几何概型的定义及计算

几何概型的定义及计算

几何概型的概念：

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

几何概型的概率：

一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率。

说明：（1）D的测度不为0；

（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积；

（3）区域为＂开区域＂；

（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．

几何概型的基本特点：

（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；

（2）每个基本事件出现的可能性相等．

古典概型的定义及计算

基本事件的定义：

一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

等可能基本事件：

若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。

古典概型：

如果一个随机试验满足：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

（2）每个基本事件的发生都是等可能的；

那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型．

古典概型的概率：

如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是；如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为。

古典概型解题步骤：

（1）阅读题目，搜集信息；

（2）判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；

（3）求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m；

（4）用公式求出概率并下结论。

求古典概型的概率的关键：

求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。

概率的基本性质（互斥事件、对立事件）

互斥事件：

事件A和事件B不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。

如果A

1，A

2

，…，A

n

中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A

1

，A

2

，…A

n

彼此互斥。

对立事件：

两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做。注：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。

事件A+B的意义及其计算公式：

（1）事件A+B：如果事件A，B中有一个发生发生。

（2）如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A

1，A

2

，…A

n

彼此互斥

时，那么P（A

1+A

2

+…+A

n

）=P（A

1

）+P（A

2

）+…+P（A

n

）。

（3）对立事件：P（A+）=P（A）+P（）=1。概率的几个基本性质：

（1）概率的取值范围：[0，1].

（2）必然事件的概率为1.

（3）不可能事件的概率为0.

（4）互斥事件的概率的加法公式：

如果事件A，B互斥时，P（A+B）=P（A）+P（B），如果事件A

1，A

2

，…A

n

彼此互斥时，

那么P（A

1+A

2

+…+A

n

）=P（A

1

）+P（A

2

）+…+P（A

n

）。

如果事件A，B对立事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）=1。

互斥事件与对立事件的区别和联系：

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生。因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件。

随机事件及其概率

随机事件的定义：

在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件，随机事件通常用大写英文字母A、B、C等表示。

必然事件的定义：

必然会发生的事件叫做必然事件；

不可能事件：

肯定不会发生的事件叫做不可能事件；

概率的定义：

在大量进行重复试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动。这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

m，n的意义：事件A在n次试验中发生了m次。

因0≤m≤n，所以，0≤P（A）≤1，必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。

随机事件概率的定义：

对于给定的随机事件A，随着试验次数的增加，事件A发生的频率总是接近于区间[0，1]中的某个常数，我们就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）。

频率的稳定性：

即大量重复试验时，任何结果（事件）出现的频率尽管是随机的，却“稳定”在某一个常数附近，试验的次数越多，频率与这个常数的偏差大的可能性越小，这一常数就成为该事件的概率；

“频率”和“概率”这两个概念的区别是：

频率具有随机性，它反映的是某一随机事件出现的频繁程度，它反映的是随机事件出现的可能性；概率是一个客观常数，它反映了随机事件的属性。

独立性检验的基本思想及其初步应

分类变量与列联表：

变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量；

列出的两个分类变量的频数表，称为列联表。

独立性检验：

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，构造一个随机变量

，其中n=a+b+c+d为样本容量。利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。

利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度，具体做法是：

；

（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k

（2）利用公式（1），由观测数据计算得到随机变量K2的观测值；

，就以（1-P（K2≥k0））×100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就（3）如果k＞k

说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据。

独立性检验的性质：

独立性检验没有直观性，必须依靠K2的观测值k作判断。

独立性检验的一般步骤：

（1）根据样本数据制成2×2列联表；

（2）根据公式，计算K2的值；

（3）查表比较K2与临界值的大小关系，作统计判断。

回归分析的基本思想及其初步应用

相关系数：

当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关；|r|≤1，且|r|

越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小。

残差：

相关指数R2用来刻画回归的效果，其计算公式是，

在含有一个解释变量的线性模型中，R2恰好等于相关系数r的平方。显然，R2取值越大，意味着残差平方和越小，也就是模型的拟合效果越好。

建立回归模型的基本步骤：

（1）确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个是预报变量；

（2）画出解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系；

（3）由经验确定回归方程的类型（如观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程）；

（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；

（5）得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否适当。当回归方程不是形如时，我们称之为非线性回归方程。

线性回归分析

回归直线：

如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线；

最小二乘法：

使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法。

回归直线方程：

，

其中。

回归分析是处理变量相关关系的一种常用数学方法，其步骤为：

（1）确定特定量之间是否有相关关系，如果有，那么就找出他们之间贴近的数学表达式；

（2）根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；

（3）求出回归直线方程。

散点图

散点图：

（1）散点图的定义：用两组数据构成多个坐标点，考察坐标点的分布，判断两变量之间是否存在某种关联或总结坐标点的分布模式。

（2）散点图表示因变量随自变量而变化的大致趋势，据此可以选择合适的函数对数据点进行拟合。散点图将序列显示为一组点，值由点在图表中的位置表示。

散点图的作用：

（1）确认两组变量是否相关；

（2）发现变量这间除因果关系之外的其他关系；

（3）直观观察或用统计分析两变量潜在关系的强度；

（4）如不相关，可总结特征点的分布模式。

散点图的做法：

（1）收集若干对变量数据，制成数据表；

（2）画出坐标轴和坐标点：一般x轴上的变量为独立变量，y轴上的变量为从属变量；如果有重复的数值，就在此点上画圈标示，重复几次画几个圈。

（3）图形分析：散点图的形状可能表现为变量间的线性关系、指数关系和对数关系等。以线性关系为例，散点图一般包括：

A正相关。Y的增加可能取决于X的增加。如受教育的时间增加，平均月收入可能随之上升。

B可能正相关。X增加，Y可能有些上升。如除了受教育时间外，月收入还涉及其他变量。

C不相关。受教育时间和平均月收入之间没关系。

D可能负相关。当X增加，Y可能有些降低。除了所受教育的时间之外，可能还存在影响收入的其他变量。

E负相关。Y的降低可能取决于X的增加。所受教育的时间增加，平均月收入可能降低。

散点图的适用范围：

当估计两个变量之间存在相关关系时，用散点图进行确认，并观察和确定两者的关系强度。还可以用散点图分析坐标点的分布模式，如“风险机遇评估矩阵”。

标准差、方差

方差和标准差的定义：

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示。

设一组数据的平均数为，则，其中s2表示方差，s表示标准差。

一般地，平均数、方差、标准差具有如下性质：

若数据的平均数是，方差为s2，标准差为s.则新数据

的平均数是，方差为，标准差为。

特别地，如a＝1，则新数据的方差、标准差与原数据相同，分别为s2，s。因此，当一组数据均较大且接近某个常数时，可先将每个数同时减去这个常数，再计算这组新数据的方差，它与原数据的方差相等.

方差和标准差的意义：

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常数来比较两组数据的波动大小，方差较大的波动较大，方差较小的波动较小。

用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：

①用样本平均数估计总体平均数．

②用样本方差、标准差估计总体方差、标准差．样本容量越大，估计就越精确．

计算标准差的算法：

(1)算出样本数据的平均数；

(2)算出每个样本数据与样本平均数的差;

(3)算出

(4)算出这n个数的平均数，即为样本方差s2；

(5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差s.

众数、中位数、平均数

众数：

一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。

中位数：

一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。

平均数：

如果有几个数，那么叫做这几个数的平均数。

如果在几个数中，，那么

叫做这几个数的加权平均数。。

中位数的特点：

中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。

平均数、众数和中位数的作用：

平均数、众数和中位数都叫统计量，它们在统计中，有着广泛的应用。平均数、中位数、众数都是描述数据的集中趋势的“特征数”，平均数、中位数和众数从不同侧面给我们提供了同一组数据的面貌。

关于平均数、中位数、众数的选取：

（1）分析数据平中众，比较接近选平均，相差较大看中位，频数较大用众数；

（2）所有数据定平均，个数去除数据和，即可得到平均数；

（3）大小排列知中位；

（4）整理数据顺次排，单个数据取中问，双个数据两平均；频数最大是众数。