高二数学数列：7.2《等差数列》教案(2)沪教版

等差数列

教材：等差数列（二）

目的：通过例题的讲解，要求学生进一步认清等差数列的有关性质意义，并且能

够用定义与通项公式来判断一个数列是否成等差数列。

过程：

一、复习：等差数列的定义，通项公式

二、例一 在等差数列{}n a 中，d 为公差，若+∈N q p n m ,,,且q p n m +=+

求证：1? q p n m a a a a +=+ 2? d q p a a q p )(-+=

证明：1? 设首项为1a ，则

d q p a d q a d p a a a d

n m a d n a d m a a a q p n m )2(2)1()1()2(2)1()1(111111-++=-++-+=+-++=-++-+=+

∵ q p n m +=+

∴q p n m a a a a +=+

2∵d p a a p )1(1-+= d p a d q p d q a d q p a q )1()()1()(11-+=-+-+=-+ ∴ d q p a a q p )(-+=

注意：由此可以证明一个定理：设成等差数列，则与首末两项距离相等的两项和

等于首末两项的和 ，即：ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a

同样：若p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+

例二 在等差数列{}n a 中，

1? 若a a =5 b a =10 求15a

解：155102a a a += 即152a a b += ∴ a b a -=215

2? 若m a a =+83 求 65a a +

解：65a a +=m a a =+83

3? 若 65=a 158=a 求14a

解：d a a )58(58-+= 即 d 3615+= ∴ 3=d

从而 33396)514(514=?+=-+=d a a

4? 若 30521=+++a a a Λ 801076=+++a a a Λ 求

151211a a a +++Λ

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……

∴ 11162a a a += 12272a a a += ……

从

而

)(151211a a a +++Λ+=+++)(521a a a Λ2)(1076a a a +++Λ ∴151211a a a +++Λ=2)(1076a a a +++Λ-)(521a a a +++Λ =2×80-30=130

三、判断一个数列是否成等差数列的常用方法

1．定义法：即证明 )(1常数d a a n n =--

已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 232-=，求证数列{}n a 成等差数列，并求其

首项、公差、通项公式。

解：12311=-==S a

当2≥n 时

56)]1(2)1(3[23221-=-----=-=-n n n n n S S a n n n

1=n 时 亦满足 ∴ 56-=n a n

首项11=a )(6]5)1(6[561常数=----=--n n a a n n ∴{}n a 成等差数列且公差为6

2．中项法： 即利用中项公式，若c a b +=2 则c b a ,,成等差数列。

已知a 1，b 1，c 1成等差数列，求证 a

c b +，b a c +，c b a +也成AP 。 证明： ∵a 1，b 1，c 1成AP ∴c

a b 112+= 化简得：)(2c a b ac +=

ac

c a ac ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b 2

222222)(++=+++=+++=+++

=b

c a c a b c a ac c a +?=++=+22

)()()(22 ∴

a

c b +，b a c +，c b a +也成等差数列。 3．通项公式法：利用等差数列得通项公式是关于n 的一次函数这一性质。

例五 设数列{}n a 其前n 项和322+-=n n S n ，问这个数列成AP

吗？

解： 1=n 时 211==S a 2≥n 时 321-=-=-n S S a n n n

∵321-=n a a n 不满足 ∴ ???-=3

22n a n 21≥=n n ∴ 数列{}n a 不成AP 但从第2项起成等差数列。

四、小结： 略

五、作业：