最新人教版九年级数学上册导学案：第二十五章 概率初步
第二十五章概率初步
25.1 随机事件与概率
25.1.1 随机事件
一、新课导入
1.导入课题：
情景：5名同学参加演讲比赛，现要确定选手的比赛出场顺序，为了体现比赛的公平性，决定采取临时抽签的方式决定出场先后顺序. 签筒中有5张形状、大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5.小军首先抽签，他在看不到纸签上的数字的情况下从签筒中随机（任意）地抽取一张纸签.
问题：你能猜一猜小军会抽到几吗？
今天我们来学习随机事件.(板书课题)
2.学习目标：
（1）认识必然事件、不可能事件和随机事件.
（2）会确定随机事件发生可能性的大小.
3.学习重、难点：
重点：认识必然事件、不可能事件和随机事件，随机事件发生可能性的大小.
难点：确定随机事件发生可能性的大小.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第127页到第128页“练习”以上的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：结合自学提纲互相交流.
（4）自学提纲：
①问题1中（2）~（4）哪种情况可能发生？哪种情况不可能发生？
（4）可能发生，（3）不可能发生.
②问题2中(2)~(4)哪种情况可能发生？哪种情况不可能发生？
(4)可能发生，(3)不可能发生.
③问题1和2中的情况（2）一定发生吗？
一定发生.
④什么叫必然事件？什么叫不可能事件？什么叫随机事件？
在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件.
⑤各举一、两例说明必然事件，不可能事件和随机事件，然后相互交流一下.
必然事件：太阳从东边升起；水涨船高
不可能事件：太阳从西边升起
随机事件：明天是晴天
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生的答题情况.
②差异指导：教师对个别突出问题进行点拨引导.
（2）生助生：引导学生相互交流帮助认识问题.
4.强化：
（1）必然事件、不可能事件、随机事件的概念.
（2）练习：指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.
①通常加热到100℃时，水沸腾；
②篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中；
③掷一次骰子，向上的一面是6点；
④度量三角形的内角和，结果是360°；
⑤经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯；
⑥某射击运动员射击一次，命中靶心.
解：必然事件：①;不可能事件：④;随机事件：②③⑤⑥.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第128页问题3到第129页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：动手实验，从实验中感受随机事件发生的可能性大小.
（4）探究提纲：
①在问题3中，摸到哪种球的可能性大些？摸到球的可能性大小与什么有关？
摸到黑球的可能性大些，摸到球的可能性大小与袋子中该种球的多少有关.
②一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能相同.
③举一些说明不同的随机事件发生的可能性大小不同的例子，与同桌交流一下.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂了解学生对问题3的实验过程和结果的探究以及由问题3
的实验过程和结果得出的结论.
②差异指导：教师对个性和共性问题进行点拨和引导.
（2）生助生：小组内相互交流研讨.
4.强化：
（1）归纳：随机事件发生的可能性是有大小的.
（2）练习：
①已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3∶7.如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，“落在海洋里”与“落在陆地上”哪个可能性更大？
解：“落在海洋里”的可能性更大.
②你能列举一些生活中的随机事件、不可能事件和必然事件的例子吗？
解：明天会下雨，老张明天6:00起床等都是随机事件，从一个装有5个黑球和4个白球的袋子里任意取一个球，取到红球为不可能事件，取到黑球或白球为必然事件.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：这节课我学习了哪些知识，掌握了哪些技能和解决问题的方法？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：重点点评学生的学习态度、学习方法和实际效果及存在的问题.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:通过这些生动有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性.“抽签”这个活动是
学生容易理解或亲身经历过的，操作简单省时，又具有很好的代表性，最主要的是活动中含有大量的随机事件，可激发学生的探知欲.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（70分）
1.（10分）“任意打开一本200页的数学书，正好是第50页”，这是随机事件（选填“随机”“必然”或“不可能”）.
2.(10分)从数1、2、3、4、5中任取两个数字，得到的都是偶数，这一事件是随机事件.
3.(10分)下列所描述的事件：①某个数的绝对值小于0；②守株待兔；③某两个负数的积大于0；④水中捞月.其中属于不可能事件的有①④.
4.(10分)一个口袋中装有红、黄、蓝三个大小和形状都相同的球，从中任取一球，得到红球与得到蓝球的可能性相同.
5.(10分)小明参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，今从中任选一个，选中判断题的可能性较小.
6.(20分) 请指出在下列事件中，哪些是随机事件，哪些是必然事件，哪些是不可能事件．
（1）通常温度降到0℃以下，纯净的水结冰；
（2）随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；
（3）地面发射1枚导弹，未击中空中目标；
（4）测量某天的最低气温，结果为-150℃；
（5）汽车累积行驶1万千米，从未出现故障.
解：(2) (3) (5)是随机事件，(1)是必然事件，(4)是不可能事件.
二、综合应用（20分）
7.(10分)从一副扑克牌中任取一张，摸到大王与摸到小王的可能性(A)
A.相等
B.不相等
C.有时相等，有时不等
D.无法确定
8.(10分)某班共有学生36人，其中男生20人，女生16人，今从中选一名班长，所有人都有同样的机会当选，下列叙述正确的是(B)
A.男生当选与女生当选的可能性相等
B.男生当选的可能性大于女生当选的可能性
C.男生当选的可能性小于女生当选的可能性
D.无法确定
三、拓展延伸（10分）
9.(10分)一个不透明的袋子中装有6个红球和4个白球，请根据此信息设计一个随机事件、一个必然事件和一个不可能事件.
解：随机事件：从袋子中任取一球，取到的球是红球；
必然事件：从袋子中任取一球，取到的球是红球或白球；
不可能事件：从袋子中任取一球，取到的球是黑球.
25.1.2概率
一、新课导入
1.导入课题：在同样条件下，某一随机事件可能发生,也可能不发生,那么它发生的可能性有多大呢?能否用数值进行刻画呢?这是我们今天要讨论的问题.
2.学习目标：
（1）理解概率的概念，知道概率的值与事件发生的可能性大小的对应关系.
（2）会运用列举法求一步实验和简单两步实验中事件发生的概率.
（3）会根据几何图形的面积求事件发生的概率.
3.学习重、难点：
重点：概率的概念及求法.
难点：理解()m P A n =
中m,n 的意义. 二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第130页到第131页例1上面的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：阅读课文，注意概率公式的运用条件.
（4）自学参考提纲：
①试验1中抽出的签上的号码有几种可能？每个号码被抽到的可能性相等吗？ 有5种可能.每个号码被抽到的可能性相等.
②试验2中向上的一面的点数有几种可能？每个点数出现的可能性相等吗？ 有6种可能.每个点数出现的可能性相等.
③试验1和2中每种可能性占全部可能性的比例怎么表示？
试验：115；试验：126
.
④试验1和2中，每次试验的结果有什么共同的特点？
每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；
每一次试验中，各种结果出现的可能性相等.
⑤什么叫做概率？怎样记法？
一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值称为随机事件A 发生的概率，记为P（A）.
⑥试验1中抽到奇数有几种可能？用概率怎样表示？
3种可能.用概率表示为35.
⑦公式()m
P A
n
=中，m、n之间的数量关系是0≤m≤n，P(A)的取值范围是0≤P（A）≤1.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：教师深入课堂了解学生的自学情况，发现学习中存在的问题.
②差异指导：教师对学习中的个性和共性问题进行点拨引导.
（2）生助生：同桌之间互相讨论.
4.强化：
(1)一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，
事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为：()m
P A
n
=，当m=n时，A为必然事件，概率P(A)=1；当m=0时，A为不可能事件，概率P(A)=0.
(2）概率与事件发生的可能性大小的对应关系：
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第131页例1到第132页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：从例题中学习怎样求m和n的值.
（4）自学参考提纲：
①例1中掷骰子是否符合随机事件的两个特点？共有几种等可能的结果？
符合.共有6种等可能的结果.
②例2中转转盘是否符合等可能事件的两个特点？共有几种可能的结果？如果各小扇形的圆心角不同，那么问题中的概率能求吗？
不符合.共有3种可能的结果.如果各小扇形的圆心角不同，那么问题中的概率不能求.
③掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
a.点数是6的约数；2
3
b.点数是质数；
1
2
c.点数是合数.
1
3
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：了解学生通过例1、例2的学习对公式()m
P A
n
=的认识情况.
②差异指导：对重点问题进行归纳引导.
（2）生助生：小组间互助解决各自疑难问题.
4.强化：
(1)用列举法求概率的要点及解题格式.
(2)把一副普通扑克牌中的13张黑桃牌洗均匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，求下列事件的概率：
①抽出的牌是黑桃6；②抽出的牌是黑桃10；
③抽出的牌带有人像；④抽出的牌上的数小于5；
⑤抽出的牌的花色是黑桃.
解：①1
13
;②
1
13
;③
3
13
;④
4
13
3;⑤1.
(3)如图，有一个质地均匀的正十二面体，十二个面上分别写有1～12这十二个整数.投掷这个正十二面体一次，求下列事件的概率：
①向上一面的数字是2或3；
②向上一面的数字是2的倍数或3的倍数.
解：①1
6
；②
2
3
.
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第133页例3.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真学习例3中是怎样用概率来分析问题，并作出明确判断的.
（4）自学参考提纲：
①相互交流例3游戏的规则，理解游戏规则的实际意义.
②怎样计算A区域遇到地雷的概率？
A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格里埋有1颗地雷，因此，A区遇到地雷的概率是38.
③怎样计算B区域遇到地雷的概率？
B区域的方格数为9×9-9=72，其中有地雷的方格数为10-3=7，因此，B区遇到地雷的概率是772.
④概率越大，说明遇到地雷的可能性越大，所以第二步应点击 B 区域.
⑤如果小王在游戏开始点击的第一个方格上出现了标号1时，第二步在两个区域遇到地雷的概率分别是多少？
A区域：1
8
；B区域：
1
8
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
（1）师助生：
①明了学情：看学生是否理解题意，能否顺利确定m,n的值.
②差异指导：引导学生仔细阅读(特别是游戏规则)，指导学生确定m,n的值.
（2）生助生：学生相互交流解决疑难.
4.强化：
(1)总结本题的解题思路.
(2)归纳几何概率的求解要点.
(3)练习：①在例3中，如果小王在游戏开始时踩中的第一个格上出现了标号1，则下一步踩在哪一区域比较安全？
解：踩在哪个区域都一样.
②甲、乙两人打赌，甲说，往图中的区域掷石子，它会落在阴影部分上，乙说不会落在阴影部分上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明.
解：（甲获胜）P ==123328，（乙获胜）P ==205328.＜3588
，乙获胜的概率较大. ③如图所示，转盘被等分成六个扇形，并在上面依次写上数字1，2，3，4，5，6. a.若自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区域的概率是多少？
解：P （指向奇数区域）=12
b.请你用这个转盘设计一个游戏，当自由转动的转盘停止时，指针指向的区域的概率为23
. 解：当自由转动的转盘停止时，指针指向6的约数.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：相互交流自己的学习收获和存在的不足.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在学习中的情感、态度、方法和存在的问题进行归纳总结.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）:
(1)通过抽签，用学生喜欢的扑克牌和掷骰子试验导入新课，吸引学生迅速进入状态，让学生充分认识概率的意义；由学生自主探究、合作交流得出此类型概率的求法，进而掌握本节课的知识，让学生在解决问题的过程中，提高了思维能力，增强了思维的缜密性，并且培养了学生解决问题的信心.
(2)在概率的古典定义基础上，教科书给出了概率的取值范围为0~1，事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，两个确定事件可以看作特殊的随机事件.学生在学习例2时，应注意三种颜色并非三种可能，要求学生去仔细体会.
（时间：12分钟满分：100分）
一、基础巩固（80分）
1.(10分)“明天降水的概率是15%”，下列说法中，正确的是（A）
A.明天降水的可能性较小
B.明天将有15%的时间降水
C.明天将有15%的地区降水
D.明天肯定不降水
2.(10分)事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化.3个事件发生的概率分别记为P(A)、P(B)、P(C)，则P(A)、P(B)、P(C)的大小关系正确的是（B）
A.P(C)＜P(A)=P(B)
B.P(C)＜P(A)＜P(B)
C.P(C)＜P(B)＜P(A)
D.P(A)＜P(B)＜P(C)
3.(10分)如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针实验，针头扎在阴影区域内的概率为（B）
A. 1
3
B.
1
4
C.
1
5
D.
1
6
4.(10分)掷一枚质地均匀的硬币的试验有2 种可能的结果,它们的可能性相同，由此
确定“正面向上”的概率是1 2 .
5.(10分)10件外观相同的产品中有1件不合格.现从中任意抽取1件进行检测，抽到不
合格产品的概率为1 10
.
6.(10分)袋子中有2个红球，3个绿球和4个蓝球，它们只有颜色上的区别.从袋子中随机地取出一个球.
（1）能够事先确定取出的球是哪种颜色的吗？
（2）取出每种颜色的球的概率会相等吗？
（3）你认为取出哪种颜色的球的概率最大？
解：(1)不能；(2)不相等；(3)蓝球.
7.(10分)不透明的袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球：
（1）摸到红球的概率是多少？
（2）摸到白球的概率是多少？
（3）摸到黄球的概率是多少？
解：(1) 1
9
；(2)
1
3
；(3)
5
9
.
8.(10分)如图是一个转盘.转盘分成8个相同的图形，颜色分为红、绿、黄三种.指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个图形的交线时，当作指向右边的图形）.求下列事件的概率：
（1）指针指向红色；
（2）指针指向黄色或绿色.
解：(1) 1
4
；(2)
3
4
.
二、综合应用（10分）
9.(10分)盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别.
（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是3
8
，写出表示x和y关系的表
达式；
（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为1
2
，求x和y的值.
解：(1)因为
x
x y
=
+
3
8
，所以5x=3y.
(2)因为
x
x y
+
=
++
101
102
，所以x+10=y，又5x=3y，所以x=15，y=25.
三、拓展延伸（10分）
10.(10分)如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个9×9的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着10颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏1颗地雷.小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“3”，其意义表示该格的外围区域（图中阴影部分，记为A区域）有3颗地雷；接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“1”，其外围区域（图中阴影部分）记为B区域；“A区域与B区域以及出现数字‘1’和‘3’两格”以外的部分记为C区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击A、B、C中的哪个区域？请说明理由.
解：A区域的方格共有8个，标号3表示在这8个方格中有3个方格各埋藏有1颗地雷，所
以点击A 区域遇到地雷的概率为38；同理，点击B 区域遇到地雷的概率为13
. C 区域方格数为9×9-9-4=68.其中有地雷的方格数为10-3-1=6.所以点击C 区域遇到地雷的概率为
636834.由于＜＜3133438，即点击C 区域遇到地雷的可能性最小，所以小红在下一步点击时应点击C 区域.
25.2 用列举法求概率
第1课时用列表法求概率
一、新课导入
1.导入课题：
同时抛掷两枚质地均匀的硬币或骰子，会出现哪些可能的结果？怎样才能不重不漏地列举所有可能出现的结果呢？本节课我们学习用列表法列举所有可能出现的结果并求概
率.(板书课题)
2.学习目标：
(1)会用直接列举法和列表法列举所有可能出现的结果.
(2)会用列表法求出事件的概率.
3.学习重、难点：
重点：用直接列举法和列表法列举所有可能出现的结果.
难点：求概率.
二、分层学习
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第136页例1.
（2）自学时间:5分钟.
（3）自学方法：阅读课文分析，理解课本是怎样列举出所有可能的结果的，并学会课本上用不同字母表示不同事件的方法和记法.
（4）自学参考提纲：
①掷两枚硬币会出现哪些不同的结果？你能列举出来吗？
有四种不同的结果：正正、正反、反正、反反.
②先后两次掷硬币和一次同时掷下两枚硬币有什么区别？出现的可能性发生变化了吗？
没有区别.出现的可能性没有变化.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：深入课堂了解学生是否理解列举这几种结果的方法.
②差异指导：对共性问题进行适时点拨引导.
（2）生助生：学生相互交流帮助解疑难.
4.强化：
(1)归纳两步试验中列举全部结果的要点.
（2）练习：①袋子中装有红、绿各一个小球，除颜色外无其他差别，随机摸出1个小球后放回，再随机摸出一个.求下列事件的概率：
a.第一次摸到红球，第二次摸到绿球.
b.两次都摸到相同颜色的小球；
c.两次摸到的球中有一个绿球和一个红球.
解：a. 1
4
; b
1
2
.; c.
1
2
②合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D 随机坐到其他三个座位上，求学生B坐在2号座位的概率.
解：1 3
③“石头、剪刀、布”是广为流传的游戏，游戏时，双方每次任意出“石头”“剪刀”“布”这三种手势中的一种，求双方出现相同手势的概率.
解：1 3
1.自学指导：
（1）自学内容：教材第136页例2至第137页.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①同时掷两枚质地均匀的骰子，会出现哪些可能的结果？列表列举所有可能的结果：
②由表可知：同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36 种，并且它们出现的可能性相等.
两枚骰子的点数相同的结果有 6 种，所以P(两枚骰子的点数相同)= 1
6
；
两枚骰子的点数和是9的结果有4 种，所以P(两枚骰子的点数和是9)= 1
9
；
至少有一枚骰子的点数为2的结果有11 种，所以P(至少有一枚骰子的点数为2)= 11 36
.
③如果把例2中的“同时掷两枚骰子”改为“把一枚骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？为什么？
没有变化，因为试验的条件是相同的.
④当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.
2.自学：学生可参考自学指导进行自学.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生是否掌握了列表法.
②差异指导：分类指导与集中辅导相结合.
(2)生助生：学生之间相互交流帮助认知理解.
4.强化：
（1）列表法适用的条件及表格设计方法.
（2）练习：①有6张看上去无差别的卡片,上面分别写着1,2,3,4,5,6.随机抽取1张后，
放回并混在一起，再随机抽取1张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？
解：列举出所有可能出现的结果：
由表可以看出可能出现的结果共有36种，并且它们出现的可能性相等.其中第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字（记为事件A ）的结果有14种，所以（）P A =
=1473618
. ②有5张看上去无差别的卡片，上面分别标有0，1，2，3，4.求：
a.从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4概率；
解：列举出所有可能出现的结果：（0,1），（0,2），（0,3），（0,4），（1,2），（1,3），（1,4），（2，3），（2,4），（3,4）.
所有可能出现的结果共有10种，并且它们出现的可能性相等，其中满足两张卡片上的数字之和等于4（记为事件A ）的结果有2种，所以（）P A ==21105
. b.从中任取2次卡片，每次取1张．第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次．两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4概率．
解：列举出所有可能出现的结果：
由表可以看出可能出现的结果共有25种，并且它们出现的可能性相等，其中两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4（记为事件B ）的结果有5种，所以（）P B ==51255
. 三、评价
1.学生的自我评价：说说列举所有结果时，怎样才能做到不重不漏.
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：教师对学生在学习中的态度、情感、方法、成果及不足进行归纳总结.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）：
(1)本节课通过以学生喜闻乐见的掷硬币、掷骰子等游戏为载体，充分调动了学生的学习欲望，将学生摆在了真正的主体位置上，充分发挥了他们的主观能动性，从而让学生在趣味中掌握本节课的知识.生活中有许多关于概率的问题，本节课的学习亦能让学生尝试用概率的知识去解决生活中的问题，从而体会到概率知识在生活中的应用价值.
(2)教师引导学生交流归纳知识点，看学生是否可以不重不漏地列举出事件发生的所有可能，能否找出事件A 中包含几种可能的结果，并能求P （A ），教学时要重点突出方法.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（70分）
1.(10分)把一个质地均匀的骰子掷两次，至少有一次骰子的点数为2的概率是（D ）
A. 12
B. 15
C. 136
D. 1136
2.(10分)纸箱里有一双拖鞋，从中随机取一只，放回后再取一只，则两次取出的鞋都是左脚的鞋的概率为14
. 3.(10分)有两辆车按1，2编号，舟舟和嘉嘉两人可任意选坐一辆车，则两个人同坐2号车的概率为14
. 4.(10分)有五张卡片，每张卡片上分别写有1，2，3，4，5，洗匀后从中任取一张，放回后再抽一张，两次抽到的数字和为 6 的概率最大，抽到和大于8的概率为325
. 5.(10分) 如图，随机闭合开关K 1，K 2，K 3中的两个，求能让两盏灯泡同时发光的概率. 解：列举出闭合三个开关中的两个的全部结果：K 1K 2，K 1K 3，K 2K 3.
所有可能的结果共有3种，并且这三种结果出现的可能性相等.
只有同时闭合K 1、K 3，才能让两盏灯泡同时发光（记为事件A ），
所以（）P A 13
. 6.(20分)一个不透明的袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1,2,3,4.随机地摸取一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球.求下列事件的概率：
(1)两次取出的小球标号相同；
(2)两次取出的小球标号和等于4.
解：两次取出小球的标号列举如下：
共有16种可能的结果.
（1）其中两次取出的小球标号相同（记为事件A ）的结果有4种，所以（）P A ==41164
. （2）两次取出的小球标号和等于4（记为事件B ）的结果有3种，即（1,3），（2,2），（3,1），所以（）P B =316
. 二、综合应用（20分）
7.(20分)在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x ，小敏从剩下的3个小球中随机取出一个小球，记下数字为y ，这样确定了点P 的坐标（x ，y ）.
（1）请你运用列表的方法，表示出点P 所有可能的坐标；
解：如下表：
（2）求点（x ，y ）在函数y=-x +5图象上的概率.
由表示可知，共有12种可能的结果，并且它们出现的可能性相等.
其中满足在函数y=-x +5的图象上（记为事件A ）的结果有4种，所以（）P
A ==41123
. 三、拓展延伸（10分） 8.(10分)有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是多少？
解：设两把锁分别为m 、n ，三把钥匙分别为a 、b 、c ，且钥匙a 、b 能分别打开锁m 、n.列举出所有可能的配对结果：
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳
2017-2018人教版九年级上册数学课本知识点归纳 第二十一章 二次根式 一、二次根式 1．二次根式：把形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式， “ ” 表 示二次根号。 2．最简二次根式：若二次根式满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。 3．化简：化二次根式为最简二次根式（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。（2）如果被开方数是整数或整式，先将他分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。 4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。 5．代数式：运用基本运算符号，把数和表示数的字母连起来的式子，叫代数式。 6．二次根式的性质 （1）)0()(2≥=a a a )0(≥a a （2）==a a 2 )0(<-a a
（3）)0,0(≥≥?=b a b a ab (乘法) （4）)0,0(≥≥=b a b a b a (除法) 二、二次根式混合运算 1．二次根式加减时，可以把二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的最简二次根式进行合并。 2．二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 第二十二章一元二次方程 一、一元二次方程 1、一元二次方程 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax ，其中2ax 叫做二 次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。 二、降次----解一元二次方程 1．降次：把一元二次方程化成两个一元一次方程的过程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次) 2、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做 直接开平方法。直接开平方法适用于解形如x 2 =b 或b a x =+2)(的一元
九年级下册数学29.3 课题学习 制作立体模型(导学案)
29.3 课题学习制作立体模型 一、导学 1.课题导入 问题：怎样由视图转化为立体图形？ 这节课我们通过动手实践来体会这个过程. 2.学习目标 (1)体验平面图形向立体图形转化的过程. (2)体会用三视图表示立体图形的作用. (3)进一步感受平面图形与立体图形之间的关系. 3.学习重、难点 重点：根据三视图制作立体模型. 难点：具体操作. 4.自学指导 （1）自学内容：教材P105~P106. （2）自学时间：30分钟. （3）自学方法：准备刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯等参与活动. （4）课题活动参考提纲： ①以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组三视图所表示的立体模型. 图1 图2 ②按照下面给出的两组三视图，用马铃薯做出相应的实物模型. 图3 图4
③下面每组平面图形都是由四个等边三角形组成. a.其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案； b.画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的； c.如果上图中小三角形的边长都是1，那么对应的多面体的表面积是多少？ cm2） ④下面的图形由一个扇形和一个圆组成. a.把上面的图形描在纸上，剪下来，围成一个圆锥. b.画出由上面图形围成的圆锥的三视图. c.如果上图中扇形的半径为13 cm，圆的半径为5 cm，那么对应的圆锥的体积是多少？ 1 ×π×52cm3). 3 ⑤结合具体实例，写一篇介绍三视图、展开图的应用的短文. 二、自学 学生结合自学指导进行自学. 三、助学 1.师助生： （1）明了学情：观察学生具体操作中的情况. （2）差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. 2.生助生：小组内相互交流、研讨、总结、归纳. 四、强化 1.由三视图想象实物形状.
初中数学导学案
课题：一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程（三） 编写教师： 学生姓名： 导学目标： 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型， 并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。 重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。 难点：把实际问题转化为数学问题。 教学过程： 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜，并思考下列问题： （1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析。 要解决问题（1）必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积 几分吗？你选择其中哪一行最能说明负一场积几分？ 通过观察积分榜，从最下面一行数据可以发现，负一场积1分，那么胜一场积几分呢？ 解：设胜一场积x 分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x 的值。 例如从第三行的方程：23159=?+x ，解得x=2. 用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分. （1） 如果一个队胜m 场，则负(14-m)场，胜场积分为2m ，负场积分为14-m ， 总积分为2m+(14-m)=m+14。 （2） 如果设一个队胜了x 场，则负了（14-x ）场，若这个队的胜场总积分等于负场总积 分，那么列方程为：x x -=142，解得3 14=x . 想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 这里x 表示一个队所胜得场数，它是一个整数，所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸： 如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗？ 设胜一场积x 分，则前进队胜场积分为10x ，负场积分为（24 -10x ）分，他负了4场，
最新人教版初中九年级数学上册《一元二次方程》导学案
第二十一章一元二次方程 21.1一元二次方程 ——一元二次方程的相关概念 一、新课导入 1.导入课题： 情景：要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比等于下部与全部(全身)的高度比,则雕像的下部应设计多少米高? 问题1：列方程解应用题的一般步骤是什么？（导出审题的关键是寻找等量关系） 问题2：你能画出示意图表示这个问题吗？（用线段AB表示雕像的高度，雕像上部的高度表示为AC,下部的高度表示为BC,在黑板上画出示意图，把这个问题转化为数学问题） 问题3：能反映问题的等量关系的是哪一句话？（根据题意导出关系式 BC2=2AC） 问题4：设雕像下部高BC=x m,请说出你所列的方程，并化简.这个方程是一元一次方程吗？它有什么特点？ 这个方程就是本节课我们将要学习的一元二次方程.（板书课题） 2.学习目标： （1）会设未知数，列一元二次方程. (2)了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. 3.学习重、难点： 重点：一元二次方程的一般形式及相关概念. 难点：寻找等量关系. 二、分层学习 1.自学指导： （1）自学内容：教材第1页到第2页的问题1、问题2. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系列出方程.
（4）自学参考提纲： ①问题1中，要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为x cm，则盒底的宽为(50-2x) cm，盒底的长为(100-2x) cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2可列方程为(100-2x)(50-2x)=3600，你能把它整理为课本上的方程②吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 先去括号5000-100x-200x+4x2=3600 移项合并同类项4x2-300x+1400=0 系数化为1(两边同除以4) x2-75x+350=0 ②问题2中，本次排球比赛的总比赛场数为28场. 设邀请x支队参赛，则每支队与其余(x-1) 支队都要赛一场. 整个比赛中总比赛场数是多少？你是怎样算出来的？ 本题的等量关系是什么？你列出的方程是x(x-1)=28. 你能把它整理为课本上的方程③吗？试说明具体经过哪几步变形得到. 去括号x2-12x=28 系数化为1(两边同乘以2) x2-x=56 2.自学：学生可参考自学指导进行自学. 3.助学： （1）师助生： ①明了学情：观察了解学生是否会寻找等量关系，是否会化简方程. ②差异指导：简要说明问题2中单循环比赛与双循环比赛的区别，对不会寻找等量关系的学生给予辅导，说明化简方程的基本要求. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化： （1）总结寻找等量关系的策略，简要指出哪些公式经常被我们作为寻找等量关系的依据. （2）练习：根据下列问题列方程 ①一个圆的面积是2πｍ2，求半径.πr2=2π ②一个直角三角形的两条直角边相差3cm，面积为9cm2，求较长的直角边的长. 1 x(x-3)=9 2
人教九年级下册数学-相似三角形的应用举例导学案
27.2.3 相似三角形的应用举例青海一中李清 〔学习设计〕
例 5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿 着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的 树的顶端点C？ 分析：, AB l CD l ⊥⊥?AB∥CD，?AFH∽?CFK。 ? FH AH FK CK =，即 8 1.6 6.4 512 1.610.4 FH FH - == +- ，解得FH=8。 数学建模的关键 是生活中的实际 问题转化为数学 问题，转化的方法 之一是画数学示 意图，在画图的过 程中可以逐渐明 问题中的数量关 系与位置关系，进 而形成解题思路。
【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 ２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
人教版九年级数学上册知识点总结
人教版九年级数学上册知识点总结 21.1 一元二次方程 知识点一一元二次方程的定义 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二一元二次方程的一般形式 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 21.2 降次——解一元二次方程 21.2.1 配方法 知识点一直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a . （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方
根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程； ④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边；⑵方程两边都除以二次项系数； ⑶方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；⑷若等号 右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 21.2.2 公式法 知识点一公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个 根为x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程。 （3）公式法解一元二次方程的具体步骤： ①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值②确定公式中a,b,c 的值，注意符号； ③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a,b,c和b-4ac的值代入公式即可求解，
最新人教版2018年九年级数学上册全册导学案(含答案)
第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．
人教版九年级上册数学知识点总结
人教版九年级上册数学知识点总结 一元二次方程 易错点： a≠0 和a=0 方程两个根的取舍 知识点一:一元二次方程的定义:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 注意一下几点： ①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。 知识点二:一元二次方程的一般形式: 一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。 知识点三:一元二次方程的根:使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。 降次——解一元二次方程 配方法 / 知识点一:直接开平方法解一元二次方程 （1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a -. （2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。 （3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 （4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。 知识点二:配方法解一元二次方程 通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。 （1）把常数项移到等号的右边； （2）方程两边都除以二次项系数； （3）） （4）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式； （5）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。 公式法 知识点一:公式法解一元二次方程 （1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为 x= a ac b b 2 4 2 - ± - ，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a,b,c的值直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。 （2）一元二次方程求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ 0)的过程。
人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案
人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 一、课前预习 1.什么是函数？ 2.什么是一次函数？ 3.什么是正比例函数？ 4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？ 二、创设情境 1.问题1 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h） 随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化． 问题2 某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化. 问题3 已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积 S（单位:km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化． 三、形成概念 反比例函数定义： 四、概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数? ;; ; ; ;;
; ;. 五、例题探究 例1.当m ＝时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数？ 例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时,y=6． （1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时,求y的值. （3）当y =8 时，求x的值. 例3.画出的图像.（思考：画出的图像）
六、拓展练习 1．已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x=1.5时，求y的值； （3）当y=6时，求x的值. 2.已知y-1与成反比例，且当x=1时y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数？ 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 学习目标： 1.能用描点法画出反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象和性质，并会用性质解决问题. 学习重难点： 重点：反比例函数的图象和性质 难点：理解反比例函数的性质，并能灵活运用 学习过程： 一、温故知新 1．反比例函数的反比例函数的表达式是 ____________ _______；解析式中自变量x的取值能为0吗？为什么？_______________ _______。 2．一次函数和二次函数的图象分别是，它们性质分别是： 。 3. 画函数图象的一般步骤是（1）；（2）；（3）。
2019-2020九年级数学上册全册导学案
第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项． 一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1） 2＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__． 归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义 等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)． 这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax 2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项． 点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a ≠0是一个重要条件，不能漏掉． 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
人教版九年级数学下册数学活动(导学案)
数学活动 ——利用测角仪测量物高 一、导学 1.活动导入 请同学们准备如下学具：半圆形量角器一个，细线一根，小挂件(或其他小重物)，软尺一个. 这节课我们利用测角仪测量物高. 2.活动目标 （1）能自制测角仪，根据实际情况设计测量物高的方案. （2）能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高. 3.活动重、难点 重点：自制测角仪，测量物高. 难点：测量活动. 二、活动过程 1.活动指导 （1）活动内容：教材P81活动1、2：制作测角仪，测量树的高度；利用测角仪测量塔高. （2）活动时间：45分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： ①自制测角仪： 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小挂件，如图1、2所示，制成的一个简单测角仪. 图1 图2 图3 ②探索测角仪的使用方法：如图3所示，仰角的度数是多少？ ③测量原理探讨:
a.测量底部可以到达的物体的高度，如图4： b.测量底部不可以直接到达的物体的高度，如图5： ④探讨测量方案，设计活动报告: a.测量树高 (底部可以到达的物高)，如图6： b.测量塔高(底部不可到达的物高)，如图7： 图6 图7 ⑤活动实施: a.设计测量方案. b.实际测量，记录数据. c.整理数据计算物高. d.填写活动报告. 课题 测量示意图 测量数据 测量项目第一次第二次平均值 计算过程 结论 3.助学
（1）师助生： ①明了学情：了解学生是否能制作测角仪、设计测量方案，并积极参与活动. ②差异指导：全班学生每6人一组分组活动，指导学生制作测角仪、设计测量方案，督促学生认真完成活动. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化 （1）底部可以到达的物高的测量原理. （2）底部不可到达的物高的测量原理. 三、评价 1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：从学生参与活动的积极性、动手操作能力等方面进行评价. （2）纸笔评价：活动报告评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性，指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪，对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助，增强与学生的互动和交流，将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识进行解答. 一、基础巩固（60分） 1. (20分)某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB，四个小组测量和记录数据如下表所示：
新人教版九年级上册数学全册教案
《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥02=a（a≥0（a≥0）． （3（a≥0，b≥0； a≥0，b>0a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1a≥0a≥0）2＝a（a≥0）； （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0）
人教九年级下册数学-平行投影与中心投影导学案
29.1 投影 李度一中陈海思 第1课时平行投影与中心投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。 2.了解平行投影和中心投影的区别。 3.了解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。（二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 了解正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【情境引入】 活动1 设问：你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗？影子与物体有着怎样的联系呢？教师展示实物及图片，学生观察、思考，感知物体与投影之间的关系。
学生讨论、发表观点；教师归纳。 总结出投影、投影线、投影面的概念。 总结：一般地，用光线照射物体，在上，得到的叫做物体的投影，叫做投影线，投影所在的叫做投影面。【自主探究】 活动2 教师给学生展示一组阳光下的投影图片，设问：下列投影中，投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生观察、思考、归纳，教师指导。 归纳总结：由形成的投影叫做平行投影。 试举出平行投影在生活中的应用实 例。。 活动3 出示一组灯光下的投影，学生观察投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生分析、回答。 归纳总结：由发出的光线形成的投影叫做中心投影。 试举出中心投影在生活中的应用实 例。。 活动4 出示教材88页练习：将物体与它们的投影用连接起来。 【合作探究】 活动5： 问题1
九年级数学上册人教版教案
x 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式 ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动 1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． 1 (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3) ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程 2x －1＝3 的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动 2 探究新知
根据题意列方程． 1．教材第2页问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？
初三数学导学案
宜宾县课改联盟学校九年级数学科导学案 一、学习目标 1.掌握利用图形的相似测量物体的高度，并画出实际问题的平面示意图。 二、学习重点 重点：用相似三角形的知识解决旗杆等物体的测量问题。 三、自主预习 1.旧知回顾 (1)什么是相似三角形？. (2)相似三角形的性质是什么？ (3)相似三角形判定方法有哪些？ 四、合作探究 1.请你想办法测量一下学校操场旗杆有多高？ (1)如何利用太阳光照射的影子来测？能画出具体示意图吗？ (2)需要哪些测量工具？ (3)应测量哪些数据？ (4).小组合作，看看还有哪些方法？ 2.拿一根高 3.5米的竹竿立在离旗杆底部B27米的C处（如图）然后沿BC的方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A与竹杆顶部E恰好在同一直线上，又测得C,D两点间的距离为3米，小芳的目高1.5米这样便可知道旗杆的高度。 你认为这种测量方法可行吗？请说明理由？ A E F B C D
3.如图，小明在地面上放置了一个平面镜E 来测量旗杆AB 的高度，镜子与旗杆的距离EB=20米，镜子于小明的距离ED=2米，小明刚好从镜中看到旗杆的顶端A 。已知小明眼睛的高度CD=1.5米，则旗杆AB 的高度是多少米? 五、巩固反馈 1.某建筑物在地面的影长为36米，同时高为1.2米的侧杆影长为2米，那么该建筑物的高为_________米。 2.垂直于地面的竹竿的影长为12米，其顶端到期影子顶端的距离为13米，如果此时测得某小树的影长为6米，则树高___________米。 3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 4．在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 5.在河的两岸有对应的A 、B 两点，请你利用相似三角形的知识设计一个方案测量并求出AB 的距离。并说明理由。 C D E A B
【人教版】九年级数学上册全册导学案
第二十一章一元二次方程 21．1一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念． 重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索． 难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．
一、自学指导．(10分钟) 问题1： 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为__(100－2x)cm __，宽为__(50－2x)cm __．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x 2－75x ＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__． 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他__(x －1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x （x －1）2__场．列方程__x （x －1）2 ＝28__，化简整理，得__x 2－x －56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．
北师大版下册数学九年级第1章导学案全集
1.1 锐角三角函数 第1课时正切与坡度 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗?
2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习：
数学人教版九年级上册初中数学
新人教版初中数学九上圆周角教学设计 一、内容和内容解析 本节教学内容源于人教版九年级上册“24.1.4圆周角”，属于“空间与图形”领域中“圆”的内容。 圆心角、圆周角是与圆有关的角，圆周角是在垂径定理、圆心角及弧、弦、圆心角的关系定理的基础上学习的。圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等以及证明圆中三角形相似等数学问题提供了十分便捷的方法和思路。 圆周角定理的证明，采用完全归纳法，通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明，渗透了分类讨论和一般到特殊的化归思想，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，进一步发展学生的逻辑思维能力和演绎推理能力。 教学过程中，应注意积极创设问题情境，突出图形性质的探索过程，垂视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来发现和探索圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系，同时还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。 基于上述分析，确定本节教学重点是： 直观操作与推理论证相结合，探索并论证圆周角定理及其推论，发展推理能力，渗透分类讨论和化归等数学思想和方法。 二、目标和目标解析 1．理解圆周角的定义。通过与圆心角的类比，明确圆周角的两个特征：①顶点在圆上；②两边都与圆相交，会在具体情景中辨别圆周角。 2．掌握圆周角定理及其推论。经历操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角定理 的探索过程，发展学生的逻辑思维能力和推理论证以及用几何言语表达的能力；提高运用数学解决实际问题的意识和能力，同时对学生进行辩证唯物主义的教育。 3．通过对圆周角定理的论证，渗透分类讨论、化归等数学思想和方法。 4．引导学生对图形进行观察、研究、添加辅助线，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答 问题的活动中获取成功的体验，培养学习的自信心。 三、问题诊断分析 教师教学可能存在的问题：（1）创设问题情景，以具体的实际问题为载体，引导学生对概念和性质的学 习是新课程倡导的教学方法，在本课中要求列举一些典型的、贴近学生生活实际的例子是不容易做到的；（2）不能设计有效的数学问题，使学生通过有思维含量的数学问题，展开有效的数学教学活动，引导学 生积极地探索圆周角的性质，发展学生的教学思维；（3）过分强调知识的获得，忽略了数学思想和方法 的渗透；（4）对学生学习过程中所体现出来的态度和情感关注不够，以至于不能很好地激发好奇心和求 知欲，体验成功的乐趣，培养自信心。 学生学习中可能出现的问题：（1）对圆柱形海洋馆的构造缺乏了解，致使不能很好地理解视角、圆周角 等概念；（2）对完全归纳法、分类讨论等数学思想和方法理解有困难；（3）一般到特殊的转化、辅助线的添加、论证过程的书写等都将是学生学习过程中的弱点。 鉴于上述分析，确定本节的教学难点是：列举典型的、贴近学生生活实际的例子，通过设计有效的、有思维含量的数学问题，激活学生的数学思维，引导探索圆周角的性质，理解分类讨论证明数学命题的思想和方法。 四、教学支持条件设计 教学中，为帮助学生更好地探索发现圆周角与同弧所对的圆心角的关系，在学生动手操作的基础上，利用《几何画板》的度量功能和动画功能，准确、全面验证在试验操作中发现的结论，直观、形象地展现了同弧所对的圆周角与圆心角及同弧所对的圆周角之间的关系，感受过程的真实性，增强了学生的参与程度，提高了学习的积极性。
人教版九年级上册数学公式汇总
第二十一章 二次根式 1、一个正数有两个平方根；在实数范围内，负数没有平方根。 2、一般地，我们把形如 （a ≥0）的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。 3、a （a ≥0）是一个非负数.当a 为带分数是，要把a 改写成假分数，即53 22要写成 53 8 4、二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0）， 2 a =a （a ≥0） 5、用基本运算符号（基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式。 6、二次根式的乘法规定：a ×b =ab （a ≥0,b ≥0） 7、二次根式的除法规定：b a =b a （a ≥0, b ＞0） 8、最简二次根式条件：①被开方数不含字母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 9、二次根式加减法法则：先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式 10、同类二次根式即指被开方数相同的最简二次根式 11、平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b) 完全平方公式：（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2 12、二次根式除法没有分配率，任何非零数的零次幂都是1，（ab ）m =a m b m 第二十二章 一元二次方程 1、 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 2、 一元二次方程的一般形式：ax 2 +bx+c=0(a ≠0),其中ax 2 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 3、 使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做这个方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。 4、 解一元二次方程的方法： （1） 直接开方法：如果方程能化成x 2 =p 或（mx+n ）2 =p(p ≥0)的形式，那么可得x=p ± 或mx+n=p ± （2） 配方法：步骤：第一步，把方程化成一般形式（二次项系数是1）；第二步，把常 数项移到方程的右边；第三步，配方，方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步，把方程左边写成含有未知数的代数式的平方的形式，即（x-k ）2 =h(h ≥0)；第五步，用直接开平方法解方程。 （3） 公式法：Δ=b 2-4ac 叫做方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)根的判别式。当Δ＞0时，方程 ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个相