高等数学同济第七版7版下册习题 全解.doc
第十章重积分95
数，故
/, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr.
fh i)i
又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2
+j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2.
Dy 1)：
从而得
/, = 4/2.
(2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ
jf/(x,y)da =0；
D
如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则
=0.
D
?3.利用二重积分定义证明：
(1)jj da=(其中(7为的面积)；
IJ
(2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)；
o n
(3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个
I) b\ lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得
n"
96一、《高等数学》(第七版)下册习题全解
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A =l i m cr= a. A—0 n (2)Ji/(x,j)(Ic7=lim^ i)1 n =A lim y/(^(,i7,)A(7-,=k \\f{x,y)Aa. A-°台?{! (3)因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把￡?怎样分割，积分和的极限总 是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y)在A U D2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为 ^/(^, ,17,) A CT, = ^/( ^, , 17,) A CT, + ^/(^, ,17,) A CT,. /)(U0, ", l)： 令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得J f(x,y)i\a =jjf(x,y)da+JJ/(x f y) da. p,un}V, n； Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1-2x2-y2)d?l y达到最大值. I) 解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1-2.v2-V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1-2/-y2小于零的点，即当￡?是椭圆2/+y2= l 所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大. & 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1)Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A+.、= D I) 1所围成； (2)J(x+7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2+(.v-l)2= t) n 2所围成； (3)I'M A；+y)(lor与!"[In(X+y)]2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三 顶点分别为 l)" (1，0)，(1，1)，(2,0); (4)Jpn(:r+y)dcr与In(:t+y)]2fW，其中/)=|(.r,.v)|3，0彡、彡 1 . i) i) 解(1)在积分K域0上，故有 (x + j) 3 ^ (x + y) 2. 根据二重积分的性质4，可得 J(.r + y) \lrx ^ J (.\ + v) 0 D (2)由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V+ ?、彡1 1内，故在/)|:& (.f + y)2彡(A + y)3?从『("? J( v +＞ )：drr ^ jj ( x + y) \l f r. 第十章重积分97 (3)由于积分区域D位于条形区域1U，y)|1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上 的点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此 jj[ln(A:+y)]2(Jo-^+y)d (4)由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)彡1， 从而：In(-v+)')]2彡In(:c+)').因此 Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da. i) a 36.利用二重积分的性质估计下列积分的值： (1) / = |^7(文+7)心，其中/)= \ (x ,y)1,0 1|； n (2)/=j^sin^sin^do■，其中/)=j(A:,y)|0^^^TT,0^y^TT1; i) (3)/= J*(A：+y + l)d(7,其中/>= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[； it (4)/=J(x2 +4y2 +9)do?，其中D= \{x,y) \x2 +y2 ^ 4|. I) 解(1)在积分区域D上，0矣;<:矣1,0英y矣1,从而0矣巧?(*+y)矣2?又￡?的面积等于1,因此 (2 )在积分区域/)上，0矣sin J:矣1,0 ^sin1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0 的面积等于TT2,W此 (3)在积分K域"上有\^x+y +\?4,/)的而积等于2,因此 (4)W为在积分K域/>?上有0矣;t2+y2苳4,所以有 9^+4r2+9^4( x2+y2)+9矣25. 34I)的酣枳等于4TT，W此 36TT^[[(x2+4/+9)(Ur^lOO-ir. 二重积分的计算法.^1.计算下列二甩积分: 98 ｛高等数学＞ (第七叛)下册习题全第 l<3x 十2) ;dcr ，其中"是由两坐标轴及直线-X - + v = 2听围成的闭区域； b ( 3 J jj( x J + 3x 2 \ + v 3 ) da ，其中 D = ( x , v ) 0 ^ A : ^ 1 .0 ^ v ^ 1 ； u ( 4 ) jjxcas( X + Y j do ■，其中Z >是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )的三角形闭 区域. m (1 x 2 4- V 2 )d(T = f dxf (X 2 -h V 2 ) d V dx j fh 2D 可用不等式表示为 2 r 2 -x 3xy +y 2]l~x dx =| (4+ 2x - 2x 2 ) dx 20 3(+ 3x 2y + y 3 )da = d > (文3 + 3.r 2 v +、、)ch . + x y + v " JC di (4) l )可用不等式表示为 0 ^ V ^ A ： , 0 ^ .t ^ 7T . 于是 |A :COS (JC + y ) da = I cos(.v + v )d I [ sin (.t + y ) ] Q ()^ = J V ( sin 2.v - sin .v ) <1 x x(\( cos .v —丄(.<，s 2.v ) 卜( 1X (- TT r T X cos .v - —rus TT. & 2. _出枳分ix:域，斤i 卜r): v 列m 分: 第十章重积分99 x2^y^J^,0矣x矣1(图10-2). 0?^^/4-y2,-2矣7矣2(图 10-3), (1)J^^do■，其中/)是由两条抛物线7=v^,y=*2所围成的闭区域； D (2)jfxy2dcr,其中D是由圆周x2+J2=4及y轴所围成的右半闭区域； I) (3)JV+'dcr，其中/)=I(%，)?)||A；|+|J|^1!； D (4)|"U2+/-x) D 解(1)0可用不等式表示为 于是 (2)D可用不等式表示为 (3)如阁I()-4，W=/\U"2，其中 />1= \(x,y)\-x-\ ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|, I)2=\(x,y) |*-1 + 因此 100一、《高等数学》(第七版)下册习题全解 Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/(x，v)是两个函数/](O及)的乘 n 积，即/(X，y) =f\(x)./“y)，积分区域/)={(.V,y)I(1^V^/>,r^,证叫这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即 |*/|U) -/2(r) fl atly = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]- 证Jj./1(x)?.,2(/)dvd V~J[f J \(v)■ ./：t^]l^x*在上式右端的第一次单枳分f/,(.V)?/2 (.V)d v中,./,(A.)1J fu t变招:、无关，nn 见为常数提到积分5外，W此上式“端笏T