第九章微分方程模型有解答
嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼
此解脱。让我们都能幸福着，在各自的路程快乐
第五章 微分方程模型
建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。
§5.1 根据规律建模
在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。下面以目标跟踪问题为例介绍。
设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中?
解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V 。由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由x
y
t V y --=
10'
得 y y x t V +-='0)1(，
又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即
t V dx y x
00
2'51=+?
所以 dx y y y x x ?+=+-02
''
151)1(， 整理得 2''
'15
1)1(y y x +=+， 并有y(0)=0,0)0('
=y ，解得
245)1(125)1(8556
54+
-+--=x x y
当x=1时，254=
y 即当乙舰行到???
??254,1处被击中，0
0245V V y t ==
。
§5.2 微元法建模
微元法建模实际上是寻求一些微元之间的关系式。与第一种方法不同之处在于这里不是直接对未知函数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对某些微元来应用规律。以容器漏水问题为例。
有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出。小孔横截面为1cm 2.开始时的容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里面水面的高度h （水面与小孔中心距离）随时间t 变化的规律。
解：由流体力学知识知道，水从孔口流出的流量Q 可用下列公式计算：
gh S dt
dv
Q 262.0==
， 其中0.62为流量系数，S 为孔口横截面积。现S=1cm 2.故 gh dt
dv
262.0=
另一方面，现在［t,t+t ?］内，水面高度由h 降至0)dh(dh h <+，则
dh r dv 2π-=
其中r 是时刻t 的水面半径。因为
222200)100(100h h h r -=--=，
所以
dh h h dv )200(2--=π，
于是
dh h h dt gh )200(262.02--=π，
由此得
)200(262.024
2
3h h g
dh dt -=π， 满足100|0=t h .解得
)310107(265.42
5233
5h h g
t +-?=
π
此即容器内水面高度h 与时间t 之间的函数关系式。
P.S matlab 程序 clear
syms r; %定义符号变量 r
y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解
§5.3 模拟近似法建模
在社会科学、生物学、医学、经济学等学科的实践中，常常要用模拟近似法来建立微分方程模型。这是因为，这些学科中的一些现象的规律我们还不是很清楚，即使有所了解也并不全面，因此，要用数学模型进行研究只能在不同的假设下去模拟实际的现象。然后再把解得的结果同实际情况作对比。以交通管理问题为例。
在交通十字路口，都会设置红绿灯。为了让那些正行驶在交叉路口或离交叉路口太近而无法停下的车辆通过路口，红绿灯转换中间还要亮起一段时间的黄灯。对于一些驶近交叉路口的驾驶员来说，万万不可处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近；要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远。那么，黄灯应亮多长时间合理呢？、
解：各段时间应该满足以下关系：
黄灯状态应持续的时间=驾驶员反应时间+车通过交叉路口时间+通过刹车距离的时间。
设v 0-----表示法定速度，I-----交叉路口宽度，L-----典型车身长度。则通过路口的时间为
v L
I +，（车尾通过路口）。下面计算刹车距离。
设w----为汽车的重量，u------摩擦系数，则摩擦力=μw ，汽车在停车过程中，行驶距离x 与时间t
的关系可由下面微分方程求得w dt
x
d g w μ-=2
2（F=ma ). 满足：00'0|,0|v x x t t ====，于是刹车距离就是直接到速度v=0时汽车驶过的距离，由上式得
t v gt x 02
21+-=μ 。令x ’=0，所以刹车时所用时间g v t μ00=，刹车距离g
v t x μ2)(2
00=由上面得黄灯状
态时间为
t V L
I g v T v L I t x A +++=+++=
0002)(μ，
其中T 是驾驶员反应时间，A,v 0关系（如图）（即黄灯周期与法定速度的关系）。
假设T=1s,L=4.5m,I=9m,另外，我们取具有代表性的u=0.2,，当v0=45，60，80km/h时，黄灯时间如下表示。
v0 (km/h) A(s) 经验法的值（s）
45 5.27 3
60 6.06 4
80 7.28 5
经验法的结果一律比我们预测的黄灯状态短些。这使人想起，许多交叉路口红绿灯的设计可能使车辆在绿灯转为红灯时正处于交叉路口。
§5.4 微分方程模型实例
例1.最优捕鱼策略
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业，林业资源）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。
考虑对某种鱼（鲥鱼）的最优捕捞策略：
假设这种鱼分4个年龄组：称1龄鱼，…，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55,17.86,22.99(克)；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年）;这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105（个），3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月；卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）为1.22×10 11/（1.22×10 11+n）.
渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
（1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
（2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组。鱼群的数量分别为：122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式。该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。
问题分析
要求研究的问题是：对某种鱼的最优捕捞策略。
1.鱼的情况
具体数据如下表：
i m i(g) r(1/年) u i (个/条)
1 2 5.07
11.55
0.8
0.8
3 4 17.86 22.99 0.8 0.8
其中，i 表示i 龄鱼，m i 表示龄鱼的质量，r 表示龄鱼的自然死亡率，u i 表示平均每条i 龄鱼的产卵量。
如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）不变，这时单位时间捕捞量将与i 成正比，比例系数之比为i k 使用13mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞3、4龄鱼，其中两个
捕捞强度系数之比为k 3:k 4=0.42:1,k 1=k 2=0渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。 2.基本假设
假设I:一年中，鱼的产卵是集中在8月底一次性完成，捕捞工作只在8个月进行。
假设II:各龄鱼（不包括4龄鱼）只在年末瞬时才长大一岁，鱼卵在年终才孵化完毕，成为1龄鱼。这样在计算产卵量时，3，4龄鱼的条数为t=8/12.
3.应解决的问题
1）建立数学建模型分析如何实现可持续捕捞（即每年开始捕捞时渔场重各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。
2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组。鱼群的数量分别为x 1,x 2,x 3,x 4, 如果仍用固定努力量的捕捞方式。该公司应该采取怎样的策略才能使总收获量最高。 记号和约定
)(t x i
：i 龄鱼在t 时刻的数量（t 以年为单位，i=1,2,3,4)；
i
p ：i 龄鱼的捕捞量（i=3,4)； M ：捕捞总质量：
Q ：每年的产卵中能孵化成l 龄鱼的数量； N ：每年的产卵量； 模型的建立
由于鱼的数量随时间变化，可视为)(t x i 为连续函数，它的变化与时间t ，自然死亡率r ，单位时间捕捞量i k ，卵的成活率有关。 模型1
定义单位死亡率
8.0,
=-=r rx dt
dx i i
单位时间捕捞量
0,1:42.0:,2
143====k k k k x k dt
dp i i i
则捕捞时满足
i i i
x k r dt
dx )(+-= 对各龄鱼存在以下方程（令4k k =，则k k
42.03=） 11
8.0)(x dt t dx -=，t ∈
[]1,0 22
8.0)(x dt
t dx -=，t ∈
[]1,0
()???
??????????∈-=??
?
???∈+-=1,128,8.0128,0,42.08.03333t x dt dx t x k dt dx ()????????
?????∈-=???
???∈+-=1,128,8.0128,0,8.04444t x dt
dx
t x k dt dx
由此可解得
)0()8.0exp()1(11x x -=， )0()8.0exp()1(2
2x x -=， )0()32
)42.08.0(exp()128(3
3x k x ?+-=， )0()3
2
)8.0(exp()128(4
4x k x ?+-=， )0())28.08.0(exp()1(3
3x k x +-=， )0())3
28.0(exp()1(4
4x k
x +-= 收获量为
??==128
01280
4433)(,)(42.0dt t kx p dt t kx p 。
模型II
要实现持续收获，即每年初，各年龄组鱼群数量不变，同时需满足以下等式（M 为捕捞总质量，N 为卵量，Q 为存活量），由此可建立模型：
Max M= 4433m p m p +
()()()()()()()()
???????+====11010100..43423121x x x x x x x Q x t s
其中10543109.121109.1???
?
??
+?
=x x N , ()
N N Q +??=1010111122.1/22.1 利用约束关系，将()()0,,041x x 均用k 来表示，从而得出M 关于k 的一元函数关系：
4433p m p m M +=，
()()()k k kx P 0428.0/320428.0exp 1042.033+??? ?
?
?+-=，
()()()k k kx P +??? ?
?
?+--=8.0/328.0exp 1044，
()()???? ????? ??
?--???? ?
???? ???--???-?=32exp 226.2/32exp 226.228.0exp 7504.32463.0010106113k k k x ， ()()()???? ?
???? ???-?+?-??? ???-?-?=32exp 3252.07241.0/22.132exp 0598.40272.9/28.0exp 010106114k k k x ， 用计算机搜索，得出近似解，结果为：
年最大收获量：()()g M 1011
*
88685.30?
=
最佳捕捞强度系数：()()g K 7600.170*
=
此时()10
11
*
1193.10?
=x ，()10
11
*
1193.10?
=x ，()10
10
*
3409.20?
=x ，()107
*
4501.70?
=x ，
()1011
*193.10?=Q 。
四.模型结果及实用性讨论
当[]38.31,0∈k 时，鱼场可实现持续捕捞，即满足了持续捕捞条件0≥M 。在此前提下取得了最优的捕捞系数：3龄龟的捕捞系数为7.4592，4龄龟的捕捞系数为17.76，年最大捕捞量为：3.8868511
10
?（克）。
例2．存贮型模型 某厂生产若干种商品，轮换生产时因更换设备要付准备金，产量大于需要时因积压资金要付贮存费。 今已知某产品的日需求量为100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小，设该厂生产能力非常大，即所需数量可在短时间内产出。
要求：不只是回答问题，而且要建立生产周期，产量与需求量，准备费，贮存费之间的关系。 问题分析与思考
·日需求100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元。
·每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元，故每日费用为500元。
·10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100＝4500元，准备费5000元，总计9500元。平均每天费用为950元。 ·50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…100=122500元。准备费5000元，总计127500元，平均每天费用为2550元。
·周期短，产量小——贮存费少，准备费多。 ·周期长，产量大——准备费少，贮存费多。
是否存在最佳的周期和产量，是总费用（二者之和）最小？
这是一个优化问题，关键在建立目标函数，显然不能用一个周期的总费用作为目标函数。 目标函数——每日总费用的平均值。 模型假设
1．产品每天的需求量为常数r ；
2．每次生产准备费为1c 。每天每件产品贮存量为2c 。
3．T 天生产一次（周期为T ），每次生产Q 件，且贮存量降到零时，Q 件产品立即生产出来（生产周期不记）；
4．为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
建模目的 设21,,c c r 已知，求T ，Q ，使每天总费用的平均值最小。 模型建立
离散问题连续化
将贮存量表示为时间的函数()t q ，0=t 生产Q 件，贮存量()Q q =0，()t q 以需求r 的速率递减，直到()0=T q .由此得rT Q = 一周贮存费
()A c dt t q c T
20
2=?
一周总费用
T Q
c c rT c c C 2
221221+=+=
每天总费用平均值（目标函数）
()2
21rT c T c T C T C +==
模型求解 求T 使()min 2
21→+=
rT
c T c T C 由
0=dT
dC
有 2
1212,2c c rT Q rc c r r
=
==
模型分析
↑↓↑?↑↑?Q T r Q T c ,,,1
模型应用
经济批量订购公式（EOQ 公式） 用于订货，供应，存贮情况
每天需求量r ，每次订货费为c1，每天每件贮存费为c2，T 天订货一次（周期T ），每次订货Q 件，且当贮存量降到零时，Q 件立刻到货。
2
1212,2c r
c rT Q rc c T =
==
这是不允许缺货的贮存模型
问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？ 允许缺货的存贮模型
当存贮量降到零时仍有需求r ，出现缺货，造成损失。
原模型假设：当存贮量降到零时Q 件立即生产出来（或立即到货） 现假设：允许缺货，每天每件缺货损失费c 3，缺货需补足。 周期T ，t=T 1贮存量降为零。 T 一周期贮存费
()A c dt t q c T 20
21
=?
一周期缺货费
()B c dt t q c T
T 331
=?
一周期总费用
()2
22
13
121T T r c QT c c C -++=
每天总费用平均值（目标函数）
()()rT
Q rT c rT Q c T c T C Q T C 22,2
3221-+
+==
求T ，Q 使
0,0=??=??Q
C
T C 为不允许缺货的贮存模型相比，T 记作他T ’，Q 记作Q ’ 3
23
21'33221'2,2c c c c c Q c c c rc c T +=
+=
。
例3.传染病模型
随着卫生设施的改变，医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱，天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制，但是一些新的，不断变异着的传染病毒却悄悄向人类袭来。20世纪80年代十分险恶的艾滋病毒开始肆虐全球，至今仍在蔓延;2003年春来历不明的SARS 病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题，是建立传染病的数学模型，以分析传染病的传播规律。
模型1 已感染人数（病人）
假设每个病人每天有效接触（足以使人致病）人数为λ，建立如下数学模型
()()()t t i t i t t i ?=-?+λ
由
()0,i t i i dt
di
==λ，推出()∞→?∞→=i t e i t i t ,0λ 若有效接触的是病人，则不能使病人数增加，必须区分易感染者（病人）和未感染者（健康人）
% P.S 上面微分方程的matlab 程序 clear
Syms r %定义符号变量 r
y=dsolve('Dy=r*y','t') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y','y(0)=y0','t') %求特解 得到 y =
y0*exp(r*t) 修改一下
模型2区分已感染者和未感染者（SI 模型） 假设：
（1）总人数N 不变，病人和健康人数比例分别为i （t ），s （t ）。
（2）每个病人每天有效接触人数为λ，且使接触的健康人致病，λ为日接触率 建立数学模型
()()[]()[]()t t i t Ns t i t t i N ?=-?+λ。
由
()()1,=+=t i t s si dt
di
λ得
称为Logistic 模型，可解出
()t
e i t i λ-???
? ??-+=
1111
% P.S matlab 程序
clear
syms r; %定义符号变量 r
y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','x') %求通解 y=dsolve('Dy=r*y*(1-y)','y(0)=y0','x') %求特解
令)11
ln(
1
-=-i t m λ是传染病高潮到来时刻。λ（日接触率）↑↓→m t 1 1→?∞→i t ，说明病人不可以治愈，这是不可能的。要改善模型
模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染（SIS 模型） 增加假设
3）病人每天治愈的比例为μ，即日治愈率 建立数学模型
?????=--=0
)0()1(i i i i i dt di
μλ λ是日接触率，μ/1是感染期，μλσ/=是一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。
?????≤>-=∞---=1
,01
,1
1)()],11([σσσ
σλi i i dt di
感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人人数。
思考
模型2（SI 模型）如何看做模型3（SIS 模型）的特例
模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR 模型
假设
1） 总人数N 不变，病人、健康人和移出者的比例分别为i(t),s(t),r(t) 2） 病人的日接率λ，日治愈率μ，接触数μλ/=S 建立数学模型
s （t ）+ i(t)+ r(t)=1 需建立i(t),s(t),r(t)的两个方程
t t Ni t t i t Ns t i t t i N ?-?=-?+)()()()]()([μλ
t t i t Ns t s t t Ns ?=-?+)()()]()[(λ
????
?
??????==-=-=00)0(,)0(s s i i si dt ds
i si dt di
λμλ 100≈+s i （通常()00r r =很小）
%%%%%%%%%%%%%做数值计算 %以下存到m 文件 function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;
y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]'; 以下在matlab 中运行 ts=0:50;
x0=[0.02,0.98];
[t,x]=ode45('ill',ts,x0); % 大家百度ode45的意义 [t,x]
plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause plot(x(:,2),t,x(:,1)),grid,
i(t ）,s(t)的图形
无法求出i(t),s(t)的解析解，在相平面s-t 上研究解的性质。由上模型得
??
??
?=-==0
01
1i i s ds di s s σ 求解得到如下相轨线（即i-s 的曲线）
i(s)=( 00s i +)-s+
ln
1
s s
σ
定义域D=}{
1,0,0),(≤+≥≥i s i s i s ,在D 内作相轨线i(s)的图形，进行分析
i （s ）图形：s(t ）↓, 0=∞i ,m i s i ==)/1(σ,∞s 满足
0ln
1
00=+
-+∞
∞s s s i s σ
0s ＞1/)()(1t i p →σ先升后降至0，传染病蔓延。 0s ＜1/ )()(2t i p →σ单调降至0，传染病不蔓延。
预防传染病蔓延的手段
传染病不蔓延的条件——0s ＜1/σ。
λ（日接触率）↓?卫生水平↑ μ（日治愈率）↑?医疗水平↑
降低↑?=++00000)1(r r i s s ，即群体免疫。
σ的估计：由0ln
1
000=+
-+∞
∞s s s i s σ
，忽略0i 得∞
∞--=
s s s s 00ln ln σ。
具体内容可以看姜启源的数学模型（第三版） 第135页
微分方程建模案例
第五章微分方程建模案例 微分方程作为数学科学的中心学科，已经有三百多年的发展历史，其解法和理论已日臻完善，可以为分析和求得方程的解（或数值解）提供足够的方法，使得微分方程模型具有极大的普遍性、有效性和非常丰富的数学涵。微分方程建模包括常微分方程建模、偏微分方程建模、差分方程建模及其各种类型的方程组建模。微分方程建模对于许多实际问题的解决是一种极有效的数学手段，对于现实世界的变化，人们关注的往往是其变化速度、加速度以及所处位置随时间的发展规律，其规律一般可以用微分方程或方程组表示，微分方程建模适用的领域比较广，涉及到生活中的诸多行业，其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程及其方程组建模，离散模型适用于差分方程及其方程组建模。本章主要介绍几个简单的用微分方程建立的模型，让读者一窥方程的应用。下面简要介绍利用方程知识建立数学模型的几种方法： 1．利用题目本身给出的或隐含的等量关系建立微分方程模型 这就需要我们仔细分析题目，明确题意，找出其中的等量关系，建立数学模 型。 例如在光学里面，旋转抛物面能将放在焦点处的光源经镜面反射后成为平行光线，为了证明具有这一性质的曲线只有抛物线，我们就是利用了题目中隐含的条件——入射角等于反射角来建立微分方程模型的。 2．从一些已知的基本定律或基本公式出发建立微分方程模型
我们要熟悉一些常用的基本定律、基本公式。例如从几何观点看，曲线 y y(x)上某点的切线斜率即函数y y(x)在该点的导数；力学中的牛顿第二运 动定律：F ma ，其中加速度a 就是位移对时间的二阶导数，也是速度对时间 的一阶导数等等。从这些知识出发我们可以建立相应的微分方程模型。 例如在动力学中，如何保证高空跳伞者的安全问题。对于高空下落的物体， 我们可以利用牛顿第二运动定律建立其微分方程模型， 设物体质量为m ，空气阻 力 系数为k ，在速度不太大的情况下，空气阻力近似与速度的平方成正比；设时 刻t 时物体的下落速度为v ，初始条件：v (o ) 0.由牛顿第二运动定律建立其微 分方程模型: 求解模型可得: 体在地面上的投影面积。根据极限速度求解式子，在m,, 一定时，要求落地速 度w 不是很大时，我们可以确定出s 来，从而设计出保证跳伞者安全的降落伞的 直径大小来 3?利用导数的定义建立微分方程模型 dv m 一 dt mg kv 2 ? k(exp[2t 由上式可知，当t 其中，阻力系数k 1) 时，物体具有极限速度: lim v t mg :k ， s ， 为与物体形状有关的常数, 为介质密度，s 为物 、mg(exp[2t 1)
第二章动力学系统的微分方程模型
第二章：动力学系统的微分方程模型 利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌握一定的建立数学模型的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论和方法。 在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般是高阶微分方程；另一种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 §2.1 动力学系统统基本元件 任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有3种类型的基本机械元件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1 惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件，惯量可以定义为使加速度（或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 惯量（质量）= ） 加速度（力（2 /) s m N 惯量（转动惯量）= ） 角加速度（力矩（2/) s rad m N ? 2 弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件，这种元件可以通过外力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹簧来表示。 对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比，比例常数为弹簧刚度k 。 x k F ?= 这里k 称为弹簧刚度，x ?是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹 簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧，它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3 阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量，而不储存能量，可以形象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： α x c R = 阻尼力的方向总是速度方向相反。当1=α，为线性阻尼模型。否则为非线性阻 尼模型。应注意当α等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： ||1--=αx x c R 这里的“-”表示与速度方向相反
第三章-微分方程模型
微分方程模型 1.1微分方程模型简介 对于现实世界的变化，人们关注的往往是变量之间的变化率，或者变化速度、加速度以 及所处的位置随时间的发展规律，之中的规律一般可以写成一个（偏）微分方程或方程组。 所以实际问题中，有大批的问题可以用微分方程来建立数学模型，涉及的领域包括物理学、 化学、天文学、生物学、力学、政治、经济、军事、人口、资源等等。微分方程建模是数学 建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色 色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步： 1?、根据实际要求确定要研究的量（自变量、未知函数、必要的参数等）并确定坐标系； 2?、找出这些量所满足的基本规律（物理的、几何的、化学的或生物学的等等）； 3?、运用这些规律列出方程和定解条件。 2.1微分方程模型运用实例 例1:发射卫星为什么用三级火箭 采用运载火箭把人造卫星发射到高空轨道上运行，为什么不能用一级火箭而必须用多级 火箭系统？ 下面通过建立运载火箭有关的数学模型来回答上述问题。 火箭是一个复杂的系统，为了使问题简单明了，我们只从动力系统和整体结构上分析， 并且假设引擎是足够强大的。 首先解决第一个问题：为什么不能用一级火箭发射人造卫星，下面用三个数学模型回答 这个问题： （1 ）卫星进入600km高空轨道时，火箭必须的最低速度。 首先将问题理想化，假设： （i）卫星轨道是以地球中心为圆心的某个平面上的圆周，卫星在此轨道上以地球引力作为向心力绕地球作平面匀速圆周运动； （ii ）地球是固定于空间中的一个均匀球体，其质量集中于球心； iii）其它星球对卫星的引力忽略不计。 建模与求解：设地球半径为R，质量为M ;卫星轨道半径为r，卫星质量为m。 根据假设（"）和（iii），卫星只受到地球的引力，由牛顿万有引力定律可知其引力大小为 GMm F— (1) r 其中G为引力常数。 为消去常数G，把卫星放在地球表面，则由（1）式得 GMm 亠m2 mg 2 或GM 二R g R 再代入（1）式，得
3.1 微分方程模型的建模步骤
第3章微分方程模型 3.1 微分方程模型的建模步骤 在自然科学以及工程、经济、医学、体育、生物、社会等学科中的许多系统，有时很难找到该系统有关变量之间的直接关系——函数表达式，但却容易找到这些变量和它们的微小增量或变化率之间的关系式，这时往往采用微分关系式来描述该系统——即建立微分方程模型。我们以一个例子来说明建立微分方程模型的基本步骤。 例1 某人的食量是10467（焦/天），其中5038（焦/天）用于基本的新陈代谢（即自动消耗）。在健身训练中，他所消耗的热量大约是69（焦/公斤?天）乘以他的体重（公斤）。假设以脂肪形式贮藏的热量100%地有效，而1公斤脂肪含热量41868（焦）。试研究此人的体重随时间变化的规律。 模型分析 在问题中并未出现“变化率”、“导数”这样的关键词，但要寻找的是体重（记为W ）关于时间t 的 函数。如果我们把体重W 看作是时间t 的连续可微函数，我们就能找到一个含有的dt dW 微分方程。 模型假设 1.以)(t W 表示t 时刻某人的体重，并设一天开始时人的体重为0W 。 2．体重的变化是一个渐变的过程。因此可认为 )(t W 是关于t 连续而且充分光滑的。 3．体重的变化等于输入与输出之差，其中输入是指扣除了基本新陈代谢之后的净食量吸收；输出就是进行健身训练时的消耗。 模型建立 问题中所涉及的时间仅仅是“每天”，由此，对于“每天” 体重的变化=输入-输出。 由于考虑的是体重随时间的变化情况，因此，可得 体重的变化/天=输入/天—输出/天。 代入具体的数值，得 输入/天 = 10467（焦/天）—5038（焦/天）=5429（焦/天）， 输出/天 = 69（焦/公斤?天）×W （公斤）= 69W （焦/天）。 体重的变化/天=t W ??（公斤/天）dt dW t =→?0 考虑单位的匹配，利用 “公斤/天=公斤焦天 焦/41868 /”, 可建立如下微分方程模型
第五章微分方程模型
第五章 微分方程模型 、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢，减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c - =-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况 解：
（1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 2()0.003()0.001()0.002(0)1000000 dp t p t p t dt p ?=--???=? 解得 0.0010.0012999998()11000001t t ae p t a ae --+==-其中 当t →∞ 时，2p →。 、 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 解： 假设初始时刻该放射性物质的原子数位0N ，在时间t 时，该放射性物质的原子个数为N ，设衰变系数为k ，则有下列微分方程： 0,(0)dN kN N N dt =-= 解得 0()kt N t N e =
微分方程模型
数学建模学习辅导 第三章 微分方程模型 本章重点： 车间空气清洁问题、减肥问题、单种群增长问题与多物种相互作用问题等数学模型的建立过程与所使用的方法 复习要求： 1．进一步理解建模基本方法与基本建模过程，掌握平衡原理与微元法在建模中的用法． 所谓平衡原理是指自然界的任何物质在其变化的过程中一定受到某种平衡关系的支配.注意发掘实际问题中的平衡原理是从物质运动机理的角度组建数学模型的一个关键问题.就象中学的数学应用题中等量关系的发现是建立方程的关键一样. 微元法是指在组建对象随着时间或空间连续变化的动态模型时，经常考虑它在时间或空间的微小单元变化情况，这是因为在这些微元上的平衡关系比较简单，而且容易使用微分学的手段进行处理．这类模型基本上是以微分方程的形式给出的． 例1 设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%(mg/ml). 现有一起交通事故,在事故发生3个小时后,测得司机血液中酒精含量是56%(mg/ml), 又过两个小时后, 测得其酒精含量降为40%(mg/ml),试判断: 事故发生时,司机是否违反了酒精含量的规定? 解：模型建立 设)(t x 为时刻t 的血液中酒精的浓度, 则依平衡原理时间间隔],[t t t ?+内, 酒精浓度的改变量 t t x x ??∝?)(, 即 t t kx t x t t x ?-=-?+)()()( 其中k >0为比例常数, 式前负号表示浓度随时间的推移是递减的, 遍除以t ?, 并令0→?t , 则得到 ,d d kx t x -= 且满足40)5(,56)3(==x x 以及0)0(x x =. 模型求解 容易求得通解为kt c t x -=e )(, 代入0)0(x x =,得到 kt x t x -=e )(0 则)0(0x x =为所求. 又由,40)5(,56)3(==x x 代入0)0(x x =可得 17.04056e 40e 56e 25030=?=????==--k x x k k k 将17.0=k 代入得 25.93e 5656e 17.03017 .030≈?=?=??-x x >80
常微分课后答案解析第二章
第一章 绪论 §1、1 微分方程:某些物理过程的数学模型 §1、2 基本概念 习题1、2 1.指出下面微分方程的阶数,并回答方程就是否线性的: (1) y x dx dy -=24; (2)0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ; (3)0322 =-+?? ? ??y dx dy x dx dy ; (4)x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-; (5) 02cos =++x y dx dy ; (6)x e dx y d y =+??? ? ??22sin . 解 (1)一阶线性微分方程; (2)二阶非线性微分方程; (3)一阶非线性微分方程; (4)二阶线性微分方程; (5)一阶非线性微分方程; (6)二阶非线性微分方程. 2.试验证下面函数均为方程022 2=+y dx y d ω的解,这里0>ω就是常数. (1)x y ωcos =; (2)11(cos C x C y ω=就是任意常数); (3)x y ωsin =; (4)22(sin C x C y ω=就是任意常数); (5)2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=就是任意常数); (6)B A B x A y ,()sin(+=ω就是任意常数). 解 (1)y x dx y d x dx dy 2 222cos ,sin ωωωωω-=-=-=,所以022 2=+y dx y d ω,故
x y ωcos =为方程的解. (2)y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωcos 1=为方程的解. (3)y x dx y d x dx dy 2222sin ,cos ωωωωω-=-==,所以02 2 2=+y dx y d ω,故x y ωsin =为方程的解. (4)y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''=',所以022 2=+y dx y d ω,故x C y ωsin 2=为方程的解. (5)y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-=',所 以02 2 2=+y dx y d ω,故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解. (6)y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+=',故0222=+y dx y d ω,因 此)sin(B x A y +=ω为方程的解. 3.验证下列各函数就是相应微分方程的解: (1)x x y sin = ,x y y x cos =+'; (2)212x C y -+=,x xy y x 2)1(2 =+'-(C 就是任意常数); (3)x Ce y =,02=+'-''y y y (C 就是任意常数); (4)x e y =,x x x e ye y e y 2212-=-+'-; (5)x y sin =,0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ; (6)x y 1- =,12 22++='xy y x y x ; (7)12 +=x y ,x y x y y 2)1(2 2 ++-='; (8))()(x f x g y = ,) () ()()(2x f x g y x g x f y '-'='.
常微分课后答案解析第二章
第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)．
解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='；
微分方程模型建模实例
微分方程模型建模实例 1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？ 2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ 3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？ 4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。 5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？ 6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？ 7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落 伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。 8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。 9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常 数，（）
第二章 微 分 方 程 模 型.
第二章 微 分 方 程 模 型 建立微分方程模型就是把物理、化学、生物科学、工程科学和社会科学中的规律和原理用含有待定函数的导数或微分的数学关系式表示出来。这一章我们由浅入深地介绍一些微分方程模型。 2.1 简单模型 例1 物体在空气中的下落与特技跳伞问题 假设质量为m 的物体在空气中下落，空气阻力与物体的速度平方成正比，阻尼系数为k （>0）,求物体的运动规律。 解 所谓运动规律即下落距离与时间的关系，如图2.1.1, 建立坐标系。设x 为物体下落的距离，于是物体下落的速度为 dx v dt =， 加速度为 22d x a dt =， 根据牛顿第二定律F ma =，可以列出微分方程 2 22d x d x m k m g d t d t ?? =-+ ???, （2.1.1） 负号表示阻力方向与速度方向相反。 例2 单摆的自由振动问题。 如图2.1.2 为一个单摆，上端固定在O 点，M 为一质量为m 的质点，摆杆OM 之长为L （摆杆的质量忽略不计）。单摆的平衡位置为铅垂线'OO 。将质点M 拉开，使OM 与'OO 成一个角度0θ，然后放手任其自由运动，试求摆杆OM 和铅垂线'OO 的夹角θ与时间t 的关系。 解 将重力分解为径向力F 与切向力T ，T 的大小为sin mg θ，M 的切向加速 度为22d a L dt θ =，于是，由牛顿第二定律，列出微分方程 22s i n d m a m L m g dt θ θ== ， 即 22s i n d g dt L θθ=-， （2.1.2）
设初始时刻0t =，摆杆的初始位置为0θ，初始角速度为0，则单摆的运动规律的研究就化为微分方程的初值问题 ()()22 00' 0s i n ,,0.t t d g dt L t t θθθθθ==?=-??? =??=??? （2.1.3） 图2.1.1 图2.1.2 例3 考古和地质学中文物和化石年代的测定问题。 考古、地质学等方面的专家常用14C （碳14）来估计文物或化石的年代。它们的依据是，宇宙射线不断轰击大气层，使之产生中子，中子与氧气作用生成具有放射性的14C 。这种放射性碳可以氧化成二氧化碳。二氧化碳被植物所吸收，而动物又以植物为食物，于是放射性碳就被带到各种动植物体内。由于14C 是放射性的，无论存在于空气中或生物体内它都在不断衰变，活着的生物通过新陈代谢不断地摄取14C ，使得生物体内的14C 与空气中的14C 有相同的百分含量。生物体死后它停止摄取14C ，因而尸体内的14C 由于不断衰变而不断减少。碳定年代法就是根据14C 的衰变减少量的变化情况来判定生物的死亡时间的。 基本假设 （1）现代生物体中14C 的衰变速度与古代生物体中14C 的衰变速度相同（依据是地球周围大气中14C 的百分含量可认为基本不变，即宇宙射线照射大气层的强度自古至今基本不变）； （2）14C 的衰变速度与该时刻14C 的含量成正比（这条假设的根据来自于原子物理学理论）。 下面用微分方程建模。 设在时刻t （年）生物体中14C 的存量为()x t ，由假设（2）知
第2章习题解答
习题解答 1. 系统的微分方程为()4()2()x t x t u t '=-+，其中()u t 是幅度为1，角频率为1rad/s 的方波输入信号，试建立系统的Simulink 模型并进行仿真。 解：用积分器直接构造求解微分方程的模型 由原微分方程()4()2()x t x t u t '=-+可知 x '经积分模块作用就得x ，而x 经代数运算又产生x '，据此可以建立系统模型并仿真，实现建模与仿真步骤如下。 ⑴利用Simulink 模块库中的基本模块，不难建立系统模型，如题图1所示。 题图1 求解微分方程的模型 模型中各个模块说明如下。 ①()u t 输入模块：它的参数设置如题图1(a)所示，模块名称由原来的Pulse Generrator 改为()u t 。 题图1(a) ()u t 输入模块的参数设置
②Gs 增益模块：增益参数Gain 设置为2。 ③求和模块：其图标形状Icon shape 选择rectangular ，符号列表Lisl of signs 设置为+-。 ④积分模块：参数不需改变。 ⑤G 1增益模块：增益参数设置为4，它的方向旋转可借助Format 菜单中的Rotate Block 命令实现。 ⑥Scope 示波器：在示波器参数设置窗口选择Data history 页，选中其中的Save data to workspace 复选框。这将使送入示波器的数据同时被保存在MA TLAB 工作空间的默认名为ScopeData 的结构矩阵或矩阵中。 ⑵设置系统仿真参数。单击模型编辑窗口Simulation 菜单中的Configuration Parameters 选项，打开仿真参数设置对话框，选择Solver 选项，把仿真的停止时间Sto ptime 设置为20。 ⑶仿真操作。双击示波器图标，打开示波器窗口。选择模型编辑窗口中Simulation 菜单中的Stan 命令，就可在示波器窗口中看到仿真结果的变化曲线，如题图1(b)所示。 题图1(b) 仿真结果 2. 建立使用阶跃信号为输入信号，经过传递函数为1 5.01 s 的一阶系统的Simulink 模型并进行仿真。要求：⑴查看其输出波形在示波器上的显示；⑵修改仿真参数Max step size 为2、Min step size 为1,在示波器上查看波形；⑶修改示波器Y 坐标轴范围为0~2，横坐标范围为0~15，查看波形。 解：⑴①利用Simulink 模块库中的基本模块，不难建立系统模型，如题图2所示。 题图2 一阶系统的Simulink 模型 模型中各个模块说明如下。 ()u t 输入模块：它的step time 被设置为0，模块名称由原来的step 改为()u t 。 Transfer Fon 传递函数模块：在Denominator coefficient 文本框中定义分母多项式系数向量为[0.5 1]。
数学建模实验答案微分方程模型
实验07 微分方程模型（2学时） （第5章 微分方程模型） 1.（验证）传染病模型2（SI 模型）p136~138 传染病模型2（SI 模型）： 0(1),(0)di k i i i i dt =-= 其中， i (t )是第t 天病人在总人数中所占的比例。 k 是每个病人每天有效接触的平均人数（日接触率）。 i 0是初始时刻（t =0）病人的比例。 1.1 画~di i dt 曲线图p136~138 取k =0.1，画出i dt di ~的曲线图，求i 为何值时dt di 达到最大值，并在曲线图上标注。 参考程序：
提示：fplot, fminbnd, plot, text, title, xlabel 1）画曲线图 用fplot函数，调用格式如下： fplot(fun,lims) fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。 若lims取[xmin xmax]，则x轴被限制在此区间上。 若lims取[xmin xmax ymin ymax]，则y轴也被限制。 本题可用 fplot('0.1*x*(1-x)',[0 1.1 0 0.03]); 2）求最大值 用求解边界约束条件下的非线性最小化函数fminbnd，调用格式如下：x=fminbnd('fun',x1,x2) fun必须为一个M文件的函数名或对变量x的可执行字符串。 返回自变量x在区间x1 （微分方程模型） ．一个半球状雪堆，其体积融化地速率与半球面面积成正比，比例系数 > .设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为且小时中融化了总体积地，问雪堆全部融化还需要多长时间？ ．从致冰厂购买了一块立方体地冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了 （）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变） （）如运输时间需要小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？ ．一展开角为α地圆锥形漏斗内盛着高度为地水，设漏斗底部地孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中地水流光需要多少时间？ ．容器甲地温度为度，将其内地温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为度，又过十分钟后温度计读数为度，试求容器乙内地温度. ．一块加过热地金属块初始时比室温高度，分钟测得它比室温高度，问：（）小时后金属块比室温高多少？（）多少时间后，金属块比室温高度？ ．设初始时容器里盛放着含净盐千克地盐水升，现对其以每分钟升地速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟升地速率放出盐水，求小时后容器里地盐水中还含有多少净盐？ ．某伞降兵跳伞时地总质量为公斤（含武器装备），降落伞张开前地空气阻力为,该伞降兵地初始下落速度为，经秒钟后降落伞打开，降落伞打开后地空气阻力约为试球给伞降兵下落地速度(),并求其下落地极限速度. ．年月日英国人创建了一项最低开伞地跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地英尺时才打开降落伞，试求他落地时地速度. ．证明对数螺线上任一处地切线与极径地夹角地正切为一常数，（）．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为.现有一包裹从离地米高地飞机上落下，（）求其落地时地速度（）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹地速度会随高度而任意增大吗？ ．生态学家估计人地内禀增长率约为，已知年世界人口数为亿（×）而当时地人口增长率则为.试根据模型计算：（）世界人口数地上限约为多少（）何时将是世界人口增长最快地时候？ ．早期肿瘤地体积增长满足模型（λ，其中λ为常数），（）求肿瘤地增倍时间 σ.根据统计资料，一般有σ()（单位为天），肺部恶性肿瘤地增倍时间大多大于天而小于天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质地重要参数之 第五章 微分方程模型 5.1、 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 解： 设此人的体重为w ，则根据题意有，每天获取的热量，减去新陈代谢， 减去运动消耗的热量，剩余的按利用率100% 转化为脂肪，即有下列等式成立： 1046750386941868 w dw dt --= 经化简有： 232313956139565429()41868t t w e t e c -=-?+ 假设此人现在的体重为0w ，则此人的体重随时间的变化如下： 2323139561395605429()41868t t w e t e w - =-?+ 5.2、 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型)(003.0)(t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速率是)(001.02t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 解： （1），由题可知， 在考虑两种因素后，修正后的Malthus 模型如下： 2()0.003()0.001()0.002dp t p t p t dt =-- （2），假设在0t = 时，存在100万条鲑鱼，即(0)1000000p = ，解下列初值问题 习 题 2.1 什么是线性系统?其最重要的特性是什么?下列用微分方程表示的系统中,x o 表示系统输出,x i 表示系统输入,哪些是线性系统? (1) x x x x x i o o o o 222=++ (2) x tx x x i o o o 222=++ (3) x x x x i o 222o o =++ (4) x tx x x x i o o o 222o =++ 解: 凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要特性就是它满足叠加原理。该题中（2）和（3）是线性系统。 2.2 图（题2.2）中三同分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程，图中x i 表示输入位移，x o 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 图(题2.2) 解: (1)对图(a)所示系统，由牛顿定律有 x m x c x x c i o o 2 o 1 )(=-- 即 x c x c c x m i 1 2 1 o o )(=++ (2)对图(b)所示系统，引入一中间变量x,并由牛顿定律有 )1()()(1 x x c k x x o i -=- )2()(2 x k x x c o o =- 消除中间变量有 x ck x k k x k k c i o 1 2 1 o 2 1 )(=-- (3)对图(c)所示系统，由牛顿定律有 x k x x k x x c o o i o i 2 1 )()(=-+- 即 x k x c x k k x c i i o o 1 2 1 )(+=++ 2.3求出图(题2.3)所示电系统的微分方程。 图（题2.3） 解:(1)对图(a)所示系统,设i 1为流过R 1的电流,i 为总电流,则有 ?+=idt C i R u o 12 2 i R u u o i 1 1=- 第三章 微分方程建模 在许多实际问题的研究中，要直接导出变量之间的函数关系较为困难，但要导出包含未知函数的导数或微分的关系式却较为容易，此时即可用建立微分方程模型的方法来研究实际问题。例如，根据自由落体运动的重力加速度g 为常数及初始条件即可得出自由落体运动的公式、根据单摆的受力分析及牛顿第二定理即可得到单摆运动满足的方程等等就是典型的实例。本章除了介绍一些来自经典力学的物理及一些几何方面的微分方程问题以外，也介绍了一些稍有不同的微分方程应用题。这些模型研究的主要是来自于非物理领域的实际问题，对这些问题，我们将分析其特征，根据具体情况进行类比，提出假设条件并建立微分方程模型加以研究。提出的假设条件不同，将会导出不同的微分方程。最后还要将求解的结果与实际现象进行对比，如果差异较大还应反复修改假设建立新的模型。因此，在这类模型中，微分方程被当成了研究问题的工具。事实上，在连续变量问题的研究中，微分方程或微分方程组还是十分常用的数学工具之一。 §3.1 几个简单实例 例3.1 （理想单摆运动的周期） 本例的目的是建立理想单摆运动满足的微分方程，由该微分方程即可得出理想单摆运动的周期公式。 （图3-1） 从图3-1中不难看出，小球所受的合力为 θsin mg ，根据牛顿第二定律可得： θθ sin mg ml -= 从而得出两阶微分方程： sin 0 (0)0,(0)g l θθθθθ?+=???==? （3.1） 这就是理想单摆运动满足的微分方程。 （3.1）是一个两阶非线性常微分方程，不容易求解。根据微积分知识，当θ很小时，有sin θ≈θ，此时，为简单起见，我们可考察（3.1）的近似线性方程： 第5章 微分方程模型 一、讨论题 1. 某人每天由饮食获取10467焦热量，其中5038焦用于新陈代谢，此外每公斤体重需支付69焦热量作为运动消耗，其余热量则转化为脂肪，已知以脂肪形式贮存的热量利用率为100%，每公斤脂肪含热量41868焦，问此人的体重如何随时间而变化？ 2. 根据罗瑟福的放射性衰变定律，放射性物质衰变的速度与现存的放射性物质的原子数成正比，比例系数成为衰变系数，试建立放射性物质衰变的数学模型。若已知某放射性物质经时间21T 放射物质的原子下降至原来的一半（21T 称为该物质的半衰期）试决定其衰变系数。 3. 建立耐用消费品市场销售量的模型。如果已知了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数。 4. 两棵不同类别的植物种在一起，按比例吸取养料，试建立它们的生长模型。 二、思考题 1、具有什么样特征的数学建模问题需要用微分方程方法建立模型？ 2、用微分方程方法建立数学模型的基本步骤是什么？应注意哪些问题？ 3、某种细菌的增长率不知道，但假设它是常数，试验开始时估计大约有11500个细菌，一时后有2000个，问四时后大约有多少细菌？ 三、习题 1. 生活在阿拉斯加海滨的鲑鱼服从Malthus 增长模型 )(003.0) (t p dt t dp = 其中t 以分钟计。在0=t 时一群鲨鱼来到此水域定居，开始捕食鲑鱼。鲨鱼捕杀鲑鱼的速 率是)(001.02 t p ，其中)(t p 是t 时刻鲑鱼总数。此外，由于在它们周围出现意外情况，平 均每分钟有0.002条鲑鱼离开此水域。 （1）考虑到两种因素，试修正Malthus 模型。 （2）假设在0=t 是存在100万条鲑鱼，试求鲑鱼总数 )(t p ，并问∞→t 时会发生什么情况？ 2. 用具有放射性的14 C 测量古生物年代的原理是：宇宙线轰击大气层产生中子，中子 与氮结合产生14C 。植物吸收二氧化碳时吸收了14C ，动物食用植物从植物中得到14 C 。在 活组织中14C 的吸收速率恰好与14 C 的衰变速率平衡。但一旦动植物死亡，它就停止吸收14C ，于是14C 的浓度随衰变而降低。由于宇宙线轰击大气层的速度可视为常数，既动物刚 死亡时14 C 的衰变速率与现在取的活组织样本（刚死亡）的衰变速率是相同的。若测得古生 物标本现在14C 的衰变速率，由于14 C 的衰变系数已知，即可决定古生物的死亡时间。试建 立用14C 测古生物年代的模型（14 C 的半衰期为5568年）。 3. 试用上题建立的数学模型，确定下述古迹的年代： （1）1950年从法国Lascaux 古洞中取出的碳测得放射性计数率为0.97计数（min ?g ），而活树木样本测得的计数为6.68计数（min ?g ），试确定该洞中绘画的年代； （2）1950年从某古巴比伦城市的屋梁中取得碳标本测得计数率为4.09计数（min ?g ），活数标本为6.68计数（min ?g ），试估计该建筑的年代。 4. 一容器用一薄膜分成容积为A V 和B V 的两部分，分别装入同一物质不同浓度的溶液。 实验一SDH网元基本配置 一、实验目的： 通过本实验，了解SDH光传输的原理和系统组成，了解ZXMP S325设备的硬件构成和单板功能，学习ZXONM 300 网管软件的使用方法，掌握SDH 网元配置的基本操作。 二、实验器材： 1、SDH 设备：3 套ZXMP 325； 2、实验用维护终端。 三、实验原理 1、SDH 原理 同步数字体制（SDH）是为高速同步通信网络制定的一个国际标准，其基础在于直接同步复用。按照SDH 组建的网络是一个高度统一的、标准化的、智能化的网络，采用全球统一的接口以实现多环境的兼容，管理操作协调一致，组网与业务调度灵活方便，并且具有网络自愈功能，能够传输所有常见的支路信号，应用于多种领域（如光纤传输，微波和卫星传输等）。 SDH 具有以下特点： （1）接口：接口的规范化是设备互联的关键。SDH对网络节点接口（NNI）作了统一的规范，内容包括数字信号数率等级、帧结构、复接方法、线路接口、监控管理等。 电接口：STM-1是SDH的第一个等级，又叫基本同步传送模块，比特率为155.520Mb/s；STM-N是SDH第N个等级的同步传送模块，比特率是STM-1的N 倍(N=4n=1，4，16，- - -)。 光接口：采用国际统一标准规范。SDH仅对电信号扰码，光口信号码型是加扰的NRZ 码，信号数率与SDH 电口标准信号数率相一致。 （2）复用方式 a）低速SDH----高速SDH，字节间插； b) 低速PDH-----SDH，同步复用和灵活的映射。 （3）运行维护:用于运行维护（OAM）的开销多，OAM功能强——这也是线路编码不用加冗余的原因. （4）兼容性:SDH 具有很强的兼容性，可传送PDH 业务，异步转移模式信号（ATM）及其他体制的信号。 （5）SDH 复用映射示意图 第二章：动力学系统的微分方程模型 利用计算机进行仿真时，一般情况下要给出系统的数学模型，因此有必要掌 握一定的建立数学模型 的方法。在动力学系统中，大多数情况下可以使用微分方程 来表示系统的动态特性，也可以通过微分方程可以将原来的系统简化为状态方程或 者差分方程模型等。在这一章中，重点介绍建系统动态问题的微分方程的基本理论 和方法。 在实际工程中，一般把系统分为两种类型，一是连续系统；其数学模型一般 是高阶微分方程；另一 种是离散系统，它的数学模型是差分方程。 § 2.1 动力学系统统基本元件 任何机械系统都是由机械元件组成的，在机械系统中有 3种类型的基本机械元 件：惯性元件、弹性元件和阻尼元件。 1惯性元件：惯性元件是指具有质量或转动惯量的元件， 惯量可以定义为使加速度 （或角加速度）产生单位变化所需要的力（或力矩）。 2弹性元件：它在外力或外力偶作用下可以产生变形的元件, 力做功来储存能量。按变形性质可以分为线性元件和非线性元件，通常等效成一弹 簧来表示。 对于线性弹簧元件，弹簧中所受到的力与位移成正比， 比例常数为弹簧刚度 k 。 F Wx 这里k 称为弹簧刚度， 级是弹簧相对于原长的变形量，弹性力的方向总是指向弹 簧的原长位移，出了弹簧和受力之间是线性关系以外，还有所谓硬弹簧和软弹簧， 它们的受力和弹簧变形之间的关系是一非线性关系。 3阻尼元件：这种元件是以吸收能量以其它形式消耗能量， 而不储存能量，可以形 象的表示为一个活塞在一个充满流体介质的油缸中运动。阻尼力通常表示为： D a R = ex 阻尼力的方向总是速度方向相反。当 1，为线性阻尼模型。否则为非线性阻 尼模型。应注意当:等于偶数情况时，要将阻尼力表示为： R - -ex | x 4 | 这里的"-”表示与速度方向相反 惯量（质量） 力（N ） 加速度（m/ s 2 ） 惯量（转动惯量） 力矩（N m ） 角加速度（rad / s 2 ） 这种元件可以通过外微分方程模型习题
第五章----微分方程模型
2机械控制工程基础第二章答案解析
第三章,微分方程模型
第5章 微分方程模型
扩散问题的偏微分方程模型_数学建模
第二章：动力学系统的微分方程模型