率半径 的计算
所谓完整缓和曲线就是某段缓和曲线的一端与直线连接点的曲率半径必须是无穷大(可用10的45次方代替,有时也可用“0”表示，具体情况具体分析)，而缓和曲线两端无论在什么情况下与圆曲线相接时，其两端的曲率半径必须与对应连接圆曲线的半径相等。 现在我们来谈谈非完整缓和曲线，从上面的话知道，如果某段缓和曲线的一端与直线连接点曲率半径不是无穷大，而是一个实数，那么这段缓和曲线就是非完整缓和曲线。 设计图中遇到这种情况，一般会告诉这段缓和曲线的长度(我们把这段缓和曲线的长度记作L2，缺少的一段缓和曲线长度记作L1，L1+L2=完整缓和曲线长度L),如果没告诉这段缓和曲线的长度，也可以通过两端的桩号计算出来、设计参数A及缓和曲线另一端的曲率半径R2(应该是与一个圆曲线相接,也就是说R2等于这个圆曲线的半径)。 我们在输入匝道程序时必须要知道R1(起点曲率半径)，怎么办呢？那就通过计算把R1计算出来不就行了，下面就是计算过程： 由公式：R=A2÷L 推出 R1= A2÷L1 => A2=R1*L1 ……………………………………………………① R2= A2÷(L1+L2) => A2=R2*(L1+L2) ……………………………………………………② R2= A2÷(L1+L2) => R2= A2÷L => L=A2÷ R2 …………………………………………③ 由公式①②推出 R1*L1=R2*(L1+L2) => R1=R2*(L1+L2)÷ L1 …………………………………………④ L=L1+L2 => L1=L-L2 ……………………………………………⑤ 由公式③④⑤推出 R1=R2*L÷(L-L2) => R1= A2÷(A2÷ R2-L2) …………………………………………⑥ 公式⑥就是我们要找的曲率半径公式，计算得到结果计算完毕。 现在我们在编制非完整缓和曲线程序时就清楚的知道起点和终点的曲率半径了。还要说明一点就是，计算出来的曲率半径既是起点也是终点，既是终点也是起点，关键是看线路前进方向了，只要大家细心，分清起点终点输入程序，计算出来的准没错。
(完整版)高等数学公式大全
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππ
高斯曲率的计算公式
高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -== - 。 注意 (,,)uu r r r L n r =?= r r r r r ， (,,) uv r r r M n r =?= r r ， (,,) vv r r r N n r =?= r r 。 所以 2 2LN M K EG F -=- 2221[(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F =--r r r r r r r r r ， 利用行列式的转置性质和矩阵乘法
性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r -r r r r r r r r r (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? r r r r r r r r r r r r u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-?????????r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-???????r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-???r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。） 利用 u u r r E ?=r r ，u v r r F ?=r r ，
关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法
目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。 第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式
空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式摘要：本文研究了刻画空间曲线在某点邻近的弯曲程度和离开平面程度的量—曲率和挠率以及空间曲线论的基本公式--Frenet公式,并且举例有关曲率、挠率的计算和证明. 关键词：空间曲线；曲率；挠率；Frenet公式 Spatial curvature,torsion and Frenet formulas Abstract:This paper studies space curves depict a point near the bend in the degree and extend of the amount of leave plane-the curvature and torsion and the basic formula of space curves-Frenet formulas,and for example the curvature and torsion of the calculation and proof. Key Words: space curves; curvature; torsion; Frenet formulas 前言 空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式是空间曲线基本理论的一部分,它是以空间曲线的密切平面和基本三棱形的知识作为基础的.空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式在空间曲线的基本理论中占有重要位置,是空间曲线的一些基本性质和基本公式.曲线的曲率和挠率完全决定了曲线的形状.当曲线的曲率和挠率之间满足多种不同的关系时,就会得到不同类型的曲线.例如:0 k>时为直线,0 τ=时为平面曲线. 本文将从定义、公式推导和具体举例三方面逐步解析空间曲线的曲率、挠率和Frenet公式.本文第一部分讲述曲率和挠率的定义,第二部分讲述Frenet公式和曲率、挠率的一般参数表示的推导,第三部分具体举例有关曲率、挠率的计算和证明. 1.空间曲线的曲率和挠率的定义 1.1准备知识—空间曲线的伏雷内标架 给出2c类空间曲线()c和()c上一点p.设曲线()c的自然参数表示是
高斯曲率的计算公式汇总
第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) uu r r r L n r =?= ， (,,)uv r r r M n r =?= ， (,,) vv r r r N n r =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 222 1 [(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = -- ，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ?=- ? ? ? ????? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??=?-????-??? ， （其中用到行列式按第三行展开计 算的性质。）
关于不同类型缓和曲线 的判断及起点、终点曲率半径的计算方法
关于不同类型缓和曲线的判断及起点、终点曲率半径的计算方法 目前在匝道或线路施工坐标计算中经常遇到缓和曲线，实际中相信有很多测友选择用积木法或叫线元法正反算程序进行线路坐标计算，这就牵涉到线元的起点终点曲率半径判断的问题，一般的直线元，圆曲线元的起点终点半径判断，比较容易，可能令大家感觉麻烦的就是缓和曲线起点终点半径判断问题，缓和曲线有时候判断算对了，有时候却坐标算不对，究其原因，其实问题出于该缓和曲线是否是完整缓和曲线引起的。关于这点，相关的课本教材上没有明确的讲述，网上对此问题的解释也是散见于不同的论文著作中，对于测量新手来说，线元法程序是非常适用上手的，但却往往因为遇到不完整缓和曲线的起点或终点的半径判断计算不出来导致坐标计算错误，的确是件令人恼火的事情，在此我就把自己的判断经验做一论述，给用线元法程序的测友们一同分享，当然高手们请一笑而过，也可留下你的经验与大家一起分享交流学习。第一：先说说完整缓和曲线和不完整缓和曲线以及不对称缓和曲线与对称缓和曲线的概念问题，以免混为一谈. 1.当对于单独一段缓和曲线从其完整与否来讲是分为完整与不完整两类；当对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言）又有对称缓和曲线与不对称缓和曲线之分。由此看来，完整与对称与否是针对缓和曲线两个方面来看待区分的。 2.缓和曲线我们的测量教材上讲述的其实就是完整缓和曲线，也可以知道缓和曲线上：各个点的半径是不同的，起点到终点的半径值过度是从正无穷大到所接圆曲线半径之过度如从ZH向HY方向；或者是从所接圆曲线半径值向正无穷大过度的，如从YH向HZ方向。那么由此可以不难判断出来，完整缓和曲线就是符合上述特征的，那么不完整的缓和曲线就是不符合上述特征的，但是线路上的平曲线设计时候一般缓和曲线不单独存在的，整体上缓和曲线前或后一般都是要连接一个圆曲线的，那么不完整缓和曲线其实就是在完整缓和曲线上截取的一段，一般就是去掉了半径无穷大的那端而是从某个点开始的半径值向所接圆曲线半径值过度的。 3.对称与不对称缓和曲线是相对于一个单交点内的两段缓和曲线（即常说的第一缓和曲线和第二缓和曲线而言），当两个缓和曲线长度相等时候则称之为对称缓和曲线，自然此时的切线长、缓和曲线参数A值都是相等的，反之不相等就称为不对称缓和曲线，自然切线长、缓和曲线是不相等的。第二：由此可以看出对于缓和曲线而言，对称与否很容易分辨判断无需赘述，完整与否不易区分，也是这里重点要说的问题. 1.完整与不完整缓和曲线的区别判断方法：综上所述，完整缓和曲线与不完整缓和曲线的判断其实就在于验证完整缓和曲线参数方程A^2=R*Ls这个等式成立与否就可。(A为已知的缓和曲线参数，R为缓和曲线所接圆曲线的半径，Ls为该段缓和曲线的长度）理论上，当该式子成立时候，那就是完整缓和曲线无疑，当不成立时候那就可判断为不完整缓和曲线了。实际工作操作时候验证方法如下：先把R*Ls的乘积进行开平方然后看所得到的结果是否与所提供的缓和曲线参数A值相等。 2.完整缓和曲线与不完整缓和曲线起点终点的曲率半径的判断与计算：线路设计上的缓和曲线一般不会单独存在的，连续的缓和曲线起点或终点必定有一端都是要接圆曲线的,那么缓和曲线一端的半径值必定就是圆曲线的半径值了,求半径的问题就变成只需求出另外一端半径就可以了.上面说过首先判断出该缓和曲线是否是完整的办法,那么当是完整缓和曲线时候,起点或终点两端的半径,必定一端是无穷大,一端就是圆曲线半径了;那么当判断是不完整缓和曲线时,一端半径就是圆曲线半径,另一端的半径就绝对不能是无穷大了的,理论上应该是该端点的半径值要小于无穷大而大于所接圆曲线的半径值,那么该怎么求出来呢?此时就牵涉到了不完整缓和曲线的参数方程:A^2=[(R大＊R小)÷(R大－R小)]*Ls 由上方程可以看出，R大就是我们所需要求的这端半径了，R小自然就是该不完整缓和曲线所接的圆曲线半径了。A为该不完整缓和曲线参数，R小为所接圆曲线半径，Ls为该不完整缓和曲线的长度，这些图纸都提供的有了，只需按照上面的不完整缓和曲线的参数方程进行解方程就可得到另一端的半径值了，也就是R大＝(A^2*R小)÷(A^2－R小*Ls)就可以
曲面曲率计算方法的比较与分析
. 研究生专业课程报告 题目：曲面曲率直接计算方法的比较 学院：信息学院 课程名称：三维可视化技术 任课教师：刘晓宁 姓名：朱丽品 学号： 201520973 西北大学研究生处制
曲面曲率直接计算方法的比较 1、摘要 曲面曲率的计算是图形学的一个重要内容，一般来说，曲面的一阶微分量是指曲面的切平面方向和法向量，二阶微分量是指曲面的曲率等有关量.它们作为重要的曲面信息度量指标, 在计算机图形学, 机器人视觉和计算机辅助设计等领域发挥了重要的作用.此文对曲面上主曲率的2种直接估算方法（网格直接计算法和点云直接计算法）进行了论述, 并进行了系统的总结与实验, 并给出了其在颅像重合方面的应用。 关键词曲面曲率、主曲率、点云、三角网格 2、引言 传统的曲面是连续形式的参数曲面和隐式曲面, 其微分量的计算已经有了较完备的方法.随着激光测距扫描等三维数据采样技术和硬件设备的长足进步, 以及图形工业对任意拓扑结构光滑曲面造型的需求日益迫切, 离散形式的曲面———细分曲面、网格曲面和点云曲面正在逐渐成为计算机图形学和几何设计领域的新宠.于是, 对这种离散形式的曲面如何估算微分量, 就成为一个紧迫的课题。 CT扫描技术获得的原始点云和网格数据通常只包含物体表面的空间三维坐标信息及其三维网格信息，没有明确的几何信息，而在点云和网格的简化、建模、去噪、特征提取等数据处理和模式识别中，常需要提前获知各点的几何信息，如点的曲率、法向量等，也正基于此，点云和网格的几何信息提取算法一直是研究的热点。点的法向量
和曲率通常采用离散曲面的微分几何理论来计算，由于离散曲面分为网格和点集两种形式，其法向量和曲率计算也分为两类: 一类是基于网格的法向量和曲率计算，另一类是基于散点的法向量和曲率计算。由于基于三角网的点云几何信息计算精度一般比较低，通常采用直接计算法。在点云几何信息提取中，常采用基于散乱点的点云几何信息计算方法，该类方法主要是通过直接计算法和最小二乘拟合算法获取点云的局部n 次曲面，然后根据曲面的第一基本形式和第二基本形式求解高斯曲率和平均曲率，而点云的局部曲面表示有两种: 一是基于法向距离的局部曲面表示，二是基于欧几里德距离的局部曲面表示。 本节中针对近几年来国际上提出的对三角网格曲面估算离散曲率的直接估算法，从数学思想与表达形式等方面进行系统的归纳与总结. 3、三角网格曲面的曲率的计算及代码实现 为了叙述清楚起见, 引入统一的记号.k 1和k 2表示主曲率,曲面的主曲率即过曲面上某个点具有无穷个曲线，也就存在无穷个曲率（法曲率），其中存在一条曲线使得该曲线的曲率为极大，这个曲率为极大值k 1，垂直于极大曲率面的曲率为极小值k 2。这两个曲率的属性为主曲率。它们代表着法曲率的极值。主曲率是法曲率的最大值和最小值。 H 表示平均曲率,是空间上曲面上某一点任意两个相互垂直的正交曲率的平均值。如果一组相互垂直的正交曲率可表示为K 1、K 2，
高等数学-第3章-3.3-曲线的弯曲程度——曲率
* §3.3 曲线的弯曲程度——曲率 一、曲率的概念 在上一节中，我们研究了曲线的凹凸性，即曲线的弯曲方向问题。本节研究曲线的弯曲程度问题，这是在生产实践和工程技术中，常常会遇到的一类问题。例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度。为此，本节我们介绍描述曲线弯曲程度的概念——曲率及其计算公式。 直觉上，我们知道，直线不弯曲，半径小的圆比半径大的圆弯曲得厉害些，抛物线上在顶点附近比远离顶点的部分弯曲得厉害些。那么如何用数量来描述曲线的弯曲程度呢？ 如图3.6所示，12M M 和23M M 是两段等长的曲线弧，23M M 比12M M 弯曲得厉害些，当点 2M 沿曲线弧移动到点3M 时，切线的转角2α?比 从点1M 沿曲线弧移动到点2M 时，切线的转角1α?要大些。 如图3.7所示，12M M 和12N N 是两段切线转角同为α?的曲线弧，12N N 比12M M 弯曲得厉害些，显然，12M M 的弧长比12N N 的弧长大。 这说明，曲线的弯曲程度与曲线的切线转角成正比，与弧长成反比。由此，我们引入曲率的概念。 如图3.8所示，设,M N 是曲线()y f x =上的两点，当点M 沿曲线移动到点N 时， 切线相应的转角为α?， 曲线弧MN 的长为s ?。 我们用s ??α来表示曲线弧MN 的平均弯曲程 1M 图 3.6 图 3.7 图3.8
2 / 4 度，并称它为曲线弧MN 的平均曲率，记为K ，即 K s α ?= ?。 当0s ?→（即N M →）时，若极限0lim s d s ds αα ?→?= ?存在，从而极限0 l i m s d s d s αα?→?=?存在，则称0lim s d s ds αα ?→?=?为曲线()y f x =在M 点处的曲率，记 为K ，即 d K ds α = 。 （3.1） 注意到， d ds α 是曲线切线的倾斜角相对于弧长的变化率。 二、曲率的计算公式 设函数)(x f 的二阶导数存在，下面导出曲率的计算公式. 先求d α，因为α是曲线切线的倾斜角，所以αtan ='y ，从而y '=arctan α，两边微分，得 ())(11arctan 2y d y y d d ''+= '=αdx y y ''' +=2 11 （3.2） 其次求ds ，如图 3.9，在曲线上任取一点 0M ，并以此为起点度量弧长。若点()y x M ,在()000,y x M 的右侧()0x x >，规定弧长为正；若 点()y x M ,在()000,y x M 的左侧()0x x <，规定弧长为负；依照此规定，弧长s 是点的横坐标x 的增函数，记为()x s s =。 当点M 沿曲线移动到N ，相应地，横坐标由x 变到x x +?时，有 = ?2 )(s () ()()2 2 2 y x MN ?+?=≈， 即 22)(1)( x y x s ??+≈??， 图3.9
高斯曲率的计算公式
第二章 曲面论 高斯曲率的计算公式 高斯曲率绝妙定理 2 122LN M K k k EG F -==- 。 注意 (,,) u uu r r r L n r EG =?= ， 2(,,) u uv r r r M n r EG F =?= -， (,,) u vv r r r N n r EG =?= 。 所以 2 2LN M K EG F -= - 2 22 1[(,,)(,,)(,,)]() u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r EG F = --，
利用行列式的转置性质和矩阵乘法性质，得 2(,,)(,,)(,,)u v uu u v vv u v uv r r r r r r r r r - (,,)(,,) u u v u v vv v u v uv uu uv r r r r r r r r r r r r ???? ? ? =- ? ? ? ? ???? u u u v u vv u u u v u uv v u v v v vv v u v v v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ??????=???-????????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv u uv v uv uv E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??= ?-??????? u vv u uv v vv v uv uu u uu v uu vv uv uv uv u uv v E F r r E F r r F G r r F G r r r r r r r r r r r r r r ??= ?- ????-???， （其中用到行列式按第三行展开计算的性质。）
考研数学：高数重要公式总结(曲率)
考研数学：高数重要公式总结（曲率） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 曲率： 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答疑、测试、督导、报考指导、方法指导、联系导师、复试等全方位的考研服务。 凯程考研的宗旨：让学习成为一种习惯；
凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里； 信念：让每个学员都有好最好的归宿； 使命：完善全新的教育模式，做中国最专业的考研辅导机构； 激情：永不言弃，乐观向上； 敬业：以专业的态度做非凡的事业； 服务：以学员的前途为已任，为学员提供高效、专业的服务，团队合作，为学员服务，为学员引路。 特别说明：凯程学员经验谈视频在凯程官方网站有公布，同学们和家长可以查看。扎扎实实的辅导，真真实实的案例，凯程考研的价值观：凯旋归来，前程万里。 如何选择考研辅导班： 在考研准备的过程中，会遇到不少困难，尤其对于跨专业考生的专业课来说，通过报辅导班来弥补自己复习的不足，可以大大提高复习效率，节省复习时间，大家可以通过以下几个方面来考察辅导班，或许能帮你找到适合你的辅导班。 师资力量：师资力量是考察辅导班的首要因素，考生可以针对辅导名师的辅导年限、辅导经验、历年辅导效果、学员评价等因素进行综合评价，询问往届学长然后选择。判断师资力量关键在于综合实力，因为任何一门课程，都不是由一、两个教师包到底的，是一批教师配合的结果。还要深入了解教师的学术背景、资料著述成就、辅导成就等。凯程考研名师云集，李海洋、张鑫教授、方浩教授、卢营教授、孙浩教授等一大批名师在凯程授课。而有的机构只是很普通的老师授课，对知识点把握和命题方向，欠缺火候。 对该专业有辅导历史：必须对该专业深刻理解，才能深入辅导学员考取该校。在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下2015五道口金融学院状元，考取五道口15人，清华经管金融硕士10人，人大金融硕士15个，中财和贸大金融硕士合计20人，北师大教育学7人，会计硕士保录班考取30人，翻译硕士接近20人，中传状元王园璐、郑家威都是来自凯程，法学方面，凯程在人大、北大、贸大、政法、武汉大学、公安大学等院校斩获多个法学和法硕状元，更多专业成绩请查看凯程网站。在凯程官方网站的光荣榜，成功学员经验谈视频特别多，都是凯程战绩的最好证明。对于如此高的成绩，凯程集训营班主任邢老师说，凯程如此优异的成绩，是与我们凯程严格的管理，全方位的辅导是分不开的，很多学生本科都不是名校，某些学生来自二本三本甚至不知名的院校，还有很多是工作了多年才回来考的，大多数是跨专业考研，他们的难度大，竞争激烈，没有严格的训练和同学们的刻苦学习，是很难达到优异的成绩。最好的办法是直接和凯程老师详细沟通一下就清楚了。 凯程考研历年战绩辉煌，成就显著！ 在考研辅导班中，从来见过如此辉煌的成绩：凯程教育拿下国内最高学府清华大学五道口金融学院金融硕士29人，占五道口金融学院录取总人数的约50%，五道口金融学院历年状元均出自凯程.例如，2014年状元武玄宇,2013年状元李少华，2012年状元马佳伟，2011年状元陈玉倩;考入北大经院、人大、中财、外经贸、复旦、上财、上交、社科院、中科院金融硕士的同学更是喜报连连，总计达到150人以上，此外，还有考入北大清华人大法硕的
考研数学：高数重要公式总结(曲率)
凯程考研 历史悠久，专注考研，科学应试，严格管理，成就学员！ 考研数学：高数重要公式总结（曲率） 考研数学中公式的理解、记忆是最基础的，其次才能针对具体题型进行基础知识运用、正确解答。凯程小编总结了高数中的重要公式，希望能帮助考研生更好的复习。 曲率： 其实，考研数学大多题目考查的还是基础知识的运用，难题异题并不多，只要大家都细心、耐心，都能取得不错的成绩。考研生加油哦! 凯程考研： 凯程考研成立于2005年，具有悠久的考研辅导历史，国内首家全日制集训机构考研，一直从事高端全日制辅导，由李海洋教授、张鑫教授、卢营教授、王洋教授、杨武金教授、张释然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高级考研教研队伍组成，为学员全程高质量授课、答
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