一类广义KdV方程的孤立波精确解

孤立波理论

孤立波理论理论发展20世纪60～70 年代，通过计算机计算和关于浅水波的实验观测，表明孤立波碰撞后仍保持各自原来的形状和速度，犹如粒子，因而称为孤立子，随着研究的深入，发现除KdV方程外，还有一系列在应用中十分重要的非线性演化方程，孤立子解反映了自然界的一种相当普遍的非线性现象；并发展了一套求解这类非线性微分方程的强有力的解法，因而受到广泛的重视。孤立子被应用于粒子物理、固体物理以及各种非线性物理问题中，取得不少成功，也还存在不少困难。 1834年秋，英国科学家、造船工程师罗素在运河河道上看到了由两匹俊马拉着的一只迅速前进的船突然停止时，被船所推动的一大团水却不停止，它积聚在船头周围激烈地扰动，然后形成一个滚园、光滑而又轮廓分明的大水包，高度约为0.3～0.5米，长约10米，以每小时约13公里的速度沿着河面向前滚动。罗素骑马沿运河跟踪这个水包时发现，它的大小、形状和速度变化很慢，直到3～4公里后，才在河道上渐渐地消失。罗素马上意识到，他所发现的这个水包决不是普通的水波。普通水波由水面的振动形成，振动沿水平面上下进行，水波的一半高于水面，另一半低于水面，并且由于能量的衰减会很快消失。他所看到的这个水包却完全在水面上，能量的衰减也非常缓慢(若水无阻力，则不会衰减并消失)。并且由于它具有园润、光滑的波形，所以它也不是激波。罗素将他发现的这种奇特的波包称为孤立波，并在其后半生专门从事孤立波的研究。他用大水槽模拟运河，并模拟当时情形给水以适当的推动，再现了他所发现的孤立波。罗素认为孤立波应是流体力学的一个解，并试图找到这种解，但没有成功。罗素十年后向英国科学促进会报告了自己的观点，但却没能说服他的同事们，罗素所发现的孤立波现象也未能引起人们的注意。 50年以后，即1895年，两位数学家科特维格与得佛里斯从数学上导出了有名的浅水波KdV 方程，并给出了一个类似于罗素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在才得到普遍承认。在罗素逝世100周年即1982年,人们在罗素发现孤立波的运河河边树起了一座罗素像纪念碑，以纪念148年前他的这一不寻常的发现。孤立子理论- 孤立子理论孤立波解只存在于非线性色散方程之中，亦即非线性与色散是孤立波存在的必要条件。色散即波的传播速度依赖于波的频率和波长，它导致波包散开，而非线性却导致波阵面卷缩，两者共同作用的结果便形成稳定的波包，即孤立波。孤立波与孤立子. 起初人们认为虽然单个孤立波在行进中非常稳定，但在孤立波相互碰撞时，就可被撞得四分五裂，稳定波包将不复存在。但通过计算机对孤立波进行研究的结果表明，两个孤立波相互碰撞后，仍然保持原来的形状不变，并与物质粒子的弹性碰撞一样，遵守动量守恒和能量守恒。孤立波还具有质量特征，甚至在外力作用下其运动还服从牛顿第二定律。因此，完全可以把孤立波当做原子或分子那样的粒子看待，人们将这种具有粒子特性的孤立波称为孤立子，有时又简称为孤子。 ?孤立子的高度稳定性和粒子性引起了人们对孤立子的极大兴趣。人们还发展了一套研究孤立子的系统方法—反散射方法或逆问题方法。找出了一批非线性方程的普遍解法，并通过计算机实验和解析方法相结合，发现很多非线性偏微分方程都存在孤立子解，这些纯粹数学上的孤立子，很快在流体物理、固体物理、等离子体物理和光学实验中被发现。更令人振奋的是，这些似乎是纯数学的发现，不仅为实验所证实，而且还找到了实际应用。例如光纤通讯中传输信息的低强度光脉冲由于色散变形，不仅信息传输量低、质量差，而且须在线路上每隔一定距离加设波形重复器，花费很大，70年代从理论上首先发现“光学孤子”

初等数论第五章同余方程

第五章同余方程本章主要介绍同余方程的基础知识，并介绍几类特殊的同余方程的解法。第一节同余方程的基本概念本节要介绍同余方程的基本概念及一次同余方程。在本章中，总假定m是正整数。定义1设f(x) = a n x n a1x a0是整系数多项式，称 f(x) 0 (mod m) (1)是关于未知数x的模m的同余方程，简称为模m的同余方程。若a n≡/0 (mod m)，则称为n次同余方程。定义2设x0是整数，当x= x0时式(1)成立，则称x0是同余方程(1)的解。凡对于模m同余的解，被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模m互不同余的所有解的个数，也即在模m的一个完全剩余系中的解的个数。由定义2，同余方程(1)的解数不超过m。定理1下面的结论成立： (ⅰ) 设b(x)是整系数多项式，则同余方程(1)与 f(x) b(x) b(x) (mod m) 等价； (ⅱ) 设b是整数，(b, m) = 1，则同余方程(1)与 bf(x) 0 (mod m) 等价； (ⅲ) 设m是素数，f(x) = g(x)h(x)，g(x)与h(x)都是整系数多项式，又设x0是同余方程(1)的解，则x0必是同余方程 g(x) 0 (mod m) 或h(x) 0 (mod m)

的解。证明留做习题。下面，我们来研究一次同余方程的解。定理2 设a ，b 是整数，a ≡/0 (mod m )。则同余方程 ax b (mod m ) (2) 有解的充要条件是(a , m )b 。若有解，则恰有d = (a , m )个解。证明显然，同余方程(2)等价于不定方程 ax my = b ， (3) 因此，第一个结论可由第四章第一节定理1得出。若同余方程(2)有解x 0，则存在y 0，使得x 0与y 0是方程(3)的解，此时，方程(3)的全部解是 ??? ????-=+=t m a a y y t m a m x x ),(),(00，t Z 。 (4) 由式(4)所确定的x 都满足方程(2)。记d = (a , m )，以及 t = dq r ，q Z ，r = 0, 1, 2, , d 1，则 x = x 0 qm r d m x r d m +≡0(mod m )，0 r d 1。容易验证，当r = 0, 1, 2, , d 1时，相应的解 d m d x d m x d m x x )1(20000-+++，，，，Λ 对于模m 是两两不同余的，所以同余方程(2)恰有d 个解。证毕。在定理的证明中，同时给出了解方程(2)的方法，但是，对于具体的方程(2)，常常可采用不同的方法去解。例1 设(a , m ) = 1，又设存在整数y ，使得a b ym ，则 x a ym b +(mod m ) 是方程(2)的解。解直接验算，有 ax b ym b (mod m )。

孤立波与孤立子

孤立波与孤立子王振东摘要简要阐述了孤立波与孤立子发现和研究的历史，并由此可看出力学基础研究的深刻意义。关键词孤立波孤立子力学基础研究现代自然科学正发生着深刻的变化，非线性科学贯穿着数理科学、生命科学、空间科学和地球科学，成为当代科学研究重要的前沿领域。孤立波与孤立子正是推动非线性科学发展的重要概念之一，而此概念最初的提出，正好又来源于流体力学的研究。孤立子起源于孤立波，它已在非线性光学、磁通量子器件、生物学、等离子体及光纤孤立子通讯等一系列高科技领域有了令人瞩目的应用，所以了解孤立波与孤立子的研究历史，对于学习与研究力学史和科学史，均是很有必要的。孤立波的发现历史拉塞尔（John Scott Russell 1808~1882，注：曾有译为罗素，现根据周光坰先生所译，译为拉塞尔）是苏格兰一位优秀的造船工程师，对船体的设计有独到的见解，作过重要的贡献。1834年8月为研究船舶在运动中所受到的阻力，他在爱丁堡格拉斯哥运河中，牵引船舶进行全尺寸的实验与观测。最初，牵引船舶的动力是两匹马，以后改用滑轮和配重系统。在实验中，他观察到一种他称作孤立行进波的现象。当时他骑着马追踪观察一个孤立的水波，在浅水窄河道中的持续前进，这个水波长久地保持着自己的形状和波速。这一奇妙现象的发现，就是孤立波和现今关于孤立子研究的起始。拉塞尔后来在做学术报告和发表文章时，是这样描述他的发现的： “我把注意力集中在船舶给予流体的运动上，立刻就观察到一个非同寻常而又非常绚丽的现象，它是如此之重要，以致我将首先详细描述它所表现出来的外貌。当我正在观察一只高速运动的船舶，让它突然停止时，在船舶周围所形成的小波浪中，一个紊乱的扰动现象吸引了我的注意。在船身长度的中部附近，许多水聚集在一起，形成一个廓线很清楚的水堆，最后还出现一尖峰，并以相当高的速度开始向前运动，到船头后，继续保持它的形状不变，在静止

数论算法讲义 3章(同余方程)

第 3 章同余方程（一）内容： ● 同余方程概念 ● 解同余方程 ● 解同余方程组（二）重点 ● 解同余方程（三）应用 ● 密码学，公钥密码学 3.1 基本概念及一次同余方程 (一) 同余方程（1）同余方程【定义3.1.1】（定义1）设m 是一个正整数，f(x)为n 次多项式 ()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ 其中i a 是正整数（n a ≠0（mod m ）），则 f (x)≡0（mod m ）（1）叫做模m 的（n 次）同余式（或模m 的（n 次）同余方程），n 叫做f(x)的次数，记为deg f 。（2）同余方程的解若整数a 使得 f (a)≡0（mod m ）成立，则a 叫做该同余方程的解。（3）同余方程的解数若a 是同余方程（1）的解，则满足x ≡a （mod m ）的所有整数都是方程（1）的解。即剩余类

a C ＝{x ｜x ∈Z ，x ≡a （mod m ）} 中的每个剩余都是解。故把这些解都看做是相同的，并说剩余类a C 是同余方程(1)的一个解，这个解通常记为 x ≡a （mod m ）当21,c c 均为同余方程(1)的解，且对模m 不同余时，就称它们是同余方程(2)的不同的解，所有对模m 的两两不同余的解的个数，称为是同余方程（1）的解数，记作()m f T ;。显然 ()m f T ;≤m （4）同余方程的解法一：穷举法任意选定模m 的一组完全剩余系，并以其中的每个剩余代入方程（1），在这完全剩余系中解的个数就是解数()m f T ;。【例1】（例1）可以验证，x ≡2，4（mod 7）是同余方程 15++x x ≡0（mod 7）的不同的解，故该方程的解数为2。 50＋0＋1＝1≡3 mod 7 51＋1＋1＝3≡3 mod 7 52＋2＋1＝35≡0 mod 7 53＋3＋1＝247≡2 mod 7 54＋4＋1＝1029≡0 mod 7 55＋5＋1＝3131≡2 mod 7 56＋6＋1＝7783≡6 mod 7 【例2】求同余方程122742 -+x x ≡0（mod 15）的解。（解）取模15的绝对最小完全剩余系：－7，－6，…，－1，0，1，2，…，7，直接计算知x ＝－6，3是解。所以，该同余方程的解是 x ≡－6，3（mod 15）

线性同余方程组的解

线性同余方程组的解学生：罗腾，江汉大学数计学院（数学与应用数学系）指导老师：许璐，江汉大学摘要 “孙子算经”一书中写于公元前三世纪，这个谜题如下：有堆东西不知道有多少，如果三个三地数，最后余下两个；五个五个的数，最后余下三个；七个七个的数，最后余下二个，问这堆东西共有多少？我们可以把这个问题用数学符号表示成同余式的形式： ()()().7mod 3,5mod 2,3mod 1≡≡≡x x x 定理1 设,,,,,a b c d e f 和m 均为整数，0m >，若(,)1m ?=，其中ad bc ?=-.则线性同余方程组(mod ) (mod )ax by e m cx dy f m +≡??+≡? ，有唯一一组关于模m 的解为 ()(mod ) ()(mod ) x de bf m y af ce m ?≡?-?? ≡?-??，其中?是?关于模m 的逆，即1(mod )m ??≡. 证首先，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以d ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边都乘以b ，得到 (mod )(1) (mod )(2)adx bdy de m bcx bdy bf m +≡?? +≡? ()()12-得到 ()()mod ad bc x de bf m -≡- 令ad bc ?=-，则()mod x de bf m ??≡-.下面我们把同余式两边都乘以?，其中 1(mod ) m ??≡ ∴()()mod x de bf m ≡?- 同理，将同余式(mod )ax by e m +≡两边都乘以c ，将同余式(mod )cx dy f m +≡两边

基于Peclet数判别法的一维对流扩散方程分类研究

基于Peclet 数判别法的一维对流扩散方程分类研究摘要：采用Peclet 数的绝对值大小来判别一维对流扩散方程为对流占优型或是扩散占优型方程，运用三种隐式差分格式—中心隐式格式、对流C-N 型格式和扩散C-N 格式，对不同Peclet 数的算例进行离散和求解。然后，将计算区域中所有节点的解析解与数值解表示成矩阵形式，并求解出它们的矩阵2范数之后作比较，两者越接近则代表差分格式精度越高。通过比较得出了当方程Peclet 数的绝对值小于等于0.5时，方程为扩散占优型方程。在离散方法选取方面，针对扩散项的离散可以采用更高精度的差分格式，如扩散C-N 格式；当Peclet 数的绝对值大于等于20时，方程为对流占优型方程。此时，针对对流项可以采用更高精度的差分格式，如对流C-N 格式；当Peclet 数的绝对值介于0.5与20之间时，无法用Peclet 数判断方程类型,不过可以选择折衷的离散格式减小误差，如中心隐式格式。关键字：一维对流扩散方程 Peclet 数判别法有限差分方法数值模拟 MR(2010)主题分类号：39A14；65M06 中图分类号：O242.2 文献标识码： A 1.引言一维对流扩散方程是描述流体流动和传热问题的一类线性化模型方程。土壤、大气等多孔介质中水、盐分、温度以及污染物质的对流扩散问题都会遇到此类方程。在一维对流扩散方程的求解过程中，反映流体对流和扩散两种物理作用的分别是对流项和扩散项。所以，根据方程中对流项还是扩散项占主导作用，通常可将方程分为对流占优型和扩散占优型两类方程。然而，要想得到精确度较高的数值结果，这两种类型方程的离散方法不能采用相同的离散格式。因此，需要有一种判别方法来判断方程的类型，关于对流占优型和扩散占优型方程的判别方法一直是近年来研究的热点问题。这对研究不同类型的方程使用合适的差分格式进行离散具有实际的意义。由于Peclet 数的绝对值表示了对流作用相对扩散作用的大小，即绝大，扩散所起的作用就可以忽略。反之，当Peclet 数为零时，方程就为纯扩散方程。本文选用一维定解非稳态对流扩散方程为例，通过考察Peclet 数的绝对值大小来对方程进行分类，方程一般形式如下： 2(,),,0 122(1)(,0)()(,)(),(,)()12(,) u u u a f x t x x x t t x x u x g x u x t t u x t t u u x t υ?φ???? ?? ?? ????+=+≤≤≥???==== 其中a 和υ分别代表对流项系数和扩散项系数。假定求解区间长度为s ， Peclet 数的绝对值

一维对流扩散方程的稳定性条件推导

一维稳态对流扩散方程稳定性条件的推导姓名：班级：硕5015 学号： 2015/12/15

证明：一维稳态对流扩散方程： 22u x x φφρ??=Γ?? 采用控制容积积分法，对上图P 控制的容积作积分，取分段线性型线，对均分网格可得下列离散方程： ()()()()()()()()11112222e w e w P E W e w e w w w e e u u u u x x x x φρρφρφρδδδδ??????ΓΓΓΓ+-+=-++????????????????记：()()()()1122e w P e w w e a u u x x ρρδδΓΓ=+-+ ()()12 e E e e a u x ρδΓ=- ()()12w W w w a u x ρδΓ= + 定义通过界面的流量u ρ记为F ,界面上单位面积扩散阻力的倒数x δΓ记为D ,则原式简化为： P P E E W W a a a φφφ=+ 12 E e e a D F =- 12 W w w a D F =+ ()P E W e w a a a F F =++- 令 u x F Pe D ρδ==Γ 则 1111222 E W P Pe Pe φφφ????-++ ? ?????=

当Pe 大于2以后，数值解出现了异常；P φ小于其左右邻点之值，在无源项情况下是不可能的。因为当2Pe >时系数12 E e e a D F =-小于零，即右边点的通过对流及扩散作用对中间点所产生的影响是负的，这会导致物理上产生不真实的解，所以2u x Pe ρδ=≤Γ 证毕。

孤立波

第五章孤立波第一节历史回顾 1. 一个奇特的水波相传约170年以前，1834年的一天，在从爱丁堡到格拉斯哥的运河上，一位苏格兰海军工程师罗素(J.Scott Russell)观察到一种奇特的水波。在1844年发表的一份报告中，他描述了当年观察到的这种奇特水波，并称这种波为孤立波(Solitary wave)。他是这样描述的：“我看到两匹骏马拉着一条船沿运河迅速前进。当船突然停止时，随船一起运动的船头处的水堆并没有停止下来。它激烈地在船头翻动起来，随即突然离开船头，并以巨大的速度向前推进。一个轮廓清晰又光滑的水堆，犹如一个大鼓包，沿着运河一直向前推进，在行进过程中其形状与速度没有明显变化。我骑马跟踪注视，发现它保持着起始时约30英尺(1英尺＝25.4厘米)长，1-1.5英尺高的浪头，约以每小时8-9英里的速度前进。后来它的高度逐渐减低，经过约一英里(1英里＝1.609千米)的追逐后，在运河的拐弯处消失了”。为了探究上述的水波鼓包到底是一种什么样的现象，随后，罗素在水槽的一端用一重锤垂落入水中，对重锤激起的水浪的运动情况进行了反复的观察，如图5-1所示。他发现这种水浪与运河中出现的奇特水波是本相同。通过实验，他还总结出水波的移动速度v 、水的深度d 及水波幅度A 之间的关系： )(2A d B v += B 为一某比例常数。这实验结果说明，水波的运动速度与波幅的高度有关，波幅高的速度较快，且波幅的宽度对高度之比也相对较窄。图5-1 罗素在浅水槽中做的水波实验然而罗素当年未能从流体力学出发给孤立波以合理的理论解释，因此没有引起人们的充分重视。直到半个世纪以后，即1895年，两位荷兰科学家科特维格(Kortweg)与德弗雷斯(de Vries)才对浅水槽中单向运动的奇特波动现象用一波动方程进行理论分析，得到了比较满意的解释。他们认为，这种现象是波动过程中非线性效应与色散现象互相平衡的结果。他们建立了以他们姓名的首写字母命名的方程，即KdV 方程。KdV 方程的形式如下：

基于Matlab研究孤立波的非线性作用

文章编号：基于Matlab 研究孤立波的非线性作用（成都理工大学管理科学学院，四川成都 610059）摘要：孤立波在许多自然科学领域存在重要价值, 它是推动非线性科学发展的重要概念之一，也是非线性发展方程的一种独特的现象。同时KdV 方程的提出也从理论上阐明了孤立波的存在。利用Matlab 软件绘制孤立波图，分析图中孤立波的性质，并对比了消除KdV 方程非线性项后绘制出来的线性方程的波图形，总结出了KdV 方程的非线性项对于孤立波存在起着重要的作用。关键字：孤立波；非线性；KdV 方程；Matlab 引言孤立波是一种在传播过程中形状、幅度和速度在一定区域都维持不变的脉冲状行波。孤立子是由偏微分方程描述的一种有特殊性质的有孤立波形状的解，其能量不会耗散。当两个或多个能量不同的孤立波在前进时，能量高的波会逐渐赶上并越过能量低的波而保持各自的波形[1] 。从数学上看，它是某些非线性偏微分方程的一类稳定的、能量有限的解。KdV 方程即为此类非线性偏微分方程之一，它的提出，从理论上阐明了孤立波的存在。 1.KdV 方程解-孤立子的Matlab 图形模拟 KdV 方程是三阶非线性偏微分方程，形式如下： 06=+-xxx x t u uu u 其中t u 、x u 、xxx u 分别为 (,)u x t 的偏导数，在大量文献中，KdV 方程的精确解已经被研究。本文利用反散射法[2] （又称非线性Fourier 变换方法）求解KdV 方程初值问题：（a ）KdV 方程的初值函数为 x h x u 20sec 2)(-=时可用反散射方法求得单孤子解 ))(2 1(sec 21)(02ξφ--= -=at x a h at x u (1) （b ）KdV 方程的初值函数为 x h x u 20sec 6)(-=则可用反散射方法求得双孤立子解 2 ))28cosh(3)336(cosh()464cosh()28cosh(4312),(x t x t x t x t t x u -+--+-+? -= (2) 对上述解(1)和(2)运用Matlab 软件[3] 作图如下：图1 单孤立子图及等高线由图1可以看出孤立波具有光滑的波形，在传播的过程中孤立波的形状，振幅几乎保持不变，即传播时能量消减十分缓慢。孤立波是一个局域化的单个脉冲波包，它在一定局域累仅有一个波峰或波谷，普通波既有波峰又有波谷，此孤立波图仅有一个波峰，波长为无限，随着时间（time ）的推移，运动相对于时间及位置并不作周期性变化的波动。

一维对流扩散方程的数值解法

一维对流扩散方程的数值解法对流-扩散方程是守恒定律控制方程的一种模型方程，它既是能量方程的表示形式，同时也可以认为是把压力梯度项隐含到了源项中去的动量方程的代表。因此，以对流-扩散方程为例，来研究数值求解偏微分方程的相容性、收敛性和稳定性具有代表性的意义。 1 数学模型本作业从最简单的模型方程，即一维、稳态、无源项的对流扩散方程出发，方程如下： 22, 02f f f U D x t x x ???+=≤≤??? (1) 初始条件 (),0sin(2)f x t A kx π== (2) 解析解 ()()()224,sin 2Dk t f x t e A k x Ut ππ-=- (3) 式中，1,0.05,0.5,1U D A k ==== 函数(3)描述的是一个衰减波的图像，如图1所示 t=0 t=0.5 t=1 图1 函数()()()224,sin 2Dk t f x t e k x Ut ππ-=- 的图像（U=1，D=0.05，k=1） 2 数值解法 2.1 数值误差分析在网格点(),i n 上差分方程的数值解n i f 偏离该点上相应的偏微分方程的精确解 (),f i n 的值，称为网格节点上的数值误差。当取定网格节点数21N =时，观察差分方程的解与微分方程的解在不同时间步长下的趋近程度，其中时间步长分别取值0.05,0.025,0.0125,0.0005t ?=。

（a ）21,0.05N t =?= （b ）21,0.025N t =?= （c ）21,0.0125N t =?= （d ）201,0.0005N t =?= 图2 数值误差随步长的变化情况从图2的(a)~(d)可以定性的看出，数值误差与步长的大小有关。在满足稳定性条件的前提下，数值误差随着时间步长的减小而减小，同时，图（d ）表示增大网格的分辨率也有助于减小网格误差。为了对数值误差有一个定量的认识，接下来取定时间步长为0.0005t ?=，分别算出 11,21,41,61,81,101,121,161N =时，指标E =1所示。表1 不同网格节点数下指标E 的值

基于FLUENT的海洋内孤立波数值水槽模拟

海洋技术第28卷 1引言近年来，国内外许多学者在应用实验室分层流水槽生成内孤立波方面做了丰富的研究[1-6]，深入揭示了内孤立波生成传播的机理，表明了内孤立波对水下结构物水动力性能的影响不容忽视。但分层流水槽相比表面波水槽复杂很多，配制出稳定的分层流体，不但耗费很多时间和经费，而且不易于重复实验。为解决上述问题，通过建立内波数值水槽来进行数值仿真实验，研究内孤立波与海洋结构物相互作用问题，是一条极其有效的途径。然而，关于这方面的报道却不多见。最近尤云祥[7]等提出一种仿物理的双板造波方法，在分层流实验水槽[5]无法精确给定造波板内波解析解的基础上，建立了两层流体内孤立波数值水槽，使得在内波数值水槽中研究内孤立波与结构相互作用问题成为可能。 G.Wei et al [8]将表面波质量源造波方法引用到两层流内波数值水槽中，模拟了层流条件下分层流中单色波和内孤波的生成传播。但此方法需要考虑源项的位置、大小等参数的综合影响，对于不同深度比、密度比的分层流需要经过多次数值实验才能得到较为理想的波形，造波效率十分低，不适合工程上应用。本文从N-S 方程出发，建立了二维内孤立波数值水槽的控制方程。基于FLUENT 商业软件，在标准k -ε湍流模型下，运用FLUENT 自带的宏，通过UDF(User-Defined Function)编程给定入口边界处的速度和水位，建立了可有效模拟弱非线性内孤立波的分层流数值水槽。采用设置边界法模拟的波形与理论值符合较好，这为将来用FLUENT 软件计算有内孤立波参与的流固耦合问题提供波浪边界条件。 2控制方程和内孤立波理论 2.1控制方程本文内孤立波水槽所在的控制区域中，流场需要满足的连续性方程为：式中： u 1为水平速度；u 2为垂向速度。在标准k-ε湍流模式下，动量方程为： (2) (3) 湍动能k 与湍动耗散率ε需要满足如下输运方程[9]： (5) 湍动粘度方程为： (6) 式中：μ为动力学粘性系数；G k 是由于平均速度梯度引起的湍动能k 的产生项；σk 和σε分别是与湍动能k 和耗散率ε对应的Prandtl 数；C 1ε与C 2ε是经验常数。在实际计算中，这些系数常取为：C 1ε=1.44，C 2ε=1.92，C μ=0.09，σk =1.0，σε=1.3。水槽两层流体属于密度不相容的两相流，适合采用VOF 基于FLUENT 的海洋内孤立波数值水槽模拟陈钰，朱良生（华南理工大学土木交通学院，广东广州510640）摘要：基于FLUENT 商业软件及其二次开发功能，在标准κ-ε湍流模型下，采用VOF 方法追踪两层流体内界面，通过给定入口速度和水位的设置造波边界法，建立了可有效模拟弱非线性内孤立波的分层流数值水槽,并与仿物理的双板造波方法进行了比较。采用设置边界法所造的波形与理论值符合较好，这为数值分析内孤立波与海洋结构物相互作用问题提供了一条更加有效的途径。关键词：内孤立波；数值水槽；UDF （User-Define Function ）；设置造波边界法；VOF 方法中图分类号：TV139.2 文献标识码：A 文章编号：1003-2029（2009）04-0072-05 第28卷第4期2009年12月海洋技术 OCEAN TECHNOLOGY Vol.28，No.4 Dec ，2009收稿日期：2009-08-20 基金项目：国家自然科学基金资助项目（10172068）。作者简介：陈钰（1984-），女，湖北武汉人，华南理工大学船舶与海洋结构物设计制造硕士研究生。 (1) (4)

《数论算法》教案 4章(二次同余方程与平方剩余)

第 4 章二次同余方程与平方剩余 4.1 一般二次同余方程 (一) 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ））（1） (二) 化简设m ＝k k p p p α αα 2 121，则方程（1）等价于同余方程 ??? ????≡++≡++≡++）（）（）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221 问题归结为讨论同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ），（p a ）（2） (三) 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）

变量代换， y ＝2ax ＋b （3）有 2y ≡2b －4ac （mod αp ）（4）当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡，通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。结论 2x ≡a （mod αp ）（5）【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。（解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9）配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9）移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9）变量代换 y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9）（解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））

《数论算法》教案4章(二次同余方程与平方剩余)

第 4 章二次同余方程与平方剩余内容 1. 二次同余方程，平方剩余 2. 模为奇素数的平方剩余 3. 勒让德符号、雅可比符号 4. 二次同余方程的求解要点二次同余方程有解的判断与求解 4.1 一般二次同余方程 (一) 二次同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod m ），（a 0（mod m ））（1） (二) 化简设m ＝k k p p p α ααΛ2121，则方程（1）等价于同余方程 ??? ????≡++≡++≡++）（）（）（k k p c bx ax p c bx ax p c bx ax αααmod 0mod 0mod 0222 1221Λ Λ 问题归结为讨论同余方程 2ax ＋bx ＋c ≡0（mod αp ），（p a ）（2） (三) 化为标准形式 p ≠2，方程（2）两边同乘以4a ， 422x a ＋4abx ＋4ac ≡0（mod αp ） ()22b ax +≡2b －4ac （mod αp ）

变量代换， y ＝2ax ＋b （3）有 2y ≡2b －4ac （mod αp ）（4）当p 为奇素数时，方程（4）与（2）等价。即 ● 两者同时有解或无解；有解时，对（4）的每个解 ()p y y mod 0≡，通过式（3）（x 的一次同余方程，且（p , 2a ）＝1，所以解数为1）给出（2）的一个解()p x x mod 0≡，由（4）的不同的解给出（2）的不同的解；反之亦然。 ● 两者解数相同。结论：只须讨论以下同余方程 2x ≡a （mod αp ）（5）【例】化简方程7x 2＋5x －2≡0（mod 9）为标准形式。（解）方程两边同乘以4a ＝4×7＝28，得 196x 2＋140x －56≡0（mod 9）配方 (14x ＋5) 2－25－56≡0（mod 9）移项 (14x ＋5) 2≡81（mod 9）变量代换 y ＝14x ＋5 得 y 2≡0（mod 9）（解之得y ＝0, ±3，从而原方程的解为 x ≡114-(y －5)≡15- (y －5) ≡2(y －5)≡2y －10≡2y －1 ≡－7, －1, 5≡－4, －1, 2（mod 9））

一次同余方程精品教案

一次同余方程【教学目标】 1．掌握一次同余方程的概念。 2．熟练运用一次同余方程解决实际问题。 3．亲历解一次同余方程的探索过程，体验分析归纳得出一次同余方程解的个数规律，进一步发展学生的探究、交流能力。【教学重难点】重点：掌握一次同余方程的概念的运用。难点：一次同余方程解的个数规律。【教学过程】一、直接引入师：今天这节课我们主要学习一次同余方程，这节课的主要的内容有一次同余方程的概念，解一次同余方程，并且我们要掌握这些知识的具体应用，能熟练解决相关问题。二、讲授新课（1）教师引导学生在预习的基础上了解一次同余方程内容，形成初步感知。（2）首先，我们来学习一次同余方程的概念，它的具体内容是：通常我们把含有未知数的同余式叫做同余方程．一次同余方程的一般形式为，其中为正整数，为整数，且不等于零. ()mod ax b n ≡n ,a b a 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：判断是否是一次同余方程。 ()53mod 6x ≡解析：是根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：写出一个一次同余方程。解：() 74mod 2x ≡（3）接着，我们再来看下一次同余方程解得个数内容，它的具体内容是：若存在整数，使得同余式成立，则把叫做一次同余方程 c ()mo d ac b n ≡()mod x c n ≡

的解. ()mod ax b n ≡一次同余方程有解，则.反过来，当时，一次同余方程()mod ax b n ≡(),a n b |(),a n b |恰有个解. ()mod ax b n ≡(),a n 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。例：解一次同余方程. ()96mod15x ≡解析：注意到，且，故同余方程有3个解.原方程可化简为.由()9,153=36|()32mod5x ≡于，故，所以，原同余方程三个解分别为()321mod5?≡()224mod5x ≡?≡，，()4504mod15x ≡+?=()4519mod15x ≡+?=() 45214mod15x ≡+?=根据例题的解题方法，让学生自己动手练习。练习：判断一次同余方程有几个解。 ()618mod 27x ≡解：注意到，且，故同余方程有3个解. ()6,27=33|18三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了一次同余方程概念以及解法。（2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测 1．判断一次同余方程有几个解。 ()1575mod 25x ≡2．解一次同余方程。 ()122mod 28x ≡

孤立子

又称孤立子波，是非线性波动方程的一类脉冲状的行波解。它们的波形和速度在相互碰撞后仍能保持不变或者只有微弱的变化。一个著名的例子是 KdV(Korteweg-de Vries) 方程的解。方程解的图形（见图）像一个孤立的脉冲,波峰高2α2，速度为4α2。当两个这样的脉冲波沿同一方向运动时,峰高的波速度快会赶上前面峰低的波而发生碰撞。1965年M.D.克鲁斯卡尔和N.J.扎布斯基在电子计算机上作数值试验后，意外地发现两个这样的波在碰撞后，居然都能保持各自的波形和速度不变。这一性质使人联想起粒子，因之将这样的波称为孤立子(波)。早在1934年,J.S.罗素已在河流中观察到这种非线性波。现在人们已经发现很多在应用中十分重要的非线性波方程, 如正弦-戈登方程(SG方程)u x t=sin u,非线性薛定谔方程等等都具有这种孤立子解。近年来,发现在等离子体光纤通信中都有孤立子现象，科学家们还认为神经细胞轴突(axon)上传导的冲动、木星上的红斑等都可以看作是孤立子。孤立子反映了自然界中一类相当普遍的非线性现象。由于孤立子同时具有波和粒子两重性质，引起了理论物理学家的极大关注，他们尝试用它来描写基本粒子。但在应用中，上述的孤立子的定义，在各种不同意义上有所放宽。为了求解这些具有孤立子解的特殊非线性方程，自1967年起发展了一种散射反演方法。该方法的特色是将这类非线性问题的解转化为线性问题来求解，最初是C.S.伽德纳等人于1967年首先对KdV方程提出的。他们发现KdV方程和常微分算子的特征值问题有密切的关系。特别，若微分算子中所含u（称为位势）取为KdV方程的解时，算子的特征值λ与时间t无关。于是，求解KdV 方程的初值问题可以转化为求解上述特征值问题的正问题和反问题。其正问题是指已知初值u(x,0)=?(x)求出与算子的特征值等相关的一组量。这一组量称为散射量。其反问题是指已知t时刻的散射量来复原位势u(x,t)。散射量本身随时间t的演化规律十分简单，关键的步骤是求解反问题，而这一步归结为求解一个线性积分方程。伽德纳等人用这种方法成功地求出了KdV方程的单个孤立子解以及由N个孤立子叠加起来的N重孤立子解。1968年P.D.拉克斯对伽德纳等人的思想从泛函分析的角度作了十分清楚的表述，指出KdV方程可以写成l t=【A,l】形式,其中【A,l】=A l-l A，l和A为与u有关的线性常微分算子。由于它在孤立子理论中的重要作用，后人便将它称作拉克斯方程，并将其l和A称为拉克斯对。此后又有许多

弹性波和塑性波

第一题：推导波动方程，简述弹性波和塑性波的主要区别？要求给出主要的推导步骤，主要的方程，以及弹性波和塑性波的本质区别。圆柱杆中的弹性波的传播，如图所示为撞击杆以速度V 撞击长圆柱杆，并在圆柱杆中产生了自左向右传播的压缩应力波。T 时刻，这个扰动的波阵面在x 位置处。分析时忽略横向即杆Oy 方向的应变和惯性。在t 时刻，考察波阵面在截面AB 和A`B`的情况，截面A`B`离起始位置的距离为x+δx,对AA ’BB ’部分。这里需要设定几个假设： 1、忽略细长杆的横向应变和横向惯性效应； 2、忽略杆的重力和材料阻尼； 3、变形前后横截面为平面，即平截面假定。应用牛顿第二定律，有图：波在杆中的传播（a ）冲击前；（b ）冲击后 F ma = 22x A A x A x x t σσσδρδ??????--+= ???????? ? 22u x t σρ??=?? 而变形是弹性的且假定满足胡克定律：

=E σε 其中ε为应变，定义为/u x ??，负号表示压应变，因此有 22u u E x x t ρ?????=??????? 和 2222u E u t x ρ??=?? 上式即为弹性波的波动方程，其中0E C ρ=为波速。二、弹性波和塑性波的区别当物体某部分突然受力时，该处将产生弹性变形，并以波的形式向周围传播，使整个物体产生弹性变形，这种波称为弹性波。当物体受到超过弹性极限的冲击应力扰动后产生的应力和应变的传播、反射，并使得物体产生塑性变形，这种波称为塑性波。由于固体材料弹性性质和塑性性质的不同，因此在均匀的弹塑性介质中传播的塑性波和弹性波是有区别的，主要表现在： 1、塑性波波速与应力有关，它随着应力的增大而减小，较大的变形将以较小的速度传播，而弹性波的波速与应力大小无关； 2、在应力σ和应变ε的关系满足()σσε=时，塑性波波速总比弹性波波速小； 3、塑性波在传播的过程中波形会发生变化,而弹性波则保持波形不变。弹性波和塑性波的这些本质区别可以从波动方程中看出，在波动方程中的C 表示的就是应力波的传播速度，其中弹性波的波速为：001d C C d σε ρ==，,Y d d E σσε≤= 塑性波的波速为：001d C C d σερ= <，,Y d d E σσε>< 其中Y 表示材料的屈服强度，E 表示材料的弹性模量。从上式中我们很容易看出，无论的弹性波还是塑性波的波速都取决于材料的应力—应变曲线的斜率d d σε，显然在弹性阶段和塑性阶段是不同的。塑性波的波速是应变的函数，它

弹性波理论

地震波交错网格高阶差分数值模拟研究摘要: 地震波数值模拟技术是勘探地球物理学中的重要组成部分，研究通过弹性波一阶速度——应力方程，采用交错网格高阶有限差分法实现了地震波在各向同性介质中的高精度的数值模拟，并采用完全匹配层( PML) 吸收边界来消除边界反射，可取得较好的效果。通过模型的正演计算和复杂模型的处理结果表明，交错网格高阶有限差分法数值模拟是一种快速有效的地震波数值模拟方法。关键词: 地震勘探; 交错网格; 有限差分; 数值模拟引言地震数值模拟是模拟地震波在介质中传播的一种数值模拟技术，随着地震波理论在天然地震和地震勘探中的应用，地震模拟技术便应运而生，并随着地震波理论和计算机技术的发展，地震数值模拟技术自20世纪60年代以来也得到了飞速发展，形成了目前具有有限差分法、有限元法、虚谱法和积分方程法等各种数值模拟方法的现代地震数值模拟技术。有限差分法是偏微分方程的主要数值解法之一。在各种地震数值模拟方法中，最早出现的数值模拟方法是有限差分法。Ａlterman和Karal(1968)首先将有限差分法应用于层状介质弹性波传播的数值模拟中。此后，Boore(1972)又将有限差分法用于非均匀介质地震波传播的模拟。Alford等（1974）研究了声波方程有限差分法模拟的精确性。Kelly等（1976）研究了用有限差分法制作人工合成地震记录的方法。Virieux(1986)提出了应用速度——应力一阶方程交错网格有限差分法模拟P——SV波在非均匀介质中的传播。交错网格方法提高了地震模拟的精度和稳定性，并消除了部分假想。有限元法也是偏微分方程的数值解法之一。Lysmer和Drake（1972）最早将有限元法应用于地震数值模拟。Marfurt(1984)研究对比了模拟弹性波传播的有限差分法和有限元法的精度。Seron等（1990,1996）给出了弹性波传播有限元模拟方法。Padovani等（1994）研究了地震波模拟的低阶和高阶有限元法。Sarma等（1998）给出了三维声波模拟的虚谱法。积分方程法是建立在波动方程的积分表达式的基础上的，其理论基础是惠更斯原理。积分方程法也是有限元法之后发展起来的一种地震数值模拟方法。Pao 和Varatharajulu（1976）提出了弹性波散射的积分表达式。Bennett和Mieras(1981)给出了流体目标声波散射的时间域积分方程解。Bouchon(1987)给出了裂隙或孔洞弹性波绕射的离散波数法模拟方法。Bouchon等（1989）研究了具有不规则界面的多层介质中波传播的边界积分方程——离散波数法。Bakamjian（1992）给出了三维地震波传播模拟的边界积分方程法。符力耘和牟永光（1994）提出了弹性波正演模拟的边界元法。符力耘等（1997）提出了非线性Fredholm积分方程的正演问题。符力耘（2003）给出了含起伏地表的广义Lipmann—Schwinger积分方程的数值模拟方法。射线追踪方法是建立在波动方程的高频近似基础上的一种地震数值模拟方法（cerveny等，1977）。这种方法实际只计算了最奇异部分的解，即旅行时和振幅函数的特征曲线，它们分别是程函方程和传播方程的解。这种方法计算效率高。但是，一些复杂的本构方程由于积分方程法和射线追踪法不满足假设条件而限制

弹性波方程和Christoffel方程

弹性波方程和Christoffel 方程 Sdhizhj 1、介质在直角坐标系中的运动方程设想连续弹性介质中小立方体Δv =Δx 1Δx 2Δx 3，考察x 1=0面和x 1= Δx 1面上的沿x 1方向的应力，则x 1=0面上的应力为T 11，x 1= Δx 1面上的应力为11 1111 T T x x ?+ ? ；作用在与x 2垂直的两个面上的沿x 1方向的应力分别为T 12和12 1222T T x x ?+? ；作用在与x 3垂直的两个面上的沿x 1方向的应力分别为T 13和131333 T T x x ?+? ；则作用在小立方体6个面上沿x 1方向的应力和为： 111211123112312231123112 131311121331213121231233123 [()][()][()]()T T T x x x T x x T x x x T x x x x T T T T T x x x T x x x x x x x x x x x x ??+ -++-??????++ -=++???? 根据牛顿第二定律，有： 213111121231232123 ()T u T T x x x x x x t x x x ρ?????????=++????????? 式中，ρ为介质的体密度，u 1为质点沿x 1方向上的位移，化简得： 21111213 2123 u T T T t x x x ρ????=++ ???? (1a) 同理有： 22212223 2123u T T T t x x x ρ????=++ ???? (1b) 23313233 2123 u T T t x x x ρ????=++ ???? (1c) 式中，u i 为质点沿x i 方向上的位移，上面几式表示介质在直角坐标系中的运动方程，可以用下式概括表示： 2321ij i j j T u t x ρ=??=??∑ （i,j=1,2,3） (2) 引用爱因斯坦求和表示，为： 22ij i j T u t x ρ??= ?? （i,j=1,2,3） (3) 上式中约定，当物理量脚标出现重复时就自动求和。 2、非压电弹性介质中的波动方程根据胡克定律，弹性介质中，应力与应变有如下关系： T =cS T ij = c ijkl . S kl (4) 对于各向异性介质，应力T 与应变S 为张量，有6个独立分量，而弹性刚度系数则是四阶张量，有36个独立分量。而应变S kl 与位移u i 之间有关系 k l kl l k u u S u u 1??=2??（+）（k,l=1,2,3） (5) 代入胡克定律，考虑对k,l 求和的时候k,l 将会分别遍历所有坐标，因此 3 333 ,1,1,1,1k l k l kl k l k l k l k l l k l u u u u S u u u uk ====1????==2????∑∑∑∑（+）=