3.4函数的应用(Ⅱ)习题课教案
习题课
【学习要求】
1.进一步掌握常用的函数模型,并会应用它们来解决实际问题;
2.提高在面临实际问题时,通过自己建立函数模型来解决问题的能力.
试一试：双基题目、基础更牢固
1.某商店出售A 、B 两种价格不同的商品,由于商品A 连续两次提价20%,同时商品B 连续两次降价20%,结果都以每件23元售出,若商店同时售出这两种商品各一件,则与价格不升不降时的情况比较,商店盈利情况是 ( )
A.多赚约6元
B.少赚约6元
C.多赚约2元
D.盈利相同
解析：设A 、B 两种商品的原价为a 、b,则a(1＋20%)2＝b(1－20%)2＝23?a ＝23×2536,b ＝23×2516
,a ＋b －46≈6(元). 2.某地区植被破坏、土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则下列函数中与沙漠增加数y 万公顷关于年数x 的函数关系较为相似的是 ( )
A. y ＝0.2x
B. y ＝110(x 2＋2x)
C. y ＝2x 10
D. y ＝0.2＋log 16x 解析：将(1,0.2),(2,0.4),(3,0.76)与x ＝1,2,3时,选项A 、B 、C 、D 中得到的y 值做比较,y ＝2x 10
的y 值比较接近,故选C. 3.国家规定个人稿费纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税.已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前) ( )
A. 2 800元
B. 3 000元
C. 3 800元
D. 3 818元
解析：设扣税前应得稿费为x 元,则应纳税额为分段函数,由题意,得y ＝????? 0 ，－
，11%·x
如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税420元,所以稿费应在800～4 000元之间,∴(x －800)×14%＝420,∴x ＝3 800.
4.某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍,且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt (其中k 为常数,t 表示时间,单位:小时,y 表示病毒个数),则k ＝______,经过5小时,1个病毒能繁殖为______个.
解析： 当t ＝0.5时,y ＝2, ∴2＝e 12k , ∴k ＝2ln 2, ∴y ＝e 2tln 2, 当t ＝5时, ∴y ＝e 10ln 2＝210＝1 024.
研一研：题型解法、解题更高效
题型一 二次函数模型的应用
例1 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关
解：由表中可知,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶,设在进价的基础上增加x 元后,日均销售利润为y 元,在此情况下的日均销售量为:480－40(x －1)＝520－40x(桶).由于x ＞0,所以520－40x ＞0,即0＜x ＜13.y ＝(520－40x)x －200＝－40x 2＋520x －200,0＜x ＜13. 易知,当x ＝6.5时,y 有最大值.
所以,只需将销售单价定为11.5元,就可获得最大的利润.
小结：有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值,从而解决实际问题中的最值问题.利用二次函数求最值时特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
跟踪训练1 某农家旅游公司有客房300间,每间日房租为20元,每天都客满. 公司欲提高档次,并提高租金,如果每间客房日增加2元,客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素,旅社将房间租金提高到多少时,每天客房的租金总收入最高？
解：设客房日租金每间提高2x 元,则每天客房出租数为300－10x, 由x ＞0,且300－10x ＞0,得0＜x ＜30.
设客房租金总收入y 元,则y ＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x －10)2＋8 000(0＜x ＜30) 由二次函数性质可知当x ＝10时,y max ＝8 000. 所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时,客户租金总收入最高,为每天8 000元.
题型二 选择函数的拟合问题
例2
(1)与身高x (cm)的函数关系？试写出这个函数模型的解析式.
(2)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为偏瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？
分析1：上表提供的数据对应的散点图大致如何？
答：以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图
分析2：根据这些点的分布情况,可以选用怎样的函数模型进行拟合,使它符合题目要
求？
答：根据点的分布特征,可用y ＝a·b x 刻画这个地区未成年 男性的体重与身高关系.
分析3： 怎样确定拟合函数中参数a,b 的值？
答：由于函数y ＝a·b x 含有两个参数a,b,所以取表中的两组数据代入函数解析式,解方程组求出.
分析4：如何验证得到的函数和实际问题之间拟合的好坏程度？
答：将已知数据中的身高数代入得到的函数解析式,如果得出的y 值和表中体重的数据相等或比较接近,则说明拟合的程度好,否则拟合的程度不好.
分析5： 你能写出例2的解题过程吗？
解：(1)以身高为横坐标,体重为纵坐标,画出散点图.根据点的分布特征,可考虑以y ＝a·b x 作为刻画这个地区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.如果取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25),代入y ＝a·b x
得: 7.9＝a·b 70 和47.25＝a·b 160 , 用计算器算得a≈2,b≈1.02.这样,我们就得到一个函数模型:
y ＝2×1.02x .将已知数据代入上述函数解析式,或作出上述函数的图象,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系.
(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x 得y ＝2×1.02175, 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2, 所以,这个男生偏胖. 小结：依据问题给出的数据,建立反映数据变化规律的函数模型的探索方法为:
(1)首先建立直角坐标系,画出散点图; (2)根据散点图设出比较接近的可能的函数模型的解析式;
(3)利用待定系数法求出各解析式; (4)对模型拟合程度进行检验,若拟合程度差,重新选择拟合函数,若拟合程度好,符合实际问题,就用这个函数模型解释实际问题.
跟踪训练2 为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x 与当年灌溉面积y.现有连续
(1);
(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm,可以灌溉土地多少公顷？
解：(1)利用计算机几何画板软件,描点如图甲.
(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉
面积y 和最大积雪深度x 满足线性函数模型y ＝a ＋bx.取其中的两组数据
(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y ＝a ＋bx,得?????
21.1＝a ＋10.4b 45.8＝a ＋24.0b
,解得 a≈2.4,b≈1.8.这样,我们得到一个函数模型:y ＝2.4＋1.8x.作出函数图象如图
乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好
地反映积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由y ＝2.4＋1.8×25,求得y ＝47.4,即当积雪深度为25 cm 时,可以灌溉土地47.4公顷.
题型三 指数型函数模型的应用
例3 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题,认识人口数量的变化规律,可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年,英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型:y ＝y 0e rt ,其中t 表示经过的时间,y 0表示t ＝0时的人口数,r 表示人口的年平均增长率.下表是1950～1959年我国的人口数据资料:
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率(精确到0.000 1),用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型,并检验所得模型与实际人口数据是否相符;
(2)如果按表中的增长趋势,大约在哪一年我国的人口达到13亿？
解：(1)设1951～1959年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.由
55 196(1＋r1) ＝56 300,可得1951年的人口增长率
r1≈0.020 0.同理可得,r2≈0.021 0,r3≈0.022 9,
r4≈0.025 0,r5≈0.019 7,r6≈0.022 3,r7≈0.027 6,
r8≈0.022 2,r9≈0.018 4.于是,1951～1959年期间,我国人口的年均增长率为r＝
(r1＋r2＋…＋r9)÷9≈0.022 1.令y0＝55 196,则我国在1950～1959年期间的人
口增长模型为
y＝55 196e0.022 1t,t∈N.根据表中的数据作出散点图,并作出函数
y＝55 196e0.022 1t(t∈N)的图象.
由图可以看出,所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合.
(2)将y＝130 000代入y＝55 196e0.022 1t,由计算器可得t≈38.76.
所以,如果按表的增长趋势,那么大约在1950年后的第39年(即1989年)我国的人口就已达到13亿.由此可以看到,如果不实行计划生育,而是让人口自然增长,今天我国将面临难以承受的人口压力.
小结：(1)已给出函数模型的实际应用题时,关键是考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.
(2)判断所得到的数学模型是否拟合,必须使所有数据基本接近数学模型,对于一般的应用问题,不会让数学模型完全符合,只是基本符合,对此,无最优解,只有满意解.
跟踪训练3已知1650年世界人口为5亿,当时人口的年增长率为0.3%;1970年世界人口为36亿,当时人口的年增长率为2.1%.
(1)用马尔萨斯人口模型计算,什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
(2)实际上,1850年以前世界人口就超过了10亿;而2003年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
解：(1)已知人口模型为y＝y0e rt,其中y0表示t＝0时的人口数,r表示人口的年增长率.
若按1650年世界人口5亿,年增长率为0.3%估计,有y＝5e0.003t.当y＝10时,解得t≈231.
所以,1881年世界人口约为1650年的2倍.同理可知,2003年世界人口数约为1970年的2倍.
(2)由此看出,此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况.
课堂小结：
1.函数模型的应用实例主要包括三个方面
(1)利用给定的函数模型解决实际问题;
(2)建立确定性的函数模型解决问题;
(3)建立拟合函数模型解决实际问题.
2.函数拟合与预测的一般步骤
(1)能够根据原始数据、表格,绘出散点图.
(2)通过考察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上,滴“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情,但在实际应用中,这种情况是一般不会发生的.因此,使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧,使两侧的点大体相等,得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.
(3)根据所学函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.
(4)利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解
一次函数的应用知识点梳理及经典例题讲解 知识梳理 10 min. 1、一次函数的概念 若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）特别地，当b=0时，称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图象 ①一次函数y=kx+b 的图象是一条经过（0,b ）（- b k ，0）的直线，正比例函数y=kx 的图象是经过原点（0，0）的一条直线。 ②在一次函数 y kx b =+中 当0k >时，y 随x 的增大而增大， 当0b >时，直线交y 轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0b <时，直线交y 轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0
（1）当0x =时，y 的值是多少？ （2）当0y =时，x 的值是多少？ （3）当x 为何值时，0y >？ （4）当x 为何值时，0y <？ 答案：解：（1）当0x =时，1y =-；（2）当0y =时，1 2 x =； （3）当12x > 时，0y >；（4）当12 x <时，0y <． 例2、如图，直线 对应的函数表达式是（） 答案：A 例3、(2008 江苏常州)甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地,已知乙比甲先出发, 他们离出发地的距离s(km)和骑行时间t(h)之间的函数关系如图所示,给出下列说法:【 】
必修1 第三章函数的应用经典例题讲解
第三章 函数的应用 1：函数的零点 【典例精析】 例题1 求下列函数的零点。 （1）y=32x 2-+x ；（2）y ＝（2 x －2）（2 x －3x ＋2）。 思路导航：判断函数零点与相应的方程根的关系，就是求与函数相对应的方程的根。 答案：（1）①当x≥0时，y=x 2 +2x －3，x 2 +2x －3=0得x=+1或x=－3（舍） ②当x ＜0时，y=x 2 －2x －3，x 2－2x －3=0得x=－1或x=3（舍） ∴函数y=x 2 +2|x|－3的零点是－1，1。 （2）由（2x －2）（2 x －3x ＋2）＝0，得（x ＋2）（x －2）（x －1）（x －2）＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝1，x 4＝2。 ∴函数y ＝（x 2 －2）（x 2 －3x ＋2）的零点为－2，2，1，2。 点评：函数的零点是一个实数，不是函数的图象与x 轴的交点，而是交点的横坐标。 例题2 方程|x 2－2x|=a 2+1 （a∈R + ）的解的个数是______________。 思路导航：根据a 为正数，得到a 2 +1＞1，然后作出y=|x 2 －2x|的图象如图所示，根据图象得到y=a 2 +1的图象与y=|x 2 －2x|的图象总有两个交点，得到方程有两解。 ∵a∈R + ∴a 2 +1＞1。而y=|x 2 －2x|的图象如图， ∴y=|x 2 －2x|的图象与y=a 2 +1的图象总有两个交点。 ∴方程有两解。 答案：2个 点评：考查学生灵活运用函数的图象与性质解决实际问题，会根据图象的交点的个数判断方程解的个数。做题时注意利用数形结合的思想方法。 例题3 若函数f （x ）＝ax ＋b 有一个零点为2，则g （x ）＝bx 2 －ax 的零点是（ ） A. 0，2 B. 0，12 C. 0，－12 D. 2，－1 2 思路导航：由f （2）＝2a ＋b ＝0，得b ＝－2a ，∴g （x ）＝－2ax 2－ax ＝－ax （2x ＋1）。令g （x ）＝0，得x 1＝0，x 2＝－1 2 ，故选C 。 答案：C 【总结提升】 1. 函数y =f （x ）的零点就是方程f （x ）=0的根，因此，求函数的零点问题通常可转化为求相应的方程的根的问题。 2. 函数与方程二者密不可分，二者可以相互转化，如函数解析式y ＝f （x ）可以看作方程y －f （x ）＝0，函数有意义则方程有解，方程有解，则函数有意义，函数与方程体现了
一次函数的应用题型总结(经典实用!!!!)
一次函数的应用题型总结（经典实用） 用一次函数的解决实际问题。 类型一根据题目中信息建立一次函数关系式或找出符合题意的图像，再根据函数的性质解决问题； 1、学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的（） 2、．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，?中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y?（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（） 3．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（） 1 / 7
4、从甲地到乙地，汽车先以速度，行驶了路程的一半，随后又以速度()行驶了余下的一半，则下列图象，能反应汽车离乙地的距离(s)随时间(t)变化的函数图象的应为（） 5.一支蜡烛长20厘米,点燃后每小时燃烧5厘米,燃烧时剩下的高度n(厘米)与燃烧时间 t(时)的函数关系的图象是( ) (A) (B) （C）（ 6、为加强公民的节水意识，某市对用水制定了如下的收费标准，每户每月用水量不超过l0吨时，水价每吨l.2元，超过l0吨时，超过部分按每吨1.8元收费。该市某户居民，8月份用水吨 （），应交水费元，则与的关系式为__________ 7、购买作业本每个0．6元，若数量不少于13本，则按8折优惠． （1）写出应付金额y元与购买数量元之间的函数关系式： （2）求购买5本、20本的金额； （3）若需12本作业本，怎样购买合算? 8、一个蓄水池有153m的水，用每分钟3 5.0m的水泵抽水，设蓄水池的含水量为) (3 m Q， 抽水时间为分钟） (t。 ⑴写出Q关于t的函数关系式⑵求自变量t的取值范围⑶画出函数图象 2 / 7
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二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点
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一次函数的应用典型练习题 1、若点(1,2)及(m ，3)都在正比例函数y=kx 的图象上，求m 的值. 2、已知直线y=kx+b 经过点(-2,-1)和点(2,-3)，求这条直线的函数解析式. 3、某一次函数的图象平行于直线 ，且过点(4,7)，求函数解析式. 4、某地市区打电话的收费标准为：3分钟以内（含3分钟）收费0.2元,超过分钟,每增加1分钟(不足1分钟,按1分钟计算)加收0.11元,那么当时间超过3分钟时,求:电话费y(元)与时间t(分)之间的函数关系式. 5、为了加强公民的节水意识，某市制定了如下的用水收费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨1.2元;超过10吨时,超过的部分按每吨1.8元收费,该市某户居民5月份用水x 吨(x ＞10),应交水费y 元,求y 与x 之间的函数关系式. 6、 声音在空气中传播的速度y （米/秒）（简称音速）是气温x （℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温时的音速： （1）求y 与x （2）气温x=22（℃）时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声音响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多远？ x y 2 1
7、去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用 水，采取分段收费标准，若某居民每月应交水费是用水量的函数，其函数图象如图所示： (1)分别写出x≤5和x>5时，y与x的函数解析式； (2)观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准. (3)若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 8、甲乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球拍和乒乓球，乒乓球拍每付定价20元，乒乓 球每盒5元，现两家商店搞促销活动，甲店：每买一付球拍赠一盒乒乓球；乙店：按定价 的9折优惠，某班级需要购球拍4付，乒乓球若干盒（不少于4盒）. （1）、设购买乒乓球盒数为x（盒），在甲店购买的付款数为y甲（元），在乙店购买的 付款数为y乙（元），分别写出在两家商店购买的付款数与乒乓球盒数x之间的函数关系 式. （2）就乒乓球盒数讨论去哪家商店购买合算？ 9、某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.使用这 两种卡租书，租书金额y（元）与租书时间x（天）之间的关系如图所示. （1）分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y（元）与租书时间x（天）之间的函数关系 式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ （3）若两种租书卡的使用期限均为一年，则在这一年中如何选择这两种租书方式比较合 算？
对数函数典型例题
对数运算与对数函数复习 例1．求下列函数的定义域： （1）2log x y a =； （2）)4(log x y a -=； （3）)9(log 2x y a -=． 例2．比较下列各组数中两个值的大小： （1）2log 3.4，2log 8.5； （2）0.3log 1.8，0.3log 2.7； （3）log 5.1a ，log 5.9a . （4）0.91.1， 1.1log 0.9，0.7log 0.8； 例3．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47) a y x x =-+（0a >且1a ≠）．
例4．（1）已知：36log ,518,9log 3018求==b a 值. 例5．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。
对数运算与对数函数复习练习 一、选择题 1．3 log 9log 28的值是( ) A ．32 B ．1 C ．2 3 D ．2 2．函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16] 3．函数2x log y 5+=(x ≥1)的值域是( ) A ．R B ．[2，＋∞] C ．[3，＋∞] D ．(－∞，2) 4．如果0
初中一次函数典型应用题
中考一次函数应用题 近几年来，各地的中考题中越来越多地出现了与函数有关的经济型考试题，这种类型的试题，由于条件多，题目长，很多考生无法下手，打不开思路，在考场上出现了僵局，在这里，我特举几例，也许对你有所帮助。 例1已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M，N两种型号的时装共80套。已知做一套M型号的时装需要A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利润45元；做一套N型号的时装需要A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利润50元。若设生产N种型号的时装套数为x，用这批布料生产这两种型号的时装所获总利润为y元。 （1）求y与x的函数关系式，并求出自变量的取值范围； （2）雅美服装厂在生产这批服装中，当N型号的时装为多少套时，所获利润最大？最大利润是多少？ 例2某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。 y（元）与通话次数x之间的函数关系式； （1）写出每月电话费 （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。 例3 荆门火车货运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往广州，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节，已知用一节A型货厢的运费是0.5万元，用一节B型货厢的运费是0.8万元。 y（万元），用A型货厢的节数为x（节），试写出y与x之间的（1）设运输这批货物的总运费为 函数关系式； （2）已知甲种货物35吨和乙种货物15吨，可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请你设计出来。 （3）利用函数的性质说明，在这些方案中，哪种方案总运费最少？最少运费是多少万元？
必修一函数经典例题
例4．已知log 4log 4m n <，比较m ，n 的大小。 解：∵log 4log 4m n <， ∴ 4411 log log m n < ， 当1m >，1n >时，得4411 0log log m n << ， ∴44log log n m <， ∴1m n >>． 当01m <<，01n <<时，得4411 0log log m n <<， ∴44log log n m <， ∴01n m <<<． 当01m <<，1n >时，得4log 0m <，40log n <， ∴01m <<，1n >， ∴01m n <<<． 综上所述，m ，n 的大小关系为1m n >>或01n m <<<或01m n <<<． 例5．求下列函数的值域： （1）2log (3)y x =+；（2）22log (3)y x =-；（3）2log (47)a y x x =-+（0a >且1a ≠）． 解：（1）令3t x =+，则2log y t =， ∵0t >， ∴y R ∈，即函数值域为R ． （2）令2 3t x =-，则03t <≤， ∴2log 3y ≤， 即函数值域为2(,log 3]-∞． （3）令2247(2)33t x x x =-+=-+≥， 当1a >时，log 3a y ≥， 即值域为[log 3,)a +∞， 当01a <<时，log 3a y ≤， 即值域为(,log 3]a -∞． 例6 ．判断函数2()log )f x x =的奇偶性。 x 恒成立，故()f x 的定义域为(,)-∞+∞， 2()log )f x x -= 2 log =- 2 log =- 2log ()x f x =-=-， 所以，()f x 为奇函数。 例7．求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 解：令2 2 3 132()2 4u x x x =-+=-- 在3[,)2+∞上递增，在3 (,]2 -∞上递减， 又∵2 320x x -+>， ∴2x >或1x <， 故2 32u x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减， 又∵13 2log y u =为减函数， 所以，函数213 2log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增，在(,1)-∞上递减。 例8．若函数2 2log ()y x ax a =--- 在区间(,1-∞上是增函数，a 的取值范围。 解：令2 ()u g x x ax a ==--，
八年级数学-一次函数的应用典型例题(一)
八年级数学-一次函数的应用典型例题（一） 一次函数解析式的一般形式是y＝kx＋b(k≠0),利用这一关系式可以解决一些实际问题或几何题．现举例说明如下． 例1 某种储蓄的月利率是0．36％,今存入本金100元,求本息和(本金与利息的和)y(元)与所存月数x之间的函数关系式,并计算5个月后的本息和(1998年宁夏回族自治区中考题) 分析∵利息＝本金×月利率×月数, ∴y＝100＋100×0．36％×x＝100＋0．36x． 当x＝5时,y＝100＋0．36×5＝101．8,即5个月后的本息和为101．8元． 例2 托运行李P千克(P为整数)的费用为C,已知托运第一个1千克需付2元,以后每增加1千克(不足1千克按1千克计)需增加费用5角,则计算托运行李费用C的公式是______,托运重量为28．4千克的行李需付______元．(1996年安徽省中考题) 分析由题意知C＝2＋0．5(P－1)．(P为自然数) 根据题意,28．4千克应按29千克计算,则当P＝29时,C＝2＋0．5(29－1)＝16(元)． 例3 如图,在直角梯形ABCD中,∠C＝45°,上底AD＝3,下底BC＝5,P是CD上任意一点,若PC 用x表示,四边形ABPD的面积用y表示． (2)当四边形ABPD的面积是梯形ABCD面积的一半时,求点P的位置． 分析 (1)过D,P分别作DE⊥BC,PF⊥BC,垂足为E,F． ∵∠C＝45°, ∴DE＝EC＝BC－AD＝5－3＝2． 在Rt△PFC中,PC＝x, ∠C＝45°,
(2)当四边形ABPD的面积是梯形面积一半时,则 例4 A市和B市分别有某种库存机器12台和6台,现决定支援C村10台,D村8台,已知从A 市调运一台机器到C村和D村的运费分别是400元和800元,从B市调运一台机器到C村和D 村的运费分别是300元和500元． (1)设B市运往C村机器x台,求总运费W关于x的函数关系式； (2)若要求总运费不超过9000元,共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案,最低运费是多少元？ 分析由已知条件填出下表： (1)依题意得函数式： W＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[8－(6－x)] ＝200x＋8600． ∴x＝0,1,2,共有3种调运方案． (3)当x＝0时,总运费最低,即从A市调10台给C村,调2台给D村,从B市调6台给D村,为总运费最低的调运方案,最低运费为8600元．
初二函数知识点及经典例题.
第十八章 函数 一次函数 （一）函数 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。 2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。 *判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。 5、函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式 6、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）； 第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 （二）一次函数 1、一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。 ⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式． ⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数． ⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．
函数概念典型例题
函数概念及其表示---典例分析 例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x y y x == B. 11,y x y = += C. ,y x y == D. 2||,y x y == 点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式： 1．函数f (x )= 2(1)x x x ??+? ,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）. A. 1 B .2 C. 3 D. 4 例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）. 选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。 变式： 1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）. 2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝ 1 2x B. f ：x →y ＝ 1 3x C. f ：x →y ＝1 4x D. f ：x →y ＝1 6 x A. B. C. D.
函数的表达式及定义域—典例分析 【例1】 求下列函数的定义域： （1）1 21 y x = +-；（2 ）y = . 选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞. （2 ）由30 20 x -≥??≠，解得3x ≥且9x ≠， 所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。 变式： 1 ．函数y =的定义域为（ ）. A. (,1]-∞ B. (,2]-∞ C. 11(,)(,1]22-∞-- D. 1 1(,) (,1]2 2 -∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 【例2】已知函数1( )1x f x x -=+. 求： （1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1 (2)3f =-. （2）设11x t x -=+，解得11t x t -= +，所以1()1t f t t -=+，即1()1x f x x -=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等. 变式： 1．已知()f x ＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = . 【例 2】 已知f (x )=33x x -+?? (,1) (1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值. 选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。 解：∵ 0(,1)∈-∞ ， ∴ f 又 ∵ >1， ∴ f )3)-3=2+ 12=52，即f [f (0)]=5 2 . 点评：体现了分类讨论思想。 2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为 t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.
函数的最值经典例题
函数的最值 根据条件确定函数的参数是否存在 例 已知函数1 log )(223++++=cx x b ax x x f ，是否存在实数a 、b 、c ，使)(x f 同时满足下列三个条件：（1）定义域为R 的奇函数；（2）在[)+∞,1上是增函数；（3）最大值是1．若存在，求出a 、b 、c ；若不存在，说明理由． 分析：本题是解决存在性的问题，首先假设三个参数a 、b 、c 存在，然后用三个已给条件逐一确定a 、b 、c 的值． 解：)(x f 是奇函数.1,0log 0)0(3=∴=?=?b b f 又)()(x f x f -=- ，即1 1log 11log 223223++++-=+-+-cx x ax x cx x ax x ， ∴222222222222)1()1(1111x c x x a x ax x cx x cx x ax x -+=-+?++++=-+-+． ∴c a c a =?=2 2或c a -=，但c a =时，0)(=x f ，不合题意；故c a -=．这时1 1l o g )(223+++-=cx x cx x x f 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是1． 设1 1)(22+++-=cx x cx x x u 在[)+∞,1上是增函数，且最大值是3． 2 22222222)1()1)(1(2)1()1(2)1()1)(2()1)(2()(++-+=++-=+++-+-++-='cx x x x c cx x x c cx x cx x c x cx x c x x u ，当1>x 时0)(012>'?>-x u x ，故0>c ；又当1-
二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)之欧阳数创编
函数综合应用题 题目分析及题目对学生的要求 1.求解析式：要求能够根据题意建立相应坐标系，将实际问题转化成数学问题。 需要注意的是： (1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下) (2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。 2. 求最值：实际生活中的最值能够指导人们进行决策，这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方，利用解析式探讨实际问题中的最值问题。（一般式化为定点式） 最值的求法： (1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。 (2) 二次函数求最值是将解析式配方后，结合自变量取值范围来确定的。 3. 求范围，要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题，主要是将函数与不等式结合起来。 推荐思路：画出不等式左右两边的图象，结合函数图象求
出x的取值范围。 备选思路一：先将不等号看做等号，求出x的取值，再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围； 备选思路二：通过分类讨论或者其它方法，直接解出这个不等式。这一问里需要注意的是在注意：最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。 一、求利润的最值 x)(180x20)= x234x8000； (3) W= x234x8000= (x170)210890，当x<170时，W随x增大而增大，但0x160，∴当x=160时，W最大=10880，当x=160时，y=50x=34。答：一天订住34个房间时，宾 馆每天利润最大，最大利润是10880元。2．（本题满分10分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围； （2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利
高一数学函数经典题目及答案
精选 1函数解析式的特殊求法 例1 已知f(x)是一次函数, 且f[f(x)]=4x -1, 求f(x)的解析式 例2 若x x x f 21 (+=+）,求f(x) 例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式 例5 已知f(x)满足x x f x f 3)1()(2=+，求)(x f 2函数值域的特殊求法 例1. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例2. 求函数 22 x 1x x 1y +++=的值域。 例3求函数y=(x+1)/(x+2)的值域 例4. 求函数1e 1e y x x +-=的值域。 例1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3 )5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f
精选 2若函数)(x f 的图象经过)1,0(-，那么)4(+x f 的反函数图象经过点 (A))1,4(- (B))4,1(-- (C))1,4(-- (D))4,1(- 例3 已知函数)(x f 对任意的a b R ∈、满足：()()()6,f a b f a f b +=+- 0,()6a f a ><当时；(2)12f -=。 （1）求：(2)f 的值； （2）求证：()f x 是R 上的减函数； （3）若(2)(2)3f k f k -<-，求实数k 的取值范围。 例4已知{(,)|,,A x y x n y an b n ===+∈Z }， 2{(,)|,315,B x y x m y m m ===+∈Z }，22{(,)|C x y x y =+≤14}，问是否存在实数,a b ，使得 (1)A B ≠?I ，(2)(,)a b C ∈同时成立. 证明题 1.已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时 12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2 f x f x +有不等实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）.
二次函数的实际应用(典型例题分类)
二次函数与实际问题 1、理论应用（基本性质的考查：解析式、图象、性质等） 2、实际应用（求最值、最大利润、最大面积等） 解决此类问题的基本思路是： (1)理解问题； (2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系； (3)用数学的方式表示它们之间的关系； (4)做函数求解； (5)检验结果的合理性，拓展等． 例一：如图在长200米，宽80米的矩形广场内修建等宽的十字形道路，绿地面积y(㎡)与路宽x(m)之间的关系？并求出绿地面积的最大值？ 变式练习1：如图，用50m长的护栏全部用于建造 一块靠墙的长方形花园，写出长方形花园的面积 y(㎡)与它与墙平行的边的长x(m)之间的函数 关系式？当x为多长时，花园面积最大？
例二：某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件. 请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多? 设销售单价为x元，(0＜x≤13.5)元，那么 （1）销售量可以表示为____________________； （2）销售额可以表示为____________________； （3）所获利润可以表示为__________________； （4）当销售单价是________元时，可以获得最大利润，最大利润是__________。 变式练习2：某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子. （1）问题中有哪些变量？其中自变量是_______,因变量是___________. （2）假设增种棵橙子树，那么果园里共有_________棵橙子树,这时平均每棵树结 _________个橙子. （3）如果橙子的总产量为y个，请你写出x与y之间的关系式_______________. （4）果园里种_____棵橙子树橙子的总产量最多，最多是________________。
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§ 1.2.1 函数的概念 ¤知识要点： 1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y = f (x) ， x A ．其中， x 叫自变量， x 的取值范 围 A 叫作定义域，与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域 . 2. 设 a 、b 是两个实数，且 a 函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)
函数与导数经典例题-高考压轴 1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 2. 已知函数21 ()32 f x x = +，()h x = （Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值； （Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33 lg[(1)]2lg ()2lg (4)24 f x h a x h x --=---； （Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1 ()()[(1)(2)()]6 f n h n h h h n -+++≥ ． 3. 设函数ax x x a x f +-=2 2ln )(，0>a （Ⅰ）求)(x f 的单调区间； （Ⅱ）求所有实数a ，使2 )(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立． 注：e 为自然对数的底数． 4. 设2 1)(ax e x f x +=，其中a 为正实数. （Ⅰ）当3 4 = a 时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围. 5. 已知a ， b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自然对数 的底数）。 （I ）求实数b 的值； （II ）求函数f （x ）的单调区间； （III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数 【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义： 拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系： 【典型例题】 题型一 求平均变化率： 例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小. 题型二 实际问题中的瞬时速度 例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ） （1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??； （3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三 求函数的导数及导函数的值 例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四 曲线的切线问题 例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.导数及其应用典型例题