初二第四讲 二次根式的定义及性质
二次根式的定义与性质
二次根式基本知识点
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式
合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)
注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；
(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质：
（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）=
=a a 2
（3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平
方根的积.
（4）商的算术平方根的性质b a
b
a =
（0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
二次根式的考点
考点一：二次根式的概念 形如a （
）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、
多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是
为二次根式的前提条件，
如
，
，
等是二次根式，而
，
等都不是二次根式。
考点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，
有意义，是二次根式，所以要使二
次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。
考点三：二次根式
（
）的非负性
a （a ＞0）
a -（a ＜0）
0 （a =0）；
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。【注】：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
考点四：二次根式（
2
a的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.
考点五：二次根式
2
a的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。【注】：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；
2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；
3、化简时，先将它化成a
，再根据绝对值的意义来进行化简。
考点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但
与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
考点七：同类二次根式
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
经典例题
题型一：二次根式的判定
【例】下列各式1
，
其中是二次根式的是多少(
)
【自我巩固】
1、下列各式中，一定是二次根式的是（）
A
B
C D 2
.
题型二：二次根式有意义
【例】
有意义，则x 的取值范围是．
【自我巩固】
1、使代数式有意义的x 的取值范围是（）
A 、x>3
B 、x ≥3 C
、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2x 的取值范围是
3、如果代数式
m n m 1
+
-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
题型三：二次根式定义的运用
【例】若y=++2009，则x+y= 【自我巩固】
1，则x －y 的值为（）
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
43
--x x 5-x x -52
()x y =+
2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值
3、当a
1取值最小，并求出这个最小值。
题型四：小数部分和整数部分的运用
【例】已知a 是5的整数部分，b 是5的小数部分，求21++
b a
【自我巩固】
1：若7-3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3
2：若172+的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1
2+
的值.
题型五：二次根式的双重非负性
【例】若则．
【自我巩固】
1、若
0)1(32
=++-n m ，则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数，且()02312
=-+-y x ，则y x -的值为（）
A ．3
B ．– 3
C ．1
D ．– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2
－4｜＋
6
52+-y y ＝0，则第三边长为。
()2
240a c -+-=，=
+-c b a
4、4、若
1
a b -+
互为相反数，则()
2005
_____________
a b -=。
题型六：二次根式的性质 【例】化简：
的结果为（）
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
【例】已知2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
【自我巩固】
1、 在实数范围内分解因式: 2
3
x
-= ；42
44
m m -+
=
429__________,2__________x x -=-+=
2
( )
A ．-3
B ．3或-3
C ．3
D ．9
3、已知a<0
2a │可化简为（）
A ．－
a B ．a C ．－3a D ．3a 4、若23a 等于（）
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 5、若a －3＜0，则化简
a
a a -++-4962的结果是（）
(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a 62
得（）
（A ） 2 （B ）44x -+ （C ）－2 （D ）44x -
7、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-221
2＝．
8、已知0a <
题型七：与数轴和绝对值的运用
【例】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a －b │的结果等于
（）
A ．－2b
B ．2b
C ．－2a
D ．2a
2
1a -+o
b
a
【自我巩固】实数a
在数轴上的位置如图所示：化简：1______a -+=．
【例】
化简
1x --2x -5，则x 的取值范围是（ ）
（A ）x 为任意实数（B ）1≤x ≤4 （C ）x ≥1 （D ）x ≤1 【自我巩固】
若代数式2，则a 的取值范围是（ ）
Ａ．4a ≥
Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤
Ｄ．2a =或4a =
【例】如果11a 2a a 2
=+-+，那么a 的取值范围是（）
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1 【自我巩固】
1
、如果
3a =成立，那么实数a 的取值范围是（） .0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若
3)3(2=-+-x x ，则x 的取值范围是（）
（A ）3>x （B ）3 【例】化简二次根式 22 a a a +- 的结果是（） （A ）2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 【自我巩固】1、把二次根式a a - 1 化简，正确的结果是（） A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内：当b ＞0时，x x b ＝； a a --11 ) 1(＝。 题型八：最简二次根式和同类二次根式 【例11】在根式1) ，最简二次根式是（） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 【自我巩固】 1、) b a (17,54,b 40,21 2,30,a 45222+中的最简二次根式是。 2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A ．B．C．D．3、下列根式不是最简二次根式的是() C. 4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ (1)b a2 3(2)2 3ab (3) 2 2y x+ (4) ) (b a b a> -(5)5(6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式： (1)12(2)b a2 45(3)x y x2 【例】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 【自我巩固】 1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（） A B、C D 2、在二次根式：①12；②32；③3 2 ；④27中，能与3合并的二次根式是。 3、如果最简二次根式 8 3- a与a2 17-能够合并为一个二次根式, 则a=_________ 73 1 22 二次根式的定义性质和概念 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。 即：若，则x叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。 关于二次根式概念，应注意： 被开方数可以是数，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。 二次根式的性质： 1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形势中被开方数不能有分母存在。 2.零的平方根是零，即 ; 3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。 4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。 二次根式的几何意义 1、(a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解]; 2、都是非负数;当a≥0时， ;而中a取值范围是a≥0，中取值范围是全体实数。 3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论; 4、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如 ﹙a>0﹚，﹙a<0﹚ ﹙a≥0﹚，﹙a<0﹚ 5、注意: ，即具有双重非负性。 算术平方根 正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。 0的算术平方根为0. 开平方运算 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 化简 化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。 最简二次根式 定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式) 二次根式化简一般步骤： ①把带分数或小数化成假分数; ②把开方数分解成质因数或分解因式; ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外; ④化去根号内的分母，或化去分母中的根号; ⑤约分。 有理化因式 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式 注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式;②这两个代数式都含有二次 根式;③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二 次根式互为有理化因式﹚ 分母有理化 二次根式知识点归纳 定义：一般的，式子 a ( a ≥ 0 ) 叫做二次根式。其中 “”叫做二次根 号，二次根号下的a 叫做被开方数。 性质：1、 2≥0,等于a;a<0,等于-a 3、 4 、 反过来: 5 6、最简二次根式： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式 8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根 9、二次根式化运算及化简：①先化成最简 ②合并同类项 二次根式中考试题精选 一.选择题： 1.【05宜昌 】化简20的结果是 （ ）. A. 25 B.52 C. . D.54 2.【05南京】9的算术平方根是 （ ）. A.-3 B.3 C.± 3 D.81 3.【05南通】已知2x <, ）. A 、2x - B 、2x + C 、2x -- D 、2x - A ．a 2＋a 3=a 5 B ．(－2x)3=－2x 3 C ．(a －b)(－a ＋b)=－a 2－2ab －b 2 D =5.【05无锡】下列各式中，与y x 2是同类项的是（ ） A 、2xy B 、2xy C 、－y x 2 D 、223y x 6.【05武汉】若a ≤1，则 化简后为（ ）. A. B. C. D. 7.【05绵阳】化简 时，甲的解法是：==，乙的解法是： ，以下判断正确的是（ ）. A. 甲的解法正确，乙的解法不正确 B. 甲的解法不正确，乙的解法正确 C. 甲、乙的解法都正确 D. 甲、乙的解法都不正确 8.【05杭州】设22a b c ===,则,,a b c 的大小关系是: （ ）. (A)a b c >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >> 9.【05丰台】4的平方根是（ ）. A. 8 B. 2 C. ±2 D. ±2 10.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（ ）. A. 24 B. 12 C. 3 2 D. 18 11.【05南平】下列各组数中，相等的是（ ）. A.(-1)3和1 B.(-1)2和-1 C.|-1|和-1 和1 12.【05宁德】下列计算正确的是（ ）. A 、x 2·x 3＝x 6 B 、(2a 3)2＝4a 6 C 、(a －1)2＝a 2－1 D 、 4 ＝±2 13.【05毕节―a 的正整数a 的值有( ). A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 14.【05黄岗】已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ，则y x -的值为（ ）. A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 1 15.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是 ( ). A ． a a b ++b a b +=1 B ．1÷b a ×a b =1 C +1 D ． 2 1()a b +· 2 2a b a b --= 1a b + 二、填空题 1.【05连云港】计算：)13)(13(-+= ． 2.【05南京】 10 在两个连续整数a 和b 之间，a< 10 二次根式的定义与性质 二次根式基本知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 1°二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 2°合并同类二次根式 合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 注意：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式； (3)不是同类二次根式，不能合并 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）；（2）= =a a 2 （3）积的算术平方根的性质：b a ab ⋅=（a≥0，b≥0），即积的算术平方根等于积中各因式的算术平 方根的积. （4）商的算术平方根的性质b a b a = （0≥a ，0>b ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 二次根式的考点 考点一：二次根式的概念 形如a （ ）的式子叫做二次根式。【注】：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、 多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件， 如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。 考点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二 次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，没有意义。 考点三：二次根式 （ ）的非负性 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）； 二次根式的有关概念及性质 一、二次根式的有关概念： 1.二次根式：式子(a≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如不是最简二次根式，因被开方数中含有4是可开得尽方的因数，又如，，..........都不是最简二次根式，而，，5，都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。如, , 就是同类二次根式，因为=2， =3，它们与的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说这两个代数式互为有理化因式。如与，a+与a-，-与+，互为有理化因式。 二、二次根式的性质： 1.(a≥0)是一个非负数, 即≥0。 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)； 3.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即=|a|= 4.非负数的积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积，即=· （a≥0,b≥0）。 5.非负数的商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，即= （a≥0,b>0）。 三、例题：例1.x为何值时，下列各式在实数范围内才有意义： （1）（2）（3） （4）+（5）（6）+ 分析：这是一组考察二次根式基本概念的问题，要弄清每一个数学表达式的含义，根据分式和根式成立的条件去解，即要考虑到分式的分母不能为0并且偶次根号下被开方数要大于或等于零。 解：（1）∵ 6-x≥0,∴x≤6时原式有意义。 （2）∵ x2≥0, ∴ x2+3>0, ∴ x取任意实数原式都有意义。 （3） ∵∴∴当x<3且x≠-3时，原式有意义。 （4） ∵∴∴当-≤x<时，原式有意义。 （5） ∴∴当x≥0且x≠1时，原式有意义。 （6） 二次根式定义及性质 教学内容： 1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：， ，，并利用它们进行计算和化简． 2.重点：；，及其运用． 3.难点：利用，，解决具体问题. 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraic expression). 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义． 总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 举一反三 【变式1】x 是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？ (1)；(2)； 解：(1)由≥0，解得：x取任意实数 ∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义. (2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1 ∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义. 教学重点二次根式的基本概念与性质二次根式（Quadratic Root）是数学中的一个重要概念。它是指形如√a的数，其中a为非负实数。本文将详细介绍二次根式的基本概念和 性质。 一、二次根式的定义和基本概念 二次根式是指具有形式√a（或简称根号a）的数，其中a为非负实 数（即a≥0）。根号符号表示一个非负实数的非负平方根。例如，√4=2，√9=3。 二次根式有以下几种形式： 1. 普通二次根式：形如√a的根式，其中a为非负实数。例如，√4=2，√5等。 2. 分数二次根式：形如√(a/b)的根式，其中a为非负实数，b为正实数。例如，√(4/9)等。 二、二次根式的性质 二次根式有以下基本的性质： 1. 二次根式的值为非负实数，即√a≥0。 2. 当a≥b时，√a≥√b。即，较大的数的二次根式大于较小的数的二 次根式。 3. 二次根式的平方等于它的被开方数。即，(√a)²=a。例如，(√4)²=4。 4. 若a≥0，则(√a)·(√a)=a。即，二次根式与自身相乘等于它的被开方数。例如，(√5)·(√5)=5。 5. 二次根式的乘法可以化简。例如，√2·√3=√(2·3)=√6。 除了以上的基本性质外，二次根式还有一些特殊的性质： 1. 二次根式的加减法不可合并。例如，√2+√3是一个二次根式，无法合并成一个较简单的形式。 2. 可以对二次根式进行有理化处理。有理化是指将含有二次根式的式子转化为不含二次根式的式子。例如，对√(2/3)进行有理化处理，可以得到(√2)/(√3)。 三、二次根式的应用举例 二次根式广泛应用于数学和物理的各个领域。以下是一些常见的应用举例： 1. 平方根的距离计算：当我们需要计算两个点之间的距离时，会使用到平方根。例如，两个坐标点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)之间的距离可以表示为√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。 2. 几何问题的求解：二次根式在几何问题中经常出现，例如计算三角形的边长、面积等。 3. 物理问题的建模：在物理学中，二次根式常用于描述力、速度、加速度等与时间关系的问题。 总结： 二次根式的性质 在数学中，二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。二次根式在代数和几何中有着广泛的应用，特别是在求解方程、计算 面积和体积等问题中。 一、二次根式的定义 二次根式通常表示为√a，其中a≥0。如果a>0，则√a被称为正根式，如果a=0，则√a=0；如果a<0，则二次根式不存在，因为它不是一个实数。 二、二次根式的性质 1. 二次根式的平方 二次根式的平方等于它本身，即(√a)^2 = a。这是因为二次根式表 示的是一个数的正平方根，而正平方根的平方等于被开方数本身。 2. 二次根式的加减运算 如果两个二次根式的被开方数相同，那么它们可以进行加减运算。 例如，√2 + √2 = 2√2。当然，如果两个二次根式的被开方数不同，则无法进行加减运算。 3. 二次根式的乘法 两个二次根式可以进行乘法运算，即(√a) * (√b) = √(a * b)。这个性 质可以通过平方的方式进行证明。例如，(√2) * (√3) = (√2^2) * (√3^2) = √(2 * 3) = √6。 4. 二次根式的除法 两个非零的二次根式可以进行除法运算，即(√a) / (√b) = √(a / b)。这个性质也可以通过平方的方式进行证明。 5. 二次根式的化简 将一个二次根式化简为最简形式是一种常见的操作。例如，将√8化简为√(4 * 2)，再进一步化简为2√2。也可以将√32化简为√(16 * 2)，再化简为4√2。化简后的二次根式更加简洁明了。 6. 二次根式的大小比较 当两个二次根式的被开方数相同时，它们的大小关系取决于它们的系数。例如，2√3和3√2，由于√3>√2，所以2√3<3√2。但如果被开方数不同，则无法直接比较大小。 7. 二次根式的乘方 一个二次根式可以进行乘方运算，例如(√2)^3 = (√2) * (√2) * (√2) = √(2 * 2 * 2) = 2√2。这个性质是由乘法的性质推导而来。 总结： 二次根式是具有形如√a的数，它们具有以下性质：平方等于本身、可进行加减乘除运算、可以化简为最简形式、可以进行乘方运算等。掌握二次根式的性质对于解决代数和几何中的问题非常重要。通过灵活运用二次根式的性质，我们可以更加方便地进行计算和推导，提高数学问题的解决效率。 二次根式 1、定义：一般形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。当a≥0时，a 表示a 的算术平方根；当a 小于0时，非二次根式。其中，a 叫做被开方数。 2、√ā的简单性质和几何意义 （1）双重非负性：a≥0 且a ≥0 （2）（a ）2=a （a≥0），任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式。 3、二次根式的性质和最简二次根式 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有)0(,3,2≥x x ；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有31, 9,4，2)(y x + 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开得尽的因式；（3）被开方数不含分母。 4、二次根式的乘法和除法 （1）积的算数平方根的性质 b a ab ⋅=（a≥0，b ≥0） （2）乘法法则b a ⋅=ab （a≥0，b≥0） （3）除法法则 b a b a =（a≥0，b>0） （4）根式有理化 如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式叫做有理化根式,也称有理化因式。 对根式进行有理化处理，其实就是进行根式分母有理化。 5、二次根式的加法和减法 （1）同类二次根式概念 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。 （2）二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的进行合并。 如：25355=+ 6、二次根式的混合运算 （1）确定运算顺序 （2）灵活运用运算定律 （3）正确使用乘法公式 （4）大多数分母有理化要及时 （5）在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化 7.分母有理化 二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。 二次根式的定义： 二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。当x小于0时，√x是一个虚数。在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。 基本性质： 1. 非负数的平方根： 对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。 2. 平方根的乘法： 对于非负实数a和b，有以下运算规则： √(a * b) = √a * √b 例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 6 3. 平方根的除法： 对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则： √(a / b) = √a / √b 例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.5 4. 平方根的加法与减法： 对于非负实数a和b，有以下运算规则： √a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。 例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √5 5. 平方根的乘方： 对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则： (√a)^n = a^(1/n) 例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 3 6. 平方根的传递性： 对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。 例如，√4小于√9，因为4小于9。 通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。 需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。 二次根式的概念 1、判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ 3，16-，34 )0(3≥a a ，12+x 2、计算 ： (1) 2)4( (2) （3）2)5.0( （4）2)3 1( 3、 x 取何值时，下列各二次根式有意义？ ①43-x ③ 4、（1）若a 的值为___________． （2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。 A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数 【总结】 1、二次根式的基本性质(a )2=a 成立的条件是a ≥0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。 【拓展延伸】 1、(1)在式子x x +-121中，x 的取值范围是____________. (2)已知42-x +y x +2＝0，则x-y ＝ _____________. (3)已知y ＝x -3+23--x ,则x y = _____________。 2、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a=2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数 写成一个数的平方的形式。 (1)把下列非负数写成一个数的平方的形式： 5 0.35 (2)在实数范围内因式分解 72-x 4a 2-11 【练习】 A 组 (一)填空题：1、2 )3(x --2123⎪⎪⎫ ⎛ 2、 在实数范围内因式分解： （1）x 2-9= x 2 - （ ）2= （x+ ____）(x-____) （2） x 2 - 3 = x 2 - ( ) 2 = (x+ _____) (x- _____) （二）选择题： 1、计算 （ ） A. 169 B.-13 C±13 D.13 2、已知的值不能确定 3、下列计算中，不正确的是 （ ）。 A. 3= 2)3( B 0.5=2)5.0( C .2)3.0(=0.3 D 2)75(=35 B 组 （一）选择题： 1、下列各式中，正确的是（ ）。 A. B C D 2、 如果等式2)(x -= x 成立，那么x 为（ ）。 A x ≤0; B.x=0 ; C.x<0; D.x ≥0 （二）填空题: 1、 若20a -=，则 2a b -= 。 2、分解因式： X 4 - 4X 2 + 4= ________. 3、当x= 时，代数式 其最小值是 。 二次根式的性质 1、计算：=24 =22.0 =2)54( =220 2、计算： =-2)4( =-2)2.0( =-2)54( =-2)20( 的值为2)13(-0,x =则为（ ） 4949+=+4994⨯=⨯2424-=-653625= 初中数学二次根式的概念及性质考试要求： 重难点： 1. (0) a≥ (0) a≥ 是一个非负数；2a =(0) a≥ a =(0) a≥•及其运用． 2. 二次根式乘除法的规定及其运用． 3. 二次根式的加减运算． 例题精讲： 模块一二次根式的概念及性质 a≥）的式子叫做二次根式，称为二次根号． 二次根式的基本性质：（10（0 a≥）双重非负性；（2 ）2 a =（0 a≥）；（3 ） (0) ( 0) a a a a a ≥ ⎧ ==⎨ -< ⎩ ． 对二次根式定义的考察 【例1】判下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x 0) x> 、 1 x y + x≥0， y ≥0）． 【难度】1 星 【解析】二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号 ；第二，被开方数是正数或0． 0) x> x≥0，y ≥0） ；不是二次根式的有： 1 x 、 1 x y + ． 【巩固】下列式子中，是二次根式的是（）． A．B C D．x 【难度】1星 【解析】略 【答案】A． 【例2】 当x 【难度】1星 【解析】由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0，才能有意义． 【答案】x ≥1 3 ． 【例3】 当x 1 1 x +在实数范围内有意义？ 【难度】2星 1 1 x +在实数范围内有意义，必须同时满足2x+3≥0和1 1 x +中的x+1≠0． 依题意，得230 10x x +≥⎧⎨+≠⎩ 由2x +3≥0得：x ≥3 2 - 由x +1≠0 得：x ≠-1 当x ≥32-且x ≠-11 1 x +在实数范围内有意义 【答案】x ≥3 2-且x ≠-1． 有意义的未知数x 有（ ）个 ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数 【难度】1星 【解析】利用二次根式和平方非负性解题． 【答案】B ． 【巩固】某工厂要制作一批体积为13m 的产品包装盒，其高为0．2m ，按设计需要， 底面 应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 【难度】1星 【解析】注意在实际应用题中数据的非负性． 设底面边长为x ，则20.21x =，解答：x 【例4】 解答下列题目初二数学二次根式知识点解析
二次根式知识点归纳
初二第四讲 二次根式的定义及性质
二次根式有关概念及性质
二次根式定义及性质
教学重点二次根式的基本概念与性质
二次根式的性质
二次根式的定义和概念
二次根式的定义和基本性质
(word完整版)初二数学二次根式概念及性质讲义
初中数学二次根式的概念及性质(含解析)