有理数的巧算技巧

〖学习目标〗能巧妙运用有关数学定律和数学方法，解决复杂的有理数计算题。

1.〖重点难点预见〗利用运算律巧算

2.凑整法计算

3.恰当分组计算

4.裂相想消巧算

5.分解相约计算

6.错位相减计算

〖学习流程〗

1.利用运算律巧算

例1.()()[]54134

31618387

÷-?-+-

小结：在计算中应该合理的使用各种运算规律，才能使计算变得简单有序

2.凑整法计算

例1. 89+899+8999+89999+899999

小结：找到一定规律，使数凑成整数

3.恰当分组计算

例2. (1+3+......+2011) —（2+4+ (2010)

小结：如何将一个算式分成若干个才能使计算变得简单

4.裂相想消巧算

例4. 211?+321?+431?+ (200019991)

小结：根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以互相抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫做拆项法。常用的拆项方法：①()111

11++?-=n n n n ②d n n d n n d ++?-=11)(③()()211+?+?n n n =()()()[]211112

1+?++?-?n n n n 5.分解相约计算

例5.2006?20082008—2008?20062006

小结：分解的目的是为了找到相同项

6.错位相减计算

例6. S=1+2+22+32+........+20112

小结：n 2=122-?n ，常见与错位相减得计算中

有理数巧算

有理数运算中的几个技巧有理数的运算是初中数学中的基础运算，熟练地掌握有关的运算技巧，巧妙地运用有关数学方法，是提高运算速度和准确性的必要保证．下面介绍一些运算技巧．一、归类运算进行有理数的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷．如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等．例1 计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721)．解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(721) = (－0.5 + 2.75) + (341－721) = 2.25－44 1=－2 ．解法二：－(0.5)－(－3 41) + 2.75－(721) =－0.5 + 341+ 2.75－721= (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －21=－2．评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法．二、凑整求和将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例2 计算：36.54228263.46+-+。解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、整千等数，这样便于迅速得到答案．三、裂项相消法:凡是带有省略号的分数加减运算，可以用这种方法例：解：应用关系式来进行“拆项”。原式

四、逆用运算律在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧妙地逆用分配律，使解题简洁明快．例4 计算：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88．解：17.48×37＋174.8×1.9＋8.74×88 =17.48×37＋(17.48×10)×1.9＋17.48×44 =17.48×37＋17.48×19＋17.48×44 = 17.48×(37＋19＋44) = 1748．评析：很明显，灵活变形，逆用分配律，减少了运算量，提高了解题效率．五、巧拆项将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。例5 计算：111125434236 -+-+。解：原式()111125434236??=-+-++-+-+ ?? ? 3642212121212??=+- +-+ ??? 11221212 =+=。例6 计算：20082009200920092009200820082008?-?。解：原式2008200910001000120092008100010001=??-?? 0=。评析：对于这些题目结构复杂，长度较大的数，用常规的方法不易解决．解这类问题要根据题目的结构特点，找出拆项规律，灵活巧妙地把问题解决．六、分组搭配观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69 = (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69) = 0＋0＋0＋…＋0 = 0．评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．七、倒序相加在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简化．

有理数的简便计算练习题

小专题一) 有理数的混合运算 1．计算： (1)(－8)－(＋3)＋(－6)－(－17)；解：原式＝－8－3－6＋17 ＝0. (2)－1.3＋4.5－5.7＋3.5；解：原式＝(－1.3－5.7)＋(4.5＋3.5) ＝1. (3)－9＋6－(＋11)－(－15)；解：原式＝－9＋6－11＋15 ＝(－9－11)＋(6＋15) ＝－20＋21 ＝1. (4)34－72＋(－16)－(－23 )－1；解：原式＝34－72－16＋23 －1 ＝－134 . (5)113＋(－25)＋415＋(－43)＋(－15 )．解：原式＝[113＋(－43)]＋[(－25)＋(－15)]＋415 ＝0＋(－35)＋415 ＝－13 . 2．计算：

(1)23÷12×4；解：原式＝23×2×4 ＝184. (2)(－12)3×82；解：原式＝－18×64 ＝－8. (3)(－3)×(－56)÷(－114)；解：原式＝－3×56÷54 ＝－3×56×45 ＝－2. (4)18－6÷(－2)×(－13); 解：原式＝18－6×(－12)×??? ?－13 ＝18－1 ＝17. (5)2－(－4)＋8÷(－2)＋(－3)．解：原式＝2＋4－4－3 ＝－1. 3．计算： (1)－14－2×(－3)2÷(－16)；解：原式＝－1＋2×9×6 ＝－1＋108

＝107. (2)(－2)2×7－(－3)×6－|－5|；解：原式＝4×7＋18－5 ＝28＋18－5 ＝41. (3)8－23÷(－4)×(－7＋5)；解：原式＝8－8÷4×2 ＝8－4 ＝4. (4)－32＋5×(－85 )－(－4)2÷(－8)；解：原式＝－9－8＋2 ＝－17＋2 ＝－15. (5)(－43)÷29 －16÷[(－2)3＋4]；解：原式＝－43×92 －16÷(－4) ＝－6＋4 ＝－2. (6)(－1)3×(－12)÷[(－4)2＋2×(－5)]．解：原式＝12÷(16－10) ＝12÷6 ＝2. 4．计算： (1)(－4)2×(－2)÷[(－2)3－(－4)]；

七年级数学上册有理数的巧算专项训练

七年级数学上册有理数的巧算专项训练 1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：

这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________，于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫――平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算3001×2999的值．练习1 计算103×97×10009的值．练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．

练习4 计算：． 3．观察算式找规律例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分． 87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．

例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6计算1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：练习一：

1．计算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100； (3)1991×1999-1990×2000； (4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；

浙教版初一奥赛培训第01讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性． 1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．

注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式＝(211×555+211×445)+(445×789+555×789) ＝211×(555+445)+(445+555)×789 ＝211×1000+1000×789 ＝1000×(211+789) ＝1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S＝1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S＝(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n＝n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然

(完整版)有理数的大小比较的方法与技巧

有理数的大小比较的方法与技巧数的大小比较，是数学中经常遇到的问题，现介绍几种数的大小比较的方法和技巧． 1．作差法比较两个数的大小，可以先求出两数的差，看差大于零、等于零或小于零，从而确定两个数的大小．即若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．例1已知A＝987654321×987654324，B＝ 987654323×987654322，试比较A和B的大小．解：设987654321＝m，则A＝m(m+3)，B＝(m+1)(m+2) ∵A-B＝m(m+3)-(m+1)(m+2) ＝m2+3m-m2-3m-2 ＝-2＜0。 ∴A＜B。 2．作商法比较两个正数的大小，可以先求出这两个数的商，看商大于1、等于1或小于1，从而确定两个数的大小．

3．倒数法比较两个数的大小，可以先求出其倒数，视其倒数的大小，从而确定这两个数的大小． 4．变形法比较大小，有时可以通过把这些数适当地变形，再进行比较．分析：此题如果通分，计算量太大，可以把分子变为相同的，再进行比较．例6比较355、444、533的大小．解∵ 355＝(35)11＝24311 444＝(44)11＝25611 533＝(53)11＝12511

∴ 444＞355＞533 5、利用有理数大小的比较法则有理数大小的比较法则为：正数都大于零，负数都小于零；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小．例7 特别需注意的一点，就是关于两个负数大小的比较，其一般步骤如下：(1)分别求出两个已知负数的绝对值；(2)比较两个绝对值的大小；(3)根据两个负数比较大小的法则得出结果．例8 解： 6、利用数轴比较法在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．根据这一点可把须比较的有理数在数轴上表示出来，通过数轴判断两数的大小．例9已知：a＞0，b＜0，且|b|＜a，试比较a，-a，b，-b的大小．解：∵a＞0，b＜0，说明表示a、b的点分别在原点的右边和左边，又由|b|＜a知表示a的点到原点的距离大于表示b的点到原点的距离，则四个数在数轴上表示如图：

培优第二讲--有理数的运算与巧算含答案

第二讲有理数的巧算技巧与巧算答案基础夯实：一、填空题 1、计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋ … ＋99＋（－100）＝___-50_______ 2、计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－99＝_____-50_____ 3、若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ___＜_____ 0.（填＞、＜号） 4、如果|a |＝3，|b |＝2，若ab ＜0，那么a -b ＝_____5_____ 5、25.2-减去85-与8 3 -的差，所得的结果＝______-2____ 2 1 2-、+3、-1.2的和比它们绝对值的和小＝_____7.4_____ 6、若实数a 、b 满足0a b a b +=，则ab ab ＝_____-1______. 7、如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为 1 2 的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为1 4的正方形等分成两个面积为1 8 的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算 11111111 248163264128256 +++++++ ＝____256255 ______. 8、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和为___0______； 9、计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=???归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测1-22018的个位数字是______3____. 10．．、．3．.．05．．万是精确到．．．．．__．．百______．．．．．．位的近似数．．．．．．． 11、地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为__11 101.5?_______ 米． 12．．、测得某同学的身高约是．．．．．．．．．．．1．.．66．．米，那么意味着他的身高的精确值．．．．．．．．．．．．．．．h ．的取值范围是在．．．．．．． 1.665h 1.655<≤ ．．二、选择题 1、在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ B ） A ． 1 B ．0 C ．－1 D ．－3 2、若a ＜0，则|a －(－a )|等于（ D ） A ．－a B ．0 C ．2a D ．－2a 3、两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（ D ） A ．两数一定都是正数 B ．两数都不为0

有理数混合运算简便算法与技巧

有理数的计算方法与技巧有理数运算是代数入门的重点，又是难点，是中学数学中一切运算的基础，怎样突破这一难点，除了要正确理解概念和掌握运算法则外，还必须熟练有理数运算的一些技巧和方法，一定要正确运用有理数的运算法则和运算律，从而使复杂问题变得较简单。一、四个原则： ①整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 ②简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 ③口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 ④分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。二、运算技巧 ①归类组合：运用交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等。例：计算：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) 解法一：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) = (－0.5 + 2.75) + (3 41－721) = 2.25－4 41 =－2

解法二：－(0.5)－(－341) + 2.75－(72 1) =－0.5 + 341+ 2.75－72 1 = (3 + 2－7 ) + (－0.5 + 41+ 0.75 －2 1)=－2 评析：解法一是小数与小数相结合，解法二整数与整数结合，这样解决了既含分数又含小数的有理数加减运算问题．同学们遇到类似问题时，应学会灵活选择解题方法． ②凑整：将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消。将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加)，可以降低解题难度，提高解题效率．例：计算：--+-+-116223445513116 38. 分析：本题六个数中有两个是同分母的分数，有两个互为相反数，有两个相加和为整数，故可用“凑整”法。解：原式=-++--+-()()(.)116116223513445 38 =-+=-81 7 例：计算：19＋299＋3999＋49999 解：19＋299＋3999＋49999 =20－1＋300－1＋4000－1＋50000－1 = (20＋300＋4000＋50000)－4 = 54320－4 = 54316．

初一奥数数学竞赛第一讲_有理数的巧算

初一奥数数学竞赛第一讲有理数的巧算 1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789) =211×(555+445)+(445+555)×789

=211×1000+1000×789 =1000×(211+789) =1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然 n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即

初中七年级有理数的混合运算的技

一、理解运算顺序有理数混合运算的运算顺序： ①从高级到低级：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键例1.计算：3＋50÷22×(51-)－1 ②从内向外：如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的. 例2.计算： () []23 2 3 1 5.0 1 1- - ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? - - ③从左向右：同级运算，按照从左至右的顺序进行（或应用分配律、结合律）；例3：计算： ?? ? ? ? ? - + ?? ? ? ? ? - ÷ ?? ? ? ? ? - - 3 8 8 7 12 7 8 7 4 3 1 二、应用四个原则： 1、整体性原则：乘除混合运算统一化乘，统一进行约分；加减混合运算按正负数分类，分别统一计算，或把带分数的整数、分数部分拆开，分别统一计算。 2、简明性原则：计算时尽量使步骤简明，能够一步计算出来的就同时算出来；运算中尽量运用简便方法，如五个运算律的运用。 3、口算原则：在每一步的计算中，都尽量运用口算，口算是提高运算率的重要方法之一，习惯于口算，有助于培养反应能力和自信心。 4、分段同时性原则：对一个算式，一般可以将它分成若干小段，同时分别进行运算。如何分段呢?主要有： (1)运算符号分段法。有理数的基本运算有五种：加、减、乘、除和乘方，其中加减为第一级运算，乘除为第二级运算，乘方为第三级运算。在运算中，低级运算把高级运算分成若干段。一般以加号、减号把整个算式分成若干段，然后把每一段中的乘方、乘除的结果先计算出来，最后再算出这几个加数的和． (2)括号分段法，有括号的应先算括号里面的。在实施时可同时分别对括号内外的算式进行运算。 (3)绝对值符号分段法。绝对值符号除了本身的作用外，还具有括号的作用，从运算顺序的角度来说，先计算绝对值符号里面的，因此绝对值符号也可以把算式分成几段，同时进行计算． (4)分数线分段法，分数线可以把算式分成分子和分母两部分并同时分别运算。例4.计算：-0.252÷(－1 2 )4-(-1)101＋(-2)2×(-3)2

有理数运算技巧

有理数运算技巧山西省朔州市朔城区四中贾孝伟学习目标能够运用运算律对现有的计算进行简便运算．学习重点（难点）：运算律的灵活运用．教学过程：一、学前准备：有理数的乘法运算法则；（两数相乘，同号得正，异号得负，同零、同1相乘）小学学过的有关的乘法的运算律：（乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律）二、自学指导计算：____)3()5(____)5()3(=-?+=+?-；　 ____)]3()6[()4(____)3()]6()4[(=-?+?-=-?+?-； ____)3 1()6()21()6(____)]31()21[()6(=-?-++?-=-++?-；　概括：有理数的乘法仍满足交换率、结合律和乘法分配律．乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变． ba ab = 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变． )()(bc a c ab = 乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加． ac ab c b a +=+)( 根据乘法交换律和结合律可以推出：三个以上有理数相乘，可以任意交换乘数的位置，也可以先把其中的几个数相乘．

三、例题讲解：（一）、巧用交换律与结合律（二）、逆用乘法的分配律 1、互为倒数的两数结合例1、-3×（-57）×（-31）× 74 解：原式=【-3×（-31）】【（-57）×74】=1×（-54）=-5 4 2、能互相约分的两数结合例2、-23×（-78）×415×52×（-89）× 15 11 解：原式=（-23×52）×【（-78）×（-89）】×（415× 15 11 ） =-53×79×411=-140 297=-2 140173、能凑成整数、十、百等两数结合例3、-125×（-25）×（-5）×2×（-4）×（-8）解：原式=-（125×8）×（25×4）×（5×2） =-1000×100×10

七年级上册奥数提高班讲义有理数的巧算

第一讲有理数的巧算【学习导航】有理数的运算是中学数学中一切运算的基础。它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算。不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。 1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算下式的值： 211×555+445×789+555×789+211×445．试一试 (1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；例2在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？ 2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________ 于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________ 这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3计算3001×2999的值．

试一试（1）103×97×10009 （2）（3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1) （4） 3．观察算式找规律例4某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．例6计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．例7 计算：

6、有理数巧算

老师姓名学生姓名教材版本________版学科名称年级七上课时间月日 _ : -- _ : 课题名称第六讲有理数巧算教学目标及重难点巧算练习教学过程复习检查知识梳理裂项法零点分段法 1.零点分段法的一般步骤：①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号．绝对值的几何意义的拓展 1.a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． 2.a b 的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．典型例题 1．利用裂项技巧计算（）×33时，最恰当的方案可以是（）

A．（100﹣）×33 B．（﹣100﹣）×33 C．﹣（99+）×33 D．﹣（100﹣）×33 2．在计算＝﹣×（﹣24）…．①＝12+6+4＝22中①运用了（） A．加法结合律B．加法交换律C．乘法分配律D．加法分配律 3．阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣）， ∴+++…+ ＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝．以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：（1）+＝；（2）当+++…+x＝时，最后一项x＝． 4．计算：++…+（提示：裂项法） 5．阅读下面文字：对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）可以如下计算：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]

＝[（一5）+（﹣9）+17+（一3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1 上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，请你计算：（﹣1）+（﹣2000）+4000+（﹣1999） 6．请你观察：＝﹣，＝﹣；＝﹣；… +＝﹣+﹣＝1﹣＝； ++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；… 以上方法称为“裂项相消求和法” 请类比完成：（1）+++＝；（2）++++…+＝．（3）计算：++++的值． 7．阅读下列计算方法，再用这种方法计算下面一题．计算：（﹣9）+17+（﹣3）．解：原式＝[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）++（﹣）]＝5+0＝5．上面这种解题方法叫做拆项法，根据拆项法计算：（﹣1999）+4000+（﹣1）

有理数运算的几种特殊方法

有理数运算的几种特殊方法王尧兴有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。一、倒序相加法例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。① 再将S各项倒过来写为 S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。② 将①，②两式左右分别相加，得从而有说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用表示；最后一项叫末项，通常用表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数用 n表示（），则该题也可以用等差数列的求和（）公式：来计算。二、错位相减法例2 计算的值。分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。解：设，① 所以②

②－①，得，所以。说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。三、裂项相减法例3 计算分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋ (100) 到等差数列求和公式：，所以，又有想到，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。解：原式说明：本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相抵消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用。四、换元法在有理数运算及其他代数式的运算中，我们常常把式中出现的相同部分用字母表示，从而使问题简化。例4 计算：分析：四个括号中均包含一个共同部分：，我们用一个字母表示它以简化计算。解：设，则

第1讲-绝对值、有理数的巧算专题精选.

第一讲绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理 1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥ 2.裂项常用到的关系式（1）b a a b b a 11+=+；（2）111)1(1+-=+a a a a ；（3）b a a b a a b +-=+11)(；（4）2 )1(321n n n ?+=++++Λ. 3.绝对值表示距离的应用 n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴上依次排列的点表示的有理数）. （1）当n 为偶数时，若1 22+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若2 1+=n a x ，则原式有最小值. 4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ?=?)(；（2）?????-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n )( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——a a 例题1 用a 、 b 、 c 表示任意三个非零的有理数，求c c b b a a ++的值. 【活学活用】 1.设0

2.若0≠ab ，则b b a a +的取值不可能是（） A.0 B.1 C.2 D.-2 3.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则ab ab b b a a ++的取值可能是（） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1 ★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++