轴对称、等腰三角形经典练习题目

【知识点回顾】

轴对称：一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就 说这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的对应 点叫做对称点。

轴对称的性质：1、关于轴对称的图形全等。 2、如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。

线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

等腰三角形的性质

定理：等腰三角形有两边相等；

定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；

等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写 成“等角对等边”。）

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等 于斜边的一半 【典型例题】

例1. 如图，ABC ?中，ο100=∠=A AC AB ，，BD 平分ABC ∠。

求证：B C B D AD =+。

分析：从要证明的结论出发，在BC 上截取B D B F =，只需证明AD CF =，考虑到21∠=∠，想到在BC 上截取B A B E =，连结DE ，易得，则有FD A D =，只需证明CF DE =，这就要从条件出发，通过角度计算可以得出DE DF CF ==。 证明：在BC 上截取B D B F B A B E ==，，连结DE 、DF 在AB D ?和EB D ?中，B D B D 21B E B A =∠=∠=，，

ο

ο

80

DEF 100

A BED DE AD )SAS (EBD ABD =∠∴=∠=∠=∴???∴，

又οΘ100A AC AB =∠=， οοο40)100180(2

1

C ABC =-=∠=∠∴ οο20402

1

21=?=∠=∠∴ 而B F B D = οοοο80)20180(2

1

)2180(21BDF BFD =-=∠-=

∠=∠∴ AD BD FC BF BC FC DF DE AD FC DF C FDC 404080C DFE FDC 40C 80DFE DF

DE 80DFE DEF +=+=∴===∴=∴∠=∠∴=-=∠-∠=∠∴=∠=∠∴=∴=∠=∠∴ο

οοο

οο，

即B C B D AD =+ 【随堂作业】

1、下列图形中，不是轴对称图形的是 （ ）

A ．有两个内角相等的三角形 B. 有一个内角是45°直角三角形

C. 有一个内角是30°的直角三角形

D. 有两个角分别是30°和120°的三角形 2、下列说法中正确的是 （ ）

① 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 ② 角是轴对称图形 ③线段不是轴对称图形 ④ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等

A.①②③④

B.①②③

C.②④

D.②③④ 3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 （ ） A ．21：10 B. 10：21 C. 10：51 D. 12：01

4、下列推理中，错误的是 ( )

A ．∵∠A ＝∠

B ＝∠

C ， ∴△ABC 是等边三角形 B ．∵AB ＝AC ，且∠B ＝∠C ， ∴△ABC 是等边三角形 C ．∵∠A ＝60°，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形

D ．∵AB ＝AC ，∠B ＝60°，∴△ABC 是等边三角形

5、等腰三角形两边的长分别为2cm 和5cm ，则这个三角形的周长是 ( ) A ．9cm B ．12cm C ．9cm 和12cm D ．在9cm 与12cm 之间

6、若等腰三角形的一个外角为130°，则它的底角为________ .

7、如图，ABC ?是等边三角形，

BC BD 90CBD ==∠，ο，则1∠的度数是________

C

A 1

D

B

2 3

8、如图，在等腰三角形中，

，点

是底边上一个动点，

分别是

的中点，若的最小值为2，则的周长

是（）A．

B．

C ．

D ．

9、在等边三角形ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，过D 作DE ∥BC 交AC 于E ，若 △ABC 的边长为a ，则△ADE 的周长为 ( )

A ．2a

B ．a 34

C ．1．5a

D ．a

10、如图，在中，

，

，点

为的中点，

于点，则

等于（ C ）

A．

B．C．D．

11、如图7—111，在Rt△ABC中，B为直角，DE是AC的垂直平分线，E在BC

上，∠BAE：∠BAC＝1：5，则∠C＝

_________.

12、如图7—112，∠BAC＝30°，AM是∠BAC的平分线，过M作ME∥BA交AC于 E，作MD⊥BA，垂足为D，ME＝10cm，则MD＝_________.

13、已知：如图7—120，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，E、 F分别为AB、AC上的点，且满足EA＝CF．求证：DE＝DF．

14、已知：如图△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE，

求证：AH=2BD．

H

E A

【课后作业】

1、如图：等边三角形ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点P ，则

∠APE 的度数是

（ ）

A ．45°

B ．55°

C ．60°

D ．75°

2、等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两 部分的差为3cm ，则腰长为（ ） A. 2cm B. 8cm C. 2cm 或8cm D. 以上都不对

3、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且相交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ） A. 6个 B. 7个 C. 8个 D. 9个

A 36° E D

F

B

C

4、如图, ∠MPN ＝25°, 又PA ＝AB ＝BC ＝CD, 则∠DCM ＝_______度。

5、 已知：在△ABC 中,∠A=20°,D 为AB 上一点,AD=DC,且 ∠ACD ∶∠BCD=2∶3,则 ∠ABC=_______．

6、等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP=∠ACQ ，

BP=CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．

7、已知：如图，AD 平分∠BAC ，EF 垂直平分AD 交BC 延长线于F ，连结AF ． 求证： ∠B=∠CAF.

A

C

B

P

Q

P

A

E

C

B

D

8、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD

求证：AF=FC

A

B

D

F

E

C

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列图案中是轴对称图形的是 ( )

2．以下四个图形中对称轴条数最多的一个图形是 ( )

3．到三角形的三个顶点距离相等的点是 ( )

A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点

C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点

4．已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段AB的中垂线外，则 ( )

A．PA＋PB>QA＋QB B．PA＋PB

A．1 B．2 C．3 D．4

7．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，若∠BDC＝75°，则∠A的度数为 ( ) A．30° B．40° C．45° D．60°

8．在等腰三角形ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为 ( )

A．7 B．11 C．7或11 D．7或10

9．如图，在△ABC中，AC＝AD＝BD，∠DAC＝80°，则∠B的度数是 ( )

A．40° B．35° C．25° D．20°

10．如图，直线l是一条河，P，Q两地相距8 km，P，Q两地到l的距离分别为2 km，5 km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是 ( )

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．粗圆体的汉字“口”“天”等都是轴对称图形，请再写出至少三个以上这样的汉字_______．12．如图，△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于点E，与BC交于点D，∠C＝15°，∠BAD＝60°，则△ABC是_______三角形．

13．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20°，则其顶角的大小为_______．

14．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AB边上的垂直平分线DE交AC于点E，D为垂足，若∠ABE：∠EBC＝2：1，则∠A＝_______．

15．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，角平分线BE与CD相交于点F，如果不添加其他线和字母，那么图中等腰三角形有_______个．

16．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝60°，BC＝4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C'的位置上，那么BC'的长为_______．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，点E是AD的任一点，若△

ABC的面积为12 cm，则图中阴影部分的面积是_______cm．

18．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为_______．

三、解答题（共46分）

19．（6分）（2013．盐城）如图①是3x3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有几种？

20．（6分）已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE ＝AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．

答案：

考点精练

1．82.5 2．30a 3．220 4．105°

5．368 6．7秒或25秒 7．（2，3

8．10° 9．D 10．B 11．B 12．B

13．7cm或11cm

14．关系：DE=DB，

∵CD=CE，

∴∠E=∠EDC，

又∵∠ACB=60°，

∴∠E=30°，

又∵∠DBC=30°，

∴∠E=∠DBC，

?∴DB=DE

15．（1）①③或②③

（2）已知①②求证△ABC是等腰三角形．

证：先证△EBO≌△DCO．得OB=OC，得∠DBC=∠ECB．

∴∠ABC=∠ACB．即△ABC是等腰三角形

16．（1）△DEF是等边三角形，

提示证△ADF≌△BED≌△CFE．即得△DEF是等边三角形

（2）AD=BE=CF成立．证略．

【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律

例1．在△ABC中，AB=AC，∠1=1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，

BD 与CE相交于点O，如图，∠BOC的大小与∠A的大小有什

么关系？若∠1=1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB，则∠BOC与∠A大

小关系如何？若∠1=1

n

∠ABC，∠2=

1

n

∠ACB，则∠BOC与∠

A大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE，

即可得到∠1=1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB时，∠BOC=90°+

1

2

∠A；

∠1=1

3

∠ABC，∠2=

1

3

∠ACB时，∠BOC=120°+

1

3

∠A；

∠1=1

n

∠ABC，∠2=

1

n

∠ACB时，∠BOC=

1

n

n

·180°+∠A．

【点评】在例1图中，若AE=1

n

AB，AD=

1

n

AC．类似上题方法同样可证得BD=CE．?上述

规律仍然存在．

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD?将这

个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及

底边长．

【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两

种情况讨论．

利用等腰三角形的性质证线段相等

例3．（2006年常德市）如图，P是等边三角形ABC内的一点，连

结PA、PB、PC，?以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的

形状，并说明理由．

【分析】（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60°即可得到△

CBQ．?利用等边三角形的性质证△ABP≌△CBQ，得到AP=CQ．（2）连接PQ，则△PBQ是等边三角形．PQ=PB，AP=CQ故CQ：PQ：PC=PA：PB：PC=3：4：5，∴△PQC是直角三角形．【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

【考点精练】

一、基础训练

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°．

（1）（2）（3）

2．如图2，是由9个等边三角形拼成的六边形，?若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_______．

3．如图3，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

4．（2006年烟台市）如图4，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°后得到△AB′C′，则∠BAC′等于________．

（4）（5）（6）5．（2006年包头市）如图5，沿AC方向开山修渠，为了加快施工进度，?要在小山的另一边同时施工．从AC上的一点B取∠ABD=135°，BD=520米，∠D=45°，如果要使A、C、E 成一直线，那么开挖点E离D的距离约为_______米（精确到1米）．

6．（2006年诸暨市）等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P?运动的时间应为________．

7．如图6，等边△ABC，B点在坐标原点，C点的坐标为（4，0），点A关于x轴对称点A?′的坐标为_______．

8．（2006年江阴市）如图7，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20?°，且AE=?AD，则∠CDE=________．

（7）（8）（9）

9．（2005年常州市）如图8，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=44°，CD⊥AB于D，则∠DCB等于（）

A．44° B．68° C．46° D．22°

10．（2006年海南省）如图9，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，?使拉线和地面成60°角，若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m的四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（）

A．L1B．L2C．L3D．L4

11．（2006年日照市）如图10，在△ABC中，AB=AC，D为AC边上一点，且BD=BC=AD．?则

∠A等于（）

A．30° B．36° C．45° D．72°

（10）（11）

12．（2006年怀化市）同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，?是一跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB．当跷跷板的一头A着地时，∠OAC=25°，?则当跷跷板的另一头B着地时，∠AOA′等于（）

A．25° B．50° C．60° D．130°

二、能力提升

13．如图，已知等腰三角形一腰上的中线把三角形周长分为12cm和15cm两部分，求它的底边长．

14．已知如图△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E使CE=CD．? 试判断DB与DE之间的大小关系，并说明理由．

15．（2006年扬州市）如图，△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE交于点O，?给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形（用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC是等腰三角形．

三、应用与探究

16．（2005年江西省）如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、?CA上的点．

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论．