数值分析中的误差.
第9章 数值分析中的误差
练习9.1 (B) 1.B 2. A 3.量纲 4. 半个 5.D 6. 3位 7.C 8. B 9. ≤ 10. 0.5mm 练习9.2(B) 1. )()(21x x εε+ )()(21x x εε+
2. )()(1221x x x x εε+,
2
2
1221)
()(x x x x x εε-
3. 舍入误差不增加
4. )()(x e x f '
5. 使用数值稳定的算法；防止两个相近数相减；简化计算步骤，减少运算次数；避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；防止大数“吃掉”小数 习题9 1. 0.00005 0.017% 四位有效数字 0.005 0.017％ 四位有效数字 0.0005 0.0017％ 五位有效数字 0.5 0.0017% 五位有效数字 0.00005×105 0.017% 四位有效数字 2. 5.5(Ω) 0.2375(Ω) 4.32% 3. (1) B (2)A (3)A
4.
)()()(2121+=±x x x x εεε )()()(22
12
121121±±±=±x x x x x x x x x x r r r εεε
)()()(122121+≈x x x x x x εεε )()()(1221+≈x x x x r r r εεε
2
2122121
+=x x x x x x x )()()(
εεε )()()(212
1+=x x x x r r r εεε 5. 0.005
6. 0.00333…
7. 取四位. 利用定理2.
第10章 线性方程组的数值解法
练习10.1
(A)
1. (2,1,-1)T ,
2. (1,2,3)T ,
3. (1,-1,2)T
, 4. T
)3678.0,05113.0,4900.0(--≈*X
(B)
1. C
2. 系数矩阵的各阶主子式均不为0.
3. B
4. 矩阵A 是严格对角占优矩阵
5. 见教材第10章公式(1.6)
6. 见教材第10章公式(1.8) 练习10.2 (A)
1.(1,2,-1,3)T
,
2. ??
??
?
?????--=????
?
?????-=200140111112010001U L
3. Y =(14,-10,-72)T
,X =(1,2,3)T
. 4. Y =(2.4493,11.247,85.254)T
,X =(1,0,23)T
.
5. X =(5,4,3,2)T .
6. X =(2,2,1)T
.
7. Y =(3,0.5,-1)T ,X =(2,1,-1)T
. (B)
1. 初等矩阵 上(下)
2.单位下三角形 上三角形
3. A *
4.D
5. 三对角线矩阵
6. ???
???
?????????
?????=100
010000010
00010000132n
l l l
L ，?????????
?
??????????=--n n n u r u u r u r u 0
000000000000011
32211
U 7.C 8. 对称正定矩阵
练习10.3 (A)
1. T T )1,2,3(,)9998813.0,999838.1,0003
2.3()
10(==*X X
2. 精确解(1,2,3)
雅可比迭代法：X (9)=(0.9998, 1.9998, 2.9998)
T
高斯??赛德尔迭代法：X (5)=(0.9997, 1.9999, 2.9999)T
3. 精确解(-3,3,1) (B)
1.X =B 0X +f X (k +1)=B 0X (k )
+f k =0,1,2,… 2.≠0 3.B 4.B D 5.A 6.D 习题10
1. 顺序消去法X ＝(1.000015,1.00001,1.000006,0.9999858)
T
列主元消去法X ＝(1.000000,1.00000,1.00000,1,0000000)T
2. X ＝(1.9272,-0.69841,0.90038)T
3. Y ＝(3.77,-3.06,
4. 66,4.22)T
X ＝(-0.329,0.322,2.37,1.04)T
4. ??
??
?
?????=113012001L ??????????-=700720412U
5.???
?
???
?
??????????--=1379101610151
6101310001
0L ??????
????????????741910
0109-10370031323100-26=011U Y ＝(6,－3,23/5,-191/74)T X ＝(1,－1,1,－1)T
6. Y ＝(5，0，3)T X ＝(2，2，1)T
7.略 8. 雅可比迭代法T )9999990.2,0000040.1,9999950.1,9999941.0()
24(--=X
高斯－赛德尔迭代法T )9999990.2,0000040.1,9999970.1,9999966.0()
14(--=X
9. 雅可比迭代法收敛，高斯－赛德尔迭代法发散. 10.略 11.∣a ∣>2
第11章 函数插值与最小二乘拟合
练习11.1
(A)
1. 6671≈35
=33331≈34=22+31=
111.)(.)()()(P P x x P 2. 6671=2≈27+-61=22
2.)()()(P x x x P
3. P 2(x)=2
3
2371x x -+ 4. 4.7943(0.6－x)+5.6464(x －0.5) sin0.57891≈0.54667
5. 1+2x
(B)
1. 节点; 插值多项式; 被插值函数
2. C.
3. B
4.
)
)(()
)(())(())(())(())((120210210120201021------------x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 5. B
练习11.2 (A)
1. f(x 0,x 1)=-5, f(x 1,x 2)=-1,f(x 2,x 3)=9;
f(x 0,x 1,x 2)=2,f(x 1,x 2,x 3)=5,f(x 0,x 1,x 2,x 3)=1
2. f(x)=x 3+x 2
+x+1 3. 39.0625(用牛顿插值多项式，))(()()(6-5-+5-11+25=3x x x x P )
4. ?y 0=0.02119,?y 1=0.02020,?y 2=0.01931,?y 3=0.01848,?y 4=0.01773,
?2y 0=-0.00099,?2y 1=-0.00089,?2y 2=-0.00083,?2
y 3=-0.00075,
?3y 0=0.00010,?3y 1=0.00006,?3y 2=0.00008, ?4y 0=-0.00004,?4
y 1=0.00002,
?5
y 0=0.00006 5. N 4(x)=(x 3
-4x 2
+3)-)4)(3)(2)(1(24
7
----x x x x (B)
1.
),()()(344
343--x x f x x x f x f 2. B 3.A 4.D
5.
)
)(())(())((12022
2101120100--+
--+--x x x x y x x x x y x x x x y 6. C 练习11.3 (A)
1. 2.666 67 2. 略
3. ??
???3≤≤239+52-666723+333332≤≤166673-12+33338-21≤≤0+66672+66671-=232
323x x x x x x x x x x x x x S ......)(
4.??
???5≤≤433-6525+6255+37504≤≤27+254-8751+250-2≤≤11-751+3750+1250-232
323x x x x x x x x x x x x .........
(B)
1.C
2.见教材第11章公式(
3.1) 3.A
4. S(x)在[a,b]上具有2阶连续导数 S(x j )=y j (j=0,1,2,…,n) 在每个子区间[x k ,x k+1](k=0,1,2,…,n-1)上，S(x)是3次的多项式 .
5.B 练习11.4 1. y=-1.43+
6.43p 2. S=5.34+0.30t 3. y=5.045－4.043x ＋1.009x 2 4.y=11.6789e (-1.1109/x)
(B)
1. B
2.???????
=+=+∑∑∑∑∑1=1=21
=1
=1=n
k k k n k k n k k n
k k n k k y x x b x a y x b na 3. (lnx k ,y k )(k=1,2,…,n) 习题11
1. P 3(x)=)924152(3
1
23-+--
x x x 2. P 3(x)=0.2(x 3-13x 2+69x-92) 3. P 1(x)= 2x-1 4. N 3(x)= x 3+x 2+x+1
7. 0=2221=2228
1
7
1
),...,,(,),...,,(f f
8. 0.603 144 9.0.643
10.S (x )=
???
????530≤≤450450-10889+530-71257-450-37021-530-66581450≤≤390390-188311+450-418310-390-22112-450-86972390≤≤300300-95446+390-10786-300-91321-390-70942300≤≤250250-96610+300-0110-250-8774-300-76176333
33
333..).(.).(.).(.).(...).(.).(.).(.).(...).(.).(.).(.).(...).(.).(.).(.).(.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 11.y=0.0213e 0.272x
实习作业:1. P(0.5635)=826116 2. N n (0.596)=0.631918; N n (0.895)=1.01937
第12章 数值积分与微分
练习12.1
(A)
1. (1)二次代数精度，15
63,5
61±==βα ； (2)二次代数精度，a 0=1/3, a 1=4/3, a 2=1/3
2. 五次代数精度
(B) 1. A 2.B 练习12.2 (A)
1.略
2.略
3.1.71828 用梯形公式分476个子区间，用抛物线公式分6个子区间
（B ）
1.
C k n k
n
()
=∑=0
1 (归一公式)，)(n k C 与a ，b 无关，且)
()(n k n n k C C -=(称为对称性)
2. B 练习12.3 (A)
1. 1.1547
2. 2.0013889 (B)
1. 2n+1
2. B
3. 1==3
110A A ,
练习12.4 (A)
1. 取平均为)..(.47216+486132
1
=97914 2. －0.4 －0.2
(B)
1. B
2.)()()()()()(210220121003+4-21
≈
'+-21
≈
'-4+3-21
≈
'y y y h
x f y y h
x f y y y h
x f 习题12
1. 0.311 680 24; 0.310 248 53; 0.310 268 84
2. 1.148 714 467; 1.147 792 857
3.
4. 略
5. 用复化梯形公式，4等分区间，近似值为T 4＝5.058 337 用复化抛物线公式，2等区间，近似值为S 2＝5.033 002 用科茨公式 近似值为C ＝5.03292 6．3 7. A 0=2 A 1=－3 A 2=3
第13章 方程求根
练习13.1
（A ）
1. 0.921
2.
3.1455
（B ） 1.B 2.C 3.
ln()ln ln b a --ε
2
4.[1.5,2]
练习13.2 （A ）
1.(1) 0.7391 (2) 0.20391 (3)
2.09455 2.0.090525
（B ）
1.A
2.x x =?()的形式
3.B
4.C
??()
(~)
(~)~x x x x x x x x
n n n n n n n
+++++-
--+1112
11
2 练习13.
3 （A ）
1.x 02= x 1=1.5829 x 2=1.5009 x 3=x 4=1.4973
2. x 1=1.5970149 x 2=1.5945637 x 3=x 4=1.5945621
3. 3.317
(B)
1.线性化
2.x f x f x n n n n ----
'=11112()
()
(,,) ，
0≠'1-)(n x f 3.C 4.B
5.,...),,()(210=5
+231=21
-1-n x x x n n n
6.D
练习13.4
（A ）
1. 2.09455 2. 3.14619 （B ） 1. ,...),()()()()
(32=---
=2-1-2-1-1-1-n x x x f x f x f x x n n n n n n n 2.A 3.D 4.C
练习13.5
(A)
1. x *
**..=??????=-??
??
??x x 12025409836049726776
2.x x 1121125225()()..??????=??
????,x x 1222120277778()().??????=????
??
(B)
1. 线性化
2.B
3.C
习题13
1.(1) -0.56714 (2)1.26717
2.(1)1.9405 (2) 0.4502 (3)-1.15417
3.(1) 3.63197 (2) 0.01175
4.(1)0.33767 1.30749 (2)1.38616
5. (1) (0.8260,0.5636)T
(2) (0.9991,-0.0888)T
第14章 常微分方程的数值解法 练习14.1
(A) 1. 略
2.将解列入表14－1中。
3.本题的解列入表14－2的第3列
4.5. 略。
(B)
1. ),(222+y x hf y
2.C
3.A
4.),(k k k y x hf y + D
5. x k +1,y p C 练习14.2 (A)
1.见表14－2的第4列。
2.
3.见表14－1的第4列。
(B) 1.C 2.O(h 4) 3.B 4. 见教材第14章公式(2.10) 5. O(h 5
) 练习14.3 (A)
1.显式y(1.0)≈0.632 013 隐式y(1.0)≈0.632 136
2.见表14－1的第5列。
(B)
1.D
2.四 四
3.见教材第14章公式(3.3)
4.见教材第14章公式(3.5) 练习14.4
(A)
1.
(1)令y '=z, z(0)=1，计算结果例入表14－3
2.解列表14－4
习题14
2. 1; 1.1; 1.18; 1.25; 1.31
4.见练习14.2的第2题解答。
5.欧拉法
四阶龙格－库塔法
x1=0.1, κ1=0,κ2=0.2, κ3=0.198 01, κ4=0.00004, y1=-1.986 73
x2=0.2, κ1=0.394 71, κ2=0.480 28, κ3=0.577 84, κ4=744 17, y2= -1.93248
x3=0.3, κ1=0.746 90, κ2=0.897 88, κ3=0.890 75, κ4=1.019 44, y3=-1.843 42 …
y1=-1.986 73 y2= -1.93248 y3=-1.843 42 …
6. 1；―0.975；―0.949; ―0.921; ―0.888; ―0.842; ―0.802; ―0.744; ―0.675; ―0.593; －0.495
7. 略 8. 0.02
9.
本题的精确解为：x=(e t+e-t)/2 ;y=(e t-e-t)/2
数值分析1-4习题及答案
1、 0.1％,要取几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？ （ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的 的系数是，则 等于 （ ） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于 （ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、 是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、 已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、 确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度 尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。
数值分析第一章学习小结
数值分析 第1章绪论 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，让我初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在本章中，我学到的是对数据误差计算，对误差的分析，以及关于向量和矩阵的数的相关容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。 而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 对于向量和矩阵的数，我是第一次接触，而且其概念略微抽象。因此学起来较为吃力，仅仅知道它是向量与矩阵“大小”的度量。故对这部分容的困惑也相对较多。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于数，不明白数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 二、本章知识梳理
2.1 数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等容。 2.2误差知识与算法知识 2.2.1误差来源
误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值方法过程中产生的误差。 2.2.2绝对误差、相对误差与有效数字 1.（1）绝对误差e指的是精确值与近似值的差值。 绝对误差： 绝对误差限： （2）相对误差是指绝对误差在原数中所占的比例。 相对误差： 相对误差限： 结论：凡是经过四舍五入而得到的近似值，其绝对误差不超过该近似值末位的半个单位。 （3）有效数字的定义 有效数字的第一种定义:设a是x的近似值，如果a的误差绝对值不超过x 的第k位小数的半个单位，即则称近似值a准确到小数点后第k位。从小数点后的第k位数字直到最左边非零数字之间的所有数字都叫有效数字。
数值分析中的误差(精)
第9章 数值分析中的误差 练习9.1 (B) 1.B 2. A 3.量纲 4. 半个 5.D 6. 3位 7.C 8. B 9. ≤ 10. 0.5mm 练习9.2(B) 1. )()(21x x εε+ )()(21x x εε+ 2. )()(1221x x x x εε+, 2 2 1221) ()(x x x x x εε- 3. 舍入误差不增加 4. )()(x e x f ' 5. 使用数值稳定的算法；防止两个相近数相减；简化计算步骤，减少运算次数；避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值；防止大数“吃掉”小数 习题9 1. 0.00005 0.017% 四位有效数字 0.005 0.017％ 四位有效数字 0.0005 0.0017％ 五位有效数字 0.5 0.0017% 五位有效数字 0.00005×105 0.017% 四位有效数字 2. 5.5(Ω) 0.2375(Ω) 4.32% 3. (1) B (2)A (3)A 4. )()()(2121+=±x x x x εεε )()()(22 12 121121±±±= ±x x x x x x x x x x r r r εεε )()()(122121+≈x x x x x x εεε )()()(1221+≈x x x x r r r εεε 22 122121+=x x x x x x x )()()( εεε )()()(2121 +=x x x x r r r εεε 5. 0.005 6. 0.00333… 7. 取四位. 利用定理2. 第10章 线性方程组的数值解法 练习10.1 (A) 1. (2,1,-1)T , 2. (1,2,3)T , 3. (1,-1,2)T , 4. T )3678.0,05113.0,4900.0(--≈*X (B) 1. C 2. 系数矩阵的各阶主子式均不为0. 3. B 4. 矩阵A 是严格对角占优矩阵 5. 见教材第10章公式(1.6) 6. 见教材第10章公式(1.8) 练习10.2 (A) 1.(1,2,-1,3)T , 2. ?? ?? ? ?????--=???? ? ?????-=200140111112010001U L 3. Y =(14,-10,-72)T ,X =(1,2,3)T . 4. Y =(2.4493,11.247,85.254)T ,X =(1,0,23)T .
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
数值分析第一章实验 误差分析
1. 计算1 1 n x n I e x e dx -=? (n=0,1,2,……)并估计误差。 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=???==-???……. （1） 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2,,I I … 的值。要 算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 21 (1)(1)1(1),2!! k e k ---≈+-+++ … 并取k=7,用4位小数计算，则得10.3679e -≈，截断误差 14711 |0.3679|108!4 R e --=-≤
从表1中看到8I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积分估值得 111110001011 (im )(max)11 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<=++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就 是初值0I 有误差000E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=8，若 4 01||102 E -= ?，则80||8!||2E E =?>。这就说明8I 完全不能近似8I 了。它表明计算公式（A ）是数值不稳定的。 我们现在换一种计算方案。由（2）式取n=9,得 1911010 e I -<<， 我们粗略取1 *9911()0.068421010 e I I -≈+==，然后将公式（1）倒过来算，即 由*9I 算出*8I ，*7I ，…，* 0I ，公式为 * 9** 10.0684()1(1),98n n I B I I n n -?=? =?=-=?? ， ，…，1； 计算结果见表1的*n I 列。我们发现* 0I 与0I 的误差不超过410-。记
数值分析分章复习(第一章误差)
数值分析分章复习 第一章 引论 要点：误差基本概念 误差分类：截断误差；舍入误差。 误差量化：绝对误差；相对误差；有效数字 设计数值计算方法应注重的原则： 注重算法稳定性；减少运算量；避免相近数相减；避免绝对值小的数作分母 复习题： 1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字， 试估计由这些数据计算21x x ，21x x +的绝对误差限 解：记126.1025, 80.115x x ==%% 则有1123241110, | 102|||2x x x x --≤?-≤?-%% 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤--%%%%%%%%% 341180.11610 6.1010252 20.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11|10100.0005522|x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+-%%%% 2、已知2.153是2.1542的近似数，问该近似数有几位有效数字？ 它的绝对误差和相对误差各是多少？ 解：记精确值12.15420.2154102x =?=，近似值 2.153x =% 因为130.00121102 x x -≤?-=%，故近似数有3位有效数字 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182, 那末x 具有多少位有效数字 解：10.271828182810e =?L 314||0.0000811110102228e x --≤?=?-=L 可见x 具有4位有效数字 4、的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取多少位有效数字 解：记精确值x =x %, 注意到14.44770.410x ==?=L L 故假设x %具有p 位有效数字，则应成立：11111101||042||8 p p x x x --≤??=?-%
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P
解：
* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'
数值分析误差一点总结
数值分析学习报告 邹凡峰1329010062 作为这学期的必修课，我从内心深处来讲，数值分析真的有点难。感觉它是在高等数学和线性代数的基础上，又加深了探讨。虽然这节课很难，我学的很差。 学习数值分析，我们首先得知道一个软件——MATLAB。数值分析所用的语言中，最重要的成分是函数，其一般形式为：Function[a，b，c，……]=fun(d，e，f，……)，对于数值分析这节课，我的理解是：只要学习并掌握好MATLAB，你就已经成功了。 因为学的不是很好对于后面的章节不能很好把握，就只能简单的对第一章中的误差总结下。通过第一章的学习，我们能够初窥数学的又一个新领域。数值分析这门课，与我之前所学联系紧密，区别却也很大。在第一章中，我们学到的是对数据误差计算，对误差的分析。以及关于向量和矩阵的范数的相关内容。 误差的计算方法很多，对于不同的数据需要使用不同的方法，或直接计算，或用泰勒公式。而对于二元函数的误差计算亦有其独自的方法。无论是什么方法，其目的都是为了能够通过误差的计算，发现有效数字、计算方法等对误差的影响。而对误差的分析，则是通过对大量数据进行分析，从而选择出相对适合的算法，尽可能减少误差。如果能够找到一个好的算法，不仅能够减少计算误差，同时也可以减少计算次数，提高计算效率。 本章的困惑主要有两方面。一方面是如何能够寻找一个可靠而高效的算法。虽然知道算法选择的原则，但对于很多未接触的问题，真正寻找一个好的算法还是很困难。另一方面困惑来源于范数，不明白范数的意义和用途究竟算什么。希望通过以后的学习能够渐渐解开自己的疑惑。 一．数值分析的研究对象 数值分析是计算数学的一个重要分支，研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。它致力于研究如何用数值计算的方法求解各种基本数学问题以及在求解过程中出现的收敛性，数值稳定性和误差估计等内容。 二．误差知识与算法知识 （1）误差来源 误差按来源分为模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差与传播误差五种。其中模型误差与观测误差属于建模过程中产生的误差，而截断误差、舍入误差与传播误差属于研究数值
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论 1设x 0, x的相对误差为「.，求In x的误差。 * * e* x * _x 解：近似值x*的相对误差为:.=e* x* x* 1 而In x 的误差为e In x* =lnx*「lnx e* x* 进而有；(ln x*)::. 2?设x的相对误差为2%求x n的相对误差。 解：设f(x—，则函数的条件数为Cp^胡1 n A. x nx . 又7 f '(x)= nx n」C p |=n n 又；；r((x*) n) ： C p ；,x*) 且e r (x*)为2 .；r((x*)n) 0.02 n 3 ?下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：X； h.1021 , x；=0.031 , x3 =385.6 x；=56.430, x5 =7 1.0. 解：x；=1.1021是五位有效数字； X2 =0.031是二位有效数字； X3 =385.6是四位有效数字； x4 = 56.430是五位有效数字； x5 -7 1.0.是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：⑴ 为+X2+X4,(2) x-i x2x3,(3) x2/ x4. * * * * 其中X1,X2,X3,x4均为第3题所给的数。
解:
* 1 4 ；(x-| ) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1)；(为 X 2 X 4) =；(为)亠：(x 2)亠：(x 4) =1 10 4 1 10 J 丄 10^ 2 2 2 = 1.05 10” * * * (2)(X 1X 2X 3) * * * ** * ** * X 1X 2 8(X 3) + X 2X 3 g(xj + X 1X 3 名(X 2) 1 1 0.031 汉 385.6 汉?汉10鼻 + 1.1021 域 385.6 汉?汉10 (3) XX 2/X 4) X 4 0.031 1 10” 56.430 丄 10’ 2 2 56.430 56.430 =10° 5计算球体积要使相对误差限为 1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 =1.1021汉 0.031 汉 * 汉 10」+ 0.215
数值分析第一章作业
数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设0x >,近似值*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =-+-在2x =处的值. 11.已知近似值 1.0000x *=的误差限4()110x ε*-=?,21()16 f x x = ,求(())f x ε*,并说明x *及()f x *的各有几位有效数字. 12. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=?的数值稳定性.
数值分析中的误差
第9章 数值分析中的误差 典型问题解析 考试知识点：误差、有效数字。（6%） 学习要点：误差、有效数字。 典型问题解析： 一、误差 绝对误差e ：e =x －x * （设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。 绝对误差限ε：ε≤-=*x x e （绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。） 相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r = 计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界）， r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*x r εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中） )()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈ 22122121 +=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字 有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字. (1)设精确值x *的近似值x ，若 m n a a a x 10.021?±= a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0， n l x x l m ≤≤110?50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字. 例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数. 解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）
数值分析实验一：误差分析、误差传播及算法稳定性
毕节学院实验报告 实验名称： 误差分析、误差传播及算法稳定性 实验报告序号： 1 组 别 姓 名 朱海涛 同组实验者 周礼伟 实验项目 计算1 10 e e n x n I x dx -=?(0,1,) n = 并估计误差 实验日期 2012年9月26日 实验类别 □√ 1、验证性实验或基础性实验； □ 2、综合性实验 □ 3、设计性实验； □ 4、创新性实验和研究性实验； 教师评语 实验成绩 指导教师（签名） 赖志柱 年 月 日 实验目的： 通过本实验对求解问题的算法进行好坏判断有一个初步了解，并加强对设计一个好算法的理解，体验数值计算稳定性，从而了解数值计算方法的必要性，体会数值计算的收敛性与收敛速度。 实验任务与要求： 计算11 e e n x n I x dx -=? (0,1,)n = 并估计误差 （1）建立若干个（不少于两个）计算公式； （2）分析计算公式的理论误差； （3）编写程序（推荐MATLAB ）实现（1）中的计算公式、输出结果并比较实际误差； （4）任选正整数m n ，要求既从m I 计算n I ，又从n I 计算m I ，并分析您的结果。这里0m ≠且9n ≠。 小组分工合作说明： 实验过程及内容： 解： 由分部积分可得计算n I 的递推公式 1111 01,1,2,e 1.n n x I nI n I e dx e ---=-=?? ?==-??? (1) 若计算出0I ，代入（1）式，可逐次求出 1 2 ,,I I … 的值。
要算出0I 就要先算出1e -，若用泰勒多项式展开部分和 2 1 (1)(1)1(1), 2! ! k e k ---≈+-+ ++ … 并取k=19,用4位小数计算，则得 1 0.3679 e -≈，截断误差 1 4 711|0.3679|10 8! 4 R e --=-≤ < ?.计算过程中小数点后第5位的数字按四 舍五入原则舍入，由此产生的舍入误差这里先不讨论。当初值取为 00 0.6321I I ≈= 时，用（1）式递推的计算公式为 01 0.6321 A 1n n I I nI -?=?=-? （），n=1,2，…。 计算结果见表1的n I 列。用0 I 近似0I 产生的误差0 00 E I I =- 就是初值 误差，它对后面计算结果是有影响的. 从表1中看到18 I 出现负值，这与一切0n I >相矛盾。实际上，由积 分估值得 1 1 1 1 1 01 01 1(im )(max )1 1 x n n n x x e e m e x dx I e x dx n n ---≤≤≤≤=<<= ++?? （2） 因此，当n 较大时，用n I 近似n I 显然是不正确的。这里计算公式与 每步计算都是正确的，那么是什么原因合计算结果出现错误呢？主要就是初值0 I 有误差0 00 E I I =- ，由此引起以后各步计算的误差 n n n E I I =- 满足关系 1,1,2,n n E nE n -=-=…. 由此容易推得 0(1)!n n E n E =-， 这说明0 I 有误差0E ，则n I 就是0E 的n!倍误差。例如，n=19，若
数值分析第1章习题资料
数值分析第1章习题
一 选择题(5?5分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1 103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤=-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式19992001-时，应该改为 1999 20012+计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于2001和1999相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D. 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减，D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字)
A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：5102 1)(-?=a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?，如果a 具有3位有效数字，则a 的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A ． 35 103- B. 33105- C. 53105- D. 5103 -2 解：因为4 0.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ 二 填空题：(7?5分=35分) 1.设210256.000256.0,002567.0-?===a x 则a 有2位有效数字，若 210257.000257.0-?==a 则a 有3位有效数字。(有效数字) 解:002567.0=x ,210256.0-?=a 时,2-=m ， 4102 100005.0000007.0)(-?=≤=-=a x a E ，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当210257.0-?=a 时2-=m , 5102 1000005.0000003.0)(-?=≤=-=a x a E ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设x * =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字) 解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据12x x ，的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么12x -x 的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算）
常州大学数值分析第一章习题解答
1.1解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别： m=2; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 120 ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。 1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字 （3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字 1.3 解; 记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以 dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) ∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 1.4 解： 由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2 ∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1 又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988 ∴S至少具有3位有效数字。 在字长为3的计算机上运行，误差为： S1=4.21*1.79+2.11; S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.11^2,3),3); err=S1-S2 err = -2.3541 1.6 解： clc disp('Please input the coefficients of'); disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c='); m=4; % m-digit rounding arithmetic