2020高考数学二模试卷

2020届高三第二次模拟考试

数学试题

一.填空题(本大题共12题,1-6每题4分, 7-12每题5分,共54分)

1.设集合A={1,3,5,7}, B={x|4≤x ≤7},则A ∩B=___.

2.已知复数z 满足i ·z=1+i ( i 为虚数单位),则Imz=___.

3.若直线ax+by+1=0的方向向量为(1,1), 则此直线的倾斜角为____.

4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若31212,2,S S S a =+=则5a =___.

5.已知圆锥的母线长为10,母线与轴的夹角为30°,则该圆锥的侧面积为___.

6.在8

1)x 的二项展开式中,常数项的值为___.

7.若x ?y 满足|x|≤y+1,且y ≤1,则x+3y 的最大值为___.

8.从1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取3个不同的数,并从小到大排成一个数列,此数列为等比数列的概率为____. (结果用最简分数表示)

9.已知直线1l :y=x,斜率为q (0

=___. 10. 已知f(x+2)是定义在R 上的偶函数,当12,[2,),x x ∈+∞且12,x x ≠总有12120()()

x x f x f x -<-,则不等式1(31)(12)x f f +-+<的解集为___.

11.已知A ?B ?C 是边长为1的正方形边上的任意三点,则AB AC ?u u u r u u u r 的取值范围为___.

12. 已知函数()4f x sinx cosx sinxcosx k =+-- ,若函数y= f(x)在区间(0,π)内恰好有奇数个零点,则实数k 的所有取值之和为___.

二.选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)

13.在空间中,“两条直线不平行” 是“这两条直线异面”的( )

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

14.某县共有300个村,现采用系统抽样方法,抽取15个村作为样本,调查农民的生活和生产状况,将300个村编上1到300的号码,求得间隔数3002015

k ==,即每20个村抽取一个村,在1到20中随机抽取一个数,如果抽到的是7,则从41到60这20个数中应取的号码数是( )

A.45

B.46

C.47

D.48 15.已知抛物线的方程为24,y x =过其焦点F 的直线交此抛物线于M ?N 两点,交y 轴于点E,若

12,EM MF EN NF λλ==u u u u r u u u r u u u r u u u r ,则12λλ+=()

A.-2 1.2B -

C.1

D. -1 16. 关于x 的实系数方程2450x x -+=和220x mx m ++=有四个不同的根,若这四个根在复平面上对应

的点共圆,则m 的取值范围是()

A. {5}

B. {-1}

C. (0,1)

D. (0,1)∪{-1}

三.解答题(本大题共5题,共14+14+14+16+18=76分)

17.在直三棱柱111ABC A B C -中,AB ⊥BC,AB= BC=2,123,AA =M 是侧棱1C C 上一点,设MC= h.

(1)若3,h =求多面体111ABM A B C -的体积;

(2)若异面直线BM 与11A C 所成的角为60°,求h 的值.

18. 已知函数()2()3cos 3sin cos 0f x x x x ωωωω=>.

(1)当f(x)的最小正周期为2π时,求ω的值;

(2)当ω=1时,设△ABC 的内角A ?B ?C 对应的边分别为a ?b ?c,已知(

)3,2

A f =且27,6a b ==,求△ABC 的面积.

19. 如图,A ?B 两地相距100公里,两地政府为提升城市的抗疫能力,决定在A ?B 之间选址P 点建造储备仓库,共享民生物资,当点P 在线段AB 的中点C 时,建造费用为2000万元,若点P 在线段AC 上(不含点A),则建造费用与P ?A 之间的距离成反比,若点P 在线段CB 上(不含点B ),则建造费用与P ?B 之间的距离成反比,现假设P ?A 之间的距离为x 千米(0

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)若规划仓库使用的年限为()*

N ,()()()n

n H x f x ng x ∈=+,求H(x)的最小值,并解释其实际意义.

20.在平面直角坐标系中,A ?B 分别为椭圆Γ:2

212

x y +=的上?下顶点,若动直线l 过点P(0,b) (b>1),且与椭圆Γ相交于C ?D 两个不同点(直线l 与y 轴不重合,且C 、D 两点在y 轴右侧,C 在D 的上方),直线AD 与BC 相交于点Q.

(1)设Γ的两焦点为12,F F 、求12F AF ∠的值;

(2)若3,b =且3,2

PD PC =u u u r u u u r 求点Q 的横坐标; (3)是否存在这样的点P,使得点O 的纵坐标恒为13？若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.

21.已知数列{},n x 若对任意*,n ∈N 都有212n n n x x x +++>成立, 则称数列{}n x 为“差增数列”.

(1)试判断数列2*()n a n n =∈N 是否为“差增数列”,并说明理由;

(2)若数列{}n a 为“差增数列”,且*12,1n a a a ∈==N ,对于给定的正整数m,当,k a m =项数k 的最大值为20时,求m 的所有可能取值的集合;

(3)若数列{lg }n x 为“差增数列”,*(,2020)n n ∈≤N ，且122020l lg lg 0gx x x +++=L ,证

明:10101011 1.x x <