离散数学答案第一章习题解答
第一章 命题逻辑
习题与解答
⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。 ⑴ 2x 3 = 0。 ⑵ 前进！
⑶ 如果8 + 7 > 20，则三角形有四条边。 ⑷ 请勿吸烟！
⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？
⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。 ⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。
解 ⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。 ⒉ 将下列命题符号化： ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。
⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。 ⑶ 他生于1963年或1964年。 ⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。 ⑸ 只要上街，我就去书店。
⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。 ⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。 ⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。 ⑼ 我进城的必要条件是我有时间。 ⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。
⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。 解 ⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。
“逻辑不是枯燥无味的”符号化为 p 。 ⑵ p ：我看见的是小张。q ：我看见的是老李。
“我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。
⑶ p ：他生于1963年。q ：他生于1964年。
“他生于1963年或1964年”符号化为p q 。 ⑷ p ：害怕困难。q ：战胜困难。
“只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为q p 。 ⑸ p ：我上街。q ：我去书店。
“只要上街，我就去书店”符号化为p q 。
⑹ p ：小杨晚上做完了作业。q ：小杨晚上没有其它事情。
r ：小杨晚上看电视。s ：小杨晚上听音乐。
“如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。
⑺ p ：林芳在家里。q ：林芳做作业。r ：林芳看电视。
“如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。 ⑻ p ：三角形三条边相等。q ：三角形三个角相等。
“三角形三条边相等是三个角相等的充分条件”符号化为q p →。 ⑼ p ：我进城。q ：我有时间。
“我进城的必要条件是我有时间”符号化为p q 。 ⑽ p ：他唱歌。q ：他心情愉快。
“他唱歌的充分必要条件是心情愉快” 符号化为q p ?。
⑾ p ：小王在图书馆看书。q ：小王病了。r ：图书馆开门。
“小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门”符号化为(q r ) p ，或者 (q r ) p 。也可符号化为 (q r ) p ，或者 (q r ) p 。
⒊ 列出除∧，∨，⊕，→，?之外的所有二元联结词的真值表。
解 共有16个二元联结词，记除∧，∨，⊕，→，?之外的二元联结词为1121,,,???K 。
p q q p 1? q p 2? q p 3? q p 4? q p 5? q p 6?
0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
1
0 0
1
1
p q q p 7?
q p 8?
q p 9?
q p 10?
q p 11?
0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1
1
0 1 0 0 1
⒋ 求下列公式在真值赋值( p 1 / 1, p 2 / 1, p 3 / 0, p 4 / 0)下的值： ⑴ )(321p p p ∧∨
⑵ ))()(()(4321321p p p p p p p ∨∧∨?∨∧∧ ⑶ )))((()(4321321p p p p p p p ?∧?∨∧?∨?∨∧? (4) (p 2
p 1) (p 3 p 4)
⑸ )()(4231p p p p →?∧?
⑹ 421321)(p p p p p p ?∨??∧→∨
(7) (p 1 p 3) (p 2 p 4)
解 记真值赋值( p 1 / 1, p 2 / 1, p 3 / 0, p 4 / 0)为v 。 ⑴ 1)01(1))((321=∧∨=∧∨p p p v 。
⑵ 1))00()11(()011()))()(()((4321321=∨∧∨?∨∧∧=∨∧∨?∨∧∧p p p p p p p v ⑶
1)0)0)11(((0)11(=?∧?∨∧?∨?∨∧?=。
(4) v ((p 2 p 1) ( p 3 p 4)) = (1 1) ( 0 0) = 0
1 = 1。
⑸ 0)01()01())()((4231=→?∧?=→?∧?p p p p v 。
⑹ 101)101(1))((421321=?∨??∧→∨=?∨??∧→∨p p p p p p v 。 (7) v ((p 1 p 3) (p 2 p 4)) = (1 0) ( 1 0) = 0 0 = 0。
5. 用真值表判断以下公式是不是永真式、永假式、可满足式。 (1) (p
r ) ((q r ) (p q r ))
(2) p p p ?→?→)( (3) (p
q ) ((p q ) p )
(4) ))()(())((r p q p r q p →→→→→→ (5) r r q r p q p →→∧→∧∧)()()( (6)
p (p q )
(7) ))(()(p q p q p ?→?→→→ 解 (1) 将 (p
r ) ((q r ) (p q
r )) 记为A 。
p q r p r q r p q p q r (q r ) (p q
r ) A
0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
(p
r )
((q
r )
(p
q
r )) 是永真式。
(3) 将 (p q ) ((p
q ) p ) 记为A 。
p q p q q p q (p q ) p A 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1
1 1 0 0
1
1
(p
q )
((p
q ) p ) 是非永真的可满足式。 (6)
p q p p q (p q ) p (p q )
0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1
1
1
是永假式。
解 (1), (2), (4), (5), (7)是永真式，(6)是永假式，(3)是非永真的可满足式。 6. 指出满足下列公式的所有真值赋值。 (1) )()(r p q p ∨?∨∧ (2) ))((q p r q p ∨∧?∧∨ (3) )()(r q r p r p ∨∧∨?→∨ (4) p
(q r )
解 (1) )0/,0/,0/(r q p ，)1/,0/,0/(r q p ，)0/,1/,0/(r q p ，)1/,1/,0/(r q p ，
)1/,0/,1/(r q p ，)0/,1/,1/(r q p ，)1/,1/,1/(r q p 。
(2) )0/,1/,0/(r q p ，)0/,0/,1/(r q p ，)1/,0/,1/(r q p ，)0/,1/,1/(r q p ，
)1/,1/,1/(r q p 。
(3) )0/,0/,0/(r q p ，)0/,1/,0/(r q p 。
(4) 任取满足p (q r ) 的真值赋值 v 。
若 v (p ) = 0，则v (q r ) = 1，v (q ) = v (r )。 若 v (p ) = 1，则v (q r ) = 0，v (q ) v (r )。 所以，满足p (q r ) 的真值赋值有以下四个：
( p / 0, q / 0, r / 0)，( p / 0, q / 1, r / 1)，( p / 1, q / 0, r / 1)，
( p / 0, q / 1, r / 0)。
7. 若公式A 既不是永真式，也不是永假式，则A 的每个替换实例一定既不是永真式，也不是永假式。对吗？
解 不对。若A 是非永真的可满足式，则它的替换实例中既有永真式，也有永假式，也有非永真的可满足式。
设A 中出现的命题变元是p 1,…, p n ，v 1和v 2分别是使得A 为真的真值赋值和使得A 为假的真值赋值。取公式B 1,…, B n , C 1,…, C n 如下：
??
?=?∧=?∨=0
)(1
)(11i i i p v p p p v p p B 若若 ???=?∧=?∨=0)(1)(22i i i p v p p p v p p C 若若 任取真值赋值v ，
1)())]((/,),(/[)(111,,,,11===A v A B v p B v p v A v n n p p B B n
n
ΛΛΛ， 0)())]((/,),(/[)(211,,,,11===A v A C v p C v p v A v n n p p C C n n
ΛΛΛ， 所以，A 的替换实例n n p p B B A ,,,,11ΛΛ是永真式，A 的替换实例n n p
p C C A ,,,,11ΛΛ是永假式。
A 本身也是A 的替换实例，它是非永真的可满足式。
8. 用真值表证明以下等值式。 (1) p
(q r ) (p q ) ( p r )
p q r q r p (q r ) p q p r (p q ) ( p r ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1
1
1
1
1
(2) (3) (4)
9.用等值演算证明以下等值式。 (1) )()(r p q r q p →→?→→
(2) r q p r p q p ∧→?→∧→)()( (3) (p
q ) (r q ) p r q
(4) )()(q p p p q p →→??→→ (5) q r p q r q p →∨?→∧→)()( (6)
(p q ) p q
解 (1) )()()()(r p q r p q r q p r q p →→?∨?∨??∨?∨??→→ (2) r q p r q p r p q p r p q p ∧→?∧∨??∨?∧∨??→∧→)()()()()( (3) (p
q ) (r q ) ( p q ) ( r q )
( p
r ) (q q )
( p r ) q ( p r ) q p r
q
(4) )(1)(q p p q p p p q p p q p →→??∨?∨????∨?∨??→→ (5) q r p q r q p q r q p ∨?∧??∨?∧∨??→∧→)()()()()(
q r p q r p →∨?∨∨??)(
(6)
(p q ) p q
p q (p q ) (p (q 1)) 1
(p q ) (1 1) (p q ) 0 p q
10.用等值演算证明以下公式是永真式。 (1) p q p p q ?→?∧→)()( (2) (p
q ) (r s ) (p r q s )
(3) )()()()(s r q p s p r p q p ∨∨→→→∨→∨→ (4) )()()(r q r p r q p →∨→→→∨
解 (1) p q p p q ?→?∧→)()(1)()(?????∨∧∨??p p p q p p q (2) )()()(s q r p s r q p ∧→∧→→∧→ s q r p s r q p ∧→∧∧∨?∧∨??)()( s q r s r p q p ∧→∧∨?∧∧∨??)()(
1?∧→∧∧∧?s q r s p q
(3) )()()()(s r q p s p r p q p ∨∨→→→∨→∨→
)(s r q p s p r p q p ∨∨→→∨?∨∨?∨∨??
1?∨∨∨?→∨∨∨??s r q p s r q p
(4) )()()(r q r p r q p →∨→→→∨ r q r p r q p ∨?∨∨?∨∨∨???))(( r q p r q p ∨?∨?∨?∧∨?))((
111)()(?∧?∨?∨?∨?∧∨?∨?∨∨?r q p r r q p q p
11.用等值演算证明以下公式是永假式。 (1) p q p p q ??→?∧→)()( (2) )()()(r p r q q p →?∧→∧→
解 (1) p q p p q ??→?∧→)()(0)()(???????∨∧∨??p p p q p p q (2) )()()(r p r q q p →?∧→∧→)()()(r p r q q p ∨??∧∨?∧∨?? r p r q q p ?∧∧∨?∧∨??)()())(())((r r q p q p ?∧∨?∧∧∨??
0??∧?∧∧?r q q p
12.找出与下列公式等值的尽可能简单的由},{∧?生成的公式。 13.找出与下列公式等值的尽可能简单的由},{∨?生成的公式。
(1) )(p r q p →?∧?∧?
(2) q p r q p ∧?∧?∨→)( (3) p q p ?∧∧
解 (1) )(p r q p →?∧?∧?)(p r q p ∨??∧?∧?? )()(p q p r q p ∧?∧?∨??∧?∧??
r q p ??∧?∧??)(r q p ?∨∨??
(2) ))(()()(q p r q p q p r q p q p r q p ?∨∨?∨∨????∧?∧?∨∨??∧?∧?∨→ (3) )(p q p p q p ∨?∨????∧∧
14.设A 是由}{?生成的公式。证明：A 是永真式当且仅当每个命题变元在A 中出现偶数次。 证明 首先证明：若A 是由}{?生成的仅出现一个命题变元p 的公式，则
??
??中出现奇数次
在若中出现偶数次
在若A p p
A p A 1
对p 在A 中的出现次数进行归纳。
① 若p 在A 中出现1次，即A 为p ，显然p A ?。 ② 若p 在A 中出现2次，即A 为p p ?，显然1?A 。
③ 设p 在A 中的出现n 次，A 为C B ?，p 在B ，C 中的出现次数分别为k 和l ，则l k n +=，n k <且n l <。若n 为偶数,则k 和l 的奇偶性相同，B 和C 等值于同一公式，1?A 。若n 为奇数,则k 和l 的奇偶性不同，B 和C 中一个等值于p ，另一个是永真式，因此
p p A ???1。
设在A 中的出现的所有命题变元为n p p ,,1Λ，它们的出现次数分别为n k k ,,1Λ。因为
A B A B B A B A ??⊕??⊕???)()(，并且
11))(()(⊕⊕⊕⊕?⊕⊕?????C B A C B A C B A )())((11C B A C B A C B A ???⊕?⊕??⊕⊕⊕⊕?
所以?满足交换律和结合律，存在由}{?生成的公式n B B ,,1Λ，使得
n B B A ???Λ1，并且i B 仅出现命题变元i p ，出现次数为i k ，n i ,,1Λ=。若n k k ,,1Λ全为偶数，则1111?⊕⊕????ΛΛn B B A 。若n k k ,,1Λ中有
m l l k k ,,1Λ是奇数，则m l l n p p B B A ??????ΛΛ11，显然A 不是永真式。 15.设A 是由{}生成的公式。证明：A 是永假式当且仅当每个命题变元在A 中出现偶数次。
证明 首先证明：若A 是由{}生成的仅出现一个命题变元p 的公式，则
??
??中出现奇数次
在若中出现偶数次在若A p p
A p A 0
对p 在A 中的出现次数进行归纳。
① 若p 在A 中出现1次，即A 为p ，显然A p 。
② 若p 在A 中出现2次，即A 为p p ，显然A 0。
③ 设p 在A 中出现n 次，A 为B C ，p 在B ，C 中的出现次数分别为k 和l ，则 n = k + l ，k < n 且l < n 。若n 为偶数,则k 和l 的奇偶性相同，B 和C 等值于同一公式，A 0。若n 为奇数,则k 和l 的奇偶性不同，B 和C 中一个等值于p ，另一个是永
假式，因此A p 0 p 。
设在A 中的出现的所有命题变元为p 1,…, p n ，它们的出现次数分别为k 1,…, k n 。因为满足交换律和结合律，所以存在由{}生成的公式B 1,…, B n ，使得A B 1 … B n ，B i 中仅出现命题变元p i ，并且出现次数为k i ，i = 1,…, n 。若k 1,…, k n 全为偶数，则
A B 1 … B n 0 … 0 0。若 k 1,…, k n 中有m l l k k ,,1Λ是奇数，
则m
l l n p p B B A ⊕⊕?⊕⊕?ΛΛ11，显然A 不是永假式。
16.北京、上海、天津、广州四市乒乓球队比赛，三个观众猜测比赛结果。
甲说：“天津第一，上海第二。” 乙说：“天津第二，广州第三。” 丙说：“北京第二，广州第四。”
比赛结果显示，每人猜对了一半，并且没有并列名次。 问：实际名次怎样排列？
解 用字母表示命题如下：
p 2：北京第二，q 2：上海第二，r 1：天津第一，
r 2：天津第二，s 3：广州第三，s 4：广州第四。
由已知条件列出以下方程：
甲猜对了一半：r 1 q 2 = 1，乙猜对了一半：r 2 s 3 = 1， 丙猜对了一半：p 2 s 4 =
1；
每个城市只能得一个名次：r 1 r 2 = 0，s 3 s 4 = 0； 没有并列名次：p 2 q 2 = 0，p 2 r 2 = 0，r 2 q 2 = 0。 解以上8个方程组成的方程组。
r 2 = r 2 1 = r 2 (r 1 q 2) = (r 2 r 1 ) ( r 2 q 2) = 0 0 = 0， 将r 2 = 0代入r 2 s 3 = 1得s 3 = 1，将s 3 = 1代入s 3 s 4 = 0得s 4 = 0，将s 4 = 0代入p 2 s 4 = 1得p 2 = 1，将p 2 = 1代入p 2 q 2 = 0得q 2 = 0，将q 2 = 0代入r 1 q 2 = 1得r 1 = 1。
将p 2 = r 1 = s 3 = 1，q 2 = r 2 = s 4 = 0代入8个方程验证它们满足方程组。
因此，天津第一，北京第二，广州第三，上海第四。 17.某勘探队取回一块矿样，三人判断如下。 甲说：“矿样不含铁，也不含铜。” 乙说：“矿样不含铁，含锡。” 丙说：“矿样不含锡，含铁。”
已经知道，这三人中有一个是专家，一个是老队员，一个是实习队员。化验结果表明：这块矿样只含一种金属，专家的两个判断皆对，老队员的判断一对一错，实习队员的两个判断皆错。问：这三人的身分各是什么？
解 p :矿样含铁， q :矿样含铜，
r :矿样含锡。 甲说的两句话为：p ?，q ? 乙说的两句话为：p ?，r
丙说的两句话为：r ?，p
如果用一个公式表达出这三人中有一个是专家，一个是老队员，一个是实习队员，公式会非常
复杂。其实我们不必完全写出这样的公式。因为矿样只含一种金属，所以
0=∧q p ，0=∧r q ，
0=∧p r 。甲是实习队员，即甲说的两句话都是错的，可表示为：q p ∧。乙是实习队员，即
乙说的两句话都是错的，可表示为：r p ?∧。丙是实习队员，即丙说的两句话都是错的，可表示为：p r ?∧。甲、乙、丙三人中至少有一个是实习队员，可表示为：
1)()()(=?∧∨?∧∨∧p r r p q p
因为0=∧q p ，所以1)()(=?∧∨?∧p r r p ，即1=⊕r p ，p 和r 中恰好有一个为1，因此0=q 。甲是老队员，即甲说的话一半对一半错，可表示为：q p ?⊕?。乙是老队员，即乙说的话一半对一半错，可表示为：r p ⊕?。丙是老队员，即丙说的话一半对一半错，可表示为：p r ⊕?。甲、乙、丙三人中有奇数个老队员，可表示为：
1)()()(=⊕?⊕⊕?⊕?⊕?p r r p q p
由教材上的等值式可得到
)()()(p r r p q p ⊕?⊕⊕?⊕?⊕?
)()()(p q r r p p ⊕?⊕⊕?⊕?⊕??
)1(10p q ⊕⊕⊕⊕?p q ⊕?
又知道0=q ，所以1=p 。因为0=∧p r ，所以0=r 。因此，甲说的话一半对一半错，甲是老队员。乙说的话全错，乙是实习队员。丙说的话全对，丙是专家。 18. 先用等值演算证明下列等值式，再用对偶定理得出新等值式。 (1) p q p q p ?∨??∨?∨??)()(
(2) )()()()(q p q p q p q p ∨????∨?∧∨∧?∨ (3)
解 (1) p q q p q p q p q p q p ??∨∧??∧∨∧?∨??∨?∨??)()()()()(
由对偶定理得p q p q p ?∧??∨?∧??)()(。 (2) )())(()()()(q p q q p q p q p q p ?∨?∧∧?∨??∨?∧∨∧?∨
)()()(q p p p q p p ?∧∨?∧??∨?∧?)(q p q p ∨????∧?
由对偶定理得)()()()(q p q p q p q p ∧????∧?∨∧∨?∧。 (3)
19. 设A 是由{0, 1,
, , }生成的公式，A *与A 互为对偶式。
(1) 若A 是永真式，则A *
是永假式。
(2) 若A 是永假式，则A *
是永真式。
证明 (1) 设A 是永真式，则A 1，由对偶定理得A *
0，因此A *是永假式。
(2) 设A 是永假式，则A 0，由对偶定理得A *
1，因此A *是永真式。 20. 证明以下联结词集合是极小完全集。
(1) {0, } (2) {, } (3) {, , } (4) {, , }
证明 (1) p p 0 p 0，因为{, }是完全集，所以{0, }是完全集。任取由{0}生成的不出现除命题变元p 之外的命题变元的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而v (p ) = 1，因此{0}不能定义。所以{0}不是完全集。任取由{}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /1)，则v (A ) = 1，而v (p ) = 0，因此{}不能定义。所以{}不是完全集。所以{0, }是极小完全集。 (2) p p 1 p (p p )，因为{, }是完全集，所以{, }是完全集。任取由{}生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而
v (p ) = 1，因此{}不能定义。所以{}不是完全集。{}不是完全集。所以{, }是极小完全集。
(3) p p 1 p (p p )，因为{, }是完全集，所以{, , }是完全集。任取由{, }生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而
v (p ) = 1，因此{, }不能定义。所以{, }不是完全集。任取由{, }生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /1)，则v (A ) = 1，而v (p ) = 0，因此{, }不能定义。所以{, }不是完全集。{, }不是完全集。所以{, , }是极小完全集。
(4) p p 1 p (p p )，因为{, }是完全集，所以{, , }是完全集。任取由{, }生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /0)，则v (A ) = 0，而
v (p ) = 1，因此{, }不能定义。所以{, }不是完全集。任取由{, }生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值v = (p /1)，则v (A ) = 1，而v (p ) = 0，因此{, }不能定义。所以{, }不是完全集。{, }不是完全集。所以{, , }是极小完全集。
21.证明以下联结词集合不是完全集。 (1) },,,{?→∨∧ (2) },,{∨∧⊕
证明 (1) 任取由},,,{?→∨∧生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值)1/(p v =，则1)(=A v ，而0)(=?p v ，因此},,,{?→∨∧不能定义?。所以},,,{?→∨∧不是完全集。
(2) 任取由},,{∨∧⊕生成的仅出现命题变元p 的公式A ，令真值赋值)0/(p v =，则
0)(=A v ，而1)(=?p v ，因此},,{∨∧⊕不能定义?。所以},,{∨∧⊕不是完全集。
22. 二元联结词 （称为“与非”）和 （称为“或非”）的真值表如下。
p q p q p q 0
0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1
1
证明：
(1) {}是完全集。 (2) {}是完全集。 (3) 若
是二元联结词且{
}是完全集，则 是 或 。
证明 (1)
p p p ,
p q
(p
q ) (p q ) (p q ) (p q )，
因为{, }是完全集，所以{}是完全集。
(2)
p p p , p q
(p q ) (p q ) (p q )
(p q ) ，
因为{
, }是完全集，所以{}是完全集。
(3) 若0 0 = 0或1 1 = 1，则 不能由{}定义。因此，0 0 = 1且1 1 = 0。
若0 1 1 0，则 的真值表的最后一列有偶数个1，真值表最后一列有奇数个1的 不能由{}定义。所以，0 1 = 1 0。若0 1 = 1 0 = 1，则
是
。若
0 1 = 1 0 = 0，则
是 。
23.三元联结词?p
q
r
),,(r q p ?
0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1
1
1
证明}{?是极小完全集。
证明 pqq q p ??↓，因为}{↓是完全集，所以}{?是极小完全集。 24.在下列公式中，哪些是析取范式，哪些是合取范式?
p ，p q ，(p q ) r ，p r ，p p ，((p q ) q ) r 解 p ，p q ，p r ，p p 是析取范式，
p ，p q ，p r ，(p q ) r ，p p 是合取范式。
25. 在下列公式中，哪些是关于p , q , r 的主析取范式，哪些是关于p , q , r 的主合取范
式？
p q r , p q r , (p q r ) ( p q r ),
p ( q r ), (p p q ) ( p q r )
解 p q r 是关于p , q , r 的主析取范式，p q r 是关于p , q , r 的
主合取范式。
26.是否有这样的公式，它既是主合取范式，又是主析取范式？如果有，举出一例。 解 有。p 既是关于p 的主析取范式，又是关于p 的主合取范式。
27.求下列公式的主范式，进而判断其是否永真式、永假式、可满足式。 (1) r q p →∧? (2) r q p →→)(
(3) )(q p q p ??→?∨? (4) ))((r q q p p →?∨→∨ (5) )()(r q p r q p ?∧?→?∧∧→ (6) )(q p q p ?∨?∧∧ 解 (1) r q p →∧?r q p ∨∧???)(r q p ∨?∨?
r q p →∧?的主合取范式是r q p ∨?∨，包含一个极大项，因此它是非永真的可满
足式。
(2) r q p →→)(r q p ∨∨???)( r q p ∨?∧???)()()(r q r p ∨?∧∨? ))(())((r q p p r q q p ∨?∨?∧∧∨?∧∨? )()()(r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨?∨∧∨∨?
r q p →→)(的主合取范式是)()()(r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨?∨∧∨∨，包含了
三个极大项，因此它是非永真的可满足式。
(3) )(q p q p ??→?∨?))()(()(q p q p q p ∨∧?∨?∨?∨???
)()(q p q p ∨∨?∨???q p q p ∨∧∧?)(q p ∨?
)(q p q p ??→?∨?的主合取范式为q p ∨，包含了一个极大项，因此它是非永真
的可满足式。
(4) ))((r q q p p →?∨→∨))((r q q p p ∨??∨∨?∨?1?
))((r q q p p →?∨→∨的主合取范式为1，不包含任何极大项，因此它是永真式。
(5) )()(r q p r q p ?∧?→?∧∧→ ))(())((r q p r q p ?∧?∨??∧∧∨??
)()()()(r q r q p r q r q p p p ?∧?∧∧∨∧∧∨?∧?∧?∨∧?? )()(r q p r q p ∧∧∨?∧?∧??
)()(r q p r q p ?∧?→?∧∧→的主析取范式为)()(r q p r q p ∧∧∨?∧?∧?，
包含了两个极小项，因此它是非永真的可满足式。 (6) )(q p q p ?∨?∧∧ )())(())((q p q p p q q p ?∨?∧∨?∧∧?∧∨? )()()()(q p q p q p q p ?∨?∧∨?∧?∨∧∨?
)(q p q p ?∨?∧∧的主合取范式为)()()()(q p q p q p q p ?∨?∧∨?∧?∨∧∨，
包含了所有的四个极大项，因此它是永假式。 28.用主范式证明下列等值式。
(1) q p q p ∧→→)()()(p r p p →∧→?? (2) )()(r p q p →∧→r q p ∧→? 解 (1) q p q p ∧→→)()()(q p q p ∧∨∨???
)()(q p q p ∧∨?∧?))(())((r r q p r r q p ∨?∧∧∨∨?∧?∧?
)()())()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧?
)()(p r p p →∧→?)()(p r p p ∨?∧∨???
)(r p p ?∨∧?p ?)()(r r q q p ∨?∧∨?∧?
)()())()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧?
q p q p ∧→→)(和)()(p r p p →∧→?等值于同一个关于p ,q ,r 的主析取范
式 )()())()(r q p r q p r q p r q p ∧∧∨?∧∧∨∧?∧∨?∧?∧，因此，
q p q p ∧→→)()()(p r p p →∧→??。
(2) )()(r p q p →∧→)()(r p q p ∨?∧∨?? ))(())((r q q p r r q p ∨?∧∨?∧?∧∨∨??
)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨∨?∧?∨∨?∧∨∨??
)()()(r q p r q p r q p ?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨??
r q p ∧→)(r q p ∧∨??)()(r p q p ∨?∧∨??
))(())((r q q p r r q p ∨?∧∨?∧?∧∨∨??
)()()()(r q p r q p r q p r q p ∨?∨?∧∨∨?∧?∨∨?∧∨∨?? )()()(r q p r q p r q p ?∨∨?∧∨∨?∧∨?∨??
)()(r p q p →∧→和r q p ∧→的主合取范式相同，所以，
)()(r p q p →∧→r q p ∧→?。
29.判断以下关系是否成立，并说明理由。 (1) q p ∨,q p =?| (2) q p ∨, ,p q =|
(3) 11q p →,22q p →,2121|q q p p ∧=∧ (4) q p →,q p p q ∨=→|
(5) r q p →∧,r q p r q p ∧∧=?→∨|
解 (1) 若真值赋值v 使得1)()(=?=∨p v q p v ，则1)(=q v 。所以q p ∨,q p =?|。 (2) 真值赋值)1/,0/(q p v =使得1)()()(==→=∨q v q p v q p v ，但0)(=p v ，所以
q p ∨,q p →,p q /|=。
(3) 若真值赋值v 使得1)()()(212211=∧=→=→p p v q p v q p v ，则1)()(21==p v p v ，因而1)()(21==q v q v ，1)(21=∧q q v 。所以11q p →,22q p →,2121|q q p p ∧=∧。 (4) 真值赋值)0/,0/(q p v =使得1)()(=→=→p q v q p v ，但0)(=∨q p v 。所以
q p →,q p p q ∨=→/|。
(5) 真值赋值)0/,1/,0/(r q p v =使得1)()(=?→∨=→∧r q p v r q p v ，但
0)(=∧∧r q p v 。所以r q p →∧,r q p r q p ∧∧=?→∨/|。
30.判断以下公式组成的集合是否可满足，并说明理由。 (1) )()(r s q p ?∧∨∨，)(r s ?∧?
(2) 1p ，21p p ∨?，321p p p ∨?∨?,…，11+∨?∨∨?n n p p p Λ,… (3) q p ∨，q p ?∨?，q p →
解 (1) 可满足。真值赋值)0/,1/,0/,1/(s r q p 满足它。
(2) 可满足。若真值赋值v 使得Λ,2,1,1)(==i p v i ，则v 满足它。 (3) 可满足。真值赋值)1/,0/(q p 满足它。
31.设A ,B ,C 是任意公式。C B A =∨|当且仅当C A =|且C B =|。
证明1 （?）设C B A =∨|。任取满足A 的真值赋值v ，则1)(=∨B A v ，因为C B A =∨|，所以1)(=C v 。这表明C A =|。任取满足B 的真值赋值v ，则1)(=∨B A v ，因为C B A =∨|，所以1)(=C v 。这表明C B =|。
（?）设C A =|且C B =|。任取满足B A ∨的真值赋值v ，则1)(=A v 或1)(=B v 。 ① 若1)(=A v ，因为C A =|，所以1)(=C v 。 ② 若1)(=B v ，因为C B =|，所以1)(=C v 。
因此，C B A =∨|。
证明2 C B A C B A C B A ∨?∧??∨∨??→∨)()( )()()()(C B C A C B C A →∧→?∨?∧∨??
C B A =∨|
当且仅当C B A →∨是永真式
当且仅当)()(C B C A →∧→是永真式 当且仅当C A →和C B →都是永真式
当且仅当C A =|且C B =|
32.设1Γ和2Γ是公式集合，B 是公式，B =Γ|2，对于2Γ中每个公式A ，A =Γ|1。证明：
B =Γ|1。
证明 任取满足1Γ的真值赋值v 。对于2Γ中每个公式A ，因为A =Γ|1，所以1)(=A v 。这表明v 满足2Γ。又因为B =Γ|2，所以1)(=B v 。因此，B =Γ|1。 33.公式集合Γ不可满足当且仅当0|=Γ。
证明 （?）设0/|=Γ，则存在真值赋值v 满足Γ且0)0(=v ，因此Γ可满足。 （?）设0|=Γ。若Γ可满足，有真值赋值v 满足Γ，由0|=Γ得出1)0(=v ，这是不可能的。因此，Γ不可满足。
34.设n 是正整数，}1|)({},,,{111n j i q q p p q p q p j i n n n ≤<≤∧??∨∨→→=ΓΛΛ。证明：)()(|11n n p q p q →∧∧→=ΓΛ。
证明 设真值赋值v 满足Γ，则1)(1=∨∨n p p v Λ，存在n i ≤使1)(=i p v 。因为
1)(=→i i q p v ，所以1)(=i q v 。若i j <≤1，因为1))((=∧?i j q q v ，因此0)(=j q v 。
若
n j i ≤<，因为1))((=∧?j i q q v ，因此0)(=j q v 。所以
1))()((11=→∧∧→n n p q p q v Λ。
离散数学作业答案
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
离散数学第1章习题答案
#include
N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。
离散数学题库及答案
数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
(完整版)离散数学作业答案一
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、 数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型(除单项选择题外) 安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1 .命题公式P (Q P)的真值是T或1 ______ . 2?设P:他生病了，Q:他出差了. R:我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P V Q)-R 3. ____________________________________________________________ 含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P Q的主析取范式是__________________ _(P Q R) (P Q R)_ 4. 设P(x): x是人，Q(x): x去上课，则命题“有人去上课.” 可符号化为— x(P(x) Q(x))_ 5. 设个体域D = {a, b},那么谓词公式xA(x) yB(y)消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b))_ 6 .设个体域D = {1,2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(x)A(x)的真值为F 或0 ________________ . 7.谓词命题公式(x)((A(x) B(x)) C(y))中的自由变元为 ________ . 8 .谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x，y))中的约束变元为x _______ . 三、公式翻译题 1 .请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
离散数学(屈婉玲版)第一章部分习题分解
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑 §2.2 主要解题方法 2.2.1 证明命题公式恒真或恒假 主要有如下方法： 方法一.真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每
一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。 真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。 例2.2.1 说明G= (P∧Q→R)∧(P→Q)→(P→R)是恒真、恒假还是可满足。 解：该公式的真值表如下： 表2.2.1 由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故
G恒真。 方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。 例2.2.2 说明G= ((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)是恒真、恒假还是可满足。 解：由(P→R) ∨? R=?P∨ R∨? R=1，以及 ? (Q→P) ∧ P= ?（?Q∨ P）∧ P = Q∧? P∧ P=0 知，((P→R) ∨? R)→ (? (Q→P) ∧ P)=0，故G恒假。 方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。 方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学第一章部分课后习题参考答案
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p)
慕课 离散数学 电子科技大学 课后习题十 答案
作业参考答案——10-特殊图 1.(a)(c)(d)是欧拉图，(a)(b)(c)(d)(e)可以一笔画，(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)是 哈密顿图。 2.根据给定条件建立一个无向图G=
数至少为2，而V2中的每个结点度数至多为2，从而它满足t条件t=1，因此存在从V1到V2的匹配，故可分配。 5.此平面图具有五个面，如下图所示。 a b c d e f g r1r2 r3 r4 r5 ?r1，边界为abca，D(r1)=3; ?r2，边界为acga，D(r2)=3; ?r3，边界为cegc，D(r3)=3; ?r4，边界为cdec，D(r4)=3; ?r5，边界为abcdefega，D(r5)=8;无限面 6.设该连通简单平面图的面数为r，由欧拉公式可得，6?12+r=2，所以 r=8，其8个面分别设为r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8。因是简单图，故每个面至少由3条边围成。只要有一个面是由多于3条边所围成的，那就有所有面的次数之和 8∑ i=1 D(r i)>3×8=24。但是，已知所有面的次数之和等于边数的两倍，即2×12=24。因此每个面只能由3条边围成。 2
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
华东师范大学离散数学章炯民课后习题第1章答案
P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。
(1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。
离散数学试题及答案(1)
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学作业答案
第一章 1.假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 2.试求： (1)P(φ) (2)P(P(φ)) (3)P(P(P(φ))) 3.在1~200的正整数中，能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有多少个？ 能被5整除的有40个， 能被15整除的有13个， ∴能被3或5整除，但不能被15整除的正整数共有 66-13+40-13=80个。 第三章 1.下列语句是命题吗？ (1)2是正数吗？ (2)x2+x+1=0。 (3)我要上学。 (4)明年2月1日下雨。 (5)如果股票涨了，那么我就赚钱。 2.请用自然语言表达命题(p?→r)∨(q?→r)，其中p、q、r为如下命题： p：你得流感了 q：你错过了最后的考试
3.通过真值表求p→(p∧(q→p))的主析取范式和主合取范式。 4.给出p→(q→s),q,p∨?r?r→s的形式证明。 第四章 1.将?x(C(x)∨?y(C(y)∧F(x,y)))翻译成汉语，其中C(x)表示x有电脑，F(x,y) 表示x和y是同 班同学，个体域是学校全体学生的集合。 解： 学校的全体学生要么自己有电脑，要么其同班同学有电脑。 2.构造?x(P(x)∨Q(x)),?x(Q(x)→?R(x)),?xR(x)??xP(x)的形式证明。 解： ①?xR(x) 前提引入 ②R(e) ①US规则 ③?x(Q(x)→?R(x)) 前提引入 ④Q(e) →?R(e) ③US规则 ⑤?Q (e) ②④析取三段论 ⑥?x(P(x)∨Q(x)) 前提引入 ⑦P(e) ∨Q(e) ⑥US规则 ⑧P(e) ⑤⑦析取三段论 ⑨?x (P(x)) ⑧EG规则 第五章
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P