角平分线的性质
12.3 角的平分线的性质
一、教学分析
1．教学容分析
本节课是新人教版教材《数学》八年级上册第12.3节第一课时容，是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的．容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用．作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础．因此，本节容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律．2．教学对象分析
刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导．根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础．
3．教学环境分析
利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今各学校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择多媒体、投影仪等教学系统辅助教学，将有关教学容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握．
二、教学目标
1、知识与技能：
1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。
2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决问题．
2、过程与方法：
1.在探究作已知角的平分线和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。
2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.
3、情感态度价值观：
充分利用多媒体教学及学生手工操作，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生应用数学的热情．
三、教学重点、难点
重点：1、利用尺规作图作已知角的平分线。
2、角平分线的性质定理及其应用。
难点：1、根据角的平分仪器提炼出角的尺规画法。；
2、角的平分线的性质的探究。
教学难点突破方法：
（1）利用引导学生动手折纸、投影仪及多媒体动态显示角平分线性质的本质容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；
（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；
（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习．
教学设计流程安排
四、教学过程
（一）教学环节设计
［活动1］创设情景，动手操作
如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），
然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？你能利用所学过
的知识，说明你的结论的正确性吗？
学生实验：通过折纸的方法作角的平分线；教师与学生一起动手操作；展示学生
作品。
设计意图：（体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出
做铺垫，为下一步设置问题墙。通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．教
师要有足够的耐心，要为学生的思考留有时间和空间）
质在生活、生产中的应用，提高学生解决问题的
能力。
活动6 小结与作业
总结、反思、高将所学知识纳入学生的知识体
系。
［活动2］探究角平分仪原理
对这种可以折叠的角可以用折叠方法的角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
师生行为：教师课件展示实验过程；学生将实物图抽象出数学图形；学生独立运用三角形全等的方法证明AE是∠BAD的平分线。
本次活动中，教师重点关注：
(1)学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；
(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE是∠BAD的平分线。
设计意图：（说明用其他实验的方法可以将一个角平分。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力。让学生体验成功这个提问设置为例1的出现做好铺垫，同时例1的证明又验证了学生猜想的正确性，使学生获得成功的体验．将实际问题转化为数学问题，从而顺利解决．）
［活动3］新知掌握1：尺规作图
(1)从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。
(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?
(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画
(4)OC与简易平分角的仪器中,AE是同一条射线吗?
(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?
(6)归纳角平分线的作法
师生行为：教师提问,学生与老师一起完成探究过程.
设计意图：（从实验中抽象出几何模型,明确几何作图的基本思路和方法.培养学生运用直尺和圆规作已知角的平分线的能力.让学生体验成功学生独立说明,学生相互讨论,交流,归纳后教师归纳展示作法.）
［活动4］探究角平分线的性质
(1)在已画好的角的平分线OC 上任意找一点P,过P 点分别作OA 、OB 的垂线交OA 、O 于D 、E 。 PE 、PD 的长度是∠AOB 的平分线上一点到 ∠AOB 两边的距离。量出它们的长度，你发现了什么？
(2)你能归纳角的平分线的性质吗?
师生行为：学生实验；学生分组讨论,教师引导得出结论；学生分析已知条件,利用(AAS)证明.；
本次活动中,教师重点关注(1)学生能否从实验中探索、发现角的平分线的性质;(2)学生能否独立运用三角形全等的条件证明两个三角形全等;(3)说明射线OP 是是∠AOB 的平分线吗?
设计意图：（从实验探索中发现角的平分线的性质。培养学生的数学抽象概括能力及理性精神.让学生体验成功.）
［活动5］验证所得结论
出示大屏，如图：这是按照折纸的顺序画出的角及
折纸形成的三条折痕．请学生结合图形说出已知，求证，
生说（多媒体出示），请同学们对如何证明PD=PE 进行思
考，然后汇报，师点评、板书证明过程。
证明后，教师强调经过证明正确的命题可以作为定理
或性质来用．请学生用文字语言来说说角平分线的这个性质。然后齐读两遍，再写出数学符号表达式。
［活动6］应用新知
如图，△ABC 的角平分线BE 、CF 相交于一点O ，求证：点O 到三边AB 、BC 、CA 的距离相等。
师生行为：学生独立练习，同组同学交流，抽学生上来展示分析过程。
O B
并形成知识结论。
F
E
D C B
A
②如图:△ABC 中, ∠C=900，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，BD=DF ，求证CF=EB 。
师生行为：学生独立练习，同组同学交流，老师根据学生的学习情况适当加以指导，获得正确的结论。抽学生上来展示分析过程。
设计意图：（通过学生对角的平分线的知识进行独立练习，自我评价学习效果，及时发现问题、解决知识盲点，培养学生的创新精神和实践能力。本次活动中,教师重点关注：(1)不同层次的学生对角的平分线的性质的理解程度; (2)对学生在练习中的问题进行针对性的分析、讲解。）
［活动7］拓展提高
已知：在等腰直角△ABC 中，AC ＝ BC ，∠C ＝90°，AD 平分∠ BAC ，DE ⊥AB 于点E 。AB=15cm, 求△DBE 的周长
D A
B C E
师生行为：学生根据上一问题的解决过程独立解决本问题，在必要时教师适当引导．
设计意图：（在已有成功经验的基础上，继续探究与应用，提升分析解决问题的能力并增进运用数学的情感体验．在说理的过程中加深对角平分线性质、
判定定理的理解）
［活动8］总结反思
1、这节课你有哪些收获，还有什么困惑？
2、通过本节课你了解了哪些思考问题的方法？
（通过引导学生自主归纳，调动学生的主动参与意识，锻炼学生归纳概括与表达能力．）
［活动9］
作业：寻找生活中运用角平分线的现象
教学反思：本课题设计思路按操作、猜想、验证的学习过程，遵循学生的认知规律，体现了数学学习的必然性．教学始终围绕着问题而展开，先从出示问题开始，鼓励学生思考、探索问题中所包含的数学知识，而后设计了第一个学生活动——折纸，让学生体验三角形角平分线交于一点的事实，并得出了进一步的猜想，紧接着推出了第二个学生活动——尺规作图，以达到复习旧知和再次验证猜想的目的，猜想是否正确?还得进行证明，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．整堂课都以学生操作、探究、合作贯穿始终，在教学过程中给学生的思考留下足够的时间和空间，由学生自己去发现结论，学生在经历“将现实问题转化成数学问题”的过程中，对角平分线性质有了更深刻的认识，培养了学生动手、合作、概括能力，同时也提高了思维水平和应用数学知识解决实际问题的意识．