套定理证明闭区间上连续函数的性质
西安工程学院学报
JOURNAL OF XI’AN ENGINEERING
UNIVERSITY
1998年 第20卷 第2期 Vol.20 No.2
用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质
周 明
提 要 用数学分析中的区间套定理证明了闭区间上连续函数的四个定理。
关键词 区间序列；连续；一致连续
中图法分类号 O174.1
PROOF TO PROPERTIES OF CONTINUOUS FUNCTION
ON A CLOSED INTERVAL WITH AN
INTERVAL SEQUENCE THEOREM
Zhou Ming
(Xi′an Engineering University,Xi′an 710054)
Abstract Four theorems about continuous function on an closed interval are proved by a interval sequence theorem in mathematical analysis.
Key words interval sequence, continuity, uniform continuity
在高等数学中所遇到的闭区间上连续函数的性质，通常都不加以证明，其实这些性质在数学分析中都给出了证明，可用数学分析中的一些定理来证明。实际上这些性质的证明也可用数学分析中的一个定理即区间套定理证得。下面就用区间套定理来证明这些性质。在证明这些性质之前，先叙述一下区间套定理。
区间套定理：设一无穷闭区间列｛〔a n,b n〕｝适合下面两个条件：
(1)后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有a n≤a n+1＜b n+1≤b n。
(2)当n→∞时，区间列的长度｛(b n-a n)｝所成的数列收敛于零，即limn→∞(b n-a n) =0。
则区间的端点所成两数列｛a n｝及｛b n｝收敛于同一极限ξ，且ξ是所有区间的唯一公共点。
1 有界性定理
若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它在〔a,b〕上有界。
证明(反证法)：设f(x)在〔a,b〕上无界，将〔a,b〕二等分，则f(x)必在其一上无界，记其为〔a1,b1〕，再将〔a1,b1〕二等分，记f(x)在其上无界的区间为〔a2,b2〕，这样继
续下去，可得一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且f(x)在〔a n,b n〕(n=1,2，…)上无界。
于是由区间套定理，必有一点ξ∈〔a n,b n〕，使得f(x)在ξ点无界。因f(x)在ξ点连续，由局部有界性，存在某ξ的邻域Uδ(ξ)，使得f(x)在Uδ(ξ)上有界，所以只要n取得充分大，可使得〔a n,b n〕Uδ(ξ)，而f(x)在〔a n,b n〕上无界，那么f(x)在Uδ(ξ)上也无界，这与局部有界性矛盾，故f(x)在〔a,b〕上有界。
2 最大(小)值定理
若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则f(x)在〔a,b〕上有最大值和最小值。
证明：将区间〔a,b〕二等分为〔a,(a+b)/(2)〕、〔(a+b)/(2),b〕，如果对区间〔a, b〕中的任何点x′，都有〔a,(a+b)/(2)〕中的某一点x使得，f(x′)≤f(x)，则把〔a,(a +b)/(2)〕记为〔a1，b1〕，否则，即对〔a,b〕中的任何点x″有〔(a+b)/(2),b〕中的某点x，使得f(x″)≤f(x)，则把〔(a+b)/(2),b〕记为〔a1,b1〕，于是在这样得到的区间〔a1,b1〕上有f(x)≤f(ξ1)，x∈〔a,b〕,ξ1∈〔a1,b1〕。重复上面的推理。可得一区间序列｛〔a n,b n〕｝它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且在〔a n,b n〕(n=1,2，…)上有点ξn∈〔a n,b n〕,使f(ξn)≥f(x),x∈〔a,b〕。
设μ是这区间套的唯一公共点，因为a n≤ξn≤b n，limn→∞a n=limn→∞b n=μ，所以limn→∞ξn=μ。又因为f(x)在〔a,b〕上连续，所以有limn→∞f(ξn)=f(μ),在f(ξn)≥f(x),x∈〔a,b〕中令n→∞，就得f(μ)≥f(x)，这就证明了f(μ)是f(x)在〔a,b〕上的最大值。
最小值可用类似的方法证之。
3 介值定理
若f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，对于f(a)和f(b)之间的任意一个值μ，在〔a,b〕上至少有一点ξ使得f(ξ)=μ。
证明：设f(a)＜f(b)，而f(a)＜c＜f(b)。把区间〔a,b〕二等分为两个区间〔a,(a+b)/ (2)〕、〔(a+b)/(2)，b〕，若f((a+b)/(2))=c则定理得证。若f((a+b)/(2))≠c或有f((a+b)/ (2))＜c或有f((a+b)/(2))＞c，当f((a+b)/(2))＜c时，把区间〔(a+b)/(2)，b〕记为〔a1,
b1〕，否则记〔a,(a+b)/(2)〕为〔a1,b1〕，所以无论哪种情形都有f(a1)＜c＜f(b1)，再将
〔a1,b1〕二等分，若f((a1+b1)/(2))=c定理得证，若不然，继续上述过程，这样得到一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且f(a n)＜c＜f(b n)。
由区间套定理必有唯一的一点ξ∈〔a n,b n〕,使得limn→∞a n=limn→∞b n=ξ,因f(x)在ξ点连续，所以有limn→∞f(a n)=limn→∞f(b n)=f(ξ)，因f(a n)＜c＜f(b n)，所以当
n→∞时，得f(ξ)=c。
对f(a)＞f(b)的情形，可用类似的方法证之。
4 一致连续性定理
若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它必在〔a,b〕上一致连续。
证明：按一致连续的定义，所要证明的事实是对任意的ε＞0，可找到一正数δ，把区间〔a,b〕分成有限多个小段，每一小段的长度都小于δ，使得f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差小于ε。
假设上述事实不成立，则对某一ε0＞0，区间不能按上述要求分成有限多个小段，把区间〔a,b〕二等分得两个区间〔a,c〕，〔c,b〕，则这两个区间中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小段，记其为〔a1,b1〕，再将区间〔a1,b1〕二等分，依上述手续继续下去，得一区间序列｛〔a n,b n〕｝，它满足：
(1)〔a,b〕〔a1,b1〕…〔a n,b n〕…，且任一区间〔a n,b n〕都不能分为有限个小段，使f(x)在其上任两点的函数值之差小于ε。
由区间套定理，存在唯一的一点ξ∈〔a n,b n〕，而f(x)在点ξ连续，按连续的定义有δ＞0，使｜x-ξ｜＜δ时，有｜f(x)-f(ξ)｜＜(ε0)/(2)，而
limn→∞a n=limn→∞b n=ξ,于是可取充分大的k，使｜a k-ξ｜＜δ，｜b k-ξ｜＜δ，那么对〔a k,b k〕上的任意一点x都有｜x-ξ｜＜δ，因此对〔a k,b k〕上的任意两点x1，x2都有
｜f(x1)-f(x2)｜≤｜f(x1)-f(ξ)｜+｜f(ξ)-f(x2)｜＜(ε0)/(2)+(ε0)/(2)=ε0这表明〔a k,b k〕能分为有限多个小段，使f(x)在每一小段上任两点的函数值之差小于ε0，这与区间〔a k, b k〕的定义矛盾，故定理得证。
作者简介：周明，男，讲师，1956年生，现从事数学教学研究工作。
作者单位：西安工程学院基础部，西安 710054
收稿日期 1997-03-21
用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质
作者：周明， Zhou Ming
作者单位：西安工程学院基础部,西安,710054
刊名：
西安工程学院学报
英文刊名：JOURNAL OF XI'AN ENGINEERING UNIVERSITY
年，卷(期)：1998，20(2)
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1.期刊论文杜素勤.DU Su-qin闭区间上连续函数有最大值最小值的多种证明方法-三明高等专科学校学报2003,20(4)
利用数学分析中的有界性定理、Weierstrass定理、有限覆盖定理、闭区间套定理、"单调有界数列有极限"定理、上下确界定义来证明闭区间上的连续函数能取到最大、最小值.
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闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法-模板
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在20XX年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基
例 1 用单调有界定理证明区间套定理.
例 1 用单调有界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）单调有界定理成立； 2 ）设为一区间套． 欲证：且惟一． [ 证] 证明思想：构造一个单调有界数列，使其极限即为所求的． 为此，可就近取数列（或）．由于 因此为递增数列，且有上界（例如）．由单调有界定理，存在，且 ． 又因，而，故 ； 且因递减，必使．这就证得． 最后，用反证法证明如此的惟一．事实上，倘若另有一个，则由 ， 导致与相矛盾．[ 证毕] 例 2 用区间套定理证明单调有界定理．即已知： 1 ）区间套定理成立． 2 ）设为一递增且有上界M的数列． 欲证：存在极限． [ 证]证明思想：设法构造一个区间套，使其公共点即为的极限． 为此令。记，并取 再记, 同理取 如此无限进行下去，得一区间套． 根据区间套定理，．下面用数列 极限定义证明： ，一方面，由于恒为的上界，因此
； 另一方面，由 ； 而由区间套的构造，任何不是的上界，故；再由为递增数列， 当时，必有．这样，当时，就有 , 即．[ 证毕] 例3 用确界定理证明区间套定理．即已知： 1 ）确界定理成立（非空有上界的数集必有上确界）； 2 ）设为一区间套． 欲证：存在惟一的点． [ 证] 证明思想：给出某一数集，有上界，使得的上确界即为所求的． 为此，取，其上界存在（例如）．由确界定理，存在． 首先，由为的一个上界，故．再由是的最小上 界，倘有某个，则不会是的上界，即，这与为区 间套相矛盾（）。所以任何．这就证得 ． 关于的惟一性，与例1中的证明相同．[ 证毕] 注本例在这里所作的证明比习题解答中的证明更加清楚． 例4 证明连续函数的局部有界性——若处连续，则和 ，使得． [ 证]据在连续的定义，满足 ． 现取，相应存在，就有 ．[ 证毕] 注类似可证连续函数的其余局部性质，例如四则连续性质、局部保号性质等等．例5 证明上一致连续的充要条件是：上连续，且 存在． [ 证] 先证充分性：令
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一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.
3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．
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§4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间
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目录 摘要(四号黑体不加粗) (Ⅰ) Abstract(四号Times New Roman体加粗) (Ⅰ) 1引言(四号黑体不加粗) (1) 1.1(小四号黑体不加粗) (1) 1.1.1(小四号仿宋体加粗) (1) 2闭区间套定理在1R的推广 (2) 3闭区间套定理在一般度量空间上的推广 (4) 4闭区间套定理在n R上的推广 (5) 5闭区间套定理的应用举例 (6) 结束语 (8) 参考文献 (8) 致谢 (9) （注：①目录不加页码； ②中、英文摘要加页码，用罗马数字：Ⅰ，Ⅱ…； ③正文另行加页码，用阿拉伯数字：1，2，3，…．）
摘要(四号黑体不加粗)：在介绍了闭区间套定理的基础上，通过综合应用类比法、分析法、演绎推理法将闭区间套定理进行了推广，得到了严格开区间套定理和严格半开半闭区间套定理以及一般完备度量空间上的闭集套定理和常用完备度量空间上的闭集套定理，并给出了这些定理的证明．结合典型例题，分析、讨论了闭区间套定理及推广后的闭集套定理的实际应用，说明了闭区间套定理不仅具有重要的理论意义，而且还有很好的应用价值．(小四号仿宋体不加粗,“摘要”字数须300字以上)关键词(四号黑体不加粗)：闭区间套定理；严格开区间套定理；推广；应用(小四号仿宋体不加粗，关键词的个数：3—5个) Abstract(四号Times New Roman体加粗):The theorem of nested closed interval was extended on the basis of its definition with synthetic application of analogy analysis and deductive reasoning, and got a series of theorems such as the theorem of strict open nested interval, the theorem of strict open and closed nested interval and the theorem of closed nested set on ordinary and popular metric space, which were also testified. The real application of the theorem of nested closed interval and the theorem of closed nested set after extension was discussed by analysis of some typical examples so as to demonstrate its important theoretical meaning and useful application.(小四号Times New Roman体不加粗) Key words(四号Times New Roman体加粗): theorem of nested closed interval; theorem of strict open nested interval; extension; application(小四号Times New Roman体不加粗，每个关键词开头字母均不大写，结尾处无标点符号)
连续函数性质
§ 连续函数的性质 ? 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值0()f x 。从而，根据函数极限的性质能推断出函数f 在0()U x 的性态。 定理1（局部有界性） 若函数f 在点0x 连续，，则f 在某0()U x 内有界。 定理2（局部保号性） 若函数f 在点0x 连续，且0()0f x >（或0<），则对任何正数0()r f x < （或0()r f x <-），存在某0()U x ，使得对一切 0()x U x ∈有()f x r >（或()f x r <-）。 注： 在具体应用局部保号性时，常取01 ()2 r f x =， 则当0()0f x >时，存在某0()U x ，使在其内有01 ()()2 f x f x > 。 定理3（四则运算） 若函数f 和g 在点0x 连续，则,, f f g f g g ±?（这里0()0g x ≠）也都在点0x 连续。 关于复合函数的连续性，有如下定理: 定理4 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，00()u f x =，则复合 函数g f 在点0x 连续。 证明：由于g 在点0u 连续，10,0εδ?>?>，使得当01||u u δ-<时有 0|()()|g u g u ε-<。 （1）
又由00()u f x =及()u f x =f 在点0x 连续，故对上述1δ，存在0δ>， 使得当0||x x δ-<时有001|||()()|u u f x f x δ-=-<，联系（1）式得:对任 给的0ε>，存在0δ>，使得当0||x x δ-<时有 0|(())(())|g f x g f x ε -<。 这就证明了g f 在点0x 连续。 注：根据连续必的定义，上述定理的结论可表为 0lim (())(lim ())(())x x x x g f x g f x g f x →→== 定理 5 ()x f x x 0 lim →存在的充要条件是()() 0lim 00 0+=+→x f x f x x 与 ()()0lim 00 0-=-→x f x f x x 存在并且相等． 证明：必要性显然，仅须证充分性．设()A x f x x =+→0 0lim ()x f x x 00 lim -→=，从 而对任给的0>ε，存在01>δ和02 >δ，当 100δ<-
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法_1
闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法连续函数是数学分析中非常重要的一类函数，下面是小编搜集整理的一篇探究闭区间上连续函数的有界性定理证明的论文范文，欢迎阅读参考。 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6个基
本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 (一)预备知识 (二)有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013年“深圳杯”数学建模夏令营D题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保人、保险公司和政府三方面的利益，按照公平合理的定价原则设计，由保险公司经营的保险产品，三方各承担不同的责任、义务和风险。根据题目中附件所给的P省的具体情况，可以将有界性定理灵活的用在自然灾害保险的风险评估和费率拟定上。假设时间是一个连续状态，则以时间t为自变量，根据题中所给数据，以日最高最低气温为例，很明显它与时间t是呈周期性变化的，以一年为一个周期，故只考虑在某一年内的变化规律，即. 将日最高最低气温拟合成一个关于时间的函数f(t),则由于自变量
连续函数的性质1
§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨 论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据 函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正 数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点 都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点
高数闭区间上连续函数的性质教案
第17、18课时： 【教学目的】 1、 掌握闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质； 2、 熟练掌握零点定理及其应用。 【教学重点】 1、介值性定理及其应用； 2、零点定理及其应用。 【教学难点】 介值性定理及其应用 §1. 10 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值与最小值 最大值与最小值: 对于在区间I 上有定义的函数f (x ), 如果有x 0∈I , 使得对于任一x ∈I 都有 f (x )≤f (x 0 ) (f (x )≥f (x 0 )), 则称f (x 0 )是函数f (x )在区间I 上的最大值（最小值）. 例如, 函数f (x )=1+sin x 在区间[0, 2π]上有最大值2和最小值0. 又如, 函数f (x )=sgn x 在区间(-∞, +∞)内有最大值 1和最小值-1. 在开区间(0, +∞)内, sgn x 的最大值和最小值都是1. 但函数f (x )=x 在开区间(a , b )内既无最大值又无最小值. 定理1（最大值和最小值定理）在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值. 定理1说明, 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 那么至少有一点ξ1∈[a , b ], 使f (ξ1)是f (x )在[a , b ]上的最大值, 又至少有一点ξ 2∈[a , b ], 使f (ξ 2)是f (x )在[a , b ]上的最小值. 注意: 如果函数在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例: 在开区间(a , b ) 考察函数y =x . 又如, 如图所示的函数在闭区间[0, 2]上无最大值和最小值. ?????≤<+-=<≤+-==2 1 31 110 1)(x x x x x x f y . 定理2（有界性定理）在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 二、零点定理与介值定理 零点: 如果x 0 使f (x 0 )=0, 则x 0 称为函数f (x )的零点. 定理3（零点定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且f (a )与f (b )异号, 那么在开区间(a , b )内至少有一点ξ 使f (ξ)=0. 定理4（介值定理）设函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 且在这区间的端点取不同的函数值 f (a )=A 及f (b )=B ,
浅论闭区间上连续函数的性质.doc
浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.
六大定理互相证明总结
六大定理的相互证明总结 XXX 学号 数学科学学院 数学与应用数学专业 班级 指导老师 XXX 摘要 在《数学分析》中第二部分极限续论中提到的实数的基本定理一共提到六大定理，其中包括确界定理，单调有界原理，区间套定理，致密性定理，柯西收敛定理，有限覆盖定理.该六大定理在闭区间上连续函数性质的证明起着同等重要的作用.本文总结了六大定理的相互证明. 关键词 确界定理、单调有界原理、区间套定理、致密性定理、柯西收敛定理、有限覆盖定理 1 确界定理 1.1 确界定理 有上界的非空数集必有上确界，有下界的非空数集必有下确界. 1.2 确界定理证明区间套定理 证明：设一无穷闭区间列{[,n a ] n b }适合下面两个条件： （1）后一个区间在前一个区间之内，即对任一正整数n ，有1+≤n n a a ＜n n b b ≤+1，（2）当n ∞→时，区间列的长度{(-n b ) n a }所成的数列收敛于零，即()0lim =-∞ →n n n a b . 显然数列{}n a 中每一个元素均是数列{}n b 的下界，而数列{}n b 中每一个元素均是数列{}n a 的上界.由确界定理，数列{}n a 有上确界，数列{}n b 有下确界. 设{}{}.sup ,inf n n a b ==βα显然n n n n b a b a ≤≤≤≤βα,. 又 ()0lim =-∞ →n n n a b ∴βα= 即{}n a 及{}n b 收敛于同一极限ξ，并且ξ是所有区间的唯一公共点. 1.3 确界定理证明单调有界原理[1] 证明：我们只就单调增加的有界数列予以证明.因{}n y 有界，则必有上确界 {}n y sup =β.现在证明β恰好是{}n y 的极限，即β→n y . 由上确界的定义有：⑴β≤n y （3,2,1=n …），⑵对任意给定的ε＞0，在{}n y 中至少有一个数N y ，有N y ＞εβ-.但由于{}n y 是单调增加数列，因此当n ＞N 时，
套定理证明闭区间上连续函数的性质
西安工程学院学报 JOURNAL OF XI’AN ENGINEERING UNIVERSITY 1998年 第20卷 第2期 Vol.20 No.2 用区间套定理证明闭区间上连续函数的性质 周 明 提 要 用数学分析中的区间套定理证明了闭区间上连续函数的四个定理。 关键词 区间序列；连续；一致连续 中图法分类号 O174.1 PROOF TO PROPERTIES OF CONTINUOUS FUNCTION ON A CLOSED INTERVAL WITH AN INTERVAL SEQUENCE THEOREM Zhou Ming (Xi′an Engineering University,Xi′an 710054) Abstract Four theorems about continuous function on an closed interval are proved by a interval sequence theorem in mathematical analysis. Key words interval sequence, continuity, uniform continuity 在高等数学中所遇到的闭区间上连续函数的性质，通常都不加以证明，其实这些性质在数学分析中都给出了证明，可用数学分析中的一些定理来证明。实际上这些性质的证明也可用数学分析中的一个定理即区间套定理证得。下面就用区间套定理来证明这些性质。在证明这些性质之前，先叙述一下区间套定理。 区间套定理：设一无穷闭区间列｛〔a n,b n〕｝适合下面两个条件： (1)后一区间在前一区间之内，即对任一正整数n，有a n≤a n+1＜b n+1≤b n。 (2)当n→∞时，区间列的长度｛(b n-a n)｝所成的数列收敛于零，即limn→∞(b n-a n) =0。 则区间的端点所成两数列｛a n｝及｛b n｝收敛于同一极限ξ，且ξ是所有区间的唯一公共点。 1 有界性定理 若函数f(x)在闭区间〔a,b〕上连续，则它在〔a,b〕上有界。 证明(反证法)：设f(x)在〔a,b〕上无界，将〔a,b〕二等分，则f(x)必在其一上无界，记其为〔a1,b1〕，再将〔a1,b1〕二等分，记f(x)在其上无界的区间为〔a2,b2〕，这样继
第三章(2)戴得金定理证明6页word
Ⅰ 戴德金定理； Ⅱ 单调有界数列必收敛定理（一般的，我们取单调递增有上界数列）； Ⅲ 确界原理（一般的，我们取非空有上界数集）； Ⅳ 闭区间套定理； Ⅴ 致密性定理； Ⅵ 柯西收敛准则； Ⅶ 有限覆盖定理． 在证明它们的等价性时，一般采用循环证法，但在本篇论文中，为了说明这七个命题都可以作为构造实数的公理性命题，我们选择从一个命题出发，来证明其余六个命题．下面给出这42个证明过程． Ⅰ?Ⅱ：（戴德金定理?单调有界数列必收敛定理） 证明：设数列{n x }单调递增且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数． 若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 的构造可知α不是{n x }的上界，N N +?∈使N x α>，则 N x B ∈，且为数列{n x }的上界，由数列{n x }单调递增可知，,n N ?>均有n N x x =，从而{n x }极限存在． 若B 中有最小数，不妨设为β，现在证明β即为数列{n x }的极限．事实上，β是数列{n x }的上界， 且对0,εβε?>-不属于B ，从而不是{n x }的上界，即,N N N x βε+ ?∈>-使，又因为{n x }的单调性， 从而： ,.N n n N x x βεβ?>-<≤< 也即，数列{n x }收敛于β． Ⅰ?Ⅲ：（戴德金定理?确界原理） 证明：设数集E 非空且有上界，其上界构成集合B ，令A R B =-，则/A B 构成了实数集R 的一个分划（/A B 满足非空、不漏、有序）．由戴德金定理可知，A 中有最大数或B 中有最小数． 若A 中有最大数，不妨设为α，则由/A B 构造可知α不是数集E 的上界，从而存在,E ξ∈ ξα>使．即B ξ∈为E 的上界，因此sup E ξ=，数集E 的上确界存在． 若B 中有最小数，不妨设为β，则对0,A εβε?>-∈不是E 的上界．从而,E ξ?∈ 使： βεξβ-<≤． 也即sup E ξ=，E 的上确界存在．
闭区间上连续函数性质证明
§2 闭区间上连续函数性质的证明 教学目的：掌握闭区间上连续函数性质证明思路与方法，加深对实数完备性若干定理的理解。 重点难点：重点与难点为其证明思路与方法。 教学方法：讲练结合。 在本节中，我们利用实数完备性的基本定理，来证明闭区间上连续函数的基本性质． 有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界． 证 [证法一](应用有限覆盖定理) 由连续函数的局部有界性(定理4．2)，对每一点[],,b a x ∈'都存在邻域);(x x U ''δ及正数x M '，使得[].,);(,)(b a x U x M x f x x '''∈≤δ 考虑开区间集 []{} b a x x U H x ,);(∈''='δ, 显然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖．由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 ()[]{}k i b a x x U i i i ,,2,1,,;* =∈=H δ 覆盖了[]b a ,，且存在正数k M M M ,,,21 ，使得对一切()[]b a x U x i i ,; δ∈有 ().,,2,1,k i M x f i =≤ 令 ,m a x 1i k i M M ≤≤= 则对任何[]b a x ,∈，x 必属于某()()M M x f x U i i i ≤≤?δ;．即证得f 在[]b a ,上有界． [证法二](应用致密性定理) 倘若f 在[]b a ,上无上界，则对任何正整数n ，存在[]b a x n ,∈，使得()n x f n >．依次取 ,2,1=n ，则得到数列{}[]b a x n ,?．由致密性定理，它含有收敛子列{} k n x ，记ξ=∞ →k n k x lim 。由b x a k n ≤≤及数列极限的保不等式性，[]b a ,∈ξ．利用f 在点ξ连续，推得 () ()+∞<=∞ →ξf x f k n k lim 另一方面，由n x 的选取方法又有()() +∞=?+∞→≥>∞ →k k n k k n x f k n x f lim 与(1)式矛盾．所以f 在[]b a ,有上界．类似可证f 在[]b a ,有下界，从而f 在[]b a ,上有界. 最大、最小值定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值． 证 (应用确界原理) 已证f 在[]b a ,上有界，故由确界原理，f 的值域[]()b a f ,有上确界，记为M ．以下我们证明：存在[]b a ,∈ξ，使()M f =ξ．倘若不然，对一切[]b a x ,∈都有()M x f <．令
缠论本质及其区间套
缠论本质及其区间套操作 缠论之所以伟大，在于发现了股市是一个吻合于自然、社会等复杂系统普适的描述性的几何模型，即通过自同构性结构的自组和级别间的扩展自组递归函数。而缠论的应用，在于对这个天然而严密的数学系统的熟练和把握，也就是用动力和形态相结合的方法，找到这 个递归函数不同级别间的节点。 那么，什么又是递归函数呢？ 在数学上，关于递归函数的定义如下：对于某一函数f(x)，其定义域是集合A，那么若对于A集合中的某一个值X0，其函数值f(x0)由f(f(x0))决定，那么就称f(x)为递归函数。 在编程语言中，把直接或间接地调用自身的函数称为递归函数。函数的构建通常需要一个函数或者一个过程来完成。 一个含直接或间接调用本函数语句的函数被称之为递归函数，它必须满足以下两个条件：1）在每一次调用自己时，必须是（在某种意义上）更接近于解； 2）必须有一个终止处理或计算的准则。 那么我们再来看缠论中的递归函数的意义。 走势是以中枢为基本单元，通过级别联立构成立体的、层次分明的系统。 相邻级别间，遵循同一个递归的标准，即：本级别中枢为次级别三个走势类型的重叠。 级别的界定：通常我们所使用的1-5-30-60-日-周……级别界定方式，只是为了看盘方便而使用而已，并非是天然生长的级别。 那么，如何去选择初始分析级别（即通常所言的最低级别）？这是个令大多数缠论学习者迷惑的问题。 其实这个问题如果理解了上述的递归函数构建的终止（若递推叫起始）原则，就不存在了。为了直观的、容易的理解一些，还是来具体说说。 初始级别，即递归函数的起始点。 首先初始级别是取出来的。初始中枢，是所选最低级别三个线段重合部分。 线段只跟最低级别有关。如果你在某级别定义线段，那么就认定它是最低级别了，为避免混淆，我们称之为初始级别。线段，被人为认定为初始级别的次级别走势类型。 而分型，笔，都是线段构建的条件，分型只跟笔发生直接关系，笔只跟线段发生直接关系。比如你选择5F为初始级别，那么5F的线段，即认定为次级别走势类型，不管它是否 符合1F的实际走势类型。同理，比如你选择30F为初始级别，那么30F的线段，即认定为次级别走势类型，不管它是否符合5F的实际走势类型，而图上可以看到的1F基本就不用 考察了。即是说，当你选定了某个级别作为分析的初始级别以后，其次级别以下的波 动就可以全部忽略掉了。 而在实际应用中，通常为了兼顾精确与简便，选操作级别为初始级别，用次级别确定精度，高一级别观察中期方向，高二级别观察长期方向。 初始级别的选择，需要综合考虑几个条件：技术熟练度、投机性质、看盘时间、资金量、标的活跃度、方便性等。 精度的选择，除了跟操作级别相关联外，还需要考虑本期计划交易量，标的交易量可承受范围。 区间套是精度逐级确定的方法。区间套操作的终极意义是追踪节点。从高到低一级级背驰下去，一直追踪到某一单成交为止。这个概念就好比在某个区域搜索一个人，先去定哪个区，然后哪栋楼，然后哪间房，然后哪个座位。 方法1：运用了“区间套”逐步逼近的思想方法
区间套定理的拓展及应用
2012届本科毕业论文区间套定理的拓展及应用 姓名： 系别：数学与信息科学学院 专业：信息与计算科学 学号： 指导教师： 2012年04月20日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) ABSTRACT (1) KEY WORDS (1) 0引言 (2) R上的推广 (2) 1 区间套定理在1 2区间套定理在一般度量空间上的推广 (4) R上的推广 (5) 3区间套定理在n 4 区间套定理的应用举例 (6) 参考文献 (9) 致谢 (9)
区间套定理的拓展及应用 摘要 通过运用类比法、分析法、演绎法将区间套定理进行了拓展，得到若干定理并分别给出了证明，结合典型例题,分析讨论了区间套定理的实际应用. 关键词 区间套;拓展;应用 The expansion and application of the nested interval theorem Abstract s everal theorems which are testified are got after the expanding of the nested interval theorem through the application of analogy,analysis,and deductive and the application of the nested interval theorem was discussed by the analysis of some typical examples. Key words nested interval;expansion;application