随机分析在套利分析中的应用

随机分析在金融套利中的应用

习宇

（华中师范大学物理科学与技术学院 2010210421（10班））

摘要：依据证券市场的资产定价模型、指数模型、因素模型、套利模型，引进随机信号分析，提出随机分析在套利模型中的初步尝试性应用。

关键词：CAPM；APT；SIM；套利模式;随机分析；单边上扬套利；震荡套利。

0引言：

当今世界金融数学（Financial Mathematics），又称数理金融学、数学金融学、分析金融学，是利用数学工具研究金融，用随机分析，随机最优控制，倒向随机微分方程，非线性分析，分形几何等现代数学，进行数学建模、理论分析、数值计算等定量分析,，以求找到金融动内在规律并用以指导实践，是基于应用数学在金融中的运用。其所涉及的数学知识主要有率论、随机分析、控制论金融数学里面用的主要是随机控制、粘性解、数值算法、时间序列。继而推广到了经济学中发展产生的现如今计量经济学的基础。而今我们基于以上来探讨股票的价格的各种波动受到随机市场信息及各种相关的因素随时间的变化，来建立股票的套利模式。

首先探讨何谓套利？套利定价理论（APT）是一种资产定价模式，其重点是每项资产的回报率均可从该资产与众多的共同风险因素的关系推测得到由斯蒂芬·罗斯创于1976年提出这一理论，这一理论从众多独立的宏观经济因素变量的线性组合预测投资组合的回报。当资产被错误定价时，套利定价理论（APT）会指出正确的价格何在。它通常被视为资本资产定价模型（CAPM）的替代品，因为APT具有更灵活的假设要求。鉴于CAPM的公式需要市场的预期回报，APT则套用风险资产的预期收益率和各宏观经济因素的风险溢价。套利者使用APT模型，利用证券的错误定价从中取利。当证券出现错误定价，其价格将异于从理论模式预测出来的价格。

数学概率上的套利定义是：初始投入为X的资产组合，在将来的某个有限时刻T，该组合的价值为v（t），如果v（t）的概率p满足p（v（t）＞＝X）＝1且p（v （t）＞X）＞0，则称这样的情况为套利。如果一个初始投资为X的资产组合，在将来能获得概率1的带来严格正的收益，那么这个市场就存在套利机会。在证券市场中，该定义就可以理解为，在买入证券时的价格为P，在将来某个时间卖出的时

候价格为Q，并且这段时间的收益为正的概率是百分之百。

而经济学的角度解释是：套利定价的基本的原理是：投资者有相同的投资理念；投资者是回避风险的，并且要效用最大化；市场是完全的。

有效市场假定认为：一种资产的价格应该充分反映所有的可获信息。隐藏于这一假设背后的含义是：如果价格不能充分反映可获信息，那么，通过资产定价过低时买入，当资产定价过高时卖出，即可得到一个获取利润的机会。当产生一条使该公司证券价格上涨的信息或者事件时，当时的股票价格并不能及时的反映该信息的价值，在进阶的几个交易日中才能慢慢体现出来直到该证券价格可以正确反映其所包含的全部信息。若是投资者在信息未能体现时投入资金买入，在信息全部体现出来后抛出，即可获得收益为正并且概率为百分之百的套利。基于证券市场的套利模式是以最基本的跨期套利交易为基础。套利模式就是证券在趋势上进行套利的固定结构，而套利模式分析就是用来表明如何在证券市场中进行套利，以及解释在该模式下可以发生套利的原因。证券套利模式通过对以往证券数据的分析，得出了大量可以进行证券套利的案例，这些案例可以给投资者提供大量的文献参考资料。它可以非常好地帮助投资者适时地买进或者卖出来进行无风险套利。

1、因素模型

因素模型又可分为单指数模型与多因素模型。通过这希望能够对影响证券定价有个初步的了解，同时也可以知道传统是怎么定价的，当然这种定价只能说是用于正常的价格波动，对于不正常的波动则会怎么变化有一定的局限性。

在证券市场中，通过证券曲线的波动可以发现，证券的价格总是在不规则的波动，没有什么明显的规律。当有用的公告信息发生后，也不会经常发生价格一直涨升的趋势，常常伴随。

着时涨时跌，曲折上升的现象，产生这种现象的原因可以利用因素模型进行解释。因素模型它是是描述证券收益率生成过程的一种模型，建立在证券关联性基础上。认为证券间的关联性是由于某些共同因素的作用所致，不同证券对这些共同的因素有不同的敏感度。

1.1 单指数模型

这个指数模型基于下列假设：

大部分的股票有正的协方差因为他们对于宏观事件反应相似。然而，一些公司对于这些因素的敏感程度大于别的公司，由系数β来控制这个敏感程度。债券之间的协方差是由于对宏观事件的不同造成的。所以，每只股票的协方差等于他们的β相乘。Cov(Ri, Rk) = βiβkσ2.

单一指数模型(single-index model (SIM))是简单资产定价模型，它通常用于金融行业对于一个股票的风险和回报的评估。单指数模型认为证券价格收到一个单因素即股票指数的影响而产生波动。用数学的方法表达如下：

Ri ＝Ai ＋βiRm ＋εi

其中，Ri 代表第i 种证券的收益率；Rm 代表股票指数收益率；Ai 代表证券收益中独立于市场的部分；βi 代表证券收益率对股票指数收益率的敏感程度

1.2 资本资产定价模型与因素模型的关系

研究证券市场中资产的预期收益率与风险资产之间的关系，以及均衡价格是如何形成的如下

E （Ri ）:市场组合的期望收益率的估计

βi ：该证券的风险

rf :无风险市场组合

前者不是一个资产定价均衡模型，二后者是均衡模型。

1.3 多因素模型

所谓多因素模型,是指由影响公司价值及其股票价格的多个重要的基础因素构成的估价模型。当然,不同类型公司股票价格的影响因素有一定的差异,需要建立不同类型的基础多因素估价模型。

证券时间序列中描绘的影响证券价格走势受到了很多的行为的影响，例如国家的政策、政治方针、上市公司的各种行为、竞争中的优劣等，这些信息组成了证券的价格。单指数模型在这些方面似乎有些力不从心。多因素模型认为，影响证券价格的共同因素，除了股票指数以外，还有诸如通货膨胀率、失业率、工业生产总值、利率水平、汇率水平等因素，这些因素的变动会影响证券价格的不同变化。

()()

i i i E R E F αβ=+()(())i f M f i E

R r E r r β=+-

可以用数学语言表述为：

Ri＝ai＋1＋bi1＋1I1＋bi2＋1I2＋bi3＋1I3＋······＋bij＋1Ij＋εj

其中Ri的意义同上；I1，I2，I3，…Ij分别代表影响证券i收益的因素值；bi1，bi2，bi3…，bij是因素i对证券收益变化的影响程度；ai是常数项，代表证券收益率中独立于各个因素的变化部分；εj代表剩余收益。通过对多因素模型的分析，假设Ri为第i天的证券收益，Ri－1为第i－1天的证券收益，我们可以发现在这些众多因素里面，有些因素对这两天的价格影响程度是一定的，可以将这些因素的影响暂时忽略不计，而有些因素对这两天的价格影响程度是不同的，忽略掉两个影响状况程度大小一样，方向相反的因素，剩下的因素就是影响这段时间收益的关键。

2 套利模式

我们来简单的了解下套利中的有关无风险的套利操作和套利模式的种类，对后面的套利分析能够起到理论积淀。

2.1 无风险套利操作

Stephen Ross在1976年提出套利定价理论，他建立在因素模型的基础上。利用这一模式，可进行无风险的套利操作。它克服了资产定价模型中市场资产组合数据不易观测与单一因素

对收益率解释性不强的缺陷。在商品过程中，如果两种完全可以替代的商品的定价不同，就会发生套利。当规格、品质完全相同的两个商品在两个市场价格不同时，套利者就会从定价低的市场购买商品，然后立即到定价高的市场销售。在证券市场中存在风险，风险是影响

证券收益因素的不可预期的变化决定的。这些因素可以来自内部，也可以来自市场外。套利定价理论的基本思路是通过构建套利定价模型，给出在一定风险下满足无套利条件资产的收益率。在这一收益率下，投资者仅能得到无风险利率决定的收益，而不能得到额外利润。当具有某种风险证券组合的期望收益率与定价不符时，便产生了套利机会。

2.2 套利模式的种类

套利一般可分为三类：跨期套利、跨市套利和跨商品套利

跨市套利:是在不同交易所之间的套利交易行为。当同一期货商品合约在两个或

更多的交易所进行交易时，由于区域间的地理差别，各商品合约间存在一定的价差关系；跨商品套利:指的是利用两种不同的、但相关联商品之间的价差进行交易。这两种商品之间具有相互替代性或受同一供求因素制约。

跨商品套利:的交易形式是同时买进和卖出相同交割月份但不同种类的商品期货合约。跨期套利是套利交易中最普遍的一种，是利用同一商品但不同交割月份之间正常价格差距出现异常变化时进行对冲而获利的。它可分为牛市套利和熊市套利两种形式。而其套利的动机是对冲相关商品的不确定性、套利是独立于投机的交易策略。股指期货套利、商品期货套利、统计和期权套利套利交易模式是其主要的4大套利类型。

3 随机信号处理进行套利模式分析

3.1 数据获取本技术分析收集了上证以及深证所有上市公司的股市数据，包括当天开盘价，收盘价，最高价，最低价等，并将其作为基础数据。我们认为在发生某种可以套利的信息的时候，可以对股票这种金融序列产生一种脉冲，从而导致股票发生单边上扬模式或者震荡上升的模式。

3.2 单边上扬套利模式

定义1：设时间域T［1，∞］内，存在数组U［］＝［R1，R2，．．．，Ri．．．，Rj，．．．］，此刻R的因素模型为Ri＝ai＋bi1I1＋bi2I2＋．．．＋bijIj＋εj，函数Y（t）＝Ri＋c*△t（c∈R）在时间域T［i，j］内发生，则U［］＝［R1，R2，．．．，Ri+c*1，．．．，Rj＋c*（j－i＋1），Rj＋1，．．．］，时间域［i，j］内的R因素模型为Ri＝ai＋bi1I1＋bi2I2＋．．．＋bijIj＋εj＋c*△t（c∈R）。

算法：

Step1：数据预处理

除了时间date之外，该模式需要一组研究数据作为观察值。K线图中包含大量的数据，开盘价O、收盘价C、最高价H、最低价L等。我们可以单独采用其中任意一项数据作为研究

数据，也可以采用提取平均值的方法。同时，也有各种不同的指标数据，例如聚散指标A／D，资金流动指数MFI，布林带ROLL。将这些指标进行变换之后，也可以使用在该模式分析中。而收盘价是获得最容易的，它是较为有效的一个选择，

以下均采用收盘价作为研究数据。

流程图：

Step2：划分区域

定义某证券数据为U［］，首先按照等区间长度interval，将其划分为u1，u2，u3，…，un等n个子区间，然后提取特征值，利用一个循环定位技术将对象从一个划分转移到另外一个划分，来帮助改善划分质量。首先利用网格聚类的方法创建n 个划分。网格法是利用多维网格数据结构，将空间划分为有限数目的单元，并构成一个可以进行聚类分析的网格结构。这种方法的主要特点就是处理时间与数据对象数目无关，但与每维空间所划分的单元数相关，基于网格处理时间很短。当某个特定的事件发生时，其对股市的影响可以持续一段时间。众多的实验结果以先前的理论证明该时间长度在6天以上，20天以内。于是，我们就先暂定interval为6－20中的一个数值。将U［］划分为n个相同长度的区间。其次，进行循环定位来改善区间，分别提取各个小段中的价格的最大值VMax和最小值VMin，于是可以获取2*n个Value值，并将其统一定义为Value（i），组成为Value［］，计算出相邻两个价格之间的差值ValueRange（i）＝Value（i）－Value（i－1），描绘出ValueRange （i）的变化规律图如图1所示，并取出价格变化最大值M＝MAX［ValueRange（1：i）］，设置一个水平k。通

过以下公式：ValueRange（i）＝ValueRange（i）；（│ValueRange（i）│＞M*k）0；（│ValueRange（i）│＜＝M*k））

然后通过最后提取出来的ValueRange（i），选取对应的Value（i），以及相对应的时间点Date（i），进行区间划分，划分最终结果如图2所示：

Step3：数据处理

可以在该数组的基础上构造出的一个单边上扬套利模式曲线图。依此计算出价格差ValueRange，时间差DateRange，涨幅百分比Percentage，设当天的收盘价为Value（i），时间为Date

（i），计算公式如下：

DateRange（i）＝Date（i）－Date（i－1）

Percentage（i）＝ValueRange*1000％

测试结果：

利用上证指数（000001）作为该模式的测试对象，经过计算，可以得出上证指数的单边上扬模式如图2所示，数据处理结果如图3所示。通过数据处理结果可以很明显地看出2006年11月13日至2007年1月24日，出现了70余天的牛市，涨幅百分比高达59％，而在2006年7月11日至2006年8月14日，则连续30天下跌了10％。

3.3震荡上扬套利模式定义

2：设时间域T［1，∞］内，存在数组U［］＝［R1，R2，．．．，Ri．．．，Rj，．．．］，此刻R的多因素模型为Ri＝ai＋bi1I1＋bi2I2＋．．．＋bijIj＋εj，函数Y（t）＝Ri＋c （c∈R）在时间域T［i，j］内发生，则U［］＝［R1，R2，．．．，Ri+c，．．．，Rj＋c，Rj＋1，．．．］，时间域［i，j］内的R因素模型为Ri＝ai＋bi1I1＋bi2I2＋．．．＋bijIj ＋εj＋c（c∈R）。

算法：

step1：数据获取及预处理（同单边上扬套利模式）

Step2：利用网格法划分区域

股市数组U［］＝｛R1，R2，R3，…，Ri，…｝按照时间间隔interval分成任意n个小段，interval2我们在这里定义为3－15天之间，将U［］划分成u1，u2，u3，…，un等n个子区间。

Step3：数据处理

在每个ui区间内，仅提取该区间中数据最大值MAXi，数据最小值MINi，将其统一定义为V2i－1，V2i，并将其对应的日期数据设为Ti，Tj。这样可以求出MAXi 与MINi之间的平均值，计算出两个震荡之间的差值，涨跌百分比。

测试：

利用ST昌河（600372）作为该模式的测试对象，经过算法进行计算，可以得出上证指数的震荡套利模式。

4结束语

此次论文的行文的结构是参考了金融工程领域的金融资产模型，套利定价理，随机信号过程是对套利理论的一个全新的运用，是分析这种行为的一种未来可以参考的理论之一。当然这种模型可能有一定的误差和局限性，比如对不同的行业类型性质的股票它所产生的结果是不一样的，对于综合指数的套利的结果又是怎么样的这个也是不好说。有待于进一步的分析和验证。不足之处有望完善。

参考文献：

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