高考理科数学常考题型训练平面向量

第13题 平面向量

1、在等腰直角三角形ABC 上(包括边界)有一点P ，2AB AC ==，1PA PB ?=u u r u u r

，则PC uu u r 的取

值范围是 。

2、在Rt AOB △中，9012AOB OA OB ∠===o u u u r u u u r ，，，

OC 平分AOB ∠且与AB 相交于点C ，则OC u u u r

在OA u u u r

上的投影为___。

3、已知正方形ABCD 的边长为4,M 是AD 的中点,动点N 在正方形ABCD 的内部或其边界移动,并且满足0,MN AN ?=u u u u r u u u r 则NB NC ?u u u r u u u r

的取值范围是______________.

4、若,,a b c 均为单位向量,,a b 的夹角为60°,且,c ma nb =-则mn 的最大值为__________.

5、已知平面向量,a b 满足()3,b a b ?+=且1,2,a b ==则a b +=_________.

6、已知向量((),3,a b m ==，且b 在a 上的投影为3，则向量a 与b 的夹角为 .

7、已知扇形OAB 的圆心角90AOB ∠=°,半径为2,C 是其弧上一点.若,OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r 则

λμ?的最大值为__________.

8、已知向量(4,2),(,1)a b λ==r r 若2a b +r r 与a b -r r

的夹角是锐角，则实数λ的取值范围为

______．

9、在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m =,π(sin ,cos ),(0,)2

n x x x =∈ 若m 与n 的夹角为

π

3

, x=_________. 10、已知向量)2(1=,

a ，)1(1=-,

b ，()//-

c a b ，()⊥+a b c ，则c 与a 夹角的余弦值为 。

11、向量i 是相互垂直的单位向量，若向量23=+a i j ，()R m m =-?b i j ，1?=a b ，则实数

m = 。

12、若两个向量a r 与b r 的夹角为θ,则称向量“a b ?r r

”为向量的“外积”,其长度为

sin a b a b θ?=?r r r r .已知1,5,4a b a b ==?=-r r r r ,则a b ?=r r

.

13、已知向量a r =（－4，3），b r =（6，m ），且a b ⊥r r

，则m =__________.

14、已知向量(1,2),(2,2),(λ,3)a b c ==-=.若//(2)c a b +,则λ=_______.

15、已知向量1

22()()()21,a b c λ==-=，，，，.若()//2c a b +，则λ= 。

答案以及解析

1答案及解析： 答案：521??-??,

解析：以点A 为坐标原点，AB AC ,所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(如图)， 则()()(00202)0A B C ,,,,,.设()P x y ,，则由1PA PB ?=u u r u u r

得，

()(2)x y x y ---?-,,2221x x y =-+=， 则点P 的轨迹方程是()2

212x y -+=， 轨迹是位于三角形内(含边界)的一段圆弧.

设点F 为其圆心，则0(1)F ,

，如图.当点C P F ,,共线时， min 52CP CF PF =-=-，当点P 的坐标为(0)1,时， CP 取得最大值1.故CP 的取值范围是521??-??,.

2答案及解析： 答案：

23

解析：如图,过点C 作CD OA ⊥于点D ,则//CD BO ,向量OC u u u r 在OA u u u r

上的投影为OD .由OC 是

AOB ∠的平分线,得

12OA AC AD OB CB OD ===,则2

3

OD =.

3答案及解析： 答案：14217,16??-??

解析：根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0),(0,2),(4,0),(4,4),A M B C 设(,)(0),N x y x …

则(,2),(,),MN x y AN x y -=u u u u r u u u r

由0,MN AN ?=u u u u r u u u r

可知点N 的坐标满足方程22(1)1(0)x y x +-=…

①，它表示以AM 为直径的右半圆.

由(4,),(4,4),NB x y NC x y =--=--u u u r u u u r

可得22(4)4NB NC x y y ?=-+-=u u u r u u u r

22(4)(2)4x y -+--.②

将①代入②可得=8216,NB NC x y ?--+u u u r u u u r

问题转化为求8216z x y =--+的取值范围.

由22(1)1(0)x y x +-=…

的图像可知当N 取(0,0)点的时候z 最大,max 16.z = 当直线8216z x y =--+与圆22(1)1(0)x y x +-=…

相切时,z 取得最小值， 设直线为4(0),y x b b =-+> 则216,z b =-+

联立22

4,

20

y x b x y y =-+??+-=?可得22178(1)20,x b x b b +-+-= 由其只有一个交点可得0,?= 即2264(1)417(2)0,b b b --?-=

解得171,b =或171b =-（0b >,舍去），

所以21614217z b =-+=-, 即max 14217.z =-

因此NB NC ?u u u r u u u r

的取值范围为14217,16.??-??

4答案及解析： 答案：1 解析：由题意得

22()c ma nb =-=22()()2ma nb mna b +-?222cos60m n mn a b =+-?=°221,m n mn +-=

所以2212,m n mn mn mn mn =+--=…

当且仅当1m n ==±时取等号，即mn 的最大值为1.

5答案及解析： 3解析：2

()3,b a b a b b ?+=?+=又2,b =则1,a b ?=-所以

2()a b a b +=+22

2 3.a a b b +?+=

6答案及解析： 答案：

π6

解析：设,a b 的夹角为[),0,πθθ，由题意可得cos 3a b b a θ?=

=，333m +=，解得3m =，则23b =，所以3cos 43a b a b θ?===?π

6

θ=.

7答案及解析：

答案：

12

解析：由题2OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r ，且0OA OB ?=u u u r u u u r

.由,OC OA OB λμ=+u u u r u u u r u u u r 两边平方得

22()OC OA OB λμ=+=u u u u r u u u r u u u r 222222244OA OA OB OB λλμμλμ+?+=+u u u u r u u u u r u u u r u u u r

，

可得22444,λμ=+即22

1λμ+=,所以22

1,22λμλμ+?=…

当且仅当2λμ==故λμ?的最大值为12

.

8答案及解析：

答案：(1(2,1?+

解析：Q 向量(4,2)a =r ，(,1)b λ=r ，∴2(42,4)a b λ+=+r r ，(4,1)a b λ-=-r

r ，

若2a b +r r 与a b -r r 的夹角是锐角，则2a b +r r

与a b -r r 不共线，且它们乘积为正值，

即

424

41

λλ+≠-，且()()

2(42,4)(4,1)a b a b λλ+?-=+?-r r r r 220420λλ=+->，

求得11λ-<<2λ≠．

9答案及解析： 答案：

5π12

解析：∵m 与n 的夹角为π3

，∴·122cos ||||112x

m n m n m n =??， 故π1sin 42x ?

?-= ??

?.

又ππππππ0,,244446x x x ??

??∈---= ? ???

??，即5π12x =

故x 的值为5π

12.

10答案及解析：

答案：3

5

解析：设()x y =,c .因为)2(1=,

a ，)1(1=-,

b ，所以(2)1x y -=--,

c a .

又因为()//-c a b ，所以()12x y --=-，即3y x =-+. 因为()⊥+a b c ，所以20x y +=.

联立320y x x y =-+??+=?，解得3

6x y =-??=?

，即)3(6=-,

c ， 所以

3

cos ,5=

=

c a .

11答案及解析：

答案：1

3

解析：由题意知0?=i j ，则()()23m ?=+-?a b i j i j ()22

2323m m =+-?-i i j j 231m =-=，解

得13m =.

12答案及解析： 答案：3

解析：因为若1,5,4a b a b ==?=-r r r r

所以44

cos 15

5a b a b θ?-===-?r r r r ,

所以3

sin 5θ=,

所以3sin 1535a b a b θ?=??=??=r r r r

故答案为:3.

13答案及解析： 答案：8.

解析：向量4,36,a b m a b =-=⊥r r r r （），（），，

则?046308a b m m =-?+==r r

，

，.

14答案及解析： 答案：6

解析：由题知2(4,2)a b +=,因为//(2)c a b +，所以2λ430-?=,解得λ6=.

15答案及解析： 答案：12

解析：由题意得(2)42a b +=，

,因为(),()//21,c a b c λ+=,所以42λ=,得1

2

λ=.