第一讲集合与逻辑
第一讲 集合与逻辑
【知识引入】
1.集合12{,,
,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n －1个；非空子集有2n －1个；
非空的真子集有2n
－2个； 2.常见结论的否定形式：
【知识拓展】
集合与命题这一章的相关知识，在自主招生考试中一般是以小题形式出现．但偶尔也综合其它知识点而出现在大题中．
1.命题的否定是四种命题中最麻烦的细节问题．下面是一些常见词语的否定：
“至少有一个”的否定是“一个也没有”；“都是”的否定是“不都是”；“所有”的否定是“某些”， “存在”的否定是“任意”，“或”的否定是“且”． 2.容斥原理：令||
A 表示集合
A 中元素的个数，则
1211||||||m i
i j i m
i j m
A A A A A A ≤≤≤<≤=-∑∑
11
2
1||(1)||m i
j
k m i j k m
A A A A A A -≤<<≤+
-
+-∑
3.德摩根定理：U 是全集，()()()u u u C A B C A C B =,()()()u u u C A B C A C B =．
4.集合的差：{}
A B x x A x B -=∈?且 5.抽屉原则：
抽屉原则有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则．抽屉原理常常结合几何、整除、数列和染色等问题出现，它是组合数学中一个重要的原理．把它推广到一般情形有以下几种表现形式．
形式一：
证明：设把1n +个元素分为n 个集合12n A A A 、、
、，用12n a a a 、、
、表示这n
个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i a 大于或等于2（*
n N ∈）．
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个i a 都有2i a ＜，则因为i a 是整数，应有1i a ≤，于是有：121111n a a a n n +≤++
+=+++＜
这与题设矛盾．
所以，至少有一个2i a ≥，即必有一个集合中含有两个或两个以上的元素． 形式二：
设把1nm +个元素分为n 个集合12n A A A 、、
、，用12n a a a 、、、表示这n 个
集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i a 大于或等于1m +（*
m n N ∈、）．
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个i a 都有1i a m +＜，则因为i a 是整数，应有
i a m ≤，于是有：12+1n a a a m m m n m n m +≤++
+=??++＜
n 个m
这与题设相矛盾．所以，至少有存在一个1i a m ≥+
【高斯函数】：对任意的实数x ，[]x 表示“不大于x 的最大整数”.例如：[3.5]3=，
[ 2.5]3-=-，[7]7=，……一般地，我们有：[][]+1x x x ≤＜．
形式三：
证明：设把n 个元素分为k 个集合12k A A A 、、
、，用12k a a a 、、、表示这k
个集合里相应的元素个数，需要证明至少存在某个i a 大于或等于[]n k
．
（用反证法）假设结论不成立，即对每一个i a 都有[]i n a k
＜，于是有： 12[][][][]k n n
n n n
a a a k k n k k
k k k
+≤++
+=?≤?=++
k 个[]n
k
∴ 12k a a a n +++
＜
这与题设相矛盾．所以，必有一个集合中元素个数大于或等于[]n
k
．
【典例精讲】
例1.（2012年复旦）设A B C 、、是某集合的三个子集，且满足()()A B B A C --?，
则
()()A C B B C ?--是A B C 为空集的 （ ）
（A ）必要充分条件 （B ）充分条件，但非必要条件 （C ）必要条件，但非充分条件 （D ）即非必要条件，也非充分条件 ?分析与解答： 由于()
()A B B A C --?，故两个阴影部分均为φ；则：=A ⅠⅣⅤ，
=B ⅢⅣⅤ，=C ⅠⅡⅢⅤ．
（1）=A
B C φ，则=φⅤ．所以=A ⅠⅣ，()()=C B B C --ⅠⅡⅣ，则
()
()A C B B C ?--成立．
（2）若()
()A C B B C ?--，由于()()=C B B C --ⅠⅡⅣ、=A ⅠⅣⅤ，
所以?(ⅠⅣⅤ)(ⅠⅡⅣ)．所以=φⅤ，所以=A
B C φ．
故选A
例2.（2011复旦千分考）设S 是由任意5n ≥个人组成的集合，如果S 中任意4个人中都至少有1个人认识其余3个人，那么，下面的判断中正确的是（ ）． （A ）S 中没有人认识S 中的所有人 （B ）S 中至少有一个人认识S 中的所有人 （C ）S 中至多有2个人不认识S 中的所有人 （D ）S 中至多有2个人认识S 中的所有人 ?分析与解答：
如果设S 中所有人都互相认识，显然这样的S 符合题目条件，从而,A D 都是错误的．
又设,,a b c 是S 中的3个人，,,a b c 中每个人都不认识其他任何人，而除,,a b c 外，其他3
n -个人
认识所有的人．显然这样的集合符合要求，故C 是错误的．
B 的证明，由于S 中任意4个人中都至少有一个人和其余3个人互相认识，故认识的
总人次最少是：4
3n C ，
由于4
23(1)(2)(3)3(2)(3)4!(1)42n n
n n n n C n n n n C ?---??
????--??==??????-?
???????
3214?≥=（因为5n ≥） 这里[]x 表示取整函数或高斯函数，由抽屉原理知：S 中至少有一个人认识S 中的所有人，故选B ．
例3.（2009交大）珠宝店丢失了一件珍贵珠宝，以下4人只有1人说真话，只有1人偷了珠宝．
甲：我没有偷． 乙：丙是小偷． 丙：丁是小偷． 丁：我没有偷．则说真话的人是 ，偷珠宝的人是 ． ?分析与解答：
4人中有且仅有一人说真话．
先假设甲说的是真话，即甲没有偷，由于丙说的是假话，故丁不是小偷，由于丁说的也是假话，故丁是小偷，矛盾！
设乙说的是真话，即丙是小偷，但由于丁说的是假话，故丁也是小偷，矛盾！ 设丙说的是真话，即丁是小偷，但由于甲说的是假话，故甲也是小偷，矛盾！ 故只有丁说的是真话，且由于甲说的是假话，故甲是小偷．
例4.（2006复旦）若非空集合{|135}X x a x a =+≤≤-，{|116}Y x x =≤≤，则使得
X X Y ?成立的所有a 的集合是 （ ）．
（B ）{|07}a a ≤≤ （B ）{|37}a a ≤≤ （C ）{|7}a a ≤ （D ）空集 ?分析与解答： 一方面，X X
Y ?；另一方面，X Y X ?，故X X Y =，而这又等价于X Y ?．再
注意到集合X 非空，故有351
113516a a a a -≥+??
+≥??-≤?
37a ?≤≤，应选B ．
注：注意本题中的“非空”二字．
例5.（2008武大）有50名学生参加跳远和铅球两项测试，跳远和铅球测试成绩合格的分
别有40和31人，两项测试成绩均不及格的有4人，两项测试成绩均及格的有多少人？ ?分析与解答：
这是一道涉及容斥原理的试题，记A ={跳远测试成绩及格的学生}，B ={铅球测试成绩及格的学生}，依题意，||40.||31A B ==，两项成绩测试均合格的学生为A
B ，又
||50446A B =-=，由容斥原理，
||||||||A B A B A B =+-，故||||||||40314625A B A B A B =+-=+-=，即两
项测试成绩均合格的学生有25人．
注：本题也可结合文氏图，设两项测试成绩都及格的有x 人，有方程
(31)(40)450x x x +-+-+=，解得：25x =．
例6.（2010复旦）设集合X 是实数集R 的子集，如果点0x R ∈满足：对任意0a >，都存在x X ∈，使得00||x x a <-<，那么称0x 为集合X 的聚点，用Z 表示整数集，则在下列集合：①|,01n n Z n n ??∈≥?
?+??②\{0}R ；③1|,0n Z n n ??
∈≠????
，④整数集Z 中．以0为聚点的集合有（ ）．
（A ）②③ （B ）①④ （Ｃ）①③ （Ｄ）①②④ ?分析与解答：
这是一道学习型问题，根据定义，“聚点”这个概念应理解为以任意无穷小为半径，以0x 为圆心的圆内都至少有X 的一个元素．（不包括0x ） 对集合①123{0,,,,
}234
，若取13a =
，则不存在|,01n x n Z n n ??∈∈≥??+??
，满足
1
0|0|3
x <-<
．显然②③是以０为聚点．对集合④，若令12a =（不是唯一的取法，只要1
a <即可），也不存在x X ∈，使得0|0|x a <-<． 综上，应选（Ａ）．
例7.7月份的天热得人都不想工作，只想呆在有空调的房间里．可小张却没有办法休假，因为他是一个空调修理工，为了让更多人好好休息，他只能放弃自己的休息．在过去的7月份里，小张每天至少修理了一台空调．由于技术过硬，每一台空调都能在当天修理好．8月1日结算的时候，大家发现小张在7月份一共修理了56台空调．
求证：存在连续的若干天（也可以是1天），在这些天里，小张恰好修理了5台空调． ?分析与解答：
我们来考察“连续的若干天”里小张修理的空调台数．设小张在第i 天修理了x i 台空调，其中i =1，2，…，31．则：x 1 上面的两组数（共62个）均在1到61之间（包括这两个数），由抽屉原理，必有二个数是相等的，且相等的两个数应该来自不同的组．从而x 1+x 2+…+x q = x 1+x 2+… +x p +5．(q>p ) 由此可见 x p+1+x p+2+…+x q =5． 即从第p+1天开始到第q 天修理的空调正好是5台． ?点评：本题的难点在于将题中结论转化为抽屉原理的数学模型． 例8.求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数． ?分析与解答： 记{1,2,3, ,100}{11002(2)}I A x x x x ==≤≤，,且能被整除记为， }5,1001{},3,1001{x x x C x x x B ≤≤=≤≤=，由容斥原理， +??? ???+??????=+---++=31002100C B A A C C B B A C B A C B A 7430100151001010061005100=?? ? ???+??????-??????-??????-??????，所以不能被2，3，5整除的数有 26=-C B A I 个． 例9.（2010浙大）设集合{|()}M x f x x ==，{|(())}N x f f x x ==． （1）求证：M N ? （2）若()f x 是一个在R 上单调递增的函数，是否有M N =？若是，请证明． ?分析与解： （1)若M =?，显然M N ?成立；若M ≠?，任取0x M ∈，即有00()f x x =，则 000(())()f f x f x x ==，即0x N ∈，故M N ?． （2）结论是M N =，下证N M ?． 若N =?，则结论显然成立；若N ≠?，任取0x N ∈，即有00(())f f x x =，下证 00()f x x =．若 00()f x x ≠，不妨先设00()f x x >，由于()f x 是一个在R 上单调递增的函数，故00(())()f f x f x >，与00()(())f x f f x >矛盾！同理,00()f x x <也将导致矛盾！故00()f x x =，即0x M ∈，从而有N M ?． 综合（1）证得M N =． 【方法小结】： 【真题训练】 一．选择题 1.（2009复旦）“要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”的意思是（ ）． （A ）如果()0f x ≥，则[,]x a b ? （B ）如果[,]x a b ∈，则()0f x < （C ）如果[,]x a b ?，则()0f x ≥ （D ）前面3个解释都不准确 2.（2009复旦）设X 是含n (2)n >个元素的集合，,A B 是X 中两个互不相交的子集，分别含有,(,1,)m k m k m k n ≥+≤，则X 中即不包含A 也不包含B 的子集的个数是（ ） （A ）2 22n m n k n m k ----+- （B ）2n m k -- （C ）22 22n n m n k n m k ------+ （D ）12222n n m n k n m k +------+ 3.（2010复旦）设集合,,,A B C D 是全集X 的子集，A B ≠?，A C ≠?，则下列选 项中正确的是（ ） （A ）如果D B ?或D C ?，则D A ≠? （B ）如果D A ?，则u C D B ≠?，u C D C ≠? （C ）如果D A ?，则u C D B =?，u C D C =? （D ）上述各项都不正确 4.（2010复旦）设()f x 时区间[,]a b 上的函数，如果对任意满足a x y b ≤<≤的,x y 都有 ()()f x f y ≤，则称()f x 是[,]a b 上的递增函数，那么，()f x 是[,]a b 上非递增函数应满 足（ ） （A ）存在满足x y <的,[,]x y a b ∈，使得()()f x f y > （B ）不存在,[,]x y a b ∈，满足x y <，且()()f x f y ≤ （C ）对任意满足x y <的,[,]x y a b ∈，都有()()f x f y > （D ）存在满足x y <的,[,]x y a b ∈，使得()()f x f y ≤ 5.（2010复旦）对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是（ ） （A ）逆命题为“周期函数不是单调函数” （B ）否命题为“单调函数是周期函数” （C ）逆否命题为“周期函数是单调函数” （D ）以上三者都不正确 6.（2010复旦）设集合{(,)|log log 0}a a A x y x y =+>，{(,)|}B x y y x a =+<，若 A B =?，则a 的取值范围是（ ） （A ）? （B ）0,1a a >≠ （C ）02,1a a <≤≠ （D ）12a <≤ 二．填空题 7.（2009交大）集合A 满足：若a A ∈，则1 1A a ∈-，若2A ∈，则满足条件的元素个数最少的集合A 为 ． 8.（2008科大）2 2 4{(,)|(1)(2)}5 A x y x y =-+-≤，{(,)||1|2|2|} B x y x y a =-+-≤， A B ?，则a 的取值范围是 ． 三．解答题 9.（2009浙大）给出1,2,3,4,5五个数字，排列这5个数字，要求第一个到第(14)i i ≤≤位置不能由1,2, ,i 得数字组成．如21534不可，因为第一位到第二位由1,2组成，同理32145 也不可．求满足要求的所有可能的组合数． 10.（2007清华）对于集合2 M R ?（表示二维点集），称M 为开集，当且仅当0P M ?∈， 0r ?>，使得20{|||}P R PP r M ∈与{(,)|0,0}x y x y ≥>是否为开集，并证明你的结论．（注：“?”表示“任意”；“?”表示 “存在”） 【参考答案】 1.C 。 “要使函数()0f x ≥成立，只要x 不在区间[,]a b 内就可以了”这句话等价于“x 不在区间[,]a b 内?“函数()0f x ≥” 2.C 。令X 中包含A 的子集组成的集合记为P ，包含B 的子集组成的集合记为Q ，则由容斥原理，X 中包含A 或者包含B 的子集的个数是()||222n m n k n m k P Q ---+=+-，从而X 中 既 不 包 含 A 也不包含 B 的子集的个数是 ()2(222)2222n n m n k n m k n n m n k n m k ---+-----+-=--+ 3.D 。选项A 的反例，如图（a ），此时D A =?；选项B 的反例，如图（b ），若B D A ??， 则X C D B =?；选项C 的反例，如图（c ），易见X C D B ≠?． （a ） （b ） （c ） 4.A 。问题等价于命题“如果对于任意满足a x y b ≤<≤的,x y 都有()()f x f y ≤，则称 ()f x 是[,]a b 上的递增函数”的逆否命题． 5.D 原命题可改写为：如果一个函数单调函数，那么它不是周期函数． 逆命题：如果一个函数不是周期函数，那么它是单调函数． 否命题：如果一个函数不是单调函数，那么它是周期函数． 逆否命题：如果一个函数是周期函数，那么它不是单调函数． 6.D 。集合{(,)|log ()0,0,0}a A x y xy x y =>>>，若(0,1)a ∈，则1xy <，0,0x y >>．由 A B =?知，A 中元素(,)x y 均满足y x a +≥，而0,0x y ++→→时，1xy <成立，但y x a +≥不成立；若(1,)a ∈+∞，则1,0,0xy x y >>>，而y x a +≥恒成立min ()y x a ?+≥，由2y x +≥>．得：2a ≤．故12a <≤． 7.1 {,2,1}2-。 由12112 A A ∈? =-∈-，由11 11(1)2A A -∈? =∈--；又由1 2112 A =∈-，此时集合元素个数最少．（又如，112 {,2,1,3,,}223A =--等也符合要求） A B C D A C D B A B C D 8.[2,)a ∈+∞。 先不妨做一个平移，将坐标原点移到(1,2)，即相当于 224 {(,)|}5 A x y x y =+≤，{(,)|||2||} B x y x y a =+≤，对集合A ，令222x y t +=，其 中 ， t ≤≤ ．设 cos ,sin ,[0,2),||2|||cos |2|sin |2x t a y t a a x y t a t a π==∈+=+≤≤，而A B ?， 故2a ≥． 9.71。用容斥原理来解决：令(14)i A i ≤≤为1,2,3,4,5的排列所组成的集合，它的任一个元素的前i 个数是1,2,3 i 的一个排列． 1234||4!24,||2!3!2612,||3!2!12,||4!24A A A A ===?=?==?===． 1 213142334||3!6,||2!2!4,||3!6,||2!2!4,||3!6 A A A A A A A A A A ===?====?===， 2 4123124134||2!2!4,||2!2,||2!2,||2!2 A A A A A A A A A A A =?=======， 2341234||2!2,||1A A A A A A A ===． 所 以 1234||241212246664442222149A A A A =+++------++++-=，所以 符合题意的数组的个数为1204971-=． 10.集合{(,)|4250}x y x y +->是开集．理由如下： 如图，0{(,)|4250}P x y x y ?∈+->，令0P 到直线4250x y +-=的距离为d ，一旦 0P 给定后，d 是一个大于零的常数．令2 d r = （r 取值不唯一），显然 2 0||{(,)|4250}2d P R PP x y x y ??∈??? ? 集合{(,)|0,0}x y x y ≥>不是开集，理由如下： 令1P 为 y 轴正半轴上的点，则无论r 多么小，总有 21{|||}{(,)|0,0}P R PP r x y x y ∈． {}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的 ①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1- 一. 本周教学内容： 集合与简易逻辑 知识结构： 【典型例题】 例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且 解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时， 是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解： 小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一： 综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。 小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。 解： 小结： 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解： 依题意有： 小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件 解：设有自然数n1 集合与常用逻辑用语 第一节 集 合 一、基础知识 1．集合的有关概念 (1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. (4)五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2．集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B (或B ?A )． (2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A . A B ?????? A ? B ，A ≠B . 既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不 属于A . (3)集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B . 两集合相等：A ＝B ?? ???? A ? B ， A ? B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一 个元素也符合A 中元素的特性． (4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}． 3．集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . 二、常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] (1)(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 (2)已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中 元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 集合与简易逻辑重要知识点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分： 二、知识回顾： （一）集合 1.基本概念：集合、元素；有限集、无限集；空集、全集；符号的使用 . 2.集合的表示法：列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征：确定性、互异性、无序性. 集合的性质： ①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ； ②空集是任何集合的子集，记为A ； ③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ，同时A B ，那么A=B. 如果C A C B B A ，那么，. [注]：①Z ={整数}（√）Z ={全体整数}（×） ②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集.（×）（例： S=N ；A=N ， 则C s A={0}） ③空集的补集是全集. ④若集合A =集合B ，则C B A =，C A B =C S （C A B ）=D （注：C A B =）. 3.①{（x ，y ）|xy =0，x ∈R ，y ∈R }坐标轴上的点集. ②{（x ，y ）|xy ＜0，x ∈R ，y ∈R 二、四象限的点集. ③{（x ，y ）|xy ＞0，x ∈R ，y ∈R }一、三象限的点集. [注]：①对方程组解的集合应是点集. 例：1323 y x y x 解的集合{(2，1)}. ②点集与数集的交集是.（例：A={(x ，y )|y =x +1}B={y |y =x 2+1}则A ∩B =） 4.①n 个元素的子集有2n 个.②n 个元素的真子集有2n －1个.③n 个元素的非空真子集有2n －2个. 5.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题. ②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题. 例：①若325b a b a 或，则应是真命题. 解：逆否：a =2且b =3，则a+b =5，成立，所以此命题为真. ②，且21y x 3y x . 解：逆否：x+y =3x=1或y =2. 21y x 且3y x ,故3y x 是21y x 且的既不是充分，又不是必要条件. ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 3.例：若255x x x 或，. 4.集合运算：交、并、补. 5.主要性质和运算律 （1）包含关系：,,,, ,;,;,. U A A A A U A U A B B C A C A B A A B B A B A A B B I I U U C （2）等价关系：U A B A B A A B B A B U I U U C （3）集合的运算律： 交换律：. ;A B B A A B B A 结合律:) ()();()(C B A C B A C B A C B A 分配律:.) ()()();()()(C A B A C B A C A B A C B A 0-1律：,,,A A A U A A U A U I U I U 等幂律：. ,A A A A A A 求补律：A ∩C U A =φA ∪C U A=U?C U U =φ?C U φ=U 反演律：C U (A ∩B)=(C U A)∪(C U B)C U (A ∪B)=(C U A )∩(C U B) 6.有限集的元素个数 定义：有限集A 的元素的个数叫做集合A 的基数，记为card(A)规定card(φ)=0. 基本公式： (3)card (?U A )=card(U)-card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） ①将不等式化为a 0(x-x 1)(x-x 2)…(x-x m )>0(<0)形式，并将各因式x 的系数化“+”； (为了统一方便) 知识点——集合与常用逻辑用语【知识梳理】 一、集合及其运算 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集 符号N N*(或N＋)Z Q R 2.集合间的基本关系 关系自然语言符号语言Venn图 子集集合A中所有元素都在集合B中(即若 x∈A，则x∈B) A?B (或B?A) 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中 至少有一个元素不在集合A中 A?B (或B?A) 集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B 互为子集 A＝B 3.集合的基本运算 运算自然语言符号语言Venn图 交集由属于集合A且属于集合B 的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集由所有属于集合A或属于集 合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合 ?U A＝{x|x∈U且x?A} 【知识拓展】 1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B. 3．A∩(?U A)＝?；A∪(?U A)＝U；?U(?U A)＝A. 二、命题及其关系、充分条件与必要条件 1．四种命题及相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； (2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件 (1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件； (2)如果p ?q ，但q p ，则p 是q 的充分不必要条件； (3)如果p ?q ，且q ?p ，则p 是q 的充要条件； (4)如果q ?p ，且p q ，则p 是q 的必要不充分条件； (5)如果p q ，且q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1．两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性． 2．若A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则 (1)若A ?B ，则p 是q 的充分条件； (2)若A ?B ，则p 是q 的必要条件； (3)若A ＝B ，则p 是q 的充要条件； (4)若A ?B ，则p 是q 的充分不必要条件； (5)若A ?B ，则p 是q 的必要不充分条件； (6)若A B 且A ?B ，则p 是q 的既不充分也不必要条件． 【易错提醒】 1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x |y ＝lg x }——函数的定义域；{y |y ＝lg x }——函数的值域；{(x ，y )|y ＝lg x }——函数图象上的点集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一个实数；?是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性． 4．空集是任何集合的子集．由条件A ?B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B 求解集合A 时，务必分析研究A ＝?的情况． 5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p ，则q ”，则该命题的否定为“若p ，则q ?”，其否命题为“若p ?，则q ?”． 6．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论． 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 高考冲刺第1讲 集合与简易逻辑 一、知识要点与基本方法： （一）集合的概念 1．集合元素的三大特征：无序、互异、确定 2．集合的表示方法：描述、区间、列举、Venn 3．元素与集合的关系：元素与元素，元素与集合，集合与集合 （二）集合的运算 1．交集 2．并集 3. 补集 4. 集合中所含元素个数及子集个数。 （三）逻辑联结词和四种命题 1. 量词 2. 基本逻辑连接词 3. 真值表 4. 四种命题 （四）充分条件与必要条件 二、典型例题： 例1、设A 、B 是两个集合，对于A B ?，下列说法正确的是（ ） A ．存在0x A ∈，使0x B ∈ B ．B A ?一定不成立 C ．B 不可能为空集 D ．0x A ∈是0x B ∈的充分条件 例2．设集合{}{} 021x M x x m N y y x R =-≤==-∈,,，若 M N φ= ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥－1 B ．m ＞－1 C ．m ≤－1 D ．m ＜－1 例3．集合M ＝{x ││x │＝1}，N ＝{ x │ax ＝1}，M ∪N ＝M ，则实数a 的所有可能值的集合为（ ） A ．{1，－1} B ．{1} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 例4．设集合}|20{},|11{22N q q B N p p A ∈+=∈+=。若M B A = ，则M 中元素的个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、至少3 例5．已知+∈∈R y R x ,，集合}1,2 ,{},1,,1{2+--=---++=y y y B x x x x A ，若A=B ，则2 2y x +的值是（ ） （A ）5 （B ）4 （C ）25 （D ）10 例6.下列4个命题 111:(0,),()()23 x x p x ?∈+∞< 2:(0,1),p x ?∈㏒1/2x>㏒1/3x 31p :(0,),()2x x ?∈+∞>㏒1/2x 411:(0,),()32 x p x ?∈<㏒1/3x 其中的真命题是( ) A 13,p p B 14,p p C 23,p p D 24,p p 例7．设集合101 x A x x -=<+{|},B={x ||x －1|＜a }，若“a =1”是“A ∩B ≠?的( )” A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 例8．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n ＋k|n ∈Z}， k ＝0，1，2，3，4。给出如下四个结论： ①2011∈[1]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]； ④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a －b ∈[0]。 其中，正确结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或 集合与简易逻辑专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等 第一章：集合与常用逻辑用语 §·集合的概念及运算 一、知识清单 1.集合的含义与表示 （1）集合：集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。 （2）常用的集合表示法：①列举法；②描述法；③数轴或图像表示法；④venn 图法 2.集合的特性 3.常用的集合 特 性 理 解 应 用 确定性 要么属于该集合，要么不属于，二者必居其一； 判断涉及的总体是否构成集 合 互异性 集合中的任意两个元素都是不同的； 1.判断集合表示是否正确； 2.求集合中的元素 无序性 集合的不同与元素的排列无关； 通常用该性质判断两个集合 的关系 集合 (){}0|=x f x (){}0|>x f x (){}x f y x =| (){}x f y y =| ()(){}x f y y x =|, (){}x f y = 常见数集的记法： 4.集合间的基本关系 （2）有限集合中子集的个数 【提醒】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。符号表示为：5.集合的运算 集），写作C S A。 二、高考常见题型及解题方法 1.解决集合问题的常用方法 2.集合问题常见题型 （1）元素与集合间关系问题 （2）集合与集合间关系问题 （3）集合的基本运算： ①有限集（数集）间集合的运算； ②无限集间集合的运算：数轴（坐标系）画图、定域、求解； ③用德·摩根公式法求解集合间的运算。 【针对训练】 例1.已知集合A={0,1,2}，则集合B={x-y|x ∈A ，y ∈A}中元素的个数是（ ） A.1 B.3 C.5 D.9 例2.设集合{} {}R x x x P R x x x y y M ∈≤≤-=∈--==,42|,,12|2 ，则集合M 与P 之间的关系式为（ ） 集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 精心整理 第一练集合与常用逻辑用语一.强化题型考点对对练 1.（集合的基本运算）已知集合{|1A x x =≤-或1}x ≥，集合{|01}B x x =<<，则（） A.{}1A B ?= B.A B R ?= C.()(]0,1R C A B ?= D.()R A C B A ?= 【答案】D 2．（集合的基本运算）若集合{}02A x x =<<，且A B B =I ，则集合B 可能是（） A.{}0 2， B.{}0 1， C.{}0 1 2，， D.{}1 【答案】D 【解析】由题意得,因为,所以选B. 3.（集合的基本运算）设集合{}|2M x x =<，{}1,1N =-，则集合M C N 中整数的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】C 【解析】{}(){}|22,2,1,1M x x N =<=-=-Q ，()()()2,11,11,2,M N ∴=--?-?∴e集合M N e中整数只有0，故个数为1，故选C. 4.（集合间的关系）已知集合 ，若，则（） A.0或1 B.0或2 C.1或2 D.0或1或2 【答案】C 【解析】或.故选C. 5．（充分条件和必要条件）设x R ∈，i 是虚数单位， 则“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯虚数”的 A.充分不必要条 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由3x =-，得()()2 22332330x x +-=-+?--=，1314x -=--=-． 而由2230{ 10 x x x +-=-≠，得3x =-．所以“3x =-”是“复数()()2231z x x x i =+-+-为纯数”的充要条件．故选C. 1 高中数学第一册（上） 第一章集合与简易逻辑 ◇教材分析 【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分： 【知识点与学习目标】 【高考评析】 集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法． ◇学习指导 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆． 【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想； 3．分类思想；4．数形结合思想． 2 【解题规律】 1．如何解决与集合的运算有关的问题？ 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题？ 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题． 引言 通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。 1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识； 2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识． 在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了． §1.1集合 〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义； (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义． 〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合． 〖教学过程〗 ☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 1、集合的概念： 在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度 第一章 集合与简易逻辑 （考试时间：60分钟；满分：80分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在下列四个结论中，正确的有( ) (1）843 2-<>x x 是的必要非充分条件； (2）ABC ?中，A>B 是sinA>sinB 的充要条件； (3）213≠≠≠+y x y x 或是的充分非必要条件； (4）0cot tan sin <>x x x 是的充要条件. A .(1)(2)(4) B ．(1)(3)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 2．设集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )的元素个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．设a ∈R ，则a ＞1是1a <1的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中的假命题．．． 是( ) A ．,lg 0x R x ?∈= B ．,tan 1x R x ?∈= C ．3,0x R x ?∈> D ．,20x x R ?∈> 5．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－2 B ．m ≥2 C ．m ≥2或m ≤－2 D ．－2≤m ≤2 7．对于集合A ，B ，“A ∩B=A ∪B ”是“A=B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件集合与简易逻辑知识点归纳(1)
高中数学专题 集合与简易逻辑
集合与常用逻辑用语
集合与简易逻辑知识点
集合与常用逻辑用语重要知识点
知识点集合与常用逻辑用语
2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑
集合与常用逻辑语句
集合与简易逻辑知识点
集合与简易逻辑专题训练
集合与常用逻辑用语(高三复习、教案设计)
必修一集合与简易逻辑知识点经典总结
集合与常用逻辑用语练习测试题.doc
第一章集合与简易逻辑(教案)
集合与简易逻辑测试题(整理)