人教版八年级数学下册 期末复习 勾股定理 讲义

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八年级下册期末复习（二）

勾股定理考点梳理

考点一：勾股定理的内容

勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a , b ,斜边长为 c ,那么

a 2 +

b 2 =

c 2 .

例题 如果直角三角形的两条直角边长为 a ， b ，则斜边 c = __________

考点二：勾股定理的证明

例题 1 我国 3 世纪汉代的赵爽是如何证明勾股定理的？ 例题 2 古希腊数学家毕达哥拉斯是如何证明勾股定理的？

例题 3 学习美国第 20 任总统詹姆斯 加菲尔德的证法并完成练习.

考点三：“赵爽弦图”

“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，它通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面

积关系证明了勾股定理，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，这个图案还被

选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.下面看一道典例：

如图是用4个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的

面积为49, 小正方形的面积为4，若用x, y 表示直角三角形的两条直角边(x > y ) 下列四个说法：

1)x 2 + y 2 = 49; (2)x - y = 2; (3)2 x y + 4 = 49; (4)x + y = 9.其中正确的是 ______________ .

练习

1

)

大正方形的面积是13，小正方

形的面积是1，则a

2

+ b

2

=

若S+S+S=10,则S=_______.

1232

考点四：利用勾股定理解直角三角形

例题1已知一个直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为_____.

练习（1）求图中直角三角形中未知边的长度.a=____;b=____;c=_____.

（2）如图，正方形ABCD中，∠AEB=90?,AE=6,BE=8,则涂色部分的面

积为_______.

4

))

(

())

(

3BC,蚂蚁从A点爬到P点,最短距

（3）如图，一个圆锥高2.4m,底面半径为0.7m,求母线AB的长.

（4）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________.考点五：利用勾股定理求两点间距离

例题1如图，在平面直角坐标系中有两点A(5,0)和B(0，)，求这两点间的距离.

例题2在平面直角坐标系中，A(2,0，B(5,8，则AB=_______.

练习1)在平面直角坐标系中，点P(4,3)到原点的距离是_______.

(2)在平面直角坐标系中，A1,-1，B(-2,3，则AB=______.

考点六：利用勾股定理解非直角三角形

例题1如图，在三角形ABC中，AB=2,AC=3,BC=4,求BC边上的高AD.考点七：利用勾股定理在数轴上确定无理数

例题1在数轴上作出表示2的点.

例题2在数轴上作出表示22的点.

例题3在数轴上作出表示5的点.

例题4在数轴上作出表示5+1的点.

练习1

)在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长

为半径画弧交数轴的正半轴于点M，则M的坐标为________.

考点八：利用勾股定理解决最短路径问题（展开思想）

例题1如图，圆柱的底面半径为6cm,高为10cm,蚂蚁在圆柱表面爬行,从点A爬到点B

的最短路程是多少？（结果保留小数点后一位）

例题2如图，S

?ABC

=______.

练习三角形的三边长分别为10，17，21，则最长边上的高为_________.例题3?ABC中，AB=AC,AD是?ABC的角平分线，AB=5,AD=3,则BC=_____.练习如图，在?ABC中，AB=AC=BC,高AD=h.求AB.

\

\

例题2如图，圆柱底面周长为6cm,高为6cm,PC=2

练习如图，长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5,BC=4,BB'=3,求A到C'的最短爬行距离.

3

AB,求BE的长. (1

3451,1,2

考点九：勾股定理在折叠问题中的应用（方程思想）

例题1如图，Rt?ABC中，AB=9,BC=6,M为BC的中点,求BN的长.例题2如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=10,求CE的长.

例题3如图，Rt?ABC中，AB=9,BC=6,BC'=1

考点十：利用勾股定理证明线段间的数量关系考点十一：逆命题与逆定理

例题1定理“对顶角相等.”有逆定理吗？

分析：将其改为“如果……那么……”的形式：

______________________________

因此，其逆命题是：___________________________________________

注：每个命题都有逆命题，但不是所有定理都有逆定理。真的命题才可以成为定理.

例题2写出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

（1）同旁内角互补，两条直线平行；

（2）线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；

（3）勾股定理.

例题如图，?ABC和?ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90?,D为AB边上一点.

求证：)?ACE??BCD;

(2)AD2+AE2=DE2.考点十二：勾逆定理

例题1什么是勾股数？

例题2下列哪些是勾股数？

3,4,54,5,68,15,171,1,1

例题3证明：勾股数的正整数倍仍是勾股数.

1,3,22m,m2-1,m2+1(m

为正整数)

练习1如图，?ACB和?ECD都是等腰直角三角形，C A=CB,C E=CD,?ACB的顶点A在DE上.

求证：AE2+AD2=2AC2.(提示：连接B D)

练习2如图，在?ABC中，CD⊥AB于点D，且有AC2=AD AB.求证：CD2=AD BD.练习已知三边长分别为a,b,c的Rt?，现将各边长增加1，还是Rt?吗？例题4下列各组数中，可作为直角三角形三边长的是（）

A.10,24,25

B.9,15,20

C.9,40,41 C.9,80,81

练习下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（）

A.3,4,4

B.3,4,5

C.3,4,6

D.3,4,7

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考点十三：勾股定理的实际应用

勾股定理练习题（1）

1. 如图，在Rt ?ABC 中，∠B = 90?,点E 在BC 上，沿AE 折叠使点B 落在AC 边上的

点B' 处，若AB = 3, BC = 4,

则BE = ________ .

例题 2

如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：

AM = 4m , AB = 8m , ∠MAD = 45?, ∠MBC = 30?, 则警示牌的高 CD =________.

2. 如图，楼梯 AB : BC = 3 :1, 高BC 是5米，要在楼梯上铺地毯 ，至少需 _________ 米.

3. 在?ABC 中，a, b , c 分别是∠A, ∠B, ∠C 的对边，能判断 ?ABC 是Rt ?的是 _______

1)a = 2, b = 3, c = 4 (2)a = b = 3, ∠A = 30? (3)a = 2, b = 7, c = 3 (4)a = b = 2, c = 2 3

勾股定理练习题（2）

1. 直角三角形的两边长是 6 和 8，则第三边的长是___________.

2. 下列各组数中的三个数，可以作为直角三角形的三边的是（ ）

A.1,2,3

B.32 ,42 ,52

C.1, 2, 3

D. 3, 4, 5

3. 如图所示，大正方形的 面积是13，小正方形的面积是 1，则(a + b )2 = _______ .

4. 如图，一张直角三角形 纸片，现将其折叠，使 点B 与点A 重合，折痕为DE, 若

AC = 6cm , BC = 8cm ,

则BE 的长为 _________ .

例题 3

如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P 处交汇，且 ∠QPN = 30?, 点 A 处有一所中学，

P A = 160m . 假设拖拉机行驶时方圆100m 都会受到噪音的影响，那么拖拉机在公

路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由。如果受

影响，已知拖拉机的速度为18km / h ，那么学校受影响的时间是多少秒?

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勾股定理练习题（3）

1. 如图，?ABC 中，AB = 17, AC = 10, BC 边上的高AD = 8, 则?ABC 的周长是 ______ .

2. 如图，在正方形网格中， ∠BAC = _____ ?. （简单说明理由）

3. 在?ABC 中，AB = 15, AC = 13, BC 边上的高AD = 12, 则?ABC 的周长是 _________ .

4. 已知直角三角形的两条 直角边的长分别为 2 3 + 1和2 3 -1, 则斜边长 c = _________ .

勾股定理练习题（4）

1. 命题：全等三角形的对应边相等。

其逆命题是：______________________________________;是____(真、假).

2. 在Rt ?ABC 中，∠BAC = 90?，AB = AC = 2,以AC 为一边，在?ABC 外部作等腰直角三角形ACD,

则线段BD 的长为 _____________( F riendlyTips3answers)

3. 记图中正方形 ABCD ，正方形 EFGH ，正方形 MNKT 的面积分别为 S , S , S .

1 2

3

若 S = 12, 则 S + S + S = ________ .

2

1

2

3

勾股定理练习题（5）

1. 下列几组数中，为勾股数的一组是（ ）

A.4,5,6

B.12,16,20

C. - 10,24,26

D.0.3,0.4,0.5

2. 如图，一架梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙上，这时梯子底端 B 与墙角 C 的距离是

1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 的长是 0.9 米，则梯子下滑了（ ）

A.0.9米

B.1.3米

C.1.5米

D.2米

3. 如图是一块地，已知AD = 4m , C D = 3m , AB = 13m , BC = 12m , 且CD ⊥ AD .求这块地

的面积.

勾股定理练习题（6）

1. 如果 a, b , c 是 ?ABC 的三边，且满足 c 2 - a 2 - b 2 + a - b = 0 ，则 ?ABC 是________________

2. 已知 a, b , c 是 ?ABC 的三边，并且满

足 a 2 -10a + 25 + b -12 + c -13 = 0, 则 ?ABC 按角分类是

__________三角形.

3. 在直角坐标系中， A (- 1,0) B 1,0) 点 P 是坐标轴上的一点，要使 ?ABP 是直角三角形，则

P 点的坐标是_______________.

4. 在直角坐标系中， A (- 1,0) B 1,0) 点 P 是坐标平面内的一点，

要使 ?ABP 是等腰直角三角

形，

则P点的坐标是_____________________.

5.设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a,b及h.求证：+1=1.

a2b2h2

1