高等数学(上册)教案15函数的极值与最值
第3章导数的应用
函数的极值与最值
【教学目的】：1?理解函数的极值的概念；
2.掌握求函数的极值的方法；
3.了解最大值和最小值的定义；
4.掌握求函数的最值的方法；
5.会求简单实际问题中的最值。
【教学重点】：
1.函数极值的第一充分条件，第二充分条件；
2.导数不存在情况下极值的判定；
3.函数最值的求解方法；
4.函数的最值的应用。
【教学难点】：
1.导数不器在情况下极值的判定；
2.区分函数的驻点、拐点、极值点以及最值点；
3.区分极值点与极值，最值点与最值；
4.函数的最值的应用。
【教学时数】：2学时
【教学过程】：
3. 3.1函数的极值
从图3-7可以看出，函数y =
/(x)在点勺、心处的函数值儿、儿
比它们近旁各点的函数值都大；
在点河、些、入处的函数值儿、
儿、儿比它们近旁各点的函数值
都小，因此，给出函数极值的如
下定义：
一般地，设函数y = /(x) 在旺
的某邻域内有定义，若对于?邻域内不同于厲的所有x，均有/(x) < /(“),则称/(儿)是函数y = f(x)的一个极大值，心称为极大值点；若对于耳邻域内不同于％的所有x,均
有f(x) > /(x0),则称/g)是函数y = /(x)的一个极小值，?称为极小值点.
函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点. 注意可导函数的极值点必是它的驻点，但反过来是不成立的，即可导函数的驻点不一定是它的极值点.
极值的第一充分矗件设函数y = /(x)在点心的邻域内可导且广凤)=0,则
(1)如果当x取兀左侧邻近的值时，广(心)>0；当x取心右侧邻近的值时, /V0）＜0，则;为函数y = /（x）的极大值点，/（%）为极大值；
（2）如果当x取心左侧邻近的值时，广（心）＜0；当x取心右侧邻近的值时, 厂（心）＞0,则心为函数/⑴的极小值点，/（兀）为极小值；
（3）如果当兀取％左右两侧侧邻近的值时，广（X。）不改变符号，则函数f （x）在丸处没有极值.
根据上述定理，求可导函数的极值点和极值的步骤如下：
（1）确定函数的定义域；
（2）求函数的导数广（力，并求出函数/（X）的全部驻点以及不可导点；
（3）列表考察每个驻点（及不可导点）左右邻近广W的符号情况以及不可导点的情况，根据定理2. 12判定极值点和极值.
3 -
例2求函数f（x） = x--x3的极值?
乙
解（1）函数的定义域为（-O0,+O0）；
（2）广（x） = l-丁了；
（3）令广（A-） = 0 ,得驻点x = l.当x = 0时，导数不存在;
（4）列表讨论如下：
由上表知，函数的极大值为/（0） = 0 ,极小值为/（l） = -i.
2
极值的笫二充分条件设函数y = /（x）在点耳的邻域内具有二阶导数且/V o） = o,厂（“）工0,则
（1）当厂（x0）＜0时，函数/（X）在儿处取得极大值；
（2）当厂（x0）＞0时，函数/（x）在心处取得极小值.
注意当厂（儿）=0,且/Tv） = 0时，则上述方法失效，此时仍用第一充分条件来判定.
3. 3.2函数的最大值与最小值
求函数/（X）在闭区间S，饲上的最值的步骤如下：
（1）求出函数/（x）的导数，并求出所有的驻点及不可导点；
（2）计算函数/（切在这些点和端点处的函数值；
（3）将这些值加以比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值.
注意
（1）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内只有一个极值点，那么在包含该极值点的此区间内，极大值就是最大值，极小值就是最小值.
（2）在求函数的最大值或最小值时，如果已知该函数在某个区间内完全单调，则两个端点即为最值点，两端点处的函数值较大的为最大值，较小的为最小值。
例6用一块边长为2牡也的正方形铁皮，在其四角各截去一块面积相等的小正方形，做成无盖的铁盒.问截去的小正方形边长为多少时，做出的铁盒容积最大？
解设截去的小正方形的边长为cm ,铁盒的容积为V C/H3.根据题意，得
V=x(24-2x)2(0 于是，问题归结为：求x为何值时，函数V在区间(0,12)内取得最大值. W = (24 - 2x)2 + v * 2(24 一2x)(—2) =(24 - 2x)(24 - 6%) = 12(12 -x)(4 一x), 令W = 0,解得山=12, x2 = 4. 因此，在区间(0,12)内函数只有一个驻点x = 4, 乂由问题的实际意义知，函数W 的最大值在(0, 12)内取得.所以，当人=4时，函数V取得最大值.即当所截去的正方形边长为牡加时，铁盒的容积为最大. 【教学小节】： 通过本节的学习，学会应用导数求解函数的极值与最值，并能够解决实际生活中遇到的简单最值问题。 【课后作业】： 无