三角形的三边关系定理
三角形的三边关系定理
利用“两点之间，线段最短。”有：AB+BC>AC
BC+AC>AB
AB+AC>BC
由此得出结论：三角形任意两边之和都大于第三边。
变形得：AC-BC AB-AC BC-AB 由此得出结论：三角形任意两边之差都小于第三边。 综合以上两个结论，我们能够得出：三角形第三边小于两边之和，大于两边之差。 可以表示为： 两边之差<第三边<两边之和 初中几何三角形五心定律及性质 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。 三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称 重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3，（Y1+Y2+Y3）/3）。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形的外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 5、外心到三顶点的距离相等 垂心定理 图1 图2 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 推论： 1. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图1） 2. 三角形的垂心是其垂足三角形的内心。（图1） 3. 若D 、E 、F 分别是△ABC 三边的高的垂足，则∠1 = ∠2 。（图2） 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE相交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB 证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度 ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE 解三角形题型5：正、余弦定理判断三角形形状 1、（2013·陕西高考文科·Ｔ9）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、（2010上海文数）18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =， 则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形. （C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 4、在△ABC 中，已知2a b c =+，2 sin sin sin A B C =，试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中，已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中，若c C b B a A sin cos cos = =，则△ABC 是（ ） A ．有一内角为30°的直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一内角为30°的等腰三角形 D ．等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c －a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 （ ） A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9、（2010辽宁文数17）在ABC ?中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边， 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ （Ⅰ）求A 的大小； （Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状： ①B=60°,b 2=ac ； ②b 2tanA=a 2tanB ； ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2－b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A －B). 重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍．上述交点叫做三角形的重心. 外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点． 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点． 这点叫做三角形的垂心. 内心定理 三角形的三内角平分线交于一点． 这点叫做三角形的内心. 旁心定理 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点． 这点叫做三角形的旁心．三角形有三个旁心． 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心． 它们都是三角形的重要相关点． 中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 三角形面积计算公式 S(面积)=a(边长)h(高)/2---三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半[编辑本段]勾股定理 在Rt三角形ABC中，A≤90度，则 AB·AB+AC·AC=BC·BC A〉90度，则 AB·AB+AC·AC>BC·BC [编辑本段]梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Menelaus）定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。 证明： 过点A作AG‖BC交DF的延长线于G, 则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。 三式相乘得：AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1 它的逆定理也成立：若有三点F、D、E分别在的边AB、BC、CA或其延长线上，且满足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，则F、D、E三点共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。 另外,有很多人会觉得书写这个公式十分烦琐,不看书根本记不住,下面从别人转来一些方法帮助书写 为了说明问题，并给大家一个深刻印象，我们假定图中的A、B、C、D、E、F是六个旅游景点，各景点之间有公路相连。我们乘直升机飞到这些景点的上空，然后选择其中的任意一个景点降落。我们换乘汽车沿公路去每一个景点游玩，最后回到出发点，直升机就停在那里等待我们回去。 三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC V 中，L 、M 、N 分 别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC V 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC V 中，设AB 边上的中B C 线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为 G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因 为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量BG u u u r ∥BM u u u u r ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ=uuu r uuu u r ，即 1()AG AB AM AB λ-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r 所以，11(1)AG AM AB λλ=+-u u u r u u u u r u u u r =111(1)2 AC AB λλ+-u u u r u u u r 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+-u u u r u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-uu u r uuu r 所以 111(1)2AC AB λλ+-u u u r u u u r = 221(1)2 AB AC λλ+-u u u r u u u r 又因为 AB uuu r 、 AC u u u r 不共线，所以 1221112112λλλλ=-=-??? 所以 1223λλ== ，所以 1133AG AB AC =+uuu r uu u r uuu r . 因为L 是BC 的中点，所以GL GA AC CL =++u u u r u u u r u u u r u u r =111()332AB AC AC CB -+++u u u r u u u r u u u r u u u r =121()332AB AC AB AC -++-uuu r uuu r uuu r uuu r =1166 AB AC +uuu r uuu r ，即2AG GL =u u u r u u u r ，所以A 、G 、L 三点共线.故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C 正余弦定理考点梳理： 1. 直角三角形中各元素间的关系：如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） A （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； c （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） b sin A＝cos B＝a c ，cos A＝sin B＝ b c ，tan A＝ a b 。 C B 2. 2．斜三角形中各元素间的关系： a 如图6-29 ，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c 分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝_____ （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理： a b c 2R 。（R为外接圆半径）sin A sin B sin C a b c ＝ ＝＝2R的常见变形： sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c； (2) a b ＝＝ sin A sin B c ＝ sin C a＋b＋c ＝2R； sin A＋sin B＋sin C (3) a＝2R sin_ A，b＝2R sin_ B，c＝2R sin_ C； a b c (4)sin A＝，sin B＝，sin C＝. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式：S＝1 2 ab sin C＝ 1 1 bc sin A＝ca sin B. 2 2 5. 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式：. 6. （1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 三角形重心性质定理 1．三角形重心性质定理 课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题） 在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ （提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND） 分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形 重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 证法1：（根据课本上的提示证明） （点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。） （点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。） 2.三角形重心性质定理的应用 ⑴求线段长 例1如图3所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，点D是斜边AB的中点，当G是Rt△ABC的重心，GE⊥AC 于点E，若BC=6cm，则GE= cm。 解： ⑵求面积 例2在△ABC中，中线AD、BE相交于点O，若△BOD的面积等于5，求△ABC的面积。 解： 练习：1.如图5，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，G 是重心，如果AG=6，那么线段DG= 。 2.如图6，在△ABC 中，G 是重心，点D 是BC 的中点，若△ABC 的面积为6cm 2，则△CGD 的面积为 。 巧用中线的性质解题 我们知道三角形的一条中线将三角形分成的两个三角形等底同高，这样的两个三角形的面积相等.下面我们利用上述性质来巧解以下问题. 一、巧算式子的值 例1 在数学活动中，小明为了求23411112222++++…12n +的值（结果用n 表示），设计了如图1所示的几何图形.请你利用这个几何图形求 23411112222++++ (12) n +的值. 解析：从图中可以看出大三角形的面积为1，根据三角形的中线把它分成两个面积相等的三角形可知，23411112222++++…12n +12 n +表示：组成面积为1的大三角形的所有小三角形的面积之和，于是23411112222++++ (12) n +112n =-. 【点评】此题运用“数形结合思想”，借助三角形的面积来求数的运算. 二、求图形的面积 例2 如图2，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，DE 、BF 交于点G ，求四边形ABGD 的面积. 复习课: 解三角形 枣庄十八中 秦真 教学目标 重点：能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积，形状有关的问题。 难点：如何选择适当的定理，公式，方法解决有关三角形的综合问题. 能力点：定理公式方法的适当选取，培养学生自主解决问题的能力. 教育点：提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻. 易错点：在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误 学法与教具 1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+-，2 2 2 2cos b a c ac B =+- ，2 2 2 2cos c a b ac C =+- ， 222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222 cos 2a b c C ab +-= 3.111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?= == 4.在三角形中大边对大角，反之亦然. 5.射影定理：cos cos a b C c B =+，cos cos b a C c A =+，cos cos c a B b A =+ 6.三角形内角的诱导公式 （1）sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，tan tan()C A B =+，cos sin 22 c A B +=，sin cos 22 C A B +=，... 在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及 sin sin sin a b c A B C == ，可求出角C ，再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ，由2 2 2 2cos a b c bc A =+-，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理 sin sin a b A B = ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由 sin sin a c A C =求出C ，而通过sin sin a b A B = 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表： 8. 三、【范例导航】 题型（一）：正、余弦定理 1正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以 计算出三角形的第三个角，由正弦定理可以计算出三角形的另两边；(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角． 2余弦定理有两方面的应用：(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边，进而求出其他两角；(2)已知三角形的三边，利用余弦定理求出一个角，进而求出其他两角． 例1．在?ABC 中，已知a =c = ，45B =o ，求b 及A ； 一、三角形重心定理 二、三角形外心定理 三、三角形垂心定理 四、三角形内心定理 五、三角形旁心定理 有关三角形五心的诗歌 三角形五心定理 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。外心的性质：1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。2、若O 是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A 为钝角）。3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。外心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。垂心的性质：1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG︰GH=1︰2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。4、垂心分每条高线的两部分乘积 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫仰角，目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①)． (2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏北60°等； (3)方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数． 【助学·微博】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等． 解三角形应用题常有以下两种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解． (2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有 时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解． 考点自测 1．(2012·江苏金陵中学)已知△ABC 的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积等于________． 解析 记三角形三边长为a －4，a ，a ＋4，则(a ＋4)2＝(a －4)2＋a 2－2a (a －4)cos 120°，解得a ＝10，故S ＝12×10×6×sin 120°＝15 3. 答案 15 3 2．若海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10海里，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是________海里． 解析 由正弦定理，知BC sin 60°＝AB sin (180°－60°－75°) .解得BC ＝56(海里)． 答案 5 6 3．(2013·日照调研)如图，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为________海里/时． 解析 由正弦定理，得MN ＝68sin 120°sin 45°＝346(海里)，船的航行速度为3464＝ 176 2(海里/时)． 答案 176 2 4．在△ABC 中，若23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，则△ABC 的形状是________． 解析 由23ab sin C ＝a 2＋b 2＋c 2，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 相加，得a 2＋b 2＝ 2ab sin ? ????C ＋π6.又a 2＋b 2≥2ab ，所以 sin ? ????C ＋π6≥1，从而sin ? ????C ＋π6＝1，且a ＝b ，C ＝π3时等号成立，所以△ABC 是等边三角形． 答案 等边三角形 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满 足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又 正弦定理与余弦定理 教学目标 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形正余弦定理及三角形面积公式． 教学重难点 掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形. 知识点清单 一. 正弦定理： 1. 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外 接圆的直径，即a b c2R( 其中R 是三角形外接圆的半 径） sin A sinB sinC 2. 变 形：1) a b c a b c sin sin sinC sin sin sinC 2）化边为 角： a:b:c sin A:sin B: sinC ； a sin A; b sin B a sin A b sinB c sinC c sin C 3）化边为角：a 2Rsin A, b 2Rsin B, c 2RsinC 4）化角为边：sin A a;sin B b ; sin A a sin B b sinC c sinC c 5）化角为边：sin A a sinB b,sinC c 2R2R2R 3. 利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a ， 解法：由A+B+C=18o0 ，求角A,由正弦定理 a sinA; b sinB; b sin B c sin C a sin A ; 求出 b 与c c sinC ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。例：已知边 a,b,A, 解法：由正弦定理 a sin A求出角B,由A+B+C=18o0 求出角C，再使用正 b sin B 弦定理 a sin A求出c边 c sinC 4. △ABC中，已知锐角A，边b，则 ① a bsin A 时，B 无解； ② a bsin A 或 a b 时， B 有一个解； 三角形重心-三角形重心定理 三角形中的几个重要定理 三角形中的几个重要定理 1．梅涅劳斯定理 一直线与ΔABC的三边AB、BC、CA或它们的延长线分别相交于X，Y，Z，AXBYCZ则 梅涅劳斯定理的逆定理也成立 在ΔABC的边AB、BC、CA分别取X，Y，Z. AXBYCZ 如果1，那么X，Y，Z三点共线。 XBYCZA 梅氏定理的逆定理常用来证明三点共线。 2. 塞瓦定理常可分为边元塞瓦定理和角元塞瓦定理。边元塞瓦定理：ΔABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于点D，BDCEAF E，F，则 1. DCEAFB 边元塞瓦定理逆定理也成立： 在ΔABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果那么直线AD，BE，CF三线相交于同一点. 塞瓦定理的逆定理常用来证明三线共点。角元塞瓦定理 BDCEAF 1. DCEAFB A F M E B D C 如图，设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，三条线段AD、BE、CF 交于一点M．则 对ΔABC与点M，有 sin BAMsin ACMsin CBM 1 sin MACsin MCBsin MBAsin BM Dsin MCAsin CBA 1 sin DMCsin ACBsin AMBsin CM Esin MABsin ACB 1 sin EMAsin BACsin BCM 对ΔMBC与点A，有 对ΔMCA与点B，有 对ΔMAB与点C，有 角元塞瓦定理的逆定理也成立。 sin AMFsin MBCsin BAC 1 sin FMBsin CBAsin CAM A D DE B F C B C E A F B E DA CF 如图，过△ ABC的三个顶点各引一条异于三角形三边的直线AD、BE、CF．若 sin BADsin ACFsin CBE 1，则AD、BE、CF三线共点或互相平行。 三角形的重心定理及其证明 积石中学王有华 同学们在学习几何时，常常用到三角形的重心定理.但很多同学不会证明这个定理？下面给出三种证明方法，你阅读后想一想，哪一种证明方法最好. 已知：（如图）设ABC 中，L 、M 、N 分别是BC 、CA 、AB 的中点. 求证：AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且 AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1. 证明1（平面几何法）：（如图1）假设中 线AL 与BM 交于G ，而且假设C 与G 的连线与AB 边交于N ，首先来证明N 是AB 的中点. 现在，延长GL ，并在延长线上取点D ，使GL=LD 。因为四边形BDCG 的对角线互相平分，所以BDCG 是平行四边形.从而，B G ∥DC ，即GM ∥DC.但M 是AC 的中点，因此，G 是AD 的中点. 另一方面，GC ∥BD ，即NG ∥BD.但G 是AD 的中点，因此N 是AB 的中点. 另外，G 是AD 的中点，因此AG ﹕GL=2﹕1.同理可证： BG ﹕GM=2﹕1， CG ﹕GN=2﹕1. 这个点G 被叫做ABC 的重心. 证明2（向量法）：（如图2）在ABC 中，设AB 边上的中 B C 线为CN ，AC 边上的中线为BM ，其交点为G ，边BC 的中点为L ，连接AG 和GL ，因为B 、G 、M 三点共线，且M 是AC 的中点， 所以向量B G ∥BM ，所以，存在实数1λ ，使得 1BG BM λ= ，即 1()AG AB AM AB λ-=- 所以，11(1)AG AM AB λλ=+- =111 (1)2 A C A B λλ+- 同理，因为C 、G 、N 三点共线，且N 是AB 的中点. 所 以存在实数2λ，使得 22(1)AG AN AC λλ=+- = 221(1)2 A B A C λλ+- 所以 111 (1)2A C A B λλ+- = 221(1)2 A B A C λλ+- 又因为 AB 、 A C 不共线，所以 12 21 112112 λλλλ=-=-?? ? 所以 122 3λλ== ，所以 1133 A G A B A C =+ . 因为L 是BC 的中点，所以G L G A AC C L =++ =111()332 A B A C A C C B -+++ =121()332AB AC AB AC -++- =1166 A B A C + ，即2AG GL = ，所以A 、G 、L 三点共线. 故AL 、BM 、CN 相交于一点G ，且AG ﹕GL= BG ﹕GM= CG ﹕GN=2﹕1 C 正弦、余弦定理及解三角形 【考纲要求】 1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、三角形中的边与角之间的关系 约定：ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对应的三边分别为a 、b 、c . 1．边的关系： (1) 两边之和大于第三边：a b c +>，a c b +>，c b a +>； 两边之差小于第三边：a b c -<，a c b -<，c b a -<； (2) 勾股定理：ABC ?中，2 2 2 90a b c C +=?=?. 2．角的关系： ABC ?中，A B C π++=,222C B A ++=2 π （1）互补关系： sin()sin()sin A B C C π+=-= cos()cos()cos A B C C π+=-=- tan()tan()tan A B C C π+=-=- （2）互余关系： sin sin()cos 2222A B C C π+=-= cos cos()sin 2222A B C C π+=-= tan tan()cot 2222 A B C C π+=-= 3．直角三角形中的边与角之间的关系 Rt ABC ?中，90C =?（如图） ，有： c c C c b B c a A ==== 1sin ,sin ,sin ， cos ,cos ,cos 0b a A B C c c ===. 要点二、正弦定理、余弦定理 1.正弦定理：在—个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．即： 应用 解三角形 正弦定理 余弦定理 正余弦定理与解三角形 撰稿：王秋寰 审稿：谷丹 责编：王静伟 目标认知： 学习目标： 1．掌握正弦定理、余弦定理及其推导； 2．能初步运用正弦定理、余弦定理求解一些斜三角形及解决一些简单的三角形度量问题． 学习重点： 运用正弦定理、余弦定理探求任意三角形的边角关系，解决与之有关的计算问题与实际问题． 学习难点： 灵活运用两个定理解决相关的解三角形问题． 内容解析： 一、正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C = = ． 注：1．应用正弦定理，可以研究两类解三角形问题： (1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 2．正弦定理的常见变形公式： ① 2sin sin sin a b c R A B C == =（其中R 为三角形外接圆的半径）； ② 2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； ③ sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = = = ；sin :sin :sin ::A B C a b c =; ④ 三角形面积公式：111 sin sin sin 222 S ab C ac B bc A ===． 二、余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 2 2 2 2cos a b c bc A =+-，2 2 2 2cos b c a ac B =+-，2 2 2 2cos c a b ab C =+-． 余弦定理的变式：222 cos 2b c a A bc +-= ，222 cos 2a c b B ac +-= ，222 cos 2a b c C ab +-= ． 注：1．应用余弦定理，可以研究两类解三角形问题： (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 2．余弦定理的几种常见变形式： ①222 cos 2b c a A bc +-= ；222 cos 2a c b B ac +-= ；222 cos 2b a c C ab +-= （求任意两边的夹角） ②222 2cos b c a bc A +-=；22 2 2cos b a c ab C +-=；2 2 2 2cos a c b ac B +-=（式的化简） ③2 2 2 60A a c b bc ∠=?=+- ；2 2 2 120A a c b bc ∠=?=++ ；2 2 2 90A a b c ∠=?=+ ； A ∠是锐角2 2 2 a b c ?<+；A ∠是钝角2 2 2 a b c ?>+（判断三角形的形状） 三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。 内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。 重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。 垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。 3、O为三角形的内心， A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO: ON=AB: BN=AC: CN=(AB+AC): BC 4（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠ A、∠ B、∠C的内角平分线分别交 BC、A C、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 5、内心到三角形三边距离相等。 正余弦定理与三角形面积公式(2009-7-7 16:45:00) 【收藏】【评论】【打印】【关闭】 这两天在看代码时发现关于三角形的这些基本定理和公式很有用，所以从网上搜了下，主要有三角形的正弦定理，余弦定理，以及三角形面积公式（包括海伦公式）。 正弦定理（引自百度百科） Sine theorem 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。 即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半径的两倍） 这一定理对于任意三角形ABC，都有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆半径 证明 步骤1. 在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。作CH⊥AB垂足为点H CH=a·sinB CH=b·sinA ∴a·sinB=b·sinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在△ABC中， b/sinB=c/sinC 步骤2. 证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如图，任意三角形ABC,作ABC的外接圆O. 作直径BD交⊙O于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C. 所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R 类似可证其余两个等式。 意义 正弦定理指出了任意三角形中三条边与对应角的正弦之间的一个关系式，又由正弦函数在区间上的单 调性可知，正弦定理非常好的描述了任意三角形中边与角的一种数量关系。 余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。 对于任意三角形三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 (注：a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。a^2、b^2、c^2就是a的平方，b的平方，c的平方。) a^2=b^2+c^2-2*b*c*Cos A b^2=a^2+c^2-2*a*c*Cos B c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C Cos C=(a^2+b^2-c^2)/2ab Cos B=(a^2+c^2-b^2)/2ac Cos A=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*Cos C 三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 1、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 2、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3， c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c， (c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 3、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。(完整word版)初中几何三角形五心及定理性质
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