实验设计与数据处理：7正交实验设计的极差分析

第7章 正交试验设计的极差分析

正交试验设计和分析方法大致分为二种：一种是极差分析法(又称直观分析法),另一种是方差分析法(又称统计分析法)。本章介绍极差分析法，它简单易懂，实用性强，在工农业生产中广泛应用。

7.1 单指标正交试验设计及其极差分析

极差分析法简称R 法。它包括计算和判断两个步骤，其内容如图7-1所示。

图7-1 R 法示意图

图中，K jm 为第j 列因素m 水平所对应的试验指标和，K jm 为K jm 的平均值。由K jm 的大小可以判断j 因素的优水平和各因素的水平组合，即最优组合。R j 为第j 列因素的极差，即第j 列因素各水平下平均指标值的最大值与最小值之差：

R j =max(jm j j K K K ,,,21 )-min(jm j j K K K ,,,21 )

R j 反映了第j 列因素的水平变动时，试验指标的变动幅度。R j 越大，说明该因素对试验指标的影响越大，因此也就越重要。于是依据

R j的大小，就可以判断因素的主次。

极差分析法的计算与判断，可直接在试验结果分析表上进行，现以例６-２来说明单指标正交试验结果的极差分析方法。

一、确定因素的优水平和最优水平组合

例6-2 为提高山楂原料的利用率，某研究组研究了酶法液化工艺制造山楂精汁。拟通过正交试验寻找酶法液化工艺的最佳工艺条件。

在例６-２中，不考虑因素间的交互作用（因例６-２是四因素三水平试验，故选用L9(34)正交表），表头设计如表６-５所示，试验方案则示于表６-６中。试验结果的极差分析过程，如表７-１所示.

表6-4 因素水平表

表6-6 试验方案及结果

试验指标为液化率，用y i 表示，列于表６-６和表７-１的最后一列。

表7-1 试验方案及结果分析

计算示例：

因素A 的第１水平A 1所对应的试验指标之和及其平均值分别为：

K A1=y 1+y 2+y 3=0+17+24=41，=1A K 3

1

K A1=13.7

同理，对因素A 的第２水平A 2和第３水平A 3，有

K A2=y 4+y 5+y 6=12+47+28=87，=2A K 3

1K A2=29 K A3=y 7+y 8+y 9=1+18+42=61，=3A K 3

1

K A3=20.3

由表７-１或表６-６可以看出，考察因素A 进行的三组试验中（A 1,A 2,A 3），B 、C 、D 各水平都只出现了一次，且由于B 、C 、D 间无交互作用，所以B 、C 、D 因素的各水平的不同组合对试验指标无影响，因此，对A 1、A 2和A 3来说，三组试验的试验条件是完全一样的。假如因素A 对试验指标无影响，那么321,,A A A K K K 应该相等，但由上面的计标可知，321,,A A A K K K 实际上并不相等，显然，这是由于因素A 的水平变化引起的，因此，321,,A A A K K K 的大小反映了A 1、A 2和A 3对试验指标影响的大小。由于液化率y 越大越好，而132A A A K K K >>，所以可判断A 2为因素A 的优水平。

同理，可判断因素B 、C 、D 的优水平分别为B 3、C 3、D 1。所以，优水平组合为A 2B 3C 3D 1，即最优工艺条件为加水量A 2=50ml/100g 、加酶量B 3=7ml/100g 、酶解温度C 3=50。C 和酶解时间D 1=1.5小时。最后，在此最佳工艺条件下，进行验证试验（建议平行3次）。

二、确定因素主次顺序

极差R j 按定义计算，如

3.157.130.2912=-=-=A A A K K R ,

0.273.43.3113=-=-=B B B K K R

同理可求出R C 和R D . 计算结果列于表7-1中。比较R j 值可知R B >R A >R D >R C ，所以试验因素对试验指标的影响的主次顺序为BADC 。即

加酶量影响最大，其次是加水量和酶解时间，而酶解温度的影响最小。

三、绘制因素与指标趋势图

为了更直观地反映因素对试验指标的影响规律和趋势,用因素的水平作横坐标,试验指标的平均值(j K )作纵坐标,画出因素与指标的关系图(即趋势图),如图7-2所示. (p137)

趋势图可为进一步试验时选择因素水平指明方向.如对因素A,由图7-2可见,A 2水平时,指标最高,但若能在A 2附近再取一些水平(如40、60)作进一步试验,则有可能取得更高的指标;对D 因素,若能取一些比D 1更小的水平(如1.0和0.5)作进一步试验,也有可能得到更好的结果.

以上三个步骤即为极差分析的基本程序与方法.

四、说明与讨论

1、计算结果的检验: 每一列的K j 之和应等于全部试验结果(即指标值)之和， 即∑∑===n

j j m

j j y K 1

1

，m 为水平数,n 为试验总实施次数.

2.因素的最优水平组合,在实际处理中是灵活的,即对于主要因素,一定要选最优水平;而对次要因素,则应权衡利弊,综合考虑其它条件进行水平选取,从而得到最符合实际生产的最优或较优生产工艺条件.

3.例6-2的最优工艺条件A 2B 3C 3D 1并不在实施的9个试验之中.这表明优化结果不仅反映了已做的试验信息,而且反映了全面试验信息.因此,正交试验设计的部分实施方案反映了全面试验信息.

4.例6-2得出的最优工艺条件,只有在试验所考察的范围内才有意义,超出这个范围,情况就可能发生变化。另外,只能说是“较优工艺条件”,而不能说是“最优工艺条件”.最好能根据趋势图做进一步试验,找出最靠近最优的工艺条件.

5.对已确定的最优工艺条件(如例6-2的A2B3C3D1)进行重复试验,验证其试验指标是否最优.

7.2 多指标正交试验设计及其极差分析

在实际生产和科研试验中,所要考察的指标往往不止一个,这一类的试验设计叫做多指标试验设计.在多指标试验设计中,各指标之间可能存在一定的矛盾,如何兼顾各个指标,找出使每个试验都尽可能好的试验条件呢?换言之，应如何分析多指标试验设计的结果呢?常用的有两种方法:综合平衡法和综合评分法.下面举例说明综合平衡法的分析方法.

这种方法在试验方案安排和各指标计算分析方法上,与单指标试验完全一样.其步骤是先分别找出各个指标最优或较优的生产条件,然后将这些生产条件综合平衡,找出兼顾每个指标都尽可能好的生产条件.

例7-1 在油炸方便面的生产中，主要原料质量和主要工艺参数对产品的质量有影响。今欲通过正交试验确定最佳生产条件。

一. 试验方案设计

1.确定试验指标

评价方便面质量好坏的主要指标是: 脂肪含量(越低越好)，水分含量(越高越好)和复水时间(越短越好)。

2．挑因素，选水平，列出因素水平表

根据专业知识和实际经验，确定试验因素和水平，如表7-2所示。

表7-2 因素水平表

3．选正交表，设计表头，编制试验方案

本试验是四因素三水平试验，不考虑因素间的交互作用，因此，可应选L9(34)安排试验，表头设计和试验方案见表7-3（p140）。

按上述方案实施后，将每一项试验指标都记录下来，见表7-3。注：对极差分析可以这样选正交表，但对方差分析应留有空列，以便估计试验误差.

表7-3 试验方案及结果分析

二．试验结果分析

1．计算每列各水平下每种试验指标的数据和（K 1，K 2，K 3），及其平均值（321K ,K ,K ），并计算极差R ，填入表7-3中。

2．画出因素与各种指标的趋势图，如图7-3所示（p140）。 3．按极差大小列出各指标下各因素主次顺序：

各因素主次顺序表

4．初选最优工艺条件

根据各指标下的平均数据和321,,K K K ，初步确定各因素的最优水平组合为：

对脂肪含量（%）：A 3B 3C 1D 2 （脂肪含量越低越好） 对水分含量（%）：A 1B 2C 1D 1 （水分含量越高越好）

对复水时间（s ）：A 2B 2C 2D 3 （复水时间越短越好）

5．综合平衡．．．．

确定最优工艺条件（难点）！ 由于三个指标单独分析出来的最优条件并不一致，所以必须根据因素对三个指标影响的主次顺序，综合考虑，确定出最优条件。

首先，把水平选取上没有矛盾的因素的水平定下来，即如果对三个指标影响都重要的某一因素，都是取某一水平时最好，则该因素就是选这一水平。在本试验中无这样的因素，因此我们只能逐个考察每一因素。

对因素A：从主次顺序来看，对脂肪含量和复水时间的影响都排在第一位为主要因素，而对水分含量的影响则排在第三位，属次要因素，因此，应以主要因素为主选因素的水平。从初选的最优水平组合中可以看出，对脂肪含量选A3为好，而对复水时间，则选A2为好。因为二者不一致，所以还须根据试验结果分析确定选A2还是A3。从表7-3可知，当取A2时，复水时间比取A3时缩短16.1%(有利)，即[(2.67-3.10)÷2.67]×100%=-16.1%，而脂肪含量只比取A3时增加11.0%（不利）,即 [(21.8-19.4)÷21.8]×100%=11.0%，且从水分含量指标来看，取A2也比取A3时更好，因此，应选取A2水平。

注：当取A3时，脂肪含量比取A2时降低12.4%(有利)，即(19.4-21.8)/19.4×100%=－12.4%,复水时间比取A2时增加13.9%（不利），即（3.10-2.67）/3.10×100%=13.9%。

综合平衡

∴对“有利”部分,A2>A3;对“不利”部分,A2

对因素B：从主次顺序表中可见，对脂肪含量和水分含量的影响均排在最后，属次要因素；对复水时间的影响排在第三位，所以，应以复水时间这一指标来考虑。再从初选最优水平组合中可知，对复水时间选B2为好，故B应取B2。

对因素C：从主次顺序表中和初选最优水平中可知，C对水分含

量的影响排在第一位，对脂肪含量的影响排在第二位，且都是取C 1为好；而对复水时间的影响则排在最后一位，属次要因素，故C 应取C 1。

对因素D ：对水分含量和复水时间的影响均排在第二位；而对脂肪含量的影响则排在第三位，属次要因素。对复水时间而言，选D 3较好；而对水分含量而言，则选D 1为好。所以，D 应选D 1或D 3。但取D 1时，从表7-3可见，虽然水分含量最高，但复水时间最长，并且脂肪含量最高，而D 对这两项指标的影响也是比较主要的（在主次顺序表中排在第二、三位），综合考虑，D 应选D 3。〔此时，复水时间最短，脂肪含量接近（K 3与K 2很接近），对这两个指标都有利；但水分含量此时低，不利〕---这是书上的解释方法！！！ 以上分析方法称为综合平衡法．．．．．

。 所以，本试验的较优工艺条件为3122D C B A 。由因素水平可知，此时湿面筋值为32％，改良剂用量为0.075％，油炸时间为70s,油炸温度为C 160.最后,应在该条件下,进行验证试验,看其指标是否在所有试验中为最优.

讨论:

上述对选D 1还是选D 3的讨论,侧重于定性.下面,从完全定量．．的角度讨论如何选D 的水平.

选D 1与选D 3优缺点的比较. 综合平衡 ○

1选D 1时 水分含量: %3.30%10097

.207

.297.2=?-(有利)

复水时间:

%4.20%10043.373

.243.3=?-(不利) 脂肪含量: %6.3%1003.225

.213.22=?-(不利)

○

2选D 3时 水分含量: %5.43%10007.297

.207.2-=?-(不利) 复水时间: %6.25%10073.243

.373.2-=?- (有利)

脂肪含量: %7.3%1005

.213

.225.21-=?-(有利)

由此可见,选D 1时,“有利”>“不利”；选D 3时,“不利”>“有利”.并且D 1 (有利)>D 3(有利之和绝对值),D 1 (不利之和)< D 3(不利绝对值).因此,从定量分析来看,D 应取D 1,而不是取D 3.那么,究竟如何决定D 的水平呢?最后,应该再进行A 2B 2C 1D 1和A 2B 2C 1D 3两次试验,由试验结果决定D 1好还是D 3好!实践是检验真理的唯一标准!

7.3 混合型正交表的试验设计极差分析

前面讨论的都是水平数)(k n m L 相同的正交试验设计.但在实际工作中,有些试验受到设备、原材料和生产条件等限制.某些因素的水平选择受到制约,或者在有些试验中,要重点考察某个(或某些)因素需要多取几个水平,这时就会遇到水平数不同的正交试验设计.在这种情况下,通常有三种解决方法:一是直接选用合适的混合型正交表；二是采用拟水平法；三是采用拟因素法.我们现在只讨论第一种方法,即使用混合型正交表)(2

1

21k k n m m L ?进行正交试验设计.

例7-2 某油炸膨化食品的体积与油温、物料含水量及油炸时间有关，为确保产品质量，提出工艺要求。现通过正交试验设计寻求理想的工艺条件。

一. 试验方案设计

1.确定试验指标

本试验的指标为油炸膨化食品的体积,体积越大越好.

2.挑因素、选水平、制定因素水平表

根据专业知识,制定因素水平表如7-4所示,因素A取4个水平,因素B和C各取2个水平,所以属于水平数不相等的正交试验设计.

表7-4 因素水平表

3.选正交表、设计表头、编制试验方案

本试验宜选用L8(41×24)正交表安排试验,表头设计时,把A因素放在第一列,其余两个因素可随意安排在四个二水平列中,比如依次排在第二、三列中,把所安排因素的各列的水平数字后标上相应因素的具体水平值,即得出试验方案,如表7-5所示.

按表7-5试验方案实施后,所得试验结果列于表7-5中的最后一列.

表7-5 试验方案及结果分析

二. 试验结果分析

1. 计算各列各水平下的K 、__

K 及R

由于各列的水平数不完全相同,所以K 和__

K 的计算略有差异. 第1列: 由于有四个水平数,所以要计算四个K 与__

K ,每个K 由二个数据相加得到,因此__

K =K/2.

例如:

.400.2090.2490.20920.4182/,

0.4180.2080.210111

__

=-==÷===+=R K K K A A A

第2、3列:由于只有两个水平,所以只要计算两个K 与__

K ,每个K 由四个数据相加得到,因此__

K =K/4.

例如:

25

.05.22875.2285

.2284/0.9144/0

.9140.2380.2510.2150.2101

1

1__

=-=====+++=R K K K B B B

按上述方法计算出各列各水平下的K 、__

K 以及R 值,列于表7-5中. 2. 计算R 的折算值R ’(极差R 的折算)

当因素的水平数相同时,因素的主次顺序完全由R 决定.但当因素的水平数不同时,直接比较R 是不行的.这是因为,若两个因素对试验指标有影响,一般来说,水平数多的因素极差可能大一些.因此，要用一个系数把极差R 折算后才能作比较.极差的折算公式如下:

r dR R =' 式中 R '--折算后的极差；

R--因素的极差；

r--该因素每个水平试验的重复数，r=

m

n

； d--折算系数，与因素的水平数有关，其值见表7-6。

表7-6 折算系数表 ↓'↓→↑→R d m

本例中，Ｒ的折算如下：

875.8425.671.0355.0425.071.046

.2524045.0'=??='=??='=??=C

B

A R R R 计算结果列于表７-５中.

3.根据R’大小确定因素的主次顺序

主 --〉次

A C B

即油炸温度对实验指标的影响最大，其次是油炸时间，而物料含水量的影响最小。

4.画出因素指标趋势图，如图7-4所示（p146）

5.选各因素的最优水平及最优水平组合

比较各因素各水平下的__K值（本例中__K越大越好），并参考因素指标趋势图，得出最优水平组合为A3B2C2或A3B1C2，即油炸温度230摄氏度，油炸时间40秒，物料含水量对试验指标影响很小，故取2%或4%都可以，视具体情况而定。

由表7-5可见，若最优水平组合A3B1C2，则该试验即表中的第5号试验，实验指标值即膨化体积为251.0㎝3/100g，为表中所列最大值；若最优水平组合为A3B2C2，则需再实施一次该水平组合下的试验，作为验证。

7.4 考察交互作用的正交试验设计及极差分析

一、交互作用的概念

前面介绍的正交试验设计与试验结果的分析方法，都是指因素间没有（或不考虑）交互作用的情况，实际上，在许多试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间还会联合搭配起来对指标产生影响。所以，因素对试验产生的总效果，是由每一个因素对试验的单独作用

再加上各个因素之间的搭配作用决定的。这种因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用，称为交互作用。

例如，我们要考虑化学反应的温度（A ）与时间（B ）对产品收率的影响，温度和时间都取二个水平，即1

2

A A A

和12

B B B 。在各A i B j 组合

条件的平均产品收率，可能有如下三种情况：

（1）不论B 因素取哪个水平，A 2水平下收率总比A 1水平高10；同样，不论A 因素取哪个水平，B 2水平下的收率总比B 1水平下高5。在这种情况下，一个水平的好坏或好坏程度不受另一个因素水平的影响，这种情况称为因素A 与B 之间无交互作用。

（2）在B 1水平下A 2比A 1的收率高，但在B 2水平下，A 1比A 2的收率高。这种一个因素水平的好坏或好坏程度受到另一因素水平制约的情况，称为因素A 由于因素B 存在交互作用，一般用A ×B 表示。

（3）不论B 因素取哪个水平，A 2水平的收率总比A 1水平下高，但高的程度不等，这也说明因素A 与B 存在交互作用。

（1） A 与B 间无交互作用（平行线）

（2） A 与B 间有交互作用（A ×B ）

（3）A 与B 间存在交互作用（A ×B ） 图7-4 A 与B 间的交互作用情况

事实上，因素之间总是存在着交互作用的，这是客观存在的普遍现象，只不过交互作用的程度不同而已。一般的，当交互作用很小时，就认为不存在交互作用。因素间的交互作用对试验指标的影响，可能是正的，也可能是负的。有人说：“中国人一个人像一条龙，三个人像一条虫；日本人一个人像一条虫，三个人像一条龙。”这说明中国人之间的交互作用常常产生负面效应。（一个和尚挑水喝，二个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。团结就是力量，集体主义精神）

在试验设计中，表示因素A 、B 间的交互作用记作A ×B ，称作一

级交互作用；表示因素A、B、C之间的交互作用记作A×B×C，称作二级交互作用；依次类推，还有三级、四级交互作用。二级和二级以上的交互作用称为高级交互作用。在试验设计中，通常忽略高级交互作用。

2．交互作用的处理原则

处理交互作用的总原则是，将交互作用当作因素看待，并将交互作用安排在能考察交互作用的正交表的相应列上（表头设计），它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简便。但交互作用又与试验因素不同，主要表现在：

（1）用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；

（2）一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有(m-1)p 列。即表头设计时，交互作用所占正交表的列数与因素水平m和交互作用的级数p有关，并且m和p越大，交互作用所占列数也就越多。例如，二水平因素的各级交互作用均只占一列，即(m-1)p=(2-1)p=1；对于三水平因素，（m-1）p=(3-1)p=2p,显然一级交互作用占两列（21=2），二级交互作用占四列（22=4）

对于交互作用的具体处理原则是：

（1）忽略高级交互作用；

（2）有选择的考虑一级交互作用；

正是由于忽略可以忽略的交互作用，才使正交试验法具有减少试验次数的优点。

（3）试验因素尽量取二个水平

因为二水平因素的各级交互作用均只占一列，所以选取二水平可以减少交互作用所占列数和减少试验次数。

二、考虑交互作用的正交试验设计方法

例7-4 用石墨炉原子吸收分光光度法测定食品中的铅，为了提高测定灵敏度，希望吸光度越大越好，今欲研究影响吸光度的因素，确定最佳测定条件。

1. 试验方案设计

（1）确定试验指标

（2）挑因素、选水平、制定因素水平表（根据专业知识，制定出的因素水平表见7-10，此处略。）

（3）选正交表

选正交表时，一定要把交互作用看成因素，同试验因素一并加以考虑。所选正交表试验号的大小，应能放下所有要考察的因素及交互作用，并且最好有1～2列空列，用以评价试验误差。

本例是三因素二水平试验，对于二水平因素，交互作用A×B，A×C 和B×C 都各占正交表一列，加上A（灰化温度）、 B（原子化温度）、C（灯电流）各需一列，共需六列。查附表7（p329）可知，选用L8（27）最合适。

（4）表头设计

表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按