小波分析大作业

小波分析及其应用

结课作业

小波分析在信号分析及滤波中的应用

指导老师：白键

学生姓名：

班级：071011

学号：07101075

小波分析在信号分析及滤波中的应用

信号滤波是信号处理中的重要的一环，在实际测量中，由于噪声源的存在，传播过程中加载的噪声，还有传感器本身的测量误差，信号中总会存在一些噪声，在处理信号之前，必须将噪声滤掉，否则会影响后续的时频分析，得不到信号中想要的结果。

一、信号时频分析方法比较

1.1Fourier变换与Gabor变换

在信号分析中，最基础的Fourier变换，Fourier变换提供了从另一个角度看信号的一种方法，将函数展成以余弦为基本函数的叠加，Fourier系数表示了信号在频域上的幅值和相角，但Fourier变换只能从整个信号分析其频率，不能很好的反应时间特性，故此提出了窗口Fourier变换，即Gabor变换，窗口Fourier 变换则将非平稳信号假定为分段平稳的，通过采用一个滑动窗截取信号，一次次地对截得的信号进行Fourier变换。但由于Fourier变换时间分辨率与频率分辨率矛盾，得不到时间分辨率与频率分辨率都很高的信号分析结果。

1.2小波变换

小波变换是在Fourier变换基础上提出的。其基础函数是小波函数，其可在通过伸缩和平移实现信号的分析，它继承和发展了短时傅立叶变换局部化的思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化等缺点，能够提供一个随频率改变的时间一频率窗口，是进行信号时频分析和处理的理想工具。但是依旧有一些局限性，小波变换中，可以根据需要构造不同的小波函数，正是由于有不同的小波函数可供选择，使得小波变换对信号分析有足够的适应性，但是小波函数的选择成为一大问题，此外选取的小波函数可能在全局是最佳的，但是对某个局部区域可能是最差的，而一旦小波函数确定，所有的分析特性就会确定，因此缺乏一定的自适应性。

1.3希尔伯特黄变换

对一列时间序列数据先进行经验模态分解然后对各个分量做希尔伯特变换的信号处理方法是由美国国家宇航局的Norden E. Huang 于1998年首次提出的称之为希尔伯特黄变换Hilbert-Huang Transformation HHT 。由于时间序列的信号经过EMD分解成一组本征模函数Intrinsic Mode Function IMF 而不是像傅立叶变换把信号分解成正弦或余弦函数因此该方法既能对线性稳态信号进行分析又能对非线性非稳态信号进行分析。

1.3.1EMD 方法基本原理

经验模态分解(Empirical Mode Decomposition, 简称EMD))方法是由美国NASA 的黄锷博士提出的一种信号分析方法.它依据数据自身的时间尺度特征来进行信

号分解, 无须预先设定任何基函数。它能使复杂信号分解为有限个本征模函数(Intrinsic Mode Function，简称IMF)，所分解出来的各IMF分量包含了原信号的不同时间尺度的局部特征信号。经验模态分解法能使非平稳数据进行平稳化处理，然后进行希尔伯特变换获得时频谱图，得到有物理意义的频率。与短时傅立叶变换、小波分解等方法相比，这种方法是直观的、直接的、后验的和自适应的，因为基函数是由数据本身所分解得到。由于分解是基于信号序列时间尺度的局部特性，因此具有自适应性。

经验模态分解EMD 方法能把非平稳非线性信号分解成一组稳态和线性的数据序列集即本征模函数IMF 所谓本征模函数必须满足2 个条件

1.对于一列数据极值点和过零点数目必须相等或至多相差一点在任意点

2.由局部极大点构成的包络线和局部极小点构成的包络线的平均值为零

这种方法本质是通过特征时间尺度获得本征振动模式然后由本征振动模式来分解时间序列数据下面是时间序列数据X(t)经验模态分解的一种算法对一原始信号X(t)，首先找出X(t)上所有的极值点。然后用三次样条函数曲线对所有的极大值点进行插值，从而拟合出原始信号X(t)的上包络线Xmax(t)。同理，得到下包络线Xmin(x)。。上、下两条包络线包含了所有的信号数据。按顺序连接上、下两条包络线的均值即得一条均值线Ml；

Ml (t) =(Xmax(t)+Xmin(t))/2；

再用X(t)减掉Ml (t)得到h1(t):

h1(t)=X(t)-m1(t)

对于不同的信号，h1(t)可能是一个IMF分量，也可能不是。一般来说，它并不满足IMF

所需的条件，此时将hl(t)当作原信号，重复上述步骤，即得:

h11(t)=h1(t)-m11(t)

式中，m11(t)是hl(t)的上、下包络线均值，若h11(t)不是IMF分量，则继续筛选，重复上述方法k次，得到第k次筛选的数据k1t(t):

h1k(t)=h1(k-1)(t)-m1k(t)

在实际计算中满足IMF的2个条件并不是一件容易的事必须确定一个准则使筛选过程能够中止,Huang等提出利用2个连续处理结果之间的标准差SD作为判据：

其中，T为原始信号的长度.决定筛选过程是否，SD值的选取至关重要.如果SD的值选得过小，会使IMF分量变成纯粹的频率调制信号，造成幅值恒定。-如果选得过大，会使筛选的结果和IMF的2个条件相差太远。经验表明，SD的取

值在0.2~0.3之间为宜。既可保证IMF分量的线性稳定性,又可使IMF分量具有相应的物理意义.

当h1k(t)满足筛选终止准则的要求，则h1k(t)为第一阶IMF，记为cl(t)，即

C1(t)=h1k(t)

从X(t)中减去c1(t)得剩余信号，即残差r1(t):

r1(t)=X(t)-c1(t)

将r1(t)看作一组新信号重复上述模态分解过程，经多次运算可得到全部的残差ri(t):

ri(t)=r(i-1)(t)-ci(t) i=2,3,…,n

当ri(t)满足条件:https://www.360docs.net/doc/666604337.html,(t)或rn(t)小于预定的误差；或2.残差rn(t)成为一个单调函数，即不可能再从中得出提取IMF分量时，就终止模态分解过程。该条件的选取也应适中。若条件太严格，则得到的最后几个IMF分量没有太大意义，并且还消耗时间；若条件太松，则会丢失有用信号分量。具体终止条件的选取可通过对信号的反复分解并依据对原始信号的先验知识来最终确定。至此，原始信号X(t)可由n阶IMF分量及残差rn(t)构成。

1.3.2Hilbert变换与Hilbert谱

对给定的信号X(t)，其Hilbert变换定义为

构造解析信号Z(t)：

Z(t)=X(t)+iY(t);

Z(t),可写为:

其中：

上式以极坐标的形式明确表达了瞬时振幅和瞬时相位，很好地反应了信号的

瞬时特性，在此基础上，瞬时频率定义为：

对式*做Hilbert变换，则有:

其中，是第j阶IMF分量cj(t)的解析信号幅值。这里省略了第n阶残差这是因为rn(t)是单调函数或常数的缘故.

式*中的H(t)既是时间t的函数,又是瞬时频率的函数。而瞬时频率也是时间t的函数。取实部，定义他为Hilbert谱，记作:

将对时间积分，就得到Hilbert边际谱：

边际谱表达了每一个频率值上分布的总的振幅（或能量），他以统计的形式表示在整个数据序列上的振幅（或能量）累积。

以上的EMD分解和Hilbert谱分析方法统称为Hilbert-Huang变换。傅立叶变换，小波变换及HHT变换比较：

(1分析信号。

傅立叶变换只能处理线性非平稳的信号，小波变换虽然在理论上能处理非线性非平稳信号，但在实际算法实现中却只能处理线性非平稳信号。。HHT则不同于这些传统方法，它彻底摆脱了线性和平稳性束缚，其适用于分析非线性非平稳信号。

(2)自适应性。

HHT能够自适应产生“基”，即由“筛选”过程产生的IMF。这点不同于傅立叶变换和小波变换。傅立叶变换的基是三角函数，小波变换的基是满足“可容性条件”的小波基，小波基也是预先选定的。在实际工程中，如何选择小波基不是一件容易的事，选择不同的小波基可能产生不同的处理结果。我们也没有理由认为所选的小波基能够反映被分析数据或信号的特性。

(3) Heisenberg测不准原理制约——突变信号。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换都受Heisenberg测不准原理制约，即时间窗口与频率窗口的乘积为一个常数。这就意味着如果要提高时间精度就得牺牲频率精度，反之亦然，故不能在时间和频率同时达到很高的精度，这就给信号分析处理带来一定的不便。而HHT不受Heisenberg测不准原理制约，它可以在时间和频率同时达到很高的精度，这使它非常适用于分析突变信号。

(4)瞬时频率。

傅立叶变换、短时傅立叶变换、小波变换有一个共同的特点，就是预先选择基函数，其计算方式是通过与基函数的卷积产生的。HHT不同于这些方法，它借助Hilbert变换求得相位函数，再对相位函数求导产生瞬时频率。这样求出的瞬时频率是局部性的，而傅立叶变换的频率是全局性的，小波变换的频率是区域性的。

EMD分解各阶IMF分量大致是高频到低频的分布，噪声大多包含在前几个IMF 中，对其进行阈值处理，然后进行重构叠加即可进行滤波。

1.3.3HHT分解及滤波实例：

下图为某声音信号的原始信号及HHT分解以及滤波后的信号：

原始信号：

HHT分解信号：

可以看出，HHT分解的EMD信号有高频到低频的趋势。下图为滤波后的信号：

二、小波分析的去噪方法

小波滤波的机理是基于信号与噪声的小波系数的尺度上的不同性质，采用相应规则，对含噪信号的小波系数进行取舍、抽取或切削等非线性处理，以达到去除噪声的目的。小波滤波研究主要集中在三个方向，包括基于信号奇异性的模极大值重构滤波、基于信号尺度间相关性的空域相关滤波和基于小波变换解相关性的小波域阈值滤波。

2.1模极大值重构滤波

1992年，Mallat等人提出了基于信号奇异性的信号和图像多尺度边缘表示法，利用Lipschitz指数在尺度上对信号和图像及噪声的数学特性进行描述，提出模极大值重构滤波方法。

模极大值重构滤波是指利用信号在各个尺度上小波系数的模极大值来重构信号。信号小波系数的模极大值包含了信号的突变值与奇异值。如果可以从这些极大值重构信号，那么就可以通过处理小波系数的模极大值而实现对信号奇异值的修改。可以通过改变模极大值来修改奇异性的强度，也可以通过抑制某些极大值点而去除相应的奇异性，这是模极大值重构滤波的基本思想。

模极大值重构滤波方法是根据信号和噪声在小波变换下随尺度变化呈现出的不同变化特性提出来的，有很好的理论基础，因而滤波性能较为稳定，它对噪声的依赖性较小，不需要知道噪声的方差，特别是对低信噪比的信号滤波时更能

体现其优越性。

2.2空域相关滤波

1994年，根据Rosenfield所提出的思想，xu提出了基于信号尺度间相关性的空域相关滤波算法(ssNF)，就是在进行数字图像处理时，直接将相邻频带上的数据相乘，可以准确地定位信号边缘。

信号的突变点有良好的局部性质，并且出现在各尺度上，而噪声的能量却集中在小尺度上，其小波系数随着尺度的增大而迅速衰减。而且，Mallat和Hwang 指出，对正态白噪声来说，其在尺度j+l上的局部模极大值点的平均数目为尺度j上的一半。即信号经过小波变换之后，其小波系数在各尺度上有较强的相关性，尤其是在信号的边缘附近，其相关性更加明显，而噪声对应的小波系数在尺度间却没有这种明显的相关性。因此，可以取相邻尺度的小波系数直接相乘进行计算，这样做相关计算将在锐化信号边缘与其他重要特征的同时抑制噪声，而且能够提高信号主要边缘的定位精度，更好地刻真实信号。

基于小波系数尺度之间相关性原理的空域相关滤波方法，在对含噪信号进行滤波时取得了很好的效果，其实现原理也较简单。然而在算法中，相关系数如何定义将直接影响到效果。如果在小波分解过程中，计算出来的小波系数点的位置稍有偏差，得到的相关系数不能很好地体现和描述该点处的真实相关性，而且计算量较大，需要进行迭代。

2.3小波域阈值滤波

小波域阈值滤波算法是实现最简单、计算量最小的一种方法，因而应用最广泛。但其阈值的选取比较困难，虽然Donoho在理论上证明并找到了最优的通用闭值，但实际应用中效果并不十分理想。另外，阈值的选取还依赖于噪声的方差，因此需要事先估计噪声方差。

Donoho提出了小波域lheJ值滤波算法:信号经小波变换后，可以认为由信号产生的小波系数包含有信号的重要信息，其幅值较大，而噪声对应的小波系数幅值小。通过在不同的尺度上选取一合适的阈值，并将小于该阂值的小波系数置零，而保留大于闭值的小波系数，从而使信号中的噪声得到有效的抑制，最后进行小波逆变换，得到滤波后的重构信号。

目前，有大量的文献中提出了各种各样确定阈值的方法，其中主要有Donoho 提出的通用闭值法、极小化风险阈值法(suRE法、交叉验证(Cv)算法、广义交叉验证(oev)算法)、假设检验法(FnR滤波算法)。和BayessShrink阈值法(Bayesian检验算法等)，以及各种经改进后的方法等等。

阈值函数体现了对小波系数的不同处理策略，主要课分为硬阈值函数，软阈值函数，半软阈值函数。三种方法分别如下图所示：

下图为采用db3小波，分别采用'rigrsure'，自适应阈值选择使用Stein的无偏风险估计原理，首先得到一个给定阈值的风险估计，选择风险最小的阈值作为最终选择；'heursure'，使用启发式阈值选择，它是sqtwolog和rigrsureD Z 综合，当信噪比很小时，估计有很大的噪声，这时heursure,采用固定阈值sqtwolog； 'sqtwolog'，阈值等于sqrt(2*log(length(X)))，这种阈值形式在软门限阈值处理中能够得到直观意义上很好的去噪效果； 'minimaxi'，用极大极小原理选择阈值，和sqtwolog一样也是一种固定的阈值，它产生一个最小军方误差的极值。且分别采用硬阈值和软阈值处理后的图像：

可以看出，阈值函数中硬阈值方法相比软阈值方法失真要小，且采用

'rigrsure'方法的滤除频率较少，而'minimaxi'法将高频部分滤除较多。

如下为由wnosie()函数产生的含标准高斯白噪声比为3的heavy sine信号，由上述方法处理后的结果：

原信号：

加噪信号：

db3去噪信号：

根据图像可以看出去噪信号并不是很好。'sym8'去噪信号：

SNR:

28.3266826611648 43.9603633625514

50.6928672403042 53.2912060188090

53.4124505532682 51.6542394856458

35.5860235392333 52.8326719232419

PMSE:

0.755987254840015 0.345965992374046

0.247080770291762 0.216978517181903

0.215667123216712 0.235484872596939

0.525871808761479 0.222010583521530

由图像看出，采用sym8小波可以达到较好的效果，同时可以看出，软阈值法在信号突变的地方会有一些失真，'heursure'软阈值与'sqtwolog'硬阈值均可取得较好的效果。

可以看出，由于各小波具有不同的对称性，正交性，紧支撑性得特征，小波的选取会影响滤波效果，同时阈值的选取以及阈值函数的选取都会影响滤波效果。

三、总结

本文简介了Gabor变换，小波变换及希尔伯特黄变换，重点介绍了希尔伯特黄变换的实现过程，比较了给自的优缺点，同时采用希尔伯特黄变换进行了声音信号的滤波。并总结介绍了小波滤波的三种方法，重点介绍了小波域阈值滤波，并对其阈值选取和阈值函数的选取进行了介绍，并选取两小波，用不同阈值不同

阈值函数进行仿真，并对结果进行分析。