机械振动公式

弹簧串并联

单自由度无阻尼自由振动

单自由度有阻尼自由振动

单自由度有阻尼强迫振动 简谐力直接激励

2

1212

121,111k k k k k k

k k k k k +=+=+=并联

串联),(,)3(;,1,2)2(;

0)()1()(,)(),sin(,sin cos ,,0,0002012020

0022x

x A g

T f T m k dt E E d x

x tg x x A t A x t x t x x m k x x

kx x m st

n n n p k n

n n n n n n n θδωωπωωθωθωωωωωω求响应：静变形法，求固有频率：定义法能量法求微分方程：定理法，=====+=+=+=+===+=+-2

0012002

02

000212ln 1)

(,)(),sin(,1,sin cos )1(,2,2,02,0ζπζζωδζωωθωζωθωωζωωωζωωζωωζωζωζω-=

==+=++=+=-=++=====++=+++--d n j i i n d d n d t n d d d

n d n cr cr n n n T A A j x x x tg x x x A t Ae x t x x t x x m c c c m c x x x kx x c x m n λβζλλβλωω

λλζλαζλλαωω-=+-==-=

=-=+-=-==++-,,)

2()1(11,,12,)2()1(),sin(,sin 2

22221222k

F x x x k F B tg k F B t B x t F kx x c x m st st

n 无阻尼时，

单自由度有阻尼强迫振动

偏心激励

单自由度有阻尼强迫振动

支承运动激励

单自由度有阻尼强迫振动

周期激励

单自由度有阻尼强迫振动任意激励

λ

βζλλλβζλλλζλλωαωωω-+-==+-=

+-=

-==++,)

2()1(,

)

2()1()

2()1(),sin(,sin 222202

2

22

02

2

22

020e m mx m e m k e m B t B x t e m kx x c x m 隔振要有适当阻尼

,1,2,)

2()1()2(1,

)

2()1()2(1)

2()1()()12(

),sin(),2(),sin()(22222

2

222

2

2222

1122 βλζλλζλβζλλζλζλλωλ

ζλ

ααθωζλθθωω+-+==+-+=

+-+=

-=-+==++=+=++--g g g g g g X B

X k c k X B tg t B x tg t c k X kx x c kx x c x

m 1212

()()mx cx kx f t f t x x x ++=+=+叠加原理

傅立叶级数展开

()0

2211

()sin ()21

()()()(),()

1

(),(),()

31

()()(),(),n t

t d d

x F e t d m X F H F Z Z k m jc H Z X s G s F s G s ms cs k

ζωττωττ

ωωωωωωωωωωω--=

-=

==-+===

++?

（）时域求解：杜哈美积分（）频域求解：傅立叶变换机械阻抗，机械导纳，频响函数，（）拉氏域求解：拉普拉斯变换传递函数。

两个自由度振动 系统微分方程建立

两个自由度无阻尼自由振动

为自由度数；

为广义激振力；位移；分别为广义速度，广义散逸函数和系统势能；分别为系统动能，能量式中：

拉格郎日法

n Q q q E E E n i Q q E q E q E q E dt d i i i u d k i i u i d i k i k

),...,2,1()(==??+??+??-??再改写。

程组拉格朗日法导出微分方一般矩阵方程可以先用激振力向量；加速度、速度、位移和分别为为刚度矩阵；为阻尼矩阵；为质量矩阵；式中：矩阵法

?

?????=??????=??????=??????=??

????+--+=??????=??????+--+=??????=???

??

?=??????==++)()()(,,,,,,,,,,,,00,,,)(2121212132222122211211322221222112112122211211t f t f t f x x x x x x x x x

k k k k k k k k k k K c c c c c c c c c c C m m m m m m M t f Kx x C x

M

[]

振型中有一个节点。

阶

画振型图，在第两个固有振型，两个固有频率，的一元两次方程），

，特征方程（关于有要次代数方程），

状态方程（两元一次齐代入得为振幅向量，

设，2,,,);

(,,,,,240,0,0),sin(02112

11

2112,1112222112

12121121212

2

222212,12

1r r k m k r k m k m b k k k K c m m M a a

ac b b M K A A M K A A A t A x x K x

M n n n n n n n n --=

+-=-====--==-≠=-?

??

???=+==+ωωωωωωωθω

4

32124212124123211312010201024232121112242312111432120100201002)2(11)1(122)2(1211)1(11)2(2)1(2222)2(111)1(1)2(1)1(11,,0,0,0,,0),sin cos ()sin cos (,sin cos sin cos ,),

sin()sin(),

sin()sin(D D D D v D r D r D D D r D r D D v x x

x x t D t D r t D t D r x t D t D t D t D x D D D D x

x

x

x x x A A t A r t A r x x x t A t A x x x n n n n n n n n n n n n n n n n 易求则如件时：

零初始条比较方便，特别有较多一般用下式求，初速度向量初位移向量可由初始条件求出；，，，四个未知量主振动的迭加，

求响应，响应应为两个=+=+=+=+====+++=+++=??????=??????=+++=+=+++=+=ωωωωωωωωωωωωθθθωθωθωθω

两个自由度无阻尼强迫振动

多自由度系统振动

坐标，模态分析法振型矩阵，解耦，模态刚度矩阵的正交性；振型向量对质量矩阵和法标准特征值问题的迭代;

1

,,0;,,0212

1

i n

i i n

i i

i A DA M K D Kx x

M A DA K M D Kx x

M A DA ω

ωλ===+===+=--

[][]时有两个共振点；

或当即

程，两元一次非齐次代数方代入得：

设为力幅向量；21212112

11211222222211

2

2

21,,,,,,sin ,sin n n F F M K m k k k m k A A F M K A F A M K t A x F F F t F Kx x

M ωωωωωωωωωωω==?

?????-????????----=??????-==-=?

??

???==+-