八年级数学压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

八年级数学压轴题 期末复习试卷测试卷附答案

一、压轴题

1．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点(),A a b ，(),B c d ，若点(),T x y 满足

3a c x +=

，3

b d

y +=那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：()1,8A -，()4,2B -，当点(),T x y 满足14

13x -+==，()8223

y +-==时，则点()1,2T 是点A ，B 的融合点．

（1）已知点()1,5A -，()7,4B ，()2,3C ，请说明其中一个点是另外两个点的融合点． （2）如图，点()4,0D ，点(),25E t t +是直线l 上任意一点，点(),T x y 是点D ，E 的融合点．

①试确定y 与x 的关系式；

②在给定的坐标系xOy 中，画出①中的函数图象；

③若直线ET 交x 轴于点H ．当DTH 为直角三角形时，直接写出点E 的坐标．

2．如图，直线l 1：y 1=﹣x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P （m ，3）为直线l 1上一点，另一直线l 2：y 2=

1

2

x +b 过点P ． （1）求点P 坐标和b 的值；

（2）若点C 是直线l 2与x 轴的交点，动点Q 从点C 开始以每秒1个单位的速度向x 轴正方向移动．设点Q 的运动时间为t 秒．

①请写出当点Q 在运动过程中，△APQ 的面积S 与t 的函数关系式； ②求出t 为多少时，△APQ 的面积小于3；

③是否存在t 的值，使△APQ 为等腰三角形？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

3．如图，已知四边形ABCO 是矩形，点A ，C 分别在y 轴，x 轴上，4AB =，

3BC =．

（1）求直线AC 的解析式；

（2）作直线AC 关于x 轴的对称直线，交y 轴于点D ，求直线CD 的解析式．并结合（1）的结论猜想并直接写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；

（3）若点P 是直线CD 上的一个动点，试探究点P 在运动过程中，||PA PB -是否存在最大值？若不存在，请说明理由；若存在，请求出||PA PB -的最大值及此时点P 的坐标．

4．问题背景：（1）如图1，已知△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．求证：DE ＝BD ＋CE ．

拓展延伸：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB ＝AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有∠BDA ＝∠AEC ＝∠BAC ．请写出DE 、BD 、CE 三条线段的数量关系．（不需要证明）

实际应用：（3）如图，在△ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，点C 的坐标为(－2，0)，点A 的坐标为(－6，3)，请直接写出B 点的坐标．

5．直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，直线l 过点C ．

（1）当AC =BC 时，如图①，分别过点A 、B 作AD ⊥l 于点D ，BE ⊥l 于点E ．求证：△ACD ≌△CBE ．

（2）当AC =8，BC =6时，如图②，点B 与点F 关于直线l 对称，连接BF ，CF ，动点M 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC 边向终点C 运动，同时动点N 从点F 出发，以每秒3个单位的速度沿F →C →B →C →F 向终点F 运动，点M 、N 到达相应的终点时停止运

动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．

①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）

②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．

6．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．

（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．

①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；

②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．

（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；

（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．

7．已知三角形ABC中，∠ACB＝90°，点D（0，－4），M（4，－4）．

（1）如图1，若点C 与点O 重合，A （－2，2）、B （4，4），求△ABC 的面积； （2）如图2，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，若∠AOG ＝55°，求∠CEF 的度数； （3）如图3，AC 经过坐标原点O ，点C 在第三象限且点C 在直线DM 与x 轴之间，N 为AC 上一点，AB 分别与x 轴，直线DM 交于点G ，F ，BC 交DM 于点E ，∠NEC+∠CEF ＝180°，求证∠NEF ＝2∠AOG ．

8．如图，在等边ABC ?中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以

CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ?，连结BE ． （1）求CAM ∠的度数；

（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ???；

（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．

9．如图，以直角△AOC 的直角顶点O 为原点，以OC ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立平面直角坐标系，点A （0，a ），C （b ，0）满足280a b b -++-=．

（1）点A 的坐标为________；点C 的坐标为________．

（2）已知坐标轴上有两动点P ，Q 同时出发，P 点从C 点出发沿x 轴负方向以每秒2个单

位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动，点P 到达O 点整个运动随之结束．AC 的中点D 的坐标是（4，3），设运动时间为t 秒．问：是否存在这样的t ，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若∠DOC=∠DCO ，点G 是第二象限中一点，并且y 轴平分∠GOD ．点E 是线段OA 上一动点，连接接CE 交OD 于点H ，当点E 在线段OA 上运动的过程中，探究∠GOA ，∠OHC ，∠ACE 之间的数量关系，并证明你的结论（三角形的内角和为180°可以直接使用）．

10．已知ABC 和ADE 都是等腰三角形，AB AC =，AD AE =，

DAE BAC ∠=∠．

（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点D ，E 分别在边AB ，AC 上，则

DB __________EC ．（填＞、＜或=）

（2）发现证明：如图②，将图①中的ADE 绕点A 旋转，当点D 在ABC 外部，点E 在ABC 内部时，求证：DB EC =．

（深入研究）（3）如图③，ABC 和ADE 都是等边三角形，点C ，E ，D 在同一条直线上，则CDB ∠的度数为__________；线段CE ，BD 之间的数量关系为__________．

（4）如图④，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=?，点C 、

D 、

E 在同一直线上，AM 为ADE 中DE 边上的高，则CDB ∠的度数为__________；线段AM ，BD ，CD 之间的数量关系为__________．

（拓展提升）（5）如图⑤，ABC 和ADE 都是等腰直角三角形，

90BAC DAE ∠=∠=?，将ADE 绕点A 逆时针旋转，连结BE 、CD ．当5AB =，

2AD =时，在旋转过程中，ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________．

11．ABC 是等边三角形，作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为D ，连接AD ，直线BD 交直线AP 于点E ，连接CE ．

（1）如图①，求证：CE AE BE +=；（提示：在BE 上截取BF DE =，连接AF ．）

（2）如图②、图③，请直接写出线段CE ，AE ，BE 之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若26BD AE ==，则CE =__________．

12．问题情景：数学课上，老师布置了这样一道题目，如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是BC 的中点，且满足∠ADE ＝60°，DE 交等边三角形外角平分线于点E ．试探究AD 与DE 的数量关系．

操作发现：（1）小明同学过点D 作DF ∥AC 交AB 于F ，通过构造全等三角形经过推理论证就可以解决问题，请您按照小明同学的方法确定AD 与DE 的数量关系，并进行证明．

类比探究：（2）如图2，当点D 是线段BC 上任意一点(除B 、C 外)，其他条件不变，试猜

想AD 与DE 之间的数量关系，并证明你的结论．

拓展应用：（3）当点D 在线段BC 的延长线上，且满足CD ＝BC ，在图3中补全图形，直接判断△ADE 的形状(不要求证明)．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1．（1）点C 是点A 、B 的融合点；（2）①2-1y x =；②见详解；③点E 的坐标为：（2，9）或（8，21） 【解析】 【分析】

（1）根据融合点的定义3a c x +=

，3

b d

y +=，即可求解； （2）①由题意得：分别得到x 与t 、y 与t 的关系，即可求解； ②利用①的函数关系式解答；

③分∠DTH ＝90°、∠TDH ＝90°、∠HTD ＝90°三种情况，分别求解即可． 【详解】 解：（1）x ＝

-17233a c ++==，y ＝54

333

b d ++==， 故点C 是点A 、B 的融合点； （2）①由题意得：x ＝433a

c t ++=，y ＝25

33

b d t ++=，则3-4t x =， 则()23-45

2-13

x y x +=

=；

②令x＝0，y＝-1；令y＝0，x＝1

2

，图象如下：

③当∠THD＝90°时，

∵点E（t，2t＋5），点T（t，2t?1），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．

∴t＝1

3

（t＋4），

∴t＝2，

∴点E（2，9）；

当∠TDH＝90°时，

∵点E（t，2t＋5），点T（4，7），点D（4，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．

∴4＝1

3

（4＋t）

∴t＝8，

∴点E （8，21）； 当∠HTD ＝90°时，

由于EH 与x 轴不平行，故∠HTD 不可能为90°； 故点E 的坐标为：（2，9）或（8，21）． 【点睛】

本题是一次函数综合运用题，涉及到直角三角形的运用，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解． 2．（1）b=

72；（2）①△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为S=﹣32t +272或S=32

t ﹣27

2

；②7＜t ＜9或9＜t ＜11，③存在，当t 的值为3或9+或9﹣或6时，△APQ 为等腰三角形． 【解析】

分析：（1）把P (m ,3)的坐标代入直线1l 的解析式即可求得P 的坐标，然后根据待定系数法即可求得b ；

（2）根据直线2l 的解析式得出C 的坐标，①根据题意得出9AQ t =-，然后根据

1

2

P S AQ y =

?即可求得APQ 的面积S 与t 的函数关系式；②通过解不等式273322t -<或327 3.22

t -<即可求得7

2

2

2(71)032103,t -++-=++-当AQ =PA 时,则()()2

2

2(72)2103,t --=++-当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--， 即可求得．

详解：解;(1)∵点P (m ,3)为直线l 1上一点， ∴3=?m +2，解得m =?1， ∴点P 的坐标为(?1,3)， 把点P 的坐标代入212y x b =+ 得,()1

312

b =?-+， 解得7

2

b =； (2)∵72

b =

； ∴直线l 2的解析式为y =12x +72， ∴C 点的坐标为(?7,0)，

①由直线11:2l y x =-+可知A (2,0)， ∴当Q 在A . C 之间时，AQ =2+7?t =9?t ， ∴11273(9)32222

S AQ yP t t =

?=?-?=-；

当Q 在A 的右边时，AQ =t ?9， ∴11327(9)32222

S AQ yP t t ；=

?=?-?=- 即△APQ 的面积S 与t 的函数关系式为27322S t =-或327

.22

S t =- ②∵S <3，

∴273322t -<或327

3.22t -< 解得7

③存在； 设Q (t ?7,0)，

当PQ =PA 时,则()()()222

2(71)032103,t -++-=++-

∴22

(6)3t -=,解得t =3或t =9(舍去)，

当AQ =PA 时,则()()22

2(72)2103,t --=++-

∴2

(9)18,t -=解得9t =+9t =- 当PQ =AQ 时,则()2

22(71)03(72)t t -++-=--，

∴22

(6)9(9)t t -+=-，

解得t =6.

故当t 的值为3或9+9-6时，△APQ 为等腰三角形．

点睛：属于一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质以及三角形的面积,分类讨论是解题的关键. 3．（1）y =3

4-x +3；（2）y =34

x -3，y =-kx -b ；（3）存在，4，(8，3) 【解析】 【分析】

（1）利用4AB =，3BC =，找出A 、C 两点的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出AC 的解析式；

（2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知点D 的坐标，设直线解析式，利用待定系数法求出CD 的解析式，对比AC 的解析式进而写出直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式；

（3）先判断||PA PB -存在最大值，在P 、A 、B 三点不共线时，P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成三角形，两边之差小于第三边，得出结论在P 、A 、B 三点共线时，此时

||PA PB -最大，y p = y A =3，求出P 点的纵坐标，最后根据点P 在直线CD 上，将P 点的纵

坐标代入直线方程可得横坐标，从而求出P 点坐标． 【详解】

解：（1）在矩形ABCD 中，OC =AB =4，OA =BC =3， 故A (0，3)，C (4，0)，

设直线AC 的解析式为：y =kx +b (k ≠0，k 、b 为常数)，

点A 、C 在直线AC 上，把A 、C 两点的坐标代入解析式可得：

340b k b =??

+=?解得：343

k b ?=-?

??=?， 所以直线AC 的解析式为：y =3

4

-

x +3． （2）由直线AC 关于x 轴的对称直线为CD 可知：点D 的坐标为：(0，-3)， 设直线CD 的解析式为：y =mx +n (m ≠0，m 、n 为常数)， 点C 、D 在直线CD 上，把C 、D 两点的坐标带入解析式可得：

-340n m n =??

+=?解得：343

m n ?

=

???=-?， 所以直线CD 的解析式为：y =

3

4

x -3， 故猜想直线y kx b =+关于x 轴的对称直线的解析式为：y =-kx -b ．

（3）

点P 在运动过程中，||PA PB -存在最大值， 由题意可知：如图，延长AB 与直线CD 交点即为点P ，

此时||PA PB -最大，其他位置均有||PA PB -＜AB （P 点在运动过程中，与A 、B 两点组成任意三角形，两边之差小于第三边）， 此时，||PA PB -= AB =4，y p = y A =3，

点P 在直线CD 上，将P 点的纵坐标代入直线方程可得：

3

4x -3=3， x =8，

故P 点坐标为(8，3)，

||PA PB -的最大值为x p -x B =8-4=4．

【点睛】

本题主要考查利用待定系数法求解一次函数解析式及类比推理能力，掌握任意三角形两边之差小于第三边是解题的关键．

4．（1）证明见解析；（2）DE ＝BD ＋CE ；（3）B(1，4) 【解析】

【分析】

（1）证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；

（2）根据三角形内角和定理、平角的定义证明∠ABD=∠CAE ，证明△ABD ≌△CAE ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ，AD=CE ，结合图形解答即可；

（3）根据△AEC ≌△CFB ，得到CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4，根据坐标与图形性质解答． 【详解】

（1）证明：∵BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ， ∴∠ADB ＝∠CEA ＝90° ∵∠BAC ＝90° ∴∠BAD ＋∠CAE ＝90° ∵∠BAD ＋∠ABD ＝90° ∴∠CAE ＝∠ABD ∵在△ADB 和△CEA 中

ABD CAE ADB CEA AB CA ∠=∠??

∠=∠??=?

∴△ADB ≌△CEA （AAS ） ∴AE ＝BD ，AD ＝CE ∴DE ＝AE ＋AD ＝BD ＋CE 即：DE ＝BD ＋CE

（2）解：数量关系：DE ＝BD ＋CE

理由如下：在△ABD 中，∠ABD=180°-∠ADB-∠BAD ， ∵∠CAE=180°-∠BAC-∠BAD ，∠BDA=∠AEC ， ∴∠ABD=∠CAE ， 在△ABD 和△CAE 中，

ABD CAE BDA AEC AB CA ∠∠??

∠∠???

＝＝＝ ∴△ABD ≌△CAE （AAS ） ∴AE=BD ，AD=CE ， ∴DE=AD+AE=BD+CE ；

（3）解：如图，作AE ⊥x 轴于E ，BF ⊥x 轴于F ， 由（1）可知，△AEC ≌△CFB ， ∴CF=AE=3，BF=CE=OE-OC=4， ∴OF=CF-OC=1，

∴点B 的坐标为B （1，4）．

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

5．（1）证明见解析；（2）①CM =8t -，CN =63t -；②t =3.5或5或6.5． 【解析】 【分析】

（1）根据垂直的定义得到∠DAC=∠ECB ，利用AAS 定理证明△ACD ≌△CBE ； （2）①由折叠的性质可得出答案；

②动点N 沿F→C 路径运动，点N 沿C→B 路径运动，点N 沿B→C 路径运动，点N 沿C→F 路径运动四种情况，根据全等三角形的判定定理列式计算． 【详解】

（1）∵AD ⊥直线l ，BE ⊥直线l ， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠ECB ， 在△ACD 和△CBE 中，

ADC CEB DAC ECB CA CB ∠∠??

∠∠???

＝＝＝， ∴△ACD ≌△CBE （AAS ）； （2）①由题意得，AM=t ，FN=3t ， 则CM=8-t ，

由折叠的性质可知，CF=CB=6， ∴CN=6-3t ；

故答案为：8-t ；6-3t ；

②由折叠的性质可知，∠BCE=∠FCE ， ∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°， ∴∠NCE=∠CMD ，

∴当CM=CN 时，△MDC 与△CEN 全等， 当点N 沿F→C 路径运动时，8-t=6-3t ， 解得，t=-1（不合题意），

当点N沿C→B路径运动时，CN=3t-6，

则8-t=3t-6，

解得，t=3.5，

当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8-t=18-3t，

解得，t=5，

当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8-t=3t-18，

解得，t=6.5，

综上所述，当t=3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．

【点睛】

本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

6．（1）①6；②5或﹣3；（2）直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；（3）m的取

值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤3．

【解析】

【分析】

（1）①由矩形的性质即可得出结果；

②由矩形的性质即可得出结果；

（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3求出正方形AGCH的边长为3，分两种情况求出直线AC的表达式即可；

（3）由题意得出点M在直线y＝2上，由等边三角形的性质和题意得出OD＝OE＝1

2

DE＝

1，EF＝DF＝DE＝2，得出OF OD

①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则

点M的坐标为（﹣2）；得出m的取值范围为﹣3≤m≤﹣或2﹣

≤m≤1；

②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M 的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，

则点M的坐标为（22）；得出m的取值范围为2≤m≤3或2﹣

≤m≤1；即可得出结论．

【详解】

解：（1）①∵b＝﹣2，

∴点B的坐标为（﹣2，0），如图2﹣1所示：

∵点A的坐标为（1，2），

∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝（1+2）×2＝6，

故答案为：6；

②如图2﹣2所示：

由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积＝|b﹣1|×2＝8，

∴|b﹣1|＝4，

∴b＝5或b＝﹣3，

故答案为：5或﹣3；

（2）过点A（1，2）作直线y＝﹣1的垂线，垂足为点G，则AG＝3，∵点C在直线y＝﹣1上，点A，C的“相关矩形”AGCH是正方形，∴正方形AGCH的边长为3，

当点C在直线x＝1右侧时，如图3﹣1所示：

CG＝3，

则C（4，﹣1），

设直线AC的表达式为：y＝kx+a，

则

2

14

k a

k a

=+

?

?

-=+

?

，

解得；

1

3

k

a

=-

?

?

=

?

，

∴直线AC的表达式为：y＝﹣x+3；

当点C在直线x＝1左侧时，如图3﹣2所示：CG＝3，

则C（﹣2，﹣1），

设直线AC的表达式为：y＝k′x+b，

则

2

12

k b

k b

=+

?

?

-=-+

'

'

?

，

解得：

k1 b1

=

?

?

=

'

?

，

∴直线AC的表达式为：y＝x+1，

综上所述，直线AC的表达式为：y＝﹣x+3或y＝x+1；

（3）∵点M的坐标为（m，2），

∴点M在直线y＝2上，

∵△DEF是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0），

∴OD＝OE＝1

2

DE＝1，EF＝DF＝DE＝2，

∴OF OD

分两种情况：如图4所示：

①当点N在边EF上时，若点N与E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，则点M的坐标为（﹣3，2）或（1，2）；

若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，

则点M的坐标为（﹣2）或（2，2）；

∴m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2m≤1；

②当点N在边DF上时，若点N与D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，

则点M的坐标为（3，2）或（﹣1，2）；

若点N与F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，

则点M的坐标为（2﹣3，2）或（﹣2+3，2）；

∴m的取值范围为2﹣3≤m≤3或﹣1≤m≤﹣2+3；

综上所述，m的取值范围为﹣3≤m≤﹣2+3或2﹣3≤m≤3．

【点睛】

此题主要考查图形与坐标综合，解题的关键是熟知正方形的性质、一次函数的图像与性质及新定义的应用．

7．（1）8;（2）145°;（3）详见解析．

【解析】

【分析】

（1）作AD⊥ x轴于D,BE⊥x轴于E,由点A,B的坐标可得出AD=OD=2,BE=EO=4,DE=6,由面积公式可求出答案;

（2）作CH∥x轴,如图2,由平行线的性质可得出∠AOG=∠ACH,∠DEC=∠HCE,求出

∠DEC+∠AOG=∠ACB=90°,可求出∠DEC=35°,则可得出答案;

（3）证得∠NEC=∠HEC,则∠NEF=180°-∠NEH=180°-2∠HEC,可得出结论．

【详解】

解：（1）作AD⊥x轴于D,BE⊥x轴于E,如图1,

∵A（﹣2,2）、B（4,4）,

∴AD＝OD＝2,BE＝OE＝4,DE＝6,

∴S△ABC＝S梯形ABED﹣S△AOD﹣S△AOE＝1

2

×（2+4）×6﹣

1

2

×2×2﹣

1

2

×4×4＝8;

（2）作CH // x轴,如图2,

∵D（0,﹣4）,M（4,﹣4）,

∴DM // x轴,

∴CH // OG // DM,

∴∠AOG＝∠ACH,∠DEC＝∠HCE,∴∠DEC+∠AOG＝∠ACB＝90°,∴∠DEC＝90°﹣55°＝35°,

∴∠CEF＝180°﹣∠DEC＝145°;

（3）证明：由（2）得∠AOG+∠HEC ＝∠ACB ＝90°, 而∠HEC+∠CEF ＝180°,∠NEC+∠CEF ＝180°, ∴∠NEC ＝∠HEC,

∴∠NEF ＝180°﹣∠NEH ＝180°﹣2∠HEC, ∵∠HEC ＝90°﹣∠AOG,

∴∠NEF ＝180°﹣2（90°﹣∠AOG ）＝2∠AOG ． 【点睛】

本题是三角形综合题,考查了坐标与图形的性质,三角形的面积,平行线的性质,三角形内角和定理,熟练掌握平行的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 8．（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=?. 【解析】 【分析】

（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；

（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，

60ACB DCE ∠=∠=?，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ???；

（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ???，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ???而有

30CBE CAD ∠=∠=?而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ???同样可以得出结论． 【详解】

（1）ABC ?是等边三角形， 60BAC ∴∠=?．

线段AM 为BC 边上的中线，

1

2CAM BAC ∴∠=∠，

30CAM ∴∠=?．

（2）

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?， ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠， ACD BCE ∠∠∴=． 在ADC ?和BEC ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

， ()ACD BCE SAS ∴???；

（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=?， 理由如下：

①当点D 在线段AM 上时，如图1，

由（2）可知ACD BCE ???，则30CBE CAD ∠=∠=?， 又60ABC ∠=?，

603090CBE ABC ∴∠+∠=?+?=?，

ABC ?是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线

AM ∴平分BAC ∠，即11

603022

BAM BAC ∠=∠=??=?

903060BOA ∴∠=?-?=?．

②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?，

ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠， ACD BCE ∠∠∴=， 在ACD ?和BCE ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

， ()ACD BCE SAS ∴???，

30CBE CAD ∴∠=∠=?，

同理可得：30BAM ∠=?， 903060BOA ∴∠=?-?=?．

③当点D 在线段MA 的延长线上时，

ABC ?与DEC ?都是等边三角形，

AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=?， 60ACD ACE BCE ACE ∴∠+∠=∠+∠=?， ACD BCE ∠∠∴=， 在ACD ?和BCE ?中 AC BC ACD BCE CD CE =??

∠=∠??=?

， ()ACD BCE SAS ∴???，

CBE CAD ∴∠=∠，

同理可得：30CAM ∠=? 150CBE CAD ∴∠=∠=?

30CBO ∴∠=?，

∵30BAM ∠=?， 903060BOA ∴∠=?-?=?．

综上，当动点D 在直线AM 上时，AOB ∠是定值，60AOB ∠=?．

【点睛】

此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.

9．（1）（0，6），（8，0）；（2）存在t=2.4时，使得△ODP 与△ODQ 的面积相等；（3）2∠GOA+∠ACE=∠OHC ，理由见解析． 【解析】 【分析】

（1）根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性即可求解；

（2）根据运动速度得到OQ=t ，OP=8-2t ，根据△ODP 与△ODQ 的面积相等列方程求解即可；

（3）由∠AOC=90°，y 轴平分∠GOD 证得OG ∥AC ，过点H 作HF ∥OG 交x 轴于F ，得到∠FHC=∠ACE ，∠FHO=∠GOD ，从而∠GOD+∠ACE=∠FHO+∠FHC ，即可证得2∠GOA+∠ACE=∠OHC. 【详解】

（1280a b b -+-=， ∴a-b+2=0，b-8=0， ∴a=6，b=8，

∴A （0，6），C （8，0）； 故答案为：（0，6），（8，0）； （2）由（1）知，A （0，6），C （8，0）， ∴OA=6，OB=8， 由运动知，OQ=t ，PC=2t ， ∴OP=8-2t ， ∵D （4，3）， ∴11

4222

ODQ D S OQ x t t =

?=?=△， 11

82312322

ODP D S OP y t t =?=-?=-△（），

∵△ODP 与△ODQ 的面积相等，