哈尔滨五中高三数学第二轮复习专题讲座立体几何教师版[4]

哈五中高三数学第二轮复习专题讲座（教师版）

直线、平面、简单几何体

第五课时

题型六求空间距离

【典例５】（２00４福建卷）在三棱锥S—ABC中,△ABC是

边长为４的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=２3,M、

N分别为AB、SB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N—CM—B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面CMN的距离.

分析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、二面角、点到平面的距离等基础知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力. 若按常规方法解，（１）需作辅助线再构造一平面，可得线面垂直结论，即可证得线先垂直；（２）由三垂线定理作出二面角的平面角，再由直角三角形知识即可求解；（３）由等体积转换ＶＢ—ＣＭＮ=ＶＮ—ＣＭＢ即可求解. 但解此题用下面的空间向量知识解更简捷.

解析：本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到

平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理

能力.满分１２分.

解法一：（Ⅰ）取AC中点D,连结SD、DB.∵SA=SC,AB=BC,

∴AC⊥SD且AC⊥BD,

∴AC⊥平面SDB,又SB 平面SDB,A M

F E

D

C

N

B

S

∴AC ⊥SB .

（Ⅱ）∵AC ⊥平面SDB ,AC ?平面ABC , ∴平面SDB ⊥平面ABC .

过N 作NE ⊥BD 于E ,NE ⊥平面ABC , 过E 作EF ⊥CM 于F ,连结NF , 则NF ⊥CM .

∴∠NFE 为二面角N —CM —B 的平面角.

∵平面SAC ⊥平面ABC ,SD ⊥AC ,∴SD ⊥平面ABC . 又∵NE ⊥平面ABC ,∴NE ∥SD . ∵SN =NB ,∴NE =

21SD =2

122AD SA -=

2

1

412-=2,且ED =EB .

在正△ABC 中,由平几知识可求得EF =41MB =2

1, 在Rt △NEF 中,tan ∠NFE =

EF

EN

=２2, ∴二面角N —CM —B 的大小是arctan ２2. （Ⅲ）在Rt △NEF 中,NF =22EN EF +=2

3, ∴S △CMN =

21CM ·NF =2

33,S △CMB =

2

1

BM ·CM =２3. 设点B 到平面CMN 的距离为h , ∵V B —CMN =V N —CMB ,NE ⊥平面CMB ,∴31S △CMN ·h =3

1

S △CMB ·NE , ∴h =

CMN

CMB S NE S ?=324.即点B 到平面CMN 的距离为32

4.

解法二：（Ⅰ）取AC 中点O ,连结OS 、OB . ∵SA =SC ,AB =BC , ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO .

∵平面SAC ⊥平面ABC ,平面SAC ∩平面 ABC =AC ∴SO ⊥面ABC ,∴SO ⊥BO .

如图所示建立空间直角坐标系O —xyz . 则A （２,0,0）,B （0,２3,0）,C （—２,0,0）,

S （0,0,２2）,M （１,3,0）,N （0,3,2）.

∴AC =（—４,0,0）,SB =（0,２3,２2）, ∵AC ·SB =（—４,0,0）·（0,２3,２2）=0, ∴AC ⊥SB .

（Ⅱ）由（Ⅰ）得CM =（３,3,0）,MN =（—１,0,2）.设n =（x ,y ,z ）为平面

CMN 的一个法向量,

30CM n x ?=+= 则 取z =１,则x =2,y =—6,

MN ·n =—x +2z =0,

∴n =（2,—6,１）,

又OS =（0,0,２2）为平面ABC 的一个法向量, ∴cos （n ,OS ）=

3

1

. ∴二面角N —CM —B 的大小为arccos

3

1. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得MB =（—１,3,0）,n =（2,—6,１）为平面CMN 的一个法向量,

∴点B 到平面CMN 的距离d =

|

||·|n MB n =32

4.

拓展提升：此题三个小问题层层深入，由（１）证明线线垂直，（２）又利用三垂线定

理及勾股定理求二面角，（３）由三角形等面积转换求线段，进而由等体积求点到平面距离.这是一道考查立体几何知识较全面

立体几何中的求距离，也是高考中的命题热点，其中点到平面的距离的计算是立体几何中的一个难点 . 求点到平面距离，一般方法是先由该点向平面引垂线确定垂足，把点到平面的距离转化为解三角形求解，需要作辅助线，然后通过逻辑推理论证及计算，（一作，二证，三计算） 或用向量法。

【变式训练】

１． （07辽宁）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30． （I ）证明：111A B C D ⊥；

（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离．

本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查

空间想象能力与思维能力．满分１２分． （I ）证明：连结CD ，

三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，

∴1CC ⊥平面ABC ，

∴CD 为1C D 在平面ABC 内的射影．

ABC △中，AC BC =，D 为AB 中点，

∴AB CD ⊥， ∴1AB C D ⊥．

11//A B AB ， ∴111A B C D ⊥．

1A 1

1B

C

B

A

M D

E

F

G

1A 1C

1B

C

B

A

M

D

E

（II ）解法一：过点A 作CE 的平行线， 交ED 的延长线于F ，连结MF ．

D E ，分别为AB BC ，的中点， DE AC ∴⊥．

又

//AF CE ，CE AC ⊥．

∴AF DE ⊥．

MA ⊥平面ABC ，

∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影． ∴MF DE ⊥．

MFA ∴∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠=．

在Rt MAF △中，122

a

AF BC =

=，30MFA ∠=，

AM ∴=

． 作AG MF ⊥，垂足为G ，

MF DE ⊥，AF DE ⊥，

∴DE ⊥平面DMF ，

平面MDE ⊥平面AMF ，

∴AG ⊥平面MDE ．

在Rt GAF △中，30GFA ∠=，2

a AF =

， ∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4

a

．

//CA DE ，

∴//CA 平面MDE ，

∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为

4

a ． 解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF ．

D E ，分别为AB BC ，的中点，

∴//DE AC ．

又

//AF CE ，CE DE ⊥

∴AF DE ⊥．

MA ⊥平面ABC ，

∴AF 是MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF DE ⊥．

∴MFA ∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠=．

在Rt MAF △中，122

a

AF BC =

=，30MFA ∠=，

∴AM =

． ·········································································································· 8分 设C 到平面MDE 的距离为h ，

∴M CDE C MDE V V --=．

∴11

3

3

CDE

MDE S MA S h =△

2

128CDE

a S CE DE ==△，6MA a =， 2

11322cos30MDE AF S DE MF DE a =

==△，

∴22

11383a h ?=?， ∴4a h =

，即C 到平面MDE 的距离为4

a

． １２分 ２．（06福建） 如图,四面体ABCD 中,O 、E 分别BD 、BC 的中点,CA =CB =CD =BD =２

（Ⅰ）求证：AO ⊥平面BCD ；

（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的大小； （Ⅲ）求点E 到平面的距离.

本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到

平面的距离等基本知识,考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分１２分. 方法一:

（１）证明：连结OC . ∵BO =DO ,AB =AD , ∴AO ⊥BD . ∵BO =DO ,BC =CD , ∴CO ⊥BD .

在△AOC 中,由已知可得AO =１,CO =3. 而AC =２, ∴AO ２+CO ２=AC ２,

∴∠AOC =90°,即AO ⊥OC .

,0=OC BD

∴AB ⊥平面BCD .

（Ⅱ）解：取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ,由E 为

BC 的中点知ME ∥AB ,OE ∥DC .

∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角. 在△OME 中,

,12

1,2221====

DC OE AB EM OM 是直角△AOC 斜边AC 上的中线,∴,12

1

==

AC OM

∴,4

2cos =

∠OEA ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.4

2arccos （Ⅲ）解：设点E 到平面ACD 的距离为h .

CDE A ACD A V V --- ,

∴h 31·S △ACD =

3

1

·AO ·S △CDE . 在△ACD 中,CA =CD =２,AD =2,

∴S △ACD =,272222213

2

=???

? ??-?? 而AO =１, S △CDE =

,2

3243212=?? ∴h =

,7212

7

23

1=?

=

???ACD

CDE S S AO

∴点E 到平面ACD 的距离为7

21. 方法二：（Ⅰ）同方法一：

（Ⅱ）解：以O 为原点,如图建立空间直角坐标系,则B （１,0,0）,D （—１,0,0）,

C （0,3,0）,A （0,0,１）,E （

21,2

3

,0）,).0,3,1(),1,0,1(--=-=CD BA ∴,4

2

,cos =?=

CD BA CD BA CD BA

∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为.4

2

arccos

（Ⅲ）解：设平面ACD 的法向量为n =（x ,y ,z ）,则

????

?=-?=?=--?=?,

0)1,3,0(),,(,

0)1,0,1(),,(z y x AC n z y x n ∴???=-=+.

03,0z y z x 令y =１,得n =（—3,1,3）是平面ACD 的一个法向量. 又),0,2

3,21(-

= ∴点E 到平面ACD 的距离

h =

.721

7

3|||·|==n n ３．（２006湖北高考）如图,已知正三棱柱ABC —A １B １C １的侧棱长和底面边

长均为１,M 是底面BC 边上的中点,N 是侧棱CC １上的点,且CN ＝２C １N .

（Ⅰ）求二面角B １—AM —N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B １到平面AMN 的距离.

本小题主要考查线面关系、二面角和点到平面距离的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.

解法１：（Ⅰ）因为M 是底面BC 边上的中点,所以AM ⊥BC ,又AM ⊥C 1C ,所以AM ⊥面

BC 1C 1B ,从而AM ⊥1B M , AM ⊥NM ,所以∠1B MN 为二面角,1B —AM —N 的平面角.又

1B M

==,

MN

56

=

=, 连1B N ,得1B N

3

==,

在?1B MN 中,由余弦定理得

M

A 1

C 1 B 1

B

C

A

N

1 B

222

11

1

1

52510

cos

25

B M MN B N

B MN

B M MN

+-

+-

===.

故所求二面角

1

B—AM—N

（Ⅱ）过

1

B在面

11

BCC B内作直线

1

B H MN

⊥,H为垂足.又AM⊥平面

11

BCC B,所以

AM⊥

1

B H.于是

1

B

H⊥平面AMN,

故

1

B H即为

1

B到平面AMN的距离.在

11

R B HM

?中,

1

B H

＝

1

B M

1

sin1

B MH==.故点

1

B到平面AMN的距离为１.

解法２：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系,则

1

B（0,0,１）,

M（0,

1

2

,0）,

C（0,１,0）, N （0,１,2

3

）, A （1,0

2

）,所以,

3

(

AM=,

1

1

(0,,1)

2

MB=-,

12

(0,,)

23

MN =.

因为

1

31

00()010

22

MB AM=?+?-+?=

所以

1

MB AM

⊥,同法可得MN AM

⊥.

故﹤

1

,

MB

MN﹥为二面角

1

B—AM—N的平面角

∴cos﹤

1

,

MB MN ﹥＝

1

1

5

12

5

5

MB MN

MB MN

?

==

?

故所求二面角

1

B—AM—N

（Ⅱ）设n=（x,y,z）为平面AMN的一个法向量,则由,

n AM n MN

⊥⊥得

2

4

12

03

23

x

x

y z

y z

=

?

=

???

?

??

=-

??

+=?

??

故可取3

(0,,1)

4

n=-

设1MB 与n 的夹角为a ,

则115

cos 3MB n a MB n

?

===?

.

所以1B 到平面AMN 的距离为1cos 1MB a ?=

=. １．方法与技巧 （一）位置关系： １．两条异面直线相互垂直

证明方法：错误!证明两条异面直线所成角为90o；错误!证明两条异面直线的方向量相互垂直。

２．直线和平面相互平行

证明方法：错误!证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；错误!证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行；错误!证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。

３．直线和平面垂直

证明方法：错误!证明直线和平面内两条相交直线都垂直，错误!证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；错误!证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。

４．平面和平面相互垂直

证明方法：错误!证明这两个平面所成二面角的平面角为90o；错误!证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；错误!证明两个平面的法向量相互垂直。

（二）求距离：

求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。

１．两条异面直线的距离

求法：利用公式d

=

A 、

B 分别为两条异面直线上的一点，n 为这两

条异面直线的法向量）

２．点到平面的距离

求法：错误!“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。错误!等体积法。错误!向

量法，利用公式d =

（其中A 为已知点，B 为这个平面内的任意一点，n 这个

平面的法向量）

（三）求角

１．两条异面直线所成的角

求法：错误!先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得；错误!通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是]2

,0(π，向量所成的角范围是],0[π，如果求出的是钝角，要注意

转化成相应的锐角。

２．直线和平面所成的角

求法：错误!“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。错误!向量法，先求直线的方向量于平面的法向量所成的角α，那么所要求的角为

απ

-2

或2

π

α-

。

３．平面与平面所成的角

求法：错误!“一找二证三求”，找出这个二面角的平面角，然后再来证明我们找出来的这个角是我们要求的二面角的平面角，最后就通过解三角形来求。错误!通过射影面积来求

原

射影S cos S =

α（在其中一个平面内找出一个三角形，然后找这个三角形在另外一个平面的

射影，那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为cos α，注意到我们要求的角为α或π—α）；错误!向量法，先求两个平面的法向量所成的角为α，那么这两个平面所成的二面角的平面角为α或π—α。

我们现在来解决立体几何的有关问题的时候，注意到向量知识的应用，如果可以比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，那么剩下的问题基本上就可以解决了，如果建立坐标系不好做的话，有时求距离、角的时候也可以用向量，运用向量不是很方便的时候，就用传统的方法了！

２．解题注意点

１．我们现在提倡用向量来解决立体几何的有关问题，但是当运用向量不是很方便的时候，传统的解法我们也要能够运用自如。

２．我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候，做到“一找二证三求”，解题的过程中一定要出现这样一句话，“∠α是我们所要求的角”、“线段AB 的长度就是我们所要求的距离”等等。让人看起来一目了然。

３．用向量来求两条异面直线所成角时，若求出cos α＝x ，则这两条异面直线所成的角为α＝arccos|x|

４．在求直线与平面所成的角的时候，法向量与直线方向量所成的角或者法向量与直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余，所以要απ

-2

或2

π

α-

，若求出的角为

锐角，就用

απ

-2

，若求出的钝角，就用2

π

α-

。

５．求平面与平面所成角的时，若用第错误!、错误!种方法，先要去判断这个二面角的平面角是钝角还是锐角，然后再根据我们所作出的判断去取舍。