第一节 光量子起源

第一章 激光基本原理

本章简略介绍激光的最基本原理，包括光量子的起源、激光振荡基本物理过程和激光基本特性。

第一节 光量子起源

光量子也称为光子（photon ），和牛顿力学质点概念类似，光子具有能量和

动量方面的特性，其含义是频率为ν、传播矢量为k 单色光波，其能量和动量是

某一个值的整数倍，能量最小值正比于光频率，动量最小值正比于波矢：

k

p h ==νε （1.1-1） 其中π2/,/10626.634h s J h =?=- ，称为普朗克（Planck ）常数。但光量子和牛顿力学的粒子有本质区别。牛顿力学的粒子被理解为一个体积为零的质点；光量子有区别于牛顿力学的、多方面的量子力学特性，例如能量不连续、测不准特性、非局域特性等特点。

在量子力学建立之前，已经建立了麦克斯韦方程组的电磁场理论。光波已经普遍被认为是频率很高的电磁波，其性质和微波以及其它电磁波是一样的，都满足麦克斯韦方程组。按照麦克斯韦方程组，电磁波的能量密度只与电场和磁场振幅有关：

20202

121H E W με+= （1.1-2） 光子能量和麦克斯韦方程组所导出能量密度差别很大，什么原因使人们愿意接受光量子概念呢？

本节将介绍导致光量子概念的最早三个实验：黑体辐射、光电效应和康普顿散射。

1.1.1 黑体辐射

所谓黑体（Blank body ）是一种假想的物体，这种物体能够完全吸收所有波长电磁辐射。现实中并不存在这样的物体，相对于黑体，其它物体称为灰体（grey body ）。但可以构造一种结构，在一定程度上模拟黑体。这种结构如图（1－1）所示，是壁上开一个小孔的空心腔体。当波长远小于小孔口径的电磁波入射到空腔中时，在腔壁上多次反射后几乎全部被腔体吸收，再次从小孔反射出腔体的几率非常小。所以这样一个空腔黑体近似为黑体。设想这样一个装置置于环境中，由于周围都有环境光， 因此不断会有光从小孔入射进入腔体，这样腔体吸收环境光能量会越来越多，腔体的温度就会越来越高。这种情况有点像夏天停在室外的汽车，太阳光不断从车窗透过玻璃进入车内，使车内温度高得烫人。但是，根

据热力学原理，腔体内温度最终应该和环境温度一致。因此为了保持能量平衡，一定会有相应的电磁波从小孔辐射出腔体。这个空腔黑体，可以用电磁场理论和热力学能量均分定理得出腔体内电磁波能量密度的频率或波长分布。但是所得到的结果和实验测量结果不符合，能量分布曲线不一致。

为了解释黑体辐射能量分布曲线，德国科学家普朗克（Planck ）提出了他的假设，完满第解释了实验曲线。普朗克的假设中，明确包含了光能量不连续的量子概念。所以黑体辐射是光量子最早实验证据。

在普朗克假设之前，先后有瑞丽-琼斯理论和维恩理论，它们分别在频率低端和高端与实验吻合。

（1）瑞丽—

琼斯理论

1900年，根据电磁场理论和热力学能量均分定理，瑞丽导出了黑体辐射能量分布公式，后由琼斯修正得到的公式称为瑞利-琼斯公式。

根据电磁场理论，在空腔中，单位体积内频率在νννd +→范围内的光波的模式数目为32/8c d νπν，其中C 为真空中光速。所谓光波模式，就是麦克斯韦方程组在空腔内所有本征解，所有这些解的任意线性叠加都满足麦克斯韦方程组。从统计物理观点看，每一个模式可以看成一个自由度，根据能量均分定理，在温度为T 时，每一个自由度的平均能量为T k B ，其中B k 为玻尔兹曼常数。这样，空腔黑体内频率在νννd +→范围内的能量密度就为

νπνρTd k c

v d B v 32

8= （1.1-3） 换成波长表达式：（)/,λνλρνρλc d d v ==

图1－1 空腔黑体 从小孔入射的电磁辐射经过多次腔壁吸收后几乎全部吸收

λλπ

λρλd T k d B 4

8= （1.1.4） 上式即为瑞丽-琼斯分布，在低频（长波），瑞丽-琼斯分布和实验测得的分布一致。但瑞丽-琼斯分布表示频率越高（波长越短），黑体辐射能量越大，明显与实验不符合。这个现象后来被称为黑体辐射紫外灾难。

（2）维恩理论

1896年，维恩（W. Wien ）从经典的热力学和麦克斯韦分布出发，推导出维恩公式： )exp(3vT v dv v βαρ-= （1.1.5）

式中，α和β为常数。该公式在高频范围内和实验结果符合较好，但在低频范围有较大的偏差。

（3）普朗克假说

1900年12月，为了解释实验曲线，普朗克假设：空腔中某模式（特定频率ν）的电磁波，其能量为某一最小值的整数倍

,,,3,2,1,.0εεεεεn

该最小值正比与光频率ν

νεh = （1.1-6）

常数h 后来被称为普朗克常数。根据玻耳茲曼分布，在热平衡状态下，该模式的电磁波具有εn 能量几率：

???

? ??-=T k n C P B n εexp （1.1－7） 因此平均能量为

∑∞

==0n n P εε （1.1－8）

频率在νννd +→范围内的模式数目（连续谱近似）为νπνννd c d p )/8(32=，因此νννd +→范围内的能量为

ενπννρνd c d )/8(32= （1.1－9）

常数C 由几率归一化条件∑∞

==01n n P 求出。最后得到单位频率间距内的能量频率分

布

1

)/exp(1833-=T k h c h v B νπρν （1.1－10） 当常数Js h 3410602.6-?=时，上式给出的频率分布函数和实验曲线符合。普朗克把能量不能再分的最小能量称为量子（quantum ）。

x 101401

2

3

456

7-17

频率（Hz ）能量密度（J .s /m .3)

在上面推导中，使用了求和公式：

∑∑∞

=∞=---=---=--=-020))exp(1()exp()exp(11)exp()exp(n n x x x dx d nx dx d nx n

换成波长表达式

1)/exp(85

-=T k hc d hc d B λλλπλρλ （1.1-11） 在短波紫外，T k h B >>ν，在红外长波，T k h B <<ν，可以从朗克公式分别得到维恩近似和瑞丽-琼斯近似。当常数s J h /10626.634-?=，理论曲线和实验曲线完全符合。由普朗克公式，可以得到著名的维恩位移定律和史蒂芬-玻尔兹曼定律。

普朗克黑体辐射理论具有多方面的意义。既是是光量子的最早起源，也一致与宇宙模型密切相关[]；其结论用于测量高温物体温度，估计恒星温度；此外黑体辐射仪是红外辐射计量的基准。

1.1.2 光电效应

尽管普朗克理论能够很好解释空腔黑体辐射，但当时几乎没有多少物理学家愿意接受这样一个和电磁场理论相去甚远的假说。连普朗克本人也仅相信此假说图1-2 黑体辐射能量分布

只适应于空腔壁上原子振子。然而四年之后的1905年，爱因斯坦（Albert Einstein）

指出，普朗克的量子理论能够用来解释光电效应。

所谓光电效应，就是光照射到金属时，表面发射电子现象。赫兹（Hertz）

在1887年发现，用紫外光照射金属时，金属表面有电子逸出，后来勒纳的实验

表明，改变入射到金属上光的强度，而不改变光频率，发射电子的动能不变。

图1-3为光电效应的实验装置简图，当光通过石英窗口照射到金属阴极时，

有电子从阴极表面逸出，称为光电子。光电子在电场加速下向阳极运动，形成光

电流。

图1-3 光电效应实验装置

实验发现，当入射光频率一定且光强一定时，光电流和两极间电压的关系如图1-4所示。光强一定时，光电流不再增加，而是达到一饱和值。饱和现象说明这时单位时间内从阴极逸出的光电子已全部被阳极接收了。实验还表明，饱和电流和光强I 成正比，这说明单位时间从阴极逸出的光电子数和光强成正比。另外，当加速电压减小到零并逐渐变负时，光电流并不为零，仅当反向电压等于一个值时光电流才等于零，这个电压值Vc 称为截止电压。截止电压的存在说明此时从阴极逸出的最快的光电子由于受到电场的阻碍也不能到达阳极了。因此电子最大初动能为：

c m eV mv =22

1 （1.1-12） 实验还表明，截止电压Vc 与入射光频率υ有关（如图1.-5所示），不同的曲线对应于不同的阴极金属，其关系可用下式表示：

0V Kv V c -= （1.1-13）

其中K 是与金属种类无关的一个普适常数。电子最大动能：

图1-5 截至电压和光频率的关系

图1-4 光电效应的I-V 曲线

2012m mv eK eU ν=- （1.1-14）

图1-5中直线与横轴的交点用0ν表示。当入射光频率大于0ν时，0≥c V ，电子能逸出金属表面，形成光电流。对于不同的金属，有不同的0ν。要使某种金属产生光电效应，必须使入射光频率大于其相应的频率0ν才行。0ν叫做光电效应的红限频率，相应的波长叫红限波长。

因为红光的频率较低，波长较长，蓝绿光频率较高，波长较短，所以把频率较低、波长较长情况有时冠以“红”（red ）字，把频率较高、波长较短冠以“蓝”（blue ）字。例如“红移”（red shift ）和“蓝移”(blue shift)，分别表示波长向长波方向和短波长方向移动。宇宙膨胀会产生光谱红移，多普勒效应会产生红移或蓝移。原子和光相互作用时，光源的频率高于原子频率称为蓝失谐（blue detune ），低于原子频率称为红失谐（red detune ）。

几种金属的红限频率如表1.1所示：

光电效应所观察到的现象与电磁场理论不符合。按照电磁场理论，入射光强越强，金属表面电子吸收光能量越强，越能挣脱金属束缚跑出表面，其初始动能越大，越能克服反向电压到达阳极。也就是说，截至电压应该决定于入射光强，与光频率无关。

从光量子角度看，光电效应是很自然的。爱因斯坦假设，金属表面电子吸收一个光量子的能量υh ，一部份用于克服金属表面约束，一部份用于克服反向电场。当动能大于或至少等于这两部份能量之和时

φνe eV h c +≥ （1.1-15）

电子就能达到阳极，从而观测到光电流。由这个公式，可以解释光电效应的所有实验结果。

1.1.3 康普顿散射

光量子另一个实验证据是比光电效应稍晚的康普顿（https://www.360docs.net/doc/667004176.html,pton）散射。1923年，德国物理学家观察X射线经过物质散射后的光的角度分布。实验结果发现光子除了能量外，光子还有动量。X光物质散射的过程就是一个光子与物质中的电子碰撞的能量和动量守恒的过程。

图1-6 康普顿散射实验

康普顿效应的实验装置如图1-6所示，经过光阑D1、D2射出的一束单色X 射线为某种物质所散射。散射光的波长用布拉格晶体的反射来测量，散射光的强度用检测器（如电离室）来测量。实验结果归结如下：

（1）设入射光的波长为0λ，沿不同方向的散射光中，除原波长外都出现了波长0λλ>的谱线；

（2）波长差0λλλ-=?随散射角θ的增加而增加，原波长谱线的强度随θ的增加而减小，波长为λ的谱线强度随θ的增加而增加；

（3）不同元素散射物质，在同一角度θ下λ?与散射物质无关，原波长0λ谱线的强度随散射物质原子序数的增加而增加，波长λ谱线的强度随散射物质原子序数的增加而减小。

以上现象称作康普顿效应，康普顿因发现此效应过的1925年诺贝尔物理奖。这种X 射线的散射效应与光学中的瑞利散射很不同。按照经典理论，锐利散射是一种共振吸收和再发射的过程，散射波的频率总与入射波相同。但是康普顿散射中出现了不同的频率。康普顿散射无法用经典理论来解释，但很容易用光量子理论加以解释。

将散射原子中的电子看成是自由和静止的。康普顿散射可看作是X 射线中的光子和自由电子间的弹性碰撞过程，在此过程中能量和动量守恒的方程为：

v

m p p mc h c m h +=+=+02

200νν （1.1-16） 式中，0ν和ν别是碰撞前后光子频率，0p 和p 分别是碰撞前后光子动量。如果

光波矢为k ，则光子的动量为：k p =。式中0m 为电子静止质量，

()2/1220/1/c v m m -=为相对论质量。动量守恒关系如图1-8所示

由动量和能量守恒公式，可以导出：

)2/(sin 22θλλc =? （1.1-17）

其0241.0/0==c m h c λ?，它是一个有长度量纲的常量，称为康普顿波长。（9）式表明，△λ与物质和原波长0λ都无关，它随θ的增大而增大。光量子理论不仅定性地结社了康普顿散射的所有实验结果，计算表明，在定量上也是完全符合的。

上面假定了电子是自由的，实际上很多电子是原子核约束的，特别是重原子中内层电子被束缚的较紧。光子同这种电子碰撞时，实际上是在和质量很大的原子交换动量和能量，从而光子的散射之改变方向，几乎不改变能量。这就是散射光里总存在原波长0λ这条谱线的缘故。

波长0λ和λ的两条谱线强度随原子序数消长的情况也不难解释：谱线0λ是原子实里内层电子的贡献，原子序数越大，内层电子越多，对光子散射的贡献就越大，0λ谱线就越强。

黑体辐射和光电效应揭示了光子能量与频率的关系，康普顿效应则进一步揭示了光子动量与波长的关系。康普顿散射似乎证明了更早期光微粒学说。但是，后来量子力学和量子光学的发展，表明光的量子特性和光微粒学说有本质不同。光的某些量子特性在经典理论中没有对应的内容。例如测不准原理、非局域性、纠缠特性等等。光的量子特性的最早实验，催生了量子力学的建立和发展，量子力学的发展，又催生了激光器，激光器和激光技术的发展，深化了对量子特性的认识。

本节所介绍的20世纪初物理学这三个内容，是物理学发展的重大事件，对人类的生产和生活产生了深远影响。人类上个实际利用量子力学才是一个开始，预计本世纪将在量子通信、量子计算等方面取得突破性进展。

图1-8 康普顿散射中的动量守恒