2020年高考文科数学易错题《三角函数》题型归纳与训练

2020年高考文科数学《三角函数》题型归纳与训练

【题型归纳】

题型一 定义法求三角函数值 例1若α的终边所在直线经过点，则 ．

【答案】2

【解析】∵直线经过二、四象限，又点P 在单位圆上，若α

的终边在第二象限，则3sin sin

42

πα==，若α

的终边在第四象限，则sin α=

sin α=【易错点】容易忽视对角终边位置进行讨论 【思维点拨】定义法求三角函数值的两种情况：

（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解． （2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值． 题型二 诱导公式的使用 例1若，则=（ ） A ． B ． C ．

D ．

【答案】D

【解析】227

cos 2cos 2cos 212sin 33369ππππαπααα??????????+=--=-=--= ? ? ? ????????????

?，故选D 。 【易错点】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”。这里的“奇、偶”指的是的倍数的奇

偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角23πα??

- ???看作锐

角时，23ππα??

-- ???

所在象限的相应余弦三角函数值的符号。

【思维点拨】利用诱导公式化简求值时的原则

33(cos

,sin )44

P ππ

sin α=316sin =???

??-απ??

?

??+απ232cos 97-

3

1-

3

19

7

2

（1）“负化正”，运用－α的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．

（2）“大化小”，利用k ·360°＋α（k ∈Z ）的诱导公式将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数． （3）“小化锐”，将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．

（4）“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．

题型三 三角函数的定义域或值域 例1已知函数()2sin(2)3f x a x b π

=-

+的定义域为[0,]2

π

，值域为[5,1]-，求a 和b 的值．

【答案】a =12﹣

，b =﹣

a =﹣

b =19﹣

【解析】20022sin(2)12

3

3

323

x x x x π

π

π

ππ

π≤≤

∴≤≤∴-

≤-

≤

∴-≤-≤Q 当a ＞0

时，则21

5a b b ì+=?í?-+=-?

，解得1223a b ì=-?í?=-+?；

当a ＜0

时，则25

1a b b ì+=-?í?-+=?，

解得1219a b ì=-?í?=-?

当a =0时，显然不符合题意．

∴a =12﹣

b =﹣

a =﹣

b =19﹣

【易错点】对函数的结构分析容易不到位，函数()2sin(2)3

f x a x b π

=-

+是一个复合函数，不是

23πsin x ?

?- ??

?取最大值时，函数()f x 最大，因为它的前面还有个“2a ”，而“2a ”的符号不确定，直接影响了

函数的最值，所以要分类讨论。对含有字母参数的数学问题，一定要认真分析。 【思维点拨】

1．求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解涉及三角函数的值域（最值）的题目一般常用以下方法： （1）利用sin x 、cos x 的值域；

（2）形式复杂的函数应化为y ＝Asin （ωx ＋φ）＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；

（3）换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域（最值）问题．

题型四 三角函数的单调区间 例1已知函数()sin()(0,0)3

f x A x A π

ωω=+

>>的部分图象如图所示．

（1）A 和ω的值；

（2）函数()y f x =在[0,]π的单调增区间；

（3）函数()()1g x f x =+在区间(,)a b 上恰有10个零点，求b a -的最大值． 【经典错解】（1）2,A =

243124T πππω=-=，2ω=，所以()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?

（2）令2222

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈ 得51212

k x k ππ

ππ-

+≤≤+，

（3）()2sin 213f x x π?

?

=+

=- ??

?，得512x k ππ=+或3()4

x k k Z π

π=+∈ 函数()f x 在每个周期上有两个零点，所以共有5个周期，所以b a -最大值为217533

T ππ

+=． 【答案】见解析 【解析】（1）2,A =

243124T πππω=-=，2ω=，所以()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?

（2）令2222

3

2

k x k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+，k Z ∈ 得512

12

k x k ππ

ππ-

+≤

≤+， 当0k = 时，

当1k =时，

4

又因为x ∈[0,]π，所以函数()y f x =在[0,]π的单调增区间为[0,]12

π

和7[

,]12

π

π ． （3）同上．

【易错点】审题容易出错，在把求三角函数在区间上的单调区间当作是求三角函数在R 上的单调区间了．所以求出函数在R 上的单调增区间后，还要把增区间和[0,]π求交集． 【思维点拨】求三角函数的单调区间时应注意以下几点：

（1）形如y ＝Asin （ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的函数的单调区间，基本思路是把ωx ＋φ看作是一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx ＋φ≤π2＋2kπ（k ∈Z ）求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx ＋φ≤3π

2＋2kπ（k ∈Z ）求得函数的减区间． （2）形如y ＝Asin （－ωx ＋φ）（A >0，ω>0）的函数，可先利用诱导公式把x 的系数变为正数，得到y ＝－Asin （ωx －φ），由－π2＋2kπ≤ωx －φ≤π2＋2kπ（k ∈Z ）得到函数的减区间，由π2＋2kπ≤ωx －φ≤3π2＋2kπ（k ∈Z ）

得到函数的增区间．

（3）对于y ＝Acos （ωx ＋φ），y ＝Atan （ωx ＋φ）等，函数的单调区间求法与y ＝Asin （ωx ＋φ）类似．

题型五 三角函数的周期性

例1已知2

()sin f x x ω=的最小正周期是4

π

，则_________ω=． 【答案】4±

【解析】21cos 2112()sin cos 242224|2|

x f x x x ωππ

ωωωω-==

=-+∴=∴=±

【易错点】三角函数的周期公式使用情景容易出错。只有把三角函数化为y ＝Asin （ωx ＋φ）和y ＝Acos （ωx ＋φ）后，才可以代入周期公式T =2π

|ω|，已知中的函数形式是二次，不是一般式，所以要用降幂公式化简后

再使用周期公式。 【思维点拨】

1．三角函数的奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等变换，再根据定义、诱导公式去判断所求三角函数的奇偶性；也可以根据图象做判断．

2．求三角函数周期的方法 （1）利用周期函数的定义；

（2）利用公式：y ＝Asin （ωx ＋φ）和y ＝Acos （ωx ＋φ）的最小正周期为2π

|ω|

，y ＝tan （ωx ＋φ）的最小正周

期为π|ω|；

（3）利用图象． 3．三角函数的对称性

正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用．

题型六 三角函数的图象变换

例1把函数sin()3

y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为 ． 【答案】1sin()23

y x p =+

【解析】把函数sin()3

y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析

式为1sin()23y x p =+．故填1sin()23

y x p =+．

【易错点】把函数sin()3

y x p =+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解

析式为11sin

()sin()2326y x x p p =+=+．所以填1sin()26

y x p

=+．错在三角函数图像的伸缩变换理解不透彻．（2）把函数y =f （x ） 的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数为1

()2

y f x =，

也就是说只是把函数的解析中有“x ”的地方换成“

12x ”，其它的都不变，所以把函数sin()3

y x p

=+的图像上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的解析式为1

sin()2

3

y x p =+． 【思维点拨】确定y ＝Asin （ωx ＋φ）＋b （A >0，ω>0）的步骤和方法 （1）求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m

2．

（2）求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2π

T

．

6

（3）求φ，常用的方法有：

①代入法：把图象上的一个已知点代入（此时A ，ω，b 已知）或代入图象与直线y ＝b 的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：

“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）时ωx ＋φ＝0；“第二点”（即图象的“峰点”）时ωx ＋φ＝π

2；“第三

点”（即图象下降时与x 轴的交点）时ωx ＋φ＝π；“第四点”（即图象的“谷点”）时ωx ＋φ＝3π

2；“第五点”时

ωx ＋φ＝2π（如例2）．

题型七 三角函数的恒等变换 例1已知1

0,sin cos ,2

a p a a <<+=

则cos2a = ．

【答案】-

【解析】把三角方程平方1312sin cos 2sin cos 044a a Q a a a p

+=

\=-<<

1

3sin 0cos 0sin cos 02

2

24

a Q p

p a a a p a a p \>\<\

<<+=

>\

<<322p a p \<<

cos 2a \=-=-，

故填4-．

【易错点】在对三角函数的隐含条件挖掘不够导致容易出现增解．三角函数的化简求值时，如果出现多值，就要注意挖掘已知中的隐含条件，以免增解．在同一个直角坐标系中作出正弦和余弦函数的图像观察得：当02

π

α<<

时，

sin cos 0αα+>；当

32

4π

πα<<

时，sin cos 0αα+>；当

34

π

απ<<时，sin cos 0αα+<．

【思维点拨】三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简；二是求值；三是三角恒等式的证明．

（1）三角函数的化简常见的方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．

（2）三角函数求值分为给值求值（条件求值）与给角求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转化求解． （3）三角恒等式的证明，要看左右两侧函数名、角之间的关系，不同名则化同名，不同角则化同角，利用公式求解变形即可．

【巩固训练】

题型一 定义法求三角函数值

1．已知角α的终边上有一点P （t ，t 2＋1）（t >0），则tanα的最小值为（ ） A ．1 B ．2

C ．12

D ．2

【答案】B

【解析】根据已知条件得tanα＝t 2＋1t ＝t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时，tanα取得最小值2．

2．已知角α的终边上一点P 的坐标为????sin 2π3，cos 2π

3，则角α的最小正值为（ ） A ．5π

6

B ．2π3

C ．5π3

D ．11π6

【答案】D

【解析】由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cosα＝sin 2π3＝32，故α＝2kπ－π

6（k ∈Z ），所以

α的最小正值为11π

6．

3．已知角α的终边经过点P （m ，－3），且cosα＝－4

5，则m 等于（ ）

A ．－114

B ．11

4

C ．－4

D ．4

【答案】选C

【解析】由题意可知，cosα＝m m 2＋9

＝－4

5，又m <0，解得m ＝－4．

题型二 诱导公式的使用 1．记

，那么

（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B ． 【解析】∵sin 80°=

=，∴tan 100°=－tan 80°=－－

2

1k -

8

=－．故选B ．

2．已知sin （3π＋α）＝2sin ????3π2＋α，则sin α－4cos α5sin α＋2cos α＝________． 【答案】－1

6

【解析】法一：由sin （3π＋α）＝2sin ????3π2＋α得tanα＝2．原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16． 法二：由已知得sinα＝2cosα．原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－1

6．

3．已知A ＝

sin

k π＋αsin α＋cos k π＋α

cos α

（k ∈Z ），则A 的值构成的集合是（ ）

A ．{1，－1,2，－2}

B ．{－1,1}

C ．{2，－2}

D ．{1，－1,0,2，－2}

【答案】C ．

【解析】当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos α

cos α＝2；k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α

＝－2．

题型三 三角函数的定义域或值域 1．函数),2

,0)(sin(R x x A y ∈π

<

?>ω?+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

． A ．)48sin(4π

-π-=x y B

．)48sin(4π

-π=x y

C ．)

48sin(4π

+π=x y

D ．)4

8sin(4π

+π-=x y

【答案】D ．

【解析】由图像得4,2(62)16A T ==?+=,8

162π

πω==

∴,则4sin()8y x πφ=+代入(2,4)-，得

1)4

sin(

-=+?π

，

33224

2

44k k z k π

π

ππ

φπφπφ+=-

∈∴=-

∴=-

34sin()4sin()4sin()848484

y x x x ππππππ

π∴=-=-++=-+．故选D ．

2．y ＝2－3cos ???

?x ＋π

4的最大值为________．此时x ＝________．

【解析】当cos ????x ＋π4＝－1时，函数y ＝2－3cos ????x ＋π4取得最大值5，此时x ＋π4＝π＋2kπ，从而x ＝34π＋2kπ，k ∈Z ．

3．函数y ＝

2＋log 1

2

x ＋tan x 的定义域为________．

【答案】?

?????x ?

?

0

2，或π≤x ≤4 【解析】要使函数有意义则?????

2＋log 1

2

x ≥0，

x >0，

tan x ≥0，

x ≠k π＋π2，k ∈Z

??

????

0

函数的定义域是?

?????x ?

?

0

2，或π≤x ≤4．

题型四 三角函数的单调区间 1．已知函数y ＝sin ????π

3－2x ，求： （1）函数的周期；

（2）求函数在[－π，0]上的单调递减区间． 【解析】由y ＝sin ????π3－2x 可化为y ＝－sin ????2x －π3． （1）周期T ＝2πω＝2π

2

＝π．

（2）令2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得kπ－π12≤x ≤kπ＋5π

12，k ∈Z ．

所以x ∈R 时，y ＝sin ????π3－2x 的减区间为????k π－π12，k π＋5π

12，k ∈Z ． 从而x ∈[－π，0]时，y ＝sin ????π3－2x 的减区间为????－π，－7π12，????－π

12，0．

2．函数y ＝|tanx |的增区间为________． 【答案】?

???k π，k π＋π

2，k ∈Z

10

【解析】作出y ＝|tanx |的图象，观察图象可知，y ＝|tanx |的增区间是????k π，k π＋π

2，k ∈Z ．

3．已知函数f （x ）＝sinx ＋3cosx ，设a ＝f ????π7，b ＝f ????π6，c ＝f ????π3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a

【答案】B

【解析】f （x ）＝sinx ＋3cosx ＝2sin ????x ＋π3，因为函数f （x ）在????0，π6上单调递增，所以f ????π7

6，而c ＝f ????π3＝2sin 2π3＝2sin π3＝f （0）

题型五 三角函数的周期性

1．已知函数f （x ）＝sin ????2x ＋3π

2（x ∈R ），给出下面四个命题： ①函数f （x ）的最小正周期为π；②函数f （x ）是偶函数；

③函数f （x ）的图象关于直线x ＝π

4对称；④函数f （x ）在区间????0，π2上是增函数．其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】C ．

【解析】函数f （x ）＝sin ????2x ＋3π

2＝－cos 2x ，则其最小正周期为π，故①正确；易知函数f （x ）是偶函数，②正确；由f （x ）＝－cos 2x 的图象可知，函数f （x ）的图象不关于直线x ＝π

4对称，③错误；由f （x ）的图

象易知函数f （x ）在????0，π

2上是增函数，故④正确．综上可知，选C ．

2．下列函数中，周期为π，且在????

π4，π2上为减函数的是（ ） A ．y ＝sin ????2x ＋π

2 B ．y ＝cos ????2x ＋π

2 C ．y ＝sin ????x ＋π

2 D ．y ＝cos ???

?x ＋π

2 【答案】A

【解析】对于选项A ，注意到y ＝sin ????2x ＋π2＝cos 2x 的周期为π，且在????π4，π

2上是减函数．

3．若函数f （x ）＝sinax ＋cosax （a >0）的最小正周期为1，则它的图象的一个对称中心为（ ） A ．???

?－π

8，0 B ．（0,0）

C ．????－1

8，0 D ．????

18，0

【答案】C

【解析】由条件得f （x ）＝2sin ????ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2π

a ＝1，∴a ＝2π，故f （x ）＝2sin ????2πx ＋π4．将x ＝－1

8代入得函数值为0．

题型六 三角函数的图象变换 1．要得到()tan(2)3

f x x π

=-

的图象，只须将()tan 2f x x =的图象（ ）

A ．向右平移3π个单位

B ．向左平移3π

个单位

C ．向左平移6

π

个单位

D ．向右平移6

π

个单位

【答案】D ．

【解析】由于tan 23x π??

-

??

?

=)6(2tan π-x ,只须将函数()tan 2f x x =的图象向右平移6π个单位就可以得到函数()tan(2)3

f x x π

=-的图象，故选D ．

3．把函数y ＝sin ????x ＋π6图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向右平移π

3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（ ） A ．x ＝－π

2

B ．x ＝－π

4

C ．x ＝π

8

D ．x ＝π

4

【答案】A

【解析】依题意得，经过图象变换后得到的图象相应的解析式是y ＝sin ????2????x －π3＋π6＝sin ????2x －π

2＝－cos 2x ，注意到当x ＝－π2时，y ＝－cos （－π）＝1，此时y ＝－cos 2x 取得最大值，因此直线x ＝－π

2是该图象的一条

对称轴．

3．已知函数f （x ）＝3sin ????

12x －π4，x ∈R ．

（1）画出函数f （x ）在长度为一个周期的闭区间上的简图； （2）将函数y ＝sinx 的图象作怎样的变换可得到f （x ）的图象？ 【答案】见解析

12

【解析】（1）列表取值：

（2）先把y ＝sinx 的图象向右平移π

4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐

标扩大为原来的3倍，得到f （x ）的图象．

题型七 三角函数的恒等变换

1．已知函数f （x ）＝sin ????x ＋7π4＋cos ????x －3π

4，x ∈R ． （1）求f （x ）的最小正周期和最小值；

（2）已知cos （β－α）＝45，cos （β＋α）＝－45，0＜α＜β≤π

2，求证：[f （β）]2－2＝0．

【答案】见解析

【解析】（1）∵f （x ）＝sin ????x ＋7π4－2π＋cos ????x －π4－π2＝sin ????x －π4＋sin ????x －π4＝2sin ????x －π4， ∴T ＝2π，f （x ）的最小值为－2

．

（2）证明：由已知得cosβcosα＋sinβsinα＝45，cosβcosα－sinβsinα＝－4

5．两式相加得2cosβcosα＝0．

∵0＜α＜β≤π2，∴β＝π2．∴[f （β）]2－2＝4sin 2π

4－2＝0．

2．已知函数f （x ）＝tan ????3x ＋π

4． （1）求f ????

π9的值；

（2）设α∈????π，3π2，若f ????α3＋π4＝2，求cos ????α－π

4的值． 【答案】见解析

【解析】解：（1）f ????π9＝tan ????π3＋π4＝tan π3＋tan

π41－tan π3tan

π4

＝3＋11－3

＝－2－3． （2）因为f ????α3＋π4＝tan ????α＋3π4＋π4＝tan （α＋π）＝tanα＝2，所以sin αcos α＝2，即sinα＝2cosα．① 又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②解得cos 2α＝1

5．

因为α∈????π，3π2，所以cosα＝－55，sinα＝－255

． 所以cos ????α－π4＝cosαcos π4＋sinαsin π4＝－55×22＋????－255×22＝－31010．

3．已知函数f （x ）＝2cosxcos ????x －π

6－3sin 2x ＋sinxcosx ． （1）求f （x ）的最小正周期；

（2）当α∈[0，π]时，若f （α）＝1，求α的值． 【答案】见解析

【解析】解：（1）因为f （x ）＝2cosxcos ????x －π

6－3sin 2x ＋sinxcosx ＝3cos 2x ＋sinxcosx －3sin 2x ＋sinxcosx ＝3cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ????2x ＋π

3， 所以最小正周期T ＝π．

（2）由f （α）＝1，得2sin ????2α＋π3＝1，又α∈[0，π]，所以2α＋π3∈????π3，7π

3， 所以2α＋π3＝5π6或2α＋π3＝13π6，故α＝π4或α＝11π

12．