高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结(可编辑修改word版)
(x - 6)2 + y 2 (x + 6)2 + y 2 m - 1 2 圆锥曲线
1. 圆锥曲线的两定义：
椭圆中，与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的和等于常数2a ， 且此常数 2a 一定要大于 F 1F 2 ，当常数等于 F 1F 2 时，轨迹是线段 F 1 F 2 ，当常数小于 F 1 F 2 时，无轨 迹；双曲线中，与两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1 F 2 |， 定义中的“绝对值”与 2a ＜|F 1 F 2 |不可忽视。若2a ＝|F 1 F 2 |，则轨迹是以 F 1 ，F 2 为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1 F 2
|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程 - = 8 表示的曲线是
（答：双曲线的左支）
2. 圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1） 椭圆：焦点在 x 轴上时 x a 2 + y 2
b 2 = 1（ a > b > 0 ），焦点在 y 轴上时 y a
2
+ x 2 b 2 ＝1（ a > b > 0 ）。方程 Ax 2 + By 2 = C 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A ，B ，C 同号，A≠B）。 若 x , y ∈ R ，且3x 2 + 2 y 2 = 6 ，则
x + y 的最大值是 ， x 2 + y 2 的最小值是
（答：
5, 2 ）
（2） 双曲线：焦点在 x 轴上： x a 2 - y 2
b 2 =1，焦点在 y 轴上： y a
2
- x 2 b 2 ＝1（ a > 0, b > 0 ）。方程 Ax 2 + By 2 = C 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A ，B 异号）。
如设中心在坐标原点O ，焦点 F 1 、 F 2 在坐标轴上，离心率e = 则 C 的方程为 （答： x 2 - y 2 = 6 ）
的双曲线 C 过点 P (4,- 10) ， （3） 抛物线： 开口向右时 y 2 = 2 px ( p > 0) ， 开口向左时 y 2 = -2 px ( p > 0) ， 开口向上时 x 2 = 2 py ( p > 0) ，开口向下时 x 2 = -2 py ( p > 0) 。
3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1） 椭圆：由 x 2 , y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如 已知方程 x + y 2
2 - m = 1表示焦点在 y 轴上的椭圆， 则 m 的取值范围是 （ 答： (-∞,-1) (1, 3) ） 2
（2） 双曲线：由 x 2 , y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3） 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中， a 最大， a 2 = b 2 + c 2 ，在双曲线中， c 最大， c 2 = a 2 + b 2 。
4. 圆锥曲线的几何性质：
x 2 y 2 （1） 椭圆（以 + a 2 b 2
= 1（ a > b > 0 ）为例）：①范围： -a ≤ x ≤ a , -b ≤ y ≤ b ；②焦点：
两个焦点(±c , 0) ；③对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），四个顶点(±a , 0), (0, ±b ) ，
2 2
2 2
2
2 b
其中长轴长为 2 a ，短轴长为 2 b ；④准线：两条准线 x = ± a c
越小，椭圆越圆； e 越大，椭圆越扁。
； ⑤离心率： e = c ，椭圆? 0 < e < 1，e
a 如（1）若椭圆 x 5
+ y 2 m = 1的离心率e =
10 ，则 m 的值是 （答：3 或 25 ）； 5 3 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为
（答： 2 ）
x 2
y 2
（2） 双曲线（以 a 2
- = 1（ a > 0, b > 0 ）为例）：①范围： x ≤ -a 或 x ≥ a , y ∈ R ；②焦点：
b 2 两个焦点(±
c , 0) ；③对称性：两条对称轴 x = 0, y = 0 ，一个对称中心（0,0），两个顶点(±a , 0) ，其 中实轴长为 2 a ，虚轴长为 2 b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
x 2 - y 2
= k , k ≠ 0 ；④准线：两条准线 x = ± a c ； ⑤离心率： e = c ，双曲线? e > 1 ，等轴双曲线
a
? e = ，
e 越小，开口越小， e 越大，开口越大；⑥两条渐近线： y = ± x 。 a
（3） 抛物线（以 y 2 = 2 px ( p > 0) 为例）：①范围： x ≥ 0, y ∈ R ；②焦点：一个焦点 p ( , 0) 2
，其中 p 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 y = 0 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④
准线：一条准线 x = - p
； ⑤离心率： e = 2
c ，抛物线? e = 1 。
a 如设a ≠ 0, a ∈ R ，则抛物线 y = 4ax 2
的焦点坐标为
（答： (0, 1
16a
) ）
； x 2
y 2
x 2 y 2
5、点 P (x 0 , y 0 ) 和椭圆 + = 1（ a > b > 0 ）的关系：（1）点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆外? 0 + 0 > 1；
a 2
b 2 x 2 y 2 a 2 b 2
x 2
y 2
（2）点 P (x , y ) 在椭圆上? 0 + 0 ＝1；（3）点 P (x , y ) 在椭圆内? 0 + 0 <
1 0
a 2
b 2
0 0
a 2
b 2
6. 直线与圆锥曲线的位置关系：
（1） 相交： ? > 0 ? 直线与椭圆相交； ? > 0 ? 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一
定有? > 0 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故? > 0 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； ? > 0 ? 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ? > 0 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故? > 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2） 相切： ? = 0 ? 直线与椭圆相切； ? = 0 ? 直线与双曲线相切； ? = 0 ? 直线与抛物线相 切；
（3） 相离： ? < 0 ? 直线与椭圆相离； ? < 0 ? 直线与双曲线相离； ? < 0 ? 直线与抛物线相离。
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直
2 2 2 2
5 1 + 1 k 2 x 2 y 2
线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 a 2 - b
2 ＝1 外一点 P (x 0 , y 0 ) 的直线与双曲线只有
一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点， 只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；（3）过 抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、 焦 点 三 角 形 （ 椭 圆 或 双 曲 线 上 的 一 点 与 两 焦 点 所 构 成 的 三 角 形 ） 问 题 ：
S = b 2
tan = c | y |，当| y |= b 即 P 为短轴端点时， S 的最大值为 bc ；对于双曲线 S = 2 0 0 max
b 2
。 tan
2
如 （1）短轴长为 ，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2） 设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF；（3）设 AB 为焦点弦，A 、B 在准线上的射影分别为 A 1 ，B 1 ，若 P 为 A 1 B 1 的中点，则 PA⊥PB；（4）若
AO 的延长线交准线于 C ，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A ，O ，C 三点共线。
9、弦长公式：若直线 y = kx + b 与圆锥曲线相交于两点 A 、B ，且 x 1, x 2 分别为 A 、B 的横坐标，则 AB ＝
- x ，若 y , y 分别为 A 、B 的纵坐标，则 AB ＝ y - y ，若弦 AB 所在直线方程 1 2 1 2
1 2
设为 x = ky + b ，则 AB ＝ y - y 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，
1
2
一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
x 2 在椭圆 + y 2 b 2 x = 1中，以 P (x , y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k=－
0 ； a 2 b 2 0 0
a 2 y 弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：
1+ k 2
1+ k 2 0
- = 0 0
（3）给出 PM + PN = 0 ,等于已知 P 是 的中M N OC OA OB
1
1 x
2 在 双 曲 线 y 2 1中 ， 以 b 2 x P (x , y ) 为 中 点 的 弦 所 在 直 线 的 斜 率 k= 0 ； 在 抛 物 线
a 2
b 2
0 0 a 2 y y 2 = 2 px ( p > 0) 中，以 P (x , y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= p
。
y 0
提醒：因为? > 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验? > 0 ！
11. 了解下列结论
（1） 双曲线
x 2
- y 2 = 的渐近线方程为 x 2 - y 2
= 0 ；
a 2
b 2
a 2
b 2
（2） 以 y = ± b x 为渐近线（即与双曲线 x 2 - y 2 = 共渐近线）的双曲线方程为 x 2 - y 2
= (为
a 参数，≠0）。
a 2
b 2
a 2
b 2
（3） 中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 mx 2 + ny 2 = 1； 2b 2 （4） 椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为
，焦准距（焦点到相应准线的距
a
b
2
离）为
，抛物线的通径为2 p ，焦准距为 p ； c
（5） 通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6） 若抛物线 y
2
= 2 px ( p > 0) 的焦点弦为 AB ， A (x , y ), B (x , y ) ，则① | AB |= x + x
+ p ；②
p 2 2
1
1
2
2
1
2
x 1 x 2 = 4
, y 1 y 2 = - p
（7） 若 OA 、OB 是过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点
(2 p , 0)
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量u = (1, k ) 或u
= (m , n )；
（2） 给出OA + OB 与 AB 相交,等于已知OA + OB 过 AB 的中点;
（4）给出 AP + AQ = (
BP + BQ )
,等于已知 P , Q 与 AB 的中点三点共线;
（ 5） 给出以下情形之一： ① AB // AC ； ② 存在实数
, 使AB =
AC ； ③ 若存在实数
,, 且+
= 1, 使 = +
,等于已知 A , B , C 三点共线. （6） 给出 MA ? MB = 0 ,等于已知 MA ⊥ MB ,即∠AMB 是直角,给出 MA ? MB = m < 0 ,等于已知∠AMB 是钝角, 给出 MA ? MB = m > 0 ,等于已知∠AMB 是锐角,
MA MB 2 ? + = - 2 2 2
? = (
+ ?
)
∈ ? = ? MA （8）给出 + ?
? MB ?
= MP ,等于已知 MP 是∠AMB 的平分线/
?
?
（9） 在平行四边形 ABCD 中，给出( AB + AD ) ? ( AB - AD ) = 0 ，等于已知 ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形 ABCD 中，给出| AB AD | | AB AD |，等于已知 ABCD 是矩形;
（11） 在?ABC 中，给出OA = OB = OC ，等于已知O 是?ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在?ABC 中，给出OA + OB + OC = 0 ，等于已知O 是?ABC 的重心（三角形的重心是
三角形三条中线的交点）；
（13） 在?ABC 中，给出OA ? OB = OB ? OC = OC ? OA ，等于已知O 是?ABC 的垂心（三角形
的垂心是三角形三条高的交点）；
AB AC
+
（14）在?ABC 中，给出OP = OA + ( + ) (∈ R
) 等于已知 AP 通过?ABC 的内
| AB | | AC |
心；
（15） 在?ABC 中，给出 a ? OA + b ? OB + c ? OC = 0, 等于已知O 是?ABC 的内心（三角形内切
圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在 ABC 中，给出 AD 1
AB AC ,等于已知 AD 是 ABC 中 BC 边的中线; 2
（3）已知 A,B 为抛物线 x 2=2py (p >0)上异于原点的两点， OA ? OB = 0 ，点 C 坐标为（0，2p ）
（1） 求证：A,B,C 三点共线；
（2） 若 AM ＝ BM （ R ）且OM AB 0 试求点 M 的轨迹方程。
x 2 x 2
（1）证明：设 A (x 1 , 1 ), B (x 2 , 2 ) ，由OA ? OB = 0 得
2 p x 2 x 2 2 p x 2 x 2 - x 2 x x + 1 2 = 0,∴ x x = -4 p 2 ，又 AC = (-x , 2 p - 1 ), AB = (x - x , 2 1
) 1 2 2 p 2 p 1 2 x 2 - x 2 x 2
1
2 p
2 1 2 p ∴-x 1 ? 2 1 - (2 p - 1
) ? (x 2 - x 1 ) = 0 ，∴ AC // AB ，即 A,B,C 三点共线。
2 p 2 p
（2）由（1）知直线 AB 过定点 C ，又由OM ? AB = 0 及 AM ＝BM （∈ R ）知 OM ⊥AB ，垂足
为 M ，所以点 M 的轨迹为以 OC 为直径的圆，除去坐标原点。即点 M 的轨迹方程为 x 2+(y-p )2
=p 2(x ≠0，y ≠0)。
13. 圆锥曲线中线段的最值问题：
例 1、(1)抛物线 C:y 2
=4x 上一点 P 到点 A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为
(2)抛 物 线 C: y 2
=4x 上 一 点 Q 到 点 B(4,1)与 到 焦 点 F 的 距 离 和 最 小 ,则 点 Q 的 坐 标为
。
2 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF ，则 PH = PF ，因而易发现，
当 A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
（2）B 在抛物线内，如图，作 QR⊥l 交于 R ，则当 B 、Q 、R 三点共线时，
1
距离和最小。 解：（1）（2， 2 ）（2）（ ,1 ）
4
x 2
1、已知椭圆 C 1 的方程为 4 +
y 2
= 1，双曲线 C 2 的左、右焦点分别为 C 1 的左、右顶点，而 C 2 的左、
右顶点分别是 C 1 的左、右焦点。
(1) 求双曲线 C 2 的方程；
(2) 若直线 l ： y = kx +
与椭圆 C 1 及双曲线 C 2 恒有两个不同的交点，且 l 与 C 2 的两个交点 A
和 B 满足OA ? OB < 6 (其中 O 为原点)，求 k 的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线 C 2 的方程为 x 2
a
2
- y 2
b 2 = 1，则a 2 = 4 - 1 = 3,再由a 2 + b 2 =
c 2得b 2 = 1. x 2 2
故 C 2 的 方 程 为
- y = 1. （
II ） 将
3
y = kx + 2代入 x 4 +
y 2 = 1得(1 + 4k 2 )x 2 + 8 2kx + 4 = 0.
由直线 l 与椭圆 C 1 恒有两个不同的交点得
?1 = (8 2)2 k 2 - 16(1 + 4k 2 ) = 16(4k 2
- 1) > 0, 即
k 2 > 1 . ①
4
将y = kx + 2代入 x 3 -
y 2 = 1得(1 - 3k 2 )x 2 - 6 2kx - 9 = 0 .由直线 l 与双曲线 C 2 恒有两个
??1- 3k 2
≠ 0, 1 不同的交点 A ，B 得?
即k 2
≠ 且k 2 < 1. ???
= (-6 2k )2 + 36(1- 3k 2 ) = 36(1- k 2 ) > 0. 3 设A (x , y ), B (x , y ),则x + x
= 6 2k , x ? x = -9 A A B B A B
1- 3k 2 A B 1- 3k 2 由OA ? OB < 6得x A x B + y A y B < 6,而
x A x B + y A y B = x A x B + (kx A + 2)(kx B + 2)
A Q
H
P F
B
2 2
2
A B = < 1 0 - = (k 2 +1)x x +
2k (x A + x B ) + 2 = (k 2 +1) ?
3k 2 + 7
3k 2
-1 .
-9 + 1- 3k 2 2k ? 6 2k + 2 1- 3k 2
3k 2 + 7 15k 2 -13 于是 3k 2 -1 6, 即 3k 2 -1 > 0. 解此不等式得 k 2 >
13 或k 2 < 1 . ③
15 3
由①、②、③得 1 < k 2 < 1 或13
< k 2 < 1.
4 3 15
故 k 的取值范围为(-1, -
13 ) (- 3 , - 1 ) ( 1 , 3 ) ( 13
,1) 15 3 2 2 3 15
在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,-1)，B 点在直线y = -3 上，M 点满足 MB//OA ， MA ?AB = MB ?BA ，M
点的轨迹为曲线 C 。
（Ⅰ）求 C 的方程；（Ⅱ）P 为 C 上的动点，l 为 C 在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。
(Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =（-x,-1-y ）, MB =(0,-3-y),
AB =(x,-2).再
由愿意得知（ MA + MB ）? AB =0,即（-x,-4-2y ）? (x,-2)=0.
所以曲线 C 的方程式为 y= 1 x 2 -2. (Ⅱ)设 P(x ,y )为曲线 C ：y= 1 x 2
-2 上一点，因为 y
' = 1
x,所
4 0
0 4 2
以l 的斜率为 x
因此直线l 的方程为 y - y = 1
x (x - x ) ，即 x x - 2 y + 2 y - x 2 = 0 。 2 0 0 2 0
0 0 0
1 2 x 2 + 4 | 2 y 0 - x 0 | 1 2 2 0
1 4 则 O 点到l 的距离 d .又 y 0 = x 0 -
2 ，所以 d = = ( 4 x 2 + 4 2 ) ≥ 2, x 2 + 4 0 0
当 x 2
=0 时取等号，所以 O 点到l 距离的最小值为 2.
x 2 设双曲线 a 2 y 2 b
2 1（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线 y=x +1 相切，则该双曲线的离心率等于( )
x 2 设双曲线 a
2 - y 2
b 2
= 1的一条渐近线，则双曲线的离心率为(
).
x 2
+ 4 0 x 2 + 4 0
1+ ( b )2 a
x 0 0 0
2
' x 2 y 2
过椭圆 + a 2 b 2 = 1( a > b > 0 )的左焦点 F 1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P ， F 2 为右焦点， 若
∠F 1PF 2 = 60 ，则椭圆的离心率为
x 2 已知双曲线 2
- y 2 b 2
= 1(b > 0) 的左、右焦点分别是 F 1 、 F 2 ， 其一条渐近线方程为 y = x ， 点
P ( 3, y 0 ) 在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 ＝( )0
已知直线 y = k ( x + 2)(k > 0)
与抛物线 C : y 2 = 8x 相交于 A 、B 两点， F 为 C 的焦点， 若
| FA |= 2 | FB | ，则 k = ( )
已知直线l : 4x - 3y + 6 = 0 和直线l : x = -1，抛物线 y 2 = 4x 上一动点 P 到直线l 和直线l 的距离之
1
2
1
2
和的最小值是（ ）
设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F (1，0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A ，B 两点。若 AB 的中点为（2，2），则直线 l 的方程为 .
椭 圆 x + y 9 2
= 1的焦点为 F 1 , F 2 ，点 P 在椭圆上，若| PF 1 |= 4 ，则| PF 2 |=
； ∠F 1PF 2 的大
小为 .
过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 作倾斜角为45 的直线交抛物线于 A 、B 两点，若线段 AB 的长为 8， 则 p =
【 解析】 设切点 P (x 0 , y 0 ) ， 则切线的斜率为 y |x = x = 2x 0 .由题意有
y 0
= 2x 又 y = x 0
2
+1 解得:
x 2 = 1,∴ b
= 2, e = =
0 a
5 2
a 2 +
b 2 1+ ( b a 2 2
?
x 2 y 2 b
? y = b x b
双曲线 - a 2 b 2 = 1的一条渐近线为 y = a x ,由方程组? a ,消去 y,得 x - x +1 = 0 有唯一解,所以 a b 2 b c ?? y = x 2 +1 2
△= ( ) a
- 4 = 0 ,所以 a = 2 ,
e = = = ) = a a
由渐近线方程为 y = x 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 x
2
- y 2 = 2 ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，
0） ， 且 P ( 3,1) 或 P ( 3,-1) . 不 妨 去
P ( 3,1) ， 则
PF 1 = (-2 -
3,-1) ，
PF 2 = (2 - 3,-1) .
∴
(-2 -
3,-1)(2 - PF 1 ·
3,-1) = -(2 + 3)(2 -
3) + 1 = 0
PF 2 ＝
【解析】设抛物线C : y
2
= 8x 的准线为l : x = -2 直线
y = k ( x + 2)(k > 0) 恒过定点 P (-2, 0)
.如图过 A 、B 分 别作
AM ⊥ l 于 M , BN ⊥ l 于 N ,
由 | FA |= 2 | FB | ,则
| AM |= 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.连结OB ,则| OB |= 1
| AF | ,
2 ∴| OB |=| BF | 点 B 的横坐标为1, 故点 B 的坐标为
(1, 2 2)∴ k =
2 2 - 0 = 2 2
, 故 选 D
1- (-2) 3
?? y 2
= 4x A ( x , y ), B ( x , y ),则有x ≠ x ，?
1 1
1 1
2 2 1 2 ?? y 2
= 4x 两式相减得，y 2 - y 2 = 4 ( x - x )，
∴ y 1 - y 2 = 4 = 1 1 2 1 2 x - x y + y
∴直线l 的方程为y- 2=x- 2, 即y=x
1 2 1 2
2
5
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案
1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；
（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。
(新)高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
高中数学圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由
高中数学圆锥曲线详解【免费】
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =
圆锥曲线全部公式及概念
圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=?离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ，焦点到对应准线的距离（焦准距）2b p c =. 通径的一半(焦参数)：2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+，2 2()a PF e x a ex c =-=-；1221tan 2F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ，焦点到对应准线 的距离（焦准距）2p c = 通径的一半(焦参数)：2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+，2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-， 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x （0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上）. (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+ . 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=21212 2. 8.抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ，其中 22y px = . 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为 24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-；（3）准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线相切；以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切.
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
(完整word版)高中数学圆锥曲线结论(最完美版本)
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦 点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以 长轴为直径的圆，除去长轴的两个端 点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是 00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点 分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为1 2 2tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆 22 22 1x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、 Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于 两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴 的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支） 5. 若000(,)P x y 在双曲线22 221x y a b -=（a ＞
高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)
圆锥曲线的几大大题特征公式：焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外，针对“计算不好”的同学，本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现，但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1：切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结：x 2换成xx 0，y 2换成yy 0，x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 ： ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程： ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程： ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明： 【公式一：曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路：过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程，令 0=?,得到k 的表达式，再代入原始式，最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx （注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下） 2、第2种证明思路：点差法(求斜率，其余跟第一种方法一样) 证明：设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，中点P ),(00y x
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结7558
圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,
高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析
圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<=
高中数学圆锥曲线解题技巧总结
高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。
高中数学圆锥曲线综合--求轨迹方程
圆锥曲线综合--求轨迹方程 教学任务 教学流程说明 教学过程设计 圆锥曲线综合--求轨迹方程 求轨迹的常用方法： （1）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程； （2）代入求轨法（坐标平移法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x 1,y 1)的变化而变化，并且Q(x 1,y 1) 又在某已知曲线上，则可先用x 、y 的代数式表示x 1、y 1，再将x 1、y 1带入已知曲线得要求的轨迹方程； （3）直接法：直接通过建立x 、y 之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法； （4）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程， 再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可 （5）参数法：当动点P （x,y ）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x 、y 均 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。 1、（1）一动圆过定点)0,1(A 且与定圆16)1(2 2 =++y x 相切，求动圆圆心的轨迹方程； （2）又若定点)0,2(A 定圆为4)2(22 =++y x 呢？ 2、△ABC 中，B （－3，8）、C （－1，－6），另一个顶点A 在抛物线y 2=4x 上移动，求此三角形重心G 的轨迹方程.
3、在平面直角坐标系中，若}2,{},2,{-=+=y x y x 8=+。求动点),(y x M 的轨迹C 的方程； 一、填空： 1．平面内到点A （0，1）、B （1，0）距离之和为2的点的轨迹为 2．已知M （－2，0）、N （2，0），动点P 满足|PM |－|PN |=4，则动点P 的轨迹方程是____________ 3．已知lg(2),lg |2|,lg(16)x y x -成等差数列，则点(,)P x y 的轨迹方程 __ 4．P 是椭圆15 92 2=+y x 上一点，过P 作其长轴垂线，M 是垂足，则PM 中点轨迹方程为______ 5．点M 到F （3，0）的距离比它到直线x+4=0 的距离小1，则点M 的轨迹方程是 6．动点p 与定点A(－1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为－1，则p 点的轨迹方程是 。 7、动圆与x 轴相切，且被直线y=x 所截得的弦长为2，则动圆圆心的轨迹方程为 。 8、倾斜角为 4 π 的直线交椭圆42 x +y 2=1于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 9、理）两条直线ax+y+1=0和x －ay －1=0(a ≠±1）的交点的轨迹方程是 二、选择： 10、,a b 为任意实数，若(,)a b 在曲线(,)0f x y =上，则(,)b a 也在曲线(,)0f x y =上，那么曲线(,)0f x y =的几何特征是（ ） （A ）关于x 轴对（B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称 （D ）关于直线x －y =0对称 11、方程2 2 2 2 (1)0x x y ++-=的图象是（ ） （A ）y 轴或圆（B ）两点（0，1）与（0，－1）（C ）y 轴或直线y =1±（D ）答案均不对 12、若一动圆与两圆x 2+y 2=1, x 2+y 2－8x+12=0都外切，则动圆圆心的轨迹为： （ ） A 、抛物线 B 、圆 C 、双曲线的一支 D 、椭圆 三、解答 17、已知动点p 到定点F （1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求p 点的轨迹方程。 18、抛物线y 2=x ＋1，定点A （3，1），B 是抛物线上任意一点，点P 在AB 上满足 BP ：P A =1：2，当点B 在抛物线上运动时，求点P 的轨迹方程并指出轨迹是什么曲线？ 19、理）过原点作直线l 和抛物线642 +-=x x y 交于A 、B 两点，求线段AB 中点M 的轨迹方程。