组合数学题库答案备课讲稿

组合数学题库答案

填空题

1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法．

2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法．

3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______．

4．6()x y +所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程1232++=x x x 的非负整数解的个数为_ 6 ___．

6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系)()1()2(n f n f n f ++=+确定的数列f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列

7．（3x-2y ）20 的展开式中x 10y 10的系数是101010

20)2(3-c ．

8．求6的4拆分数P 4(6)= 2 ．

9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数f (20)=10946

10．计算P 4(12)=

k k P P P P P P 4

412341(12)(12)(8)(8)(8)(8)

===+++∑k k k k P P P P 34

121

1

(8)(8)(5)(4)145515===+++=+++=∑∑

11．P 4(9)=（ D ）A ．5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题

1．集合A a a a 1210{,,,}=的非空真子集的个数为（ A ）A.1022 B.1023 C. 1024 D.1021

2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ） A ．800 B. 780 C. 900 D. 850

3．设x y (,)满足条件x y 10+≤，则有序正整数对x y (,)的个数为（ D ） A. 100 B.81 C. 50 D.45

4．求60123(32)+++x x x x 中x x x 23

012项的系数是（ C ） A.1450 B. 60 C.3240 D.3460

5．多项式40123(24)x x x x +++中项2

20

12x x x ??的系数是（ C ） A ．78 B. 104 C. 96 D. 48

6．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式

A. 63

B. 126

C. 252

D.378

7．递推关系f n f n f n ()4(1)4(2)=---的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解

A ．n n c c 11222-+ B. n c c n 12()2+ C. n c n (1)2+ D. n n c c 1222+

8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n n (1)>位数（ ）运用指数生产定理 A.n n n

43(1)4

-+- B. n n 4314-+ C.n n

4213

-+ D.

n n n 43(1)3-+-

9．不定方程()12n x x x r r n +++=≥正整数的解的个数为多少？（ A / C ）不

确定

A.1r r n -?? ?-??

B.r r n ?? ?-??

C.1n r r +-?? ???

D.1n r r n +-?? ?-??

10．x x x 12314++=的非负整数解个数为（ A ） A.120 B.100 C.85 D. 50

11．从1至1000的整数中，有多少个整数能被5整除但不能被6整除？（ A ）

A.167

B.200

C.166

D.33

12．期末考试有六科要复习，若每天至少复习完一科（复习完的科目不再复习），5天里

把全部科目复习完，则有多少种不同的安排？（ D ） A. 9 B. 16 C.90 D.1800

13．某年级的课外学科小组分为数学、语文二个小组，参加数学小组的有23人，参加语文小组的有27人；同时参加数学、语文两个小组的有7人。这个年级参加课外学科小组人数（ C ）。 A ．50 B ．57 C ．43 D ．11

14．将11封信放入8个信箱中，则必有一个信箱中至少有（ B ）封信。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4

15．组合式???

?

??50120与下列哪个式子相等？（ B ）

A 、???? ??60120

B 、???? ??50119+???? ??49119

C 、512????

??49120 D 、???

? ??49119 16．在{1，2，3，4,5,6}全排列中，使得只有偶数在原来位置的排列方式数为（ A ）。

A 、 2

B 、 4

C 、 9

D 、 24

17．若存在一递推关系01124,956(2)

n n n a a a a a n --==?

?=-≥?则=n a ( A ).

A.n n 323+?

B.n n 232+?

C.123+?n

D.11323+++?n n

18．递推关系n n n n a a a n 12432(2)--=-+≥的特解形式是（ B ）（a 为待定系数） A.n an 2 B. n a 2 C. n an 32 D. n an 22

19．错位排列数n D =( C ) 答案：C

A.n n nD 1(1)++-

B. n n n D (1)(1)++-

C. n n nD 1(1)-+-

D. n n n D 1(1)(1)+++- 20．有100只小鸟飞进6个笼子，则必有一个笼子至少有（ C ）只小鸟 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

21．10个节目中有6个演唱，4个舞蹈，今编写节目单，要求任意两个舞蹈之间至少有1个演唱，问可编写出多少种不同的演出节目单？)4,7()6,6(444766P P A C A ?；

22．数列0{}n n ≥的生成函数是（ D ）。 A 、

()()211t t +- B 、 ()211t - C 、 ()()311t t t +- D 、()

2

1t t -

23．6个男孩和4个女孩站成一圈，如果没有两个女孩相邻，有（ C ）种排法。

A 、(6,4)P

B 、6!(6,4)P ?

C 、6!

(6,4)6

P ? D 、6!(7,4)P ?

24．排A ，B ，C ，D ，E ，F 六个字母，使A ，B 之间恰有2个字母的方式数（ D ）。

A 、12

B 、72

C 、36

D 、144

25．求多重集S a b c {3,2,4}=的8-排列数是（ C ） A. 700 B. 140 C. 1260 D. 1200

26．一糕点店生产8种糕点，如果一盒内装有12块各种糕点，并且可以认为每种糕点无限多，那么你能买到多少种不同的盒装糕点（假设装盒与顺序无关）？（ B ）

Ａ．50000 Ｂ．50388 Ｃ．55000 Ｄ．52788

27．在一次聚会上有15位男士和20位女士，则形成15对男女一共有多少种方式数（ A ）

A ．20!5! B. 20!15! C. 2015 D. 1520

28．n a n =的生成函数是（ D ） A ．

x 21(1)- B. x x 22

(1)

- C. x 21(1)-- D. x x 2(1)-

计算题

1．试确定多重集123={1,,,,}k S a a a a ?∞?∞?∞?的r -组合数。

解：把S 的r —组合分成两类：

①包含1a 的-

r 组合：这种组合数等于-

?∞????∞?∞）的（1

-r },,,{32k a a a 即)1,3()1,1)1()1((1--+=---+-=r r k C r r k C N

②不包含1a 的-

r 组合：这种组合数等于-

?∞????∞?∞r a a a k 的},,,{32组合数 即

),2(),1)1((2r r k C r r k C N -+=-++=

由加法法则，所求的-

r 组合数为),2()1,3(21r r k C r r k C N N N -++--+==

2．求S a b {5,3}=的6-排列数

解： 根据题意有：M a b M a b M a b 123{5,},{4,2},{3,3}===

N N N 1236!6!6!

6,15,205!1!4!2!3!3!=

=====则的全排列数N N N N 12341=++=

3．求x x x 236(1234)+++展开式中x 5的系数

4．求n

x x )21(2++的展开式中5

x 的系数,其中3≥n 。 ???

?

??52n （3≥n ） 解：n x x )21(2++=n n x x 22)1())1((+=+。 又因为∑=???

? ??=+n k k n

x k n x 2022)1(

所以5x 的系数为???

?

??52n （3≥n ）

5．(1)求5n a n =+的生成成函数。（0≥n ）

解：设0

()n

n n A t a t

∞

==

∑，则0

()(5)(1)4n

n

n

n n n A t n t

n t t ∞

∞∞

====

+=++∑∑∑

212

144(1)4(1)(1)t t t t --+-=-+-=

-254(1)t

t -=- (2)解递归关系：H n H n H n ()4(1)4(2)=---， H H (0)1,(1)3==。 答案：解特征方程x 2-4x-4=0 x 1=x 2=2. 得H(n)=2n {1+n/2} 6．求重集S a b c {20,14,20}=的10-组合数。 答案：C(10+3-1 , 10)

7．a b c d 100()+++的展开式在合并同类项后一共有多少项？ 答案：C(100+4-1 , 100).

8．解递推关系.4

49

,4272651021==++-=--a a n a a a n n n ，（2≥n ）

解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （1）

的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为

.3221n n n c c a ?+?=

因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系

()226521≥++-=--n n a a a n n n （2）

有特征根B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得

2])2([6])1([5+++--+-=+n B n A B n A B An

化简得,2722+=-+n A B An 所以

解之得.411,21==B A 于是,4

1

213221++?+?=n c c a n n n 其中21,c c 是待定常

数。由初始条件得???

???

?=+++=++44941121324

27411212

1c c c c 解之得.1,321==c c 所以).2(4

11

21323≥+++?=n n a n n n

??

?=-=2

7212A B A

9.解递推关系n n n a a a n a a 120156235,10.--=-+-==，（2≥n ） 解：递推关系2165---=n n n a a a ()2≥n （1）

的特征方程为0652=+-x x ，特征根为.3,221==x x 故其通解为

.3221n n n c c a ?+?=

因为（1）式无等于1的特征根，所以递推关系

()2326521≥-+-=--n n a a a n n n （2）

有特征根B An a n +=，其中A 和B 是待定常数，代入（2）式得

32])2([6])1([5-++--+-=+n B n A B n A B An

化简得,32722-=-+n A B An 所以 ,2322

1++?+?=n c c a n n n 其解之得.2,1==B A 于是中21,c c 是待定常数。由初始条件得??

?=+++=++10

2232522121c c c c

解之得.1,221==c c 所以).2(23321≥++++=+n n a n n n n 答案：n n n a n 1232+=+++

10．求1到1000之间不能被5 ，6 ，或8整除的自然数的个数。

解：设A 为1至1000的整数中能被5整除的数的个数；B 为1至1000的整数中能被6整除的数的个数；C 为1至1000的整数中能被8整除的数的个数.

则81201000,41241000,25401000,33301000,12581000,16661000,20051000=??

?

???==??????==??????==??????==??????==??????==??????=C B A C B C A B A C B A

所以

400

8412533125166200C B A =+---++=+---++=C B A C B C A B A C B A

即所求为：6004001000=-.

11．在所有的n 位数中，包含数字3、8、9但不包含数字0、4的数有多少？ 解：除去0、4，则在1、2、3、5、6、7、8、9这8个数组成的n 位数中: 令S 表示由这8个数字组成的所有n 位数的集合，则n S 8=； 令P 1表示具有性质：一个n 位数不包含3； 令P 2表示具有性质：一个n 位数不包含8； 令P 3表示具有性质：一个n 位数不包含9；

令i A 表示S 中具有性质i P 的元素构成的集合i (1,2,3)= 则有容斥原理，

i i A A A S A A A A A A A 3

1

2

31

2231

31||(||||||)==-+++∑A A A 1

2

3||-

而n

i A i ||7,1,2,3;==n A A A A A A 122313||||||6===，n A A A 1

2

3||5=

所以n n n n A A A 1

2

3837365=-?+?-

12．求45(123)++x x 的展开式中3x 的系数。 解：原式=45(123)++x x =

??

?-=-=37222A B A

454424334244

555555(3)(12)(3)(12)(3)(12)(3)(12)(3)

012345(12)5??????????++++++++ ? ? ? ? ???????????

??

++ ???

x x x x x x x x x x 所以3x 的系数52??

???

32?=80

13．请确定在81234(22)x x x x -+-的展开式中2321234x x x x 项的系数。

()3

!

8)8(!2!3!2!8)2()2()

1(12

13

2

82312

=-?=-??-?? 试确定多重集1234={,3,5,7}S b b b b ∞????的10-组合数。

解：构造多重集S ’={∞*b1, ∞*b2, ∞*b3, ∞*b4}，令S ’ 的所有10?组合构成的集合为S ，有|S|=C(4+10-1,10)。令B 为至少出现4个b2的组合构成的集合， C 为至少出现6个b3的组合构成的集合，D 为至少出现8个b4的组合构成的集合。

由于B 中的每一个10?组合至少含有4个b2，故这样的一个组合相当于S ’ 的一个6?组合，反之， S ’ 的一个6?组合加上4个b2就得到了B 的一个10?组合。这两种选法是一一对应的。故|B|=C(4+6-1,6)，同理有|C|=C(4+4-1,4)，|D|=C(4+2-1,2)。 类似的分析可得

|B ∩C|=C(4+0-1,0)，|B ∩D|=0，|C ∩D|=0，|B ∩C ∩D|=0。

根据容斥原理，S 的10?组合数为286-(84+35+10)+(1+0+0)-0=158 14．解递推关系：

12015623(2)

5,10

n n n a a a n n a a --=-+-≥??

==? 解：特征方程为 2

560x x --=，特征根为1231,2,2x x x ===

所以对应的齐次递推关系式有1223n n n a c c =?+?的通解

原递推式有特解为26n n a An a -=-，代入原递推式得A=1，D=2，因此原递推式有通解12232n n n a c c n =?+?++，再将015,10a a ==代入通解得

122,1c c ==，所以1232n n n a n +=+++

14.有红球4个，黄球3个，白球3个，把它们排成一条直线，有多少种排法？ 解：由定理得：

4200!

3!3!4)!334(=++=N

15．求{4,3}M a b =??的5-可重排列数。

解法1：23234

A(t)=(1+t+)(1)2!3!2!3!4!t t t t t t +++++

所以 5t 的系数为：111

4!2!3!3!2!

++

则55!t 的系数为：5!（111

4!2!3!3!2!

++）=25

{4,3}M a b =??的5-排列数有1{4,1}M a b =??, 2{3,2}M a b =??, 3{2,3}

M a b =??三种情况。1235!5!5!

,,4!3!2!2!3!

N N N ===

?? 1235101025N N N N =++=++=

15．求x x x 1232428++=的正整数解的个数 解：

A x x x x x x x 22448()()()()=++++++ x x x x x x 72244(1)(1)(1)=++++++++

x x x x x x x x x x x x 7

247

7

22

22443

(1)(1)(1)(1)(1)(1)

(1)(1)(1)---+++=

=

---

证明题

1．证明：边长为4的正三角形内任意5个点必有两点其距离不超过2。

答案：取个边中点将三角形等分为四个边长为2的三角形。则5个点中必然有两个落在同一个三角形内。

2．设12,,,n x x x 是n 个正整数，证明其中存在着连续的若干数，其和为n 的倍数。

如果存在，的余数记作除以把答案：令10,,2,1,21-≤≤=+++=n r r n s n i x x x s i i i i i 0,,2,10,21≠=+++=i i i r n i i n x x x r i 都有，整除，如果对于所有的可以被，则使得 j

k r r k j n r n k j i ，满足和原理必存在种可能的取值，由割巢，，，只能有个那么=-12,1整除可以被因此：n x x x s s j k k k j +++=-++ 21

3.设S 是n 元集，则S 的子集数是2(,0)(,1)(,)n C n C n C n n =++

+。

n s n n C n C n C s r s r n C r s r s n r 2),,()1,()0,(),(,,,1,0是法则得不同的子集总数于是由乘法子集或不属于该子集，元素有两种选择属于该的某子集时可以对每个另一方面，构成的子集数是，元子集数根据加法法则的就是组合，因此的一个元子集就是的每个答案：对于+++-=

4．某学生在37天里共做了60道数学题。已知他每天至少做1道题，求证：必存在连续的若干天，在这些天里该学生恰做了13道数学题。

证明：设该同学从第1天至第()1,2,,37i i =天共做了i a 道数学题，则

.601372≤<<<≤a a a i

()37,,2,113 =+=i a b i i 令， 则 12371473.b b b ≤<<

≤

{}{}{}11237212371273,,,,,,,,A A a a a A b b b ===令，，，，则12.A A A ??

如果12A A ?=?，则

1212373774,A A A A A ≥?=+=+=这与73A =矛盾，所以12A A ?≠?，从而存在12,,k l a A b A ∈∈使得,k l a b =即13,k l a a =+13,k l a a -=这表明该学生从第1l +天到第k 天共做了13道数学题。

5．证明 ：C n C n n 2(2,2)2(,2)=+。这里，C m n (,)表示从m 个对象中取n 个的方法数。

答案：等式左边表示从2n 个不同的球中取两个球的方法数。我们把2n 个球平均分成A ，B 两组，选球的方法有以下两类：去自同一组的选法数为12(,2)N C n =; 取自不同组的球的方法数为222[(,1)]N C n n == 6．如n, r ∈N 且n ≥r ≥2，则P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 。

证明：当r ≥2时，把集合A 的r ?排列分为两大类：一类包含A 中的某个固定元素，不妨设为a 1，另一类不包含a 1 。第一类排列相当于先从A-{a 1}中取r-1个元素进行排列，有P(n-1,r-1)种取法，再将a 1放入每一个上述排列中，对任一排列，a 1都有r 种放法。由乘法法则，第一类排列共有r×P(n-1,r-1)个。第二类排列实质上是A-{a 1}的r ?排列，共有P(n-1,r)个。再由加法法则有P(n,r)= r×P(n-1,r-1)+P(n-1,r) 证毕。 7．用非降路径法证明：

C m n n C m n n C m n n (,)(1,1)(1,)+=+--++-

这里，C m n (,)表示从m 个对象中n 取个元素的方法数。

答案：（0,0）到（m,n ）的路径数为C(m+n , n); 又，(0,0)到(m,n) 的任一路径必过(m-1,n)或 (m.n-1)。故，等式成立；

8．证明：0110m n m n m n m n r r r r +??????????????

+++= ??? ??? ??? ?-??????????????

。 解：证明：法1, 设A={am},B={bn},且A ∩B=Φ，则A ∪B=C 有m+n 个元素。C 的r ?组合个数为C(m+n,r)，而C 的每个r ?组合无非是先从A 中取k 个元素，再从B 中取出r-k 个元素组成(k=0,1,…,r)。由乘法法则共有C(m,k)C(n,r-k)种取法，再由加法法则即可得证。

应用题

1．一次宴会，5位来宾寄存他们的帽子，在取帽子的时候有多少种可能使得没有

一位来宾取回的是他自己的帽子？

44种可能使得没有一位来宾取回的是他自己的帽子。

解：属于重排问题，所求为5D 。4451

413121111!5D 5=-+-+-=）！

！！！！（………（6

分）

2.n 对夫妻围圆桌就座，要求每对夫妻不相邻，问有多少种入座方式？ ()()()()

)!

1(2)1()!42(2)!

32(2)!22(2)!12()!1(21,)!2(2(2,,2,1,)!2(2(2)!

1(2(,,2,1,2.,,2,1,

,,,,,,332

2

1

212121--++---+--

-=-=???≤≤=?=====n n n n n N n A A A n j i n A A n

i n A n s n i A p s n s n i y x p y y y x x x n n n n n n n n

n n j i i i i i i i n n

由包含排斥原理得那么有的子集为的满足性质构成的集合，个人的全体环排列为令相邻，其中与表示设他们的妻子分别记为个丈夫记为解：将

2．用17张100元钱买3支股票，不要求每支股票都买，但要求买A 股钱数必须

是200的倍数，买B 股钱数是400的倍数，求有多少种买法？ 25种买法。

解：此题等同于求方程1742321=++x x x 的非负整数解的个数。

方程通过换元可变为：17321=++y y y ，其中1y 为非负整数，2y 为非负偶数，3y 为非负的4的倍数的整数。

由此构造常生函数： )1)(1)(1(84322 +++++++++t t t t t t 所求为常生成函数的17t 的系数，化简生成函数为： 2

424

2)

1)(1)(1(111111--++=-?-?-t t t t t t ，可求得公式得18t 的系数为25。 3．方程304321=+++x x x x 有多少满足21≥x ，02≥x ，53-≥x ，84≥x 的整数解？

解 进行变量代换：

211-=x y ，22x y =，533+=x y ，844-=x y

则方程变为

254321=+++y y y y

原方程满足条件的解的个数等于新方程的非负整数解的个数。新方程的非负整数解的个数为

3276!32627283282528251425=??=???

? ??=???? ??=???? ??-+ 3．用四种颜色（红、蓝、绿、黄）涂染四台仪器,,A B C 和D 。规定每台仪器只能用一种颜色并任意两台仪器都不能相同。如果B 不允许用蓝色和红色，C 不允许用蓝色和绿色，D 不允许用绿色和黄色，问有多上种染色方案？

4

14-21036-44.54,10,64106132132=??+?====+++=！！！！方案数是所求的根据定理从而得到答案：N r r r x x x M 5．一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明，无论她如何安排她的

学习时间（不过，每天都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13小时。

证明 设从第一天到第i 天她共学习了i a 小时。因为她每天至少学习1小时，所以3721,,,a a a 和13,,13,133721+++a a a 都是严格单调递增序列。因为总的学习时间不超过60小时，所以6037≤a ，731337≤+a 。3721,,,a a a ,

13,,13,133721+++a a a 是1和73之间的74个整数，由鸽巢原理知道，它们中存在相同的整数，有i a 和13+j a 使得13+=j i a a ，13=-j i a a ，从第1+j 天到第i 天她恰好学习了13小时。

6．8个女孩围坐在旋转木马上。她们可以有多少种方法改变座位，使得每个女孩前面的女孩都与原先的不同？

解 令S 为}8,7,6,5,4,3,2,1{的全部!7个循环排列的集合，i A 为出现模式)1(+i i 的循环排列的集合（71≤≤i ），8A 为出现模式81的循环排列的集合。若

71≤≤k 且k i i ,,1 是集合}8,7,6,5,4,3,2,1{中的不同整数，则

!)7(||1k A A k i i -=?? 。1||8

1

== i i A 。因此，

16251!078!168!258!348!438!528!618!7||81=+???

? ??-???? ??+???? ??-???? ??+???? ??-???? ??+???? ??-=??A A 她们可以有1625种方法改变座位。

7．把n 21+个苹果送给3个孩子，若使得任意两个孩子得到的苹果总数大于另一个孩子的苹果树，问有多少种分法？ ()()()2

)1(3)331()1()1()1()(222

122

1

20

2

23

32

21

3

313

2

n

n N y y

y

y

y y y y y y A n n n n n n n n n n +=-=-+-=--=

++++=++++∞

=+++++∑项的系数为

上述展开式中如下

根据题意写出生成函数