总复习教案：指数与指数函数(教师版)

第六节

指数与指数函数

★知识梳理 分数指数幂 根式

如果

),1(*∈>=N n n a x n ，那么x 称为a 的n 次实数方根； 式子n

a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数

方根的性质：当n 为奇数时，n n a =a.当n 为偶数时，n n

a =|a|=???<-≥).

0(),

0(a a

a a

2．分数指数幂

（1）分数指数幂的意义:a n

m

=n

m a ，a

n

m -=n

m a

1

=n

m a 1

（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. （2）有理数指数幂的性质：

),,0,0()(;)(;Q s R r b a b a ab a a a a a r

r r rs s r s r s r ∈∈>>===?+

二、指数函数的图像及性质的应用

①指数函数的定义：一般地，函数y=ax （a ＞0且a≠1）叫做指数函数. ②指数函数的图像

O

x

y O

x

y y =a x 11

a > ）

1y =a x (

(0＜a ＜1)

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称.

④指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1. 当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.

画指数函数y=ax （a ＞0且a≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x 轴 是其渐近线

★重、难点突破

重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质 难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题

重难点：1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种： （1）利用单调性的定义（可以作差，也可以作商）

（2）利用复合函数的单调性判断形如)

(x f a y =的函数的单调性：若

1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)

(x f a y =的单调增（减）区间；若10<

(x f a y =的单调减（增）区间；

2. 指数函数的图像与性质

(Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 （1）y=ax ，（2）y=bx ，（3）y=cx ，（4）y=dx 则b a d c <<<<<10

在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.

(Ⅱ) 指数函数的图像x a y =与

)1,0(≠>=-a a a y x

的图象关于y 轴对称 3.指数型的方程和不等式的解法

(Ⅰ)形如

b a b a b a x f x f x f <>=)

()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；

(Ⅱ)形如02=++C Ba a x

x 或)0(02≤≥++C Ba a

x x

的形式，可借助于换元法转化为二次方程或

不等式求解。

★热点考点题型探析 考点1 指数幂的运算

[例1] 计算：

1

2

00.2563

43

3721.5()82(23)()

63-?-+?+?- [解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。

[解析]原式111111

36

33344222()1(2)2(23)()2427110

33=?+?+?-=+?=

根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起，比

如与二项展开式结合就比较常见

1.（高州中学09届月考）经化简后，)0(6

3

936

9>?a a a 的结果是

[解析] a ；a a a a a a a =?=?=?633

36

3

936

9

2. =-?63

a a

a a a a -?=-?6

13163

)

([

解析]

a

--;

考点2 指数函数的图象及性质的应用

题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 [例2] 下图是指数函数（1）y=ax ，（2）y=bx ，（3）y=cx ，（4）y=dx 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ）

A ．a b c d <<<<1;

B ．b a d c <<<<1；

C ．a b c d <<<<1；

D ．b a c d <<<<1

[解题思路] 显然,作为直线x=1即可发现a 、b 、c 、d 与1的大小关系

[解析] B;令x=1，由图知1

1111b a d c <<<<,即b a d c <<<<1

由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析 题型2：解简单的指数方程

[例3] 方程33131=++-x

x

的解是_________

[解题思路]将方程化为最简单的指数方程

[解析]1-；在方程33131=++-x x 的两边同时乘以x 3得1

3311

3+=++x x

x ，从而得131=+x

所以1-=x

解指数方程要观察其特征，在本题中，关键是发现x -+31与x 31+的关系：

)31(331x x x -+=+ 题型3：利用函数的单调性求函数的值域

[例4] 已知2x

x +2

≤（41

）x －2，求函数y=2x －2－x 的值域.

[解题思路]求函数y=2x －2－x 的值域应利用考虑其单调性 [解析] ∵2

x

x +2≤2－2（x －2），∴x2+x≤4－2x ，即x2+3x －4≤0，得－4≤x≤1.

又∵y=2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1.

故所求函数y 的值域是［－16255，23］.

利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现函数的单调性 [新题导练]

3．不等式16

2

2

<-+x x

的解集是___________

[解析] )1,2(-；由不等式16

2

2

<-+x x

得022<-+x x ，解得12<<-x

4．若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值范围是_______.

[解析]

)

2

1

,0(

；画出函数

)1

(1≠

>

-

=a

a

a

y x且

的草图知，若直线a

y2

=与函数)1

(1≠

>

-

=a

a

a

y x且

的图象有两个公共点，则1

2<

o，即2

1

<

o

5．（广东恩城中学09年模拟）不论a为何正实数,函数12

x

y a+

=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________

[解析])1,1

(-；因为函数x a

y=的图象通过定点)1,0(，故函数12

x

y a+

=-的图象一定通过定点)1,1

(-

6．已知函数

()()()

f x x a x b

=--（其中a b

>）的图象如下面右图所示，则函数()x

g x a b

=+

的图象是( )

A．B．C．D．

[解析] A；由

()()()

f x x a x b

=--的图象知1

,1-

<

<

a

o，所以函数()x

g x a b

=+的图象是A 7．若函数(),()

f x

g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()x

f x

g x e

-=，则)3(f、)0(g、)2(f的大小关系为

[解析])3(

)2(

)0(f

f

g<

<；因为)

(x

f是奇函数，)

(x

g是偶函数，所以有

??

?

?

?

=

-

-

=

-

-x

x

e

x

g

x

f

e

x

g

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

，得

)

1

(

2

1

)

(

x

x

e

e

x

f-

=

，可见)

(x

f在R上是增函数，故)3(

)2(

)0(f

f

f<

<，又由0

)

(

)

(>

=

-x e

x

g

x

f知)

(

)

(x

g

x

f>，因此)0(

)0(g

f>

所以)3(

)2(

)0(f

f

g<

<

考点3 与指数函数有关的含参数问题

[例5] 要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围.

[解题思路]欲求a的取值范围,应该由1+2x+4x a＞0将参数a分离,转变为求函数的最值

[解析] 由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恒成立，即a＞－x

x

4

2

1+

在

x ∈（－∞，1］上恒成立.又∵－x

x 421+=－（21）2x －（21）x=－［（21）x+21］2+41，

当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43

[名师指引]①由某个不等式在某个范围内恒成立，求参数的取值范围是高考中的热点,处理的方法往往是通过分离参数, 转变为求函数的最值,但要注意端点的值能否取到；

②指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征,要用到数形结合思想、分类讨论思想.

③指数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能进行一定的综合运用。

8．已知函数

x

x x f 2

12)(-

=,若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取值范围

[解析] [5,)-+∞;当

2211[1,2],2220,22t t t t

t

t m ?

???∈-+-≥ ? ????

?时

即

()()242121.

t t m -≥-- ()22210,21.

t t m ->∴≥+Q

()2[1,2],12[17,5],

t t ∈∴-+∈--Q

故m 的取值范围是[5,)-+∞

9．设)

(3421lg )(R a a

x f x x ∈?++=,如果当)1,(-∞∈x 时)(x f 有意

义,求a 的取值范围.

[解析] 3

4a ≥-；当1x <时，12403x x a ++?>恒成立，即1240x x

a ++?>恒成立

∴

2111

()()422x x x a -->

=--

令

211()(

)()

22x x g x =--，则1x <时，022x <<，∴11

22x >

22111113()(

)()()222244x x x g x =--=-++<-

，∴

3

4a ≥- [备选例题] （广州六校09届联考）已知函数

()22x x a

f x =-

, 将()y f x =的图象向右平移两个

单位, 得到()y g x =的图象. (1) 求函数()y g x =的解析式;

(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式; [解析] (1) 由题设得 ()g x (2)

f x =-2222x x a --=-

(2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点

11(,)

x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直线1

y =对称, 则112x x y y

=??

=-?

2(),2()

y g x y g x ∴-=∴=-

即

22()222x x a h x --=-+

.

★抢分频道

基础巩固训练：

1．与函数()2x

f x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为()

g x ，则1()

2g 的值为

（ ）

A

．；B ．1；C ．1

2；D ．1-

[解析] D ；依题意得x x g 2log )(=，所以1

2log )21

(12-==-g

2．已知函数

()21,x f x a b c

=-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的是（ ）

A ．0,0,0a b c <<<;

B ．0,0,0a b c <≥>;

C ．22a c -<;

D ．222a c

+<

[解析] D ；由函数

1

2)(-=x x f 的图象及c b a <<和()()()f a f c f b >>知

10,0<<

3

()10<<=a x

xa y x

A B C D

[解析] D ；当0>x 时，x x a x xa y ==，又10<

x a x

xa y -==，又10<

4. 不等式

2

24

1

22x

x +-≤

的解集为

[解析] 13≤≤-x ； 不等式

2

24

1

22x

x +-≤

即为142222--+≤x x ，由函数x

y 2=的单调性得

1422-≤-+x x ，解得13≤≤-x

5．（四会中学09届月考）满足条件m 2

m ＞（mm ）2的正数m 的取值范围是_________

[解析] 2>m 或10<

m m m m

>得m m m m 22

>，

当1>m 时，得m m 22>，解得2>m ；当10<

<，解得10<

6.若关于x 的方程25－|x+1|－4·5－|x+1|－m=0有实根，求m 的取值范围.

[解析]解法一：设y=5－|x+1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y2－4y －m=0在（0，1］有实根.设f （y ）=y2－4y －m ，其对称轴y=2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0. 解法二：∵m=y2－4y ，其中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y －2）2－4∈［－3，0） 综合提高训练：

7．已知函数c bx x x f ++=2)(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，试比较)(x

b f 与)(x

c f 的大小。

[解析] (1)(1)f x f x -+=--Q ，∴()f x 关于1x =-对称，∴2b =，又 (0)3f c ==，

∴当0x >时，1x x b c <<，∴)(x b f ＜)(x c f ； 当0x <时，01x x c b <<<，∴)(x b f ＞

)(x c f

x

o