因式分解(超全方法)

因式分解的常用方法

第一部分：方法介绍

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应

用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．

一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法.

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2

=(a+b)(a-b)；

(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2

；

(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2

)；

(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2

)． 下面再补充两个常用的公式：

(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2

；

(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2

-ab-bc-ca)；

例.已知a b

c ，，是ABC ?的三边，且222

a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ?的形状是（ ）

A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形

三、分组分解法.

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：bn bm an am +++

例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102

练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2

2、1+--y x xy

（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：ay ax y x ++-2

2

例4、分解因式：2

222c b ab a -+-

练习：分解因式3、y y x x 392

2

--- 4、yz z y x 22

2

2

---

综合练习：（1）3

2

2

3

y xy y x x --+ （2）b a ax bx bx ax -+-+-2

2

（3）1816962

22-+-++a a y xy x （4）a b b ab a 491262

2-++-

（5）922

34-+-a a a （6）y b x b y a x a 2

2

2

2

44+--

（7）2

2

2y yz xz xy x ++-- （8）12222

2++-+-ab b b a a

（9）)1)(1()2(+---m m y y （10）)2())((a b b c a c a -+-+ （

11

）

abc

b a

c c a b c b a 2)()()(222++++++（12）

abc c b a 3333-++

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——))(()(2

q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若2

23x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .

例5、分解因式：652

++x x

例6、分解因式：672+-x x

练习5、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542

-+x x

练习6、分解因式(1)22-+x x (2)1522

--y y (3)24102

--x x

（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2

条件：（1）21a a a = 1a 1c

（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2

=))((2211c x a c x a ++

例7、分解因式：101132

+-x x

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11

解：101132

+-x x =)53)(2(--x x

练习7、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732

+-x x

（3）317102

+-x x （4）101162

++-y y

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例8、分解因式：2

21288b ab a --

分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：2

21288b ab a --=)16(8)]16(8[2

b b a b b a -?+-++

=)16)(8(b a b a -+

练习8、分解因式(1)2

2

23y xy x +-(2)2286n mn m +-(3)2

26b ab a --

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、2

2

672y xy x +- 例10、232

2

+-xy y x 1 -2y 把xy 看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=)32)(2(y x y x -- 解：原式=)2)(1(--xy xy

练习9、分解因式：（1）2

2

4715y xy x -+ （2）8622+-ax x a

综合练习10、（1）1783

6--x x （2）2

2

151112y xy x --

（3）10)(3)(2-+-+y x y x （4）344)(2

+--+b a b a

（5）

2

22265x y x y x -- （6）2634422++-+-n m n mn m （7）342442

2

---++y x y xy x （8）2

2

2

2

)(10)(23)(5b a b a b a ---++

（9）10364422-++--y y x xy x （10）2

222)(2)(11)(12y x y x y x -+-++

思考：分解因式：abc x c b a abcx +++)(2

222

五、换元法。

例13、分解因式（1）2005)12005(20052

2---x x

（2）2

)6)(3)(2)(1(x x x x x +++++ 解：（1）设2005=a ，则原式=a x a ax ---)1(2

2 =))(1(a x ax -+

=)2005)(12005(-+x x

（2）型如e abcd +的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=2

22)65)(67(x x x x x +++++

设A x x =++652，则x A x x 2672

+=++

∴原式=2

)2(x A x A ++=222x Ax A ++

=2

)(x A +=2

2

)66(++x x

练习13、分解因式（1）)(4)(2

2222y x xy y xy x +-++

（2）90)384)(23(2

2

+++++x x x x （3）2

2

2

2

2

2

)3(4)5()1(+-+++a a a

例14、分解因式（1）262234+---x x x x

观察：此多项式的特点——是关于x 的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=)1162(222x x x x x +-

--=[]6)1

()1(2222-+-+x x x

x x 设t x x =+1，则21

222-=+t x x

∴原式=[

]6)2222

---t t x （

=()10222--t t x =()()2522+-t t x =??

? ??++??? ??-+215222x x x x x =??? ??++??? ??-+21··522·x x x x x x =()()122522

2+++-x x x x

=)2)(12()1(2

--+x x x

（2）144234+++-x x x x

解：原式=2

2

241(41)x x x x x -++

+=???

???+??? ??--??? ?

?+1141222x x x x x 设y x x =-1，则21

222+=+y x

x

∴原式=22

(43)x y y -+=2(1)(3)x y y --

=)31)(11(2----x x x x x =()()1312

2----x x x x

练习14、（1）6736762

34+--+x x x x

（2）)(2122

234x x x x x +++++

六、添项、拆项、配方法。

例15、分解因式（1）432

3

+-x x

解法1——拆项。 解法2——添项。

原式=33123+-+x x 原式=444323++--x x x x

=)1)(1(3)1)(1(2

-+-+-+x x x x x =)44()43(2

++--x x x x =)331)(1(2

+-+-+x x x x =)1(4)4)(1(++-+x x x x =)44)(1(2

+-+x x x =)44)(1(2

+-+x x x =2

)2)(1(-+x x =2

)2)(1(-+x x

（2）3369-++x x x

解：原式=)1()1()1(3

6

9

-+-+-x x x

=)1()1)(1()1)(1(3

3

3

3

6

3

-++-+++-x x x x x x =)111)(1(3

3

6

3

+++++-x x x x =)32)(1)(1(3

6

2

++++-x x x x x

练习15、分解因式

（1）893+-x x （2）4

2

2

4

)1()1()1(-+-++x x x （3）1724+-x x （4）22412a ax x x -+++

（5）4

4

4

)(y x y x +++ （6）444222222222c b a c b c a b a ---++

七、待定系数法。

例16、分解因式61362

2

-++-+y x y xy x

分析：原式的前3项2

26y xy x -+可以分为)2)(3(y x y x -+，则原多项式必定可分为)2)(3(n y x m y x +-++

解：设613622

-++-+y x y xy x =)2)(3(n y x m y x +-++

∵)2)(3(n y x m y x +-++=mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(62

2

∴

613622-++-+y x y xy x =mn y m n x n m y xy x --+++-+)23()(622

对比左右两边相同项的系数可得??

?

??-==-=+6

13231

mn m n n m ，解得???=-=32n m

∴原式=)32)(23(+--+y x y x

例17、（1）当m 为何值时，多项式652

2-++-y mx y x 能分解因式，并分

解此多项式。

（2）如果82

3+++bx ax x 有两个因式为1+x 和2+x ，求b a +的值。

（1）分析：前两项可以分解为))((y x y x -+，故此多项式分解的形式必

为))((b y x a y x +-++ 解：设652

2

-++-y mx y x =))((b y x a y x +-++

则652

2

-++-y mx y x =ab y a b x b a y x +-+++-)()(2

2

比较对应的系数可得：?????-==-=+65ab a b m b a ，解得：?????==-=132m b a 或??

?

??-=-==132m b a

∴当1±=m 时，原多项式可以分解；

当1=m 时，原式=)3)(2(+--+y x y x ； 当1-=m 时，原式=)3)(2(--++y x y x

（2）分析：823+++bx ax x 是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，

因此第三个因式必为形如c x +的一次二项式。

解：设823+++bx ax x =))(2)(1(c x x x +++

则823+++bx ax x =c x c x c x 2)32()3(2

3

+++++

∴?????=+=+=82323c c b c a 解得???

??===4147c b a ， ∴b a +=21

练习17、（1）分解因式291032

2-++--y x y xy x

（2）分解因式675232

2+++++y x y xy x

（3） 已知：p y x y xy x +-+--146322

2能分解成两个一次因式

之积，求常数p 并且分解因式。 （4） k 为何值时，25322

2+-++-y x ky xy x 能分解成两个一次

因式的乘积，并分解此多项式。

第二部分：习题大全 经典一： 一、填空题

1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。

2分解因式： m 3

-4m= .