泰勒法则
泰勒法则
美国从1987年起逐渐扬弃义货币供给额为货币政策目标的操作方式，货币供给额的成长目标之重要性也逐渐被淡化，FED该采联邦资金利率（美国货币市场短期利率之一）目标的操作方式。现在在每次联邦公开市场操作委员会开会结束后，FED就会立即宣布是否调升或调降联邦资金利率目标。联邦资金利率目标变或不变及其变动幅度大小，不仅攸关未来美国经济之变动方向，而且立即对美国货币、债券、以后利率以及股票等金融市场造成直接影响，因此全世界的投资人都对联邦资金利率非常注意，尤其对未来的利率走向更是关心。在1993年泰勒法则尚未提出之前，投资人都缺乏可靠之依据来判断未来的联邦资金利率，而有了泰勒法则之后，投资人都可以计算最适联邦资金利率，当然并非每个投资人所估算的最适利率水准是完全相同的
根据1993年泰勒教授所提出的最适货币政策法则，认为FED若要达成最有效率的货币政策，应该将其采用的政策操作工具——联邦资金利率跟随者亮相总体目标变数作合理的正向回应。这两项变数一是实际物价膨胀率与物价膨胀率目标之差距，二是实质经济成长率与潜在经济成长率之差距，前项差距称为物价膨胀缺口，后者则称为产出缺口。根据二项原则，泰勒教授将最适利率政策法则设定分为两个步骤：
第一，名义联邦资金利率等于实际两帮资金利率加上实际物价上涨率，公式如下：
R=r+P
r代表实际资金利率，R代表名义利率
第二、将实际资金利率之公式设定如下：
r=2+0.5×（p-p1）+0.5(y-yf)
p代表物价上涨率，为消费者生活成本的上涨率
p1代表物价上涨目标
y代表经济增长率，为实际国内生产毛额增长率
yf代表在充分就业下，即失业率等于自然失业率的情况下，潜在经济增长率
(y-yf)代表产出缺口
使用泰勒法则计算最适的美国联邦资金利率必须有两项假设，首先要设定当前的自然失业率，或是充分就业的实际经济增长率，因为实际失业率与自然失业率之差额与产出缺口理论上呈现反向紧密相关，所以可以假定自然失业率也可以计算产出缺口。如果自然失业率是5%，而失业率实际值为4%，表示产出缺口为正值，实际经济成长率高于潜在经济成长率，将导致劳动市场需求紧俏，工资将上扬，同时物价水准有上涨之压力，货币当局应该提高利率，以抑制总合需求，减轻物价上涨之压力。其次要假设货币当局的物价膨胀目标，此项变数之设定比较主观，如果货币当局致力于物价稳定，不希望预期物价上涨率升高，货币的当局应会设定较低的物价上涨目标如果当前之物价上涨率高于物价上涨目标，货币当局应采取紧缩货币政策，提高联邦资金利率。泰勒法则是一个简便的最适短期利率计算器。
该项计算器有两个基本用途，第一项用途是检验目前利率目标是否过于宽松或紧缩，另一项
用途则是评估未来利率政策的走向。
洛必达法则泰勒公式
洛必达法则泰勒公式 一、洛必达法则在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为和.由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难.今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的计算方法，并着重讨论当时，型未定式极限的计算，关于这种情形有以下定理.定理1设（1） 当时，函数及都趋于零；（2）在点的某去心邻域内，及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.也就是说，当存在时，也存在，且等于；当为无穷大时，也是无穷大.这种在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必达（L' Hospita 1）法则.下面我们给出定理1的严格证明：分析由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值定理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理.证因为求极限与及的取值无关，所以可以假定.于是由条件（1）和（2）知，及在点的某一邻域内是连续的.设是这邻域内一点，则在以及为端点的区间上，函数和满足柯西中值定理的条件，因此在和之间至少存在一点，使得等式（在与之间）成立.对上式两端求时的极限，注意到时，贝叽又因为极限存在（或为无穷大），所以.故
定理1成立.注若仍为型未定式，且此时和能满足定理1中和所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确定，从而确定和，即.且这种情况可以继续依此类推.例1求.分析当时，分子分母的极限皆为零，故属于型不定式，可考虑应用洛必达法则.解、注最后一个求极限的函数在处是连续的.例2求.解、注例2中我们连续应用了两次洛必达法则.例3求.解、例4求、解、注（1） 在例4中，如果我们不提出分母中的非零因子，则在应用洛必达法则时需要计算导数，从而使运算复杂化.因此，在应用洛必达法则求极限时，特别要注意通过提取因子，作等价无穷小代换，利用两个重要极限的结果等方法，使运算尽可能地得到简化.课后请同学们自己学习教材136页上的例10?（2） 例4中的极限已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误的结果.以后在应用洛必达法则时应特别注意，不是未定式，不能应用洛必达法则.对于时的未定式有以下定理.定理2设（1）当时，函数及都趋于零；（2） 当时，与都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.同样地, 对于（或）时的未定式，也有相应的洛必达法则.定理3设（1）当（或）时，函数及都趋于无穷大；（2）在点的某去心邻域内（或当时），及都存在，且；（3）存在（或为无穷大），则.例5求、解、例6求、解、事实上，例6中的不是正整数而是任何正数其极限仍为零.注由例5和例6可见，当时，函数都是无穷大，但三个函数增大的“速度”是不一样的，最快，其次是，最慢的是.除了和型未定式外，还有型的未定式.这些未定式
90年代以来美国货币政策的变化及思考
90年代以来美国货币政策的变化及思考 李东红 [摘 要]90年代以来,美国的货币政策发生了重大变化。美联储一改过去传统“单一规则”,实行“中性货币政策”,并取得了良好的效果。本文从美国90年代以来货币政策的变化情况出发,分析了这一变化的原因及今后货币政策的发展。 [关键词]货币中性; 泰勒规则; 虚拟资本 美国经济经历了1990-1991年的短暂衰退之后,进入了一个持续稳定的增长时期。许多经济学家都认为,90年代以来,美联储对货币政策的重大调整是促使美国经济良好运行的重要因素。明显的事实是,美国货币政策有了新的重大发展。这些发展主要表现在两个方面:一是以货币稳定增长为目标的“单一规则”和“泰勒规则”相结合形成了所谓的“中性货币政策”;二是货币政策的进一步国际化。这些新的发展反映了美国货币当局面对金融创新、金融自由化和金融全球化的挑战在货币政策上做出了新的探索。 一、 “中性货币政策”的创立 “货币稳定增长规则”其实就是M?弗雷德曼早在70年代就大力倡导的“单一规则”。即在确认经济增长和货币供应之间存在着某种固定联系的基础上,实行货币供应量固定增长的货币政策,以保持经济持续稳定地增长。70年代以来,美联储基本接受了“单一规则”,把货币供应量作为对经济进行宏观调控的货币政策的主要手段。1978年美国国会通过“汉弗莱一霍金斯法案”,正式要求美联储必须每6个月确定一次货币供应量目标,并对此加以详细说明。自此以后,“单一规则”的货币政策正式确立。对货币供应量的控制,在80年代初美国治理通货膨胀的过程中起到了积极作用。 然而,也就是在这同时,从80年代初开始,以“单一规则”为特征的货币政策受到了严重的挑战。主要表现是货币政策在效力和效率上都不能如人意。一方面,货币当局对货币供应量的控制越来越难;另一方面,货币供应量与经济活动水平以及通货膨胀率的相关度日趋下降。这其中主要有两个原因:第一,从60年代后期开始的金融创新活动异常活跃,新的金融工具如可转换债券、可变利率存单、金融期货合约、掉期交易等层出不穷,使得对货币供应的定义和数据统计变得十分困难。在这种情况下,仍然运用“单一规则”确定货币供应量,不可避免地会出现失误;第二,70年代末以来,国际上掀起了金融自由化的浪潮,使国际间的资本流动加剧。这些资本的流动,对世界各国货币政策的实施,进而对宏观经济产生了很大的影响,而且这种影响具有很大的不确定性。 美国作为金融自由化和金融创新的主要发源地,其货币政策受到的影响尤其明显。克林顿入主白宫后,叉致力于削减财政赤字,并使预算平衡法案获得通过。在这种财政运作框架下,联邦政府难以通过扩大开支、减少税收等传统的方式来刺激经济,从而使财政政策在相当大的程度上弱化了对经济进行宏观调控的作用,于是货币政策就成为政府对经济运行进行调控的主要工具,而且对货币政策的运用自然也就提 出了更高的要求。面对新的形势,90年代以来美联储对其货币政策进行了重大调整,调整的核心是引入“泰勒规则”并和“货币稳定增长规则”相结合,形成了以“实际利率”为主要货币政策中间目标的“中性”货币政策。所谓“中性”的货币政策,就是使利率水平保持中性,对经济既不起刺激作用也不起抑制作用,从而使经济以其自身的潜能在低通货膨胀条件下持久稳定地增长。 泰勒规则是由斯坦福大学J?泰勒教授于1985年提出的著名理论。泰勒教授通过对美国以及英国、加拿大等国货币政策实绩的细致研究发现,在各种影响物价水平和经济增长率的因素中,真实利率是唯一能够与物价和经济增长保持长期稳定的相关关系的变量。因此,他认为,调整真实利率,应当成为货币当局的主要操作方式。 “泰勒规则”在一个理想化的状态下可以这样来表述:假定经济中存在着一个真实的均衡联邦基金利率,在该利率水平上,就业率和物价均可以保持在由其自然法则所决定的合理水平上。在这里,均衡利率指的是名义利率减去通货膨胀率,而通货膨胀率指的是由泰勒定义的购买力增长率(不是市场上的物价上涨率);该购买力的增长率不仅与市场物价上涨率有关,而且与社会持有的金融资产的财富效应有关。根据泰勒的研究,在美国,该真实均衡利率为2%,如果因为某种原因,上述真实利率、经济增长率和通货膨胀率(泰勒所定义的)之间的关系遭到破坏,货币当局就应当采取措施。首先,联邦基金的名义利率要适应通货膨胀率的变化作必要的调整,以保持真实利率水平;其次,如果产出的增长率超过了其潜在的真实水平,则真实利率必须提高;如果通货膨胀率超过了目标通货膨胀率水平,则真实利率也应该提高。根据泰勒的研究,美联储如果遵循这样的规则行事,就会使经济运行保持在一个稳定且持续增长的理想状态上。 事实上,“泰勒规则”的中心原则是将资产价格作为货币政策的内生变量来看待。正是基于这祥一种认识:金融市场规模的日益扩大以及相应的资金流动的易变性大大增加,使得中央银行一向赖以判断形势并影响经济运行的货币供应量指标失去了准确性,而只有把反映金融市场变化的资产价格纳入货币政策的框架之中,才能更好地使货币政策发挥作用。显然,“真实利率”最能反映资产价格的变化,以其作为货币政策的中间目标比较符合经济运行的现实。 美联储接受泰勒规则、实行以实际利率作为主要货币政策手段是以美联储主席格林斯潘在国会的两次证词作为标志的。1993年7月22日,格林斯谬在参议院作证时宣布,美联 山/西/财/经/大/学/学/报Journal of ShanXi Finance and Economics University J un.,2000 Vol.22SUPPL EMEN T 2000年6月第22卷 增 刊
洛必达法则泰勒公式
第三章微分中值定理与导数的应用 第二讲洛必达法则泰勒公式 目的1.使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法： 2.理解泰勒中值泄理的涵： 3.了解汽沏&c。畀血("力,(1 +汙等函数的麦克劳林公式； 4.学会泰勒中值定理的一些简单应用. 重点1.运用洛必达法则求各种类型未泄式极限的方法： 2.使学生理解泰勒中值定理的涵. 难点使学生深刻理解泰勒中值左理的精髓. 一、洛必达法则 在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存在也不能用商的极限运算法则去求解.而由无穷大与无 穷小的关系知，无穷大之比的极限问题也是如此.在数学上，通常把无穷小之比的极限和无穷 大之比的极限称为未定式，并分别简记为0和8 ? 由于在讨论上述未圮式的极限时，不能应用商的极限运算法则，这或多或少地都会给未立式极限的讨论带来一是的困难?今天在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定 式极限的汁算方法，并着重讨论当2CI时，0型未左式极限的计算，关于这种情形有以下立理. 定理1设 (1)当时,函数了⑴及列对都若于零； ⑵在点金的某去心邻域，/⑴及^⑴都存在，且那⑴吐°；
也就是说，当zR⑴存在时，2。去⑴也存在，且等于M 也是无穷大.这种在一左条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来 确圧未左式极限的方法称为洛必达（L‘ Hospita 1）法则. 下而我们给出定理1的严格证明： 分析由于上述泄理的结论是把函数的问题转化为其导数的问题，显然应考虑微分中值立理.再由分子和分母是两个不同的函数，因此应考虑应用柯西中值定理. 于是由条件⑴和⑵知，/⑴及应⑴在点虫的某一邻域是连续的.设兀是这邻域一点，则在以兀及 山为端点的区间上，函数/〔X）和F&）满足柯西中值龙理的条件，因此在兀和a之间至少存在一点密，使得等式 儿）川）-畑「心） 应G）吩）-吒）应?（站兀与么之间） 成立. 对上式两端求兀To时的极限，注意到XTQ时匸则 穷大时, 证因为求极限 与了⑷及用⑷的取值无关， 所以可以假左 lim 又因为极限 F'G）存在（或为无穷大），所以 故沱理1成立. lim 注若z m 0 ,, 戸倉）仍为6型未左式，且此时了抵）和用,⑴能满足泄理1中/⑴和用⑴ 5F〔X) 所要满足的条件，则可以继续使用洛必达法则先确立从而确总
弗里德曼规则还是泰勒规则_信贷周期下的我国货币政策选择
弗里德曼规则还是泰勒规则* ———信贷周期下的我国货币政策选择 汪 川〔摘要〕：本文在一个包含银行部门的真实经济周期模型中讨论了银行信贷和中国 经济波动的关系。在此基础上，本文进而比较了不同的货币政策规则通过信贷因素对我 国宏观经济的影响。本文的分析结果表明，我国的宏观经济波动具有信贷周期的特点，并 且模型模拟出的产出、实际利率和投资等主要变量的相对标准差都与实际经济数据相吻 合；同时，脉冲响应分析的结论显示，相比弗里德曼的单一规则，泰勒规则对我国实际经 济变量有着更好的控制力。 关键词：货币政策规则信贷周期经济波动DSGE 分析 JEL 分类号:E1E3E5 一、引言 在我国，银行贷款是企业最重要的融资渠道，同时也是宏观经济调控所关注的热点问题。从2000年到2010年的我国季度数据的分析来看，信贷余额和产出缺口之间体现出较强的相关性。据图1所示，我国信贷余额和产出缺口的相关性仍然很强，两者呈现同方向变动的特点，并且信贷指标领先于产出缺口变动约4个季度的水平。 图1银行信贷与宏观经济波动 数据来源：中国经济统计年鉴2000～2010。 *汪川，中国银行博士后工作站。 有关信贷因素对宏观经济影响的文献可以追溯到Fisher （1933），Fisher 最早提出了信贷因素可以放大经济周期的观点。但在Fisher 之后的主流经济学，尤其是宏观经济学往往忽视信贷市场的作用。直至20世纪70年代，以不完全信息理论为代表，信贷对宏观经济的影响问题逐渐得到主 汪川： 弗里德曼规则还是泰勒规则
金融评论2011年第2期 流经济学的重视（Townsend,1979;Stiglitz and Weiss,1981）。 在宏观经济学分析中，信贷因素对经济波动的影响主要通过两个途径产生，即外部融资成本途径和抵押贷款途径。抵押贷款渠道的研究以Kiyotaki and Moore（1997）为代表,Kiyotaki and Moore（1997）指出由于信贷配给因素的影响，企业以自身价值为抵押从商业银行获得贷款，在这种情况下，宏观经济形势就会通过企业信贷可得性来影响企业的投资水平，而企业的投资又作用于宏观经济，因此，宏观经济波动呈现较强的信贷周期特点。外部融资成本途径的分析以Bernanke, Gertler and Gilchrist（1999）为代表，根据他们的研究，信贷市场摩擦的因素（如信息不完全或合约执行成本过高）导致了企业外部融资的额外成本，由于这个外部融资额外成本取决于企业的财务状况，因此，宏观经济波动就会通过企业财务状况来影响企业的外部融资额外成本和投资水平，最终起到放大经济周期的作用。上述两类文献均被视为“金融加速器”模型，此类模型虽然分析了信贷市场中的摩擦因素所导致的对宏观经济波动的扩大作用，但正如Bernanke,Gertler and Gilchrist （1999）所指出的，该类模型并没有考虑银行等金融中介在经济周期中的作用。 近年来，Christiano，Eichenbaum and Evans（2005），Christano,Motto and Rostagno（2008）以及Smets and Wouters（2003，2007）等有关研究均把侧重点放在银行的金融中介职能，即银行贷款渠道的分析上。这些文献突出了银行作为金融中介负责吸收储蓄和发放贷款的功能，该类文献进而指出，由于居民的储蓄为名义变量，因此，对价格冲击的因素会通过降低企业实际债务而产生“费雪通缩效应”，进而产生放大宏观经济波动的效应。相关的实证研究也证实了银行贷款渠道的作用。Bernanke and Blinder（1988）指出银行贷款和非银行贷款的非完全替代性是银行借款渠道发生作用的主要原因，他们的研究显示，当企业找不到贷款的完全替代品来作为资金来源时，央行收缩流动性将促使银行减少贷款供给，由于企业难以找到替代的资金来源，这将促使他们减少支出，从而引起宏观经济的波动。Hulsewig等（2006）使用最小化变量的理论和经验脉冲响应函数距离的方法，研究结果表明贷款的供给在货币政策冲击后发生显著变化。Lown and Morgan（2006）沿用基于宏观变量的VAR模型研究银行贷款渠道的存在性，他们发现即使在控制了贷款利率和一系列的需求因素（预期产出水平、破产率、商业票据和国库券的利差等）之后，银行信贷条款的松紧仍然与贷款量和产出密切相关。 在国内的相关实证研究的结果均支持了信贷市场是我国货币政策传导主要渠道的结论。蒋瑛琨等(2005)、盛朝辉（2006）证实了信贷因素对于我国宏观经济变量的显著性作用；潘敏和繆海斌（2010）运用向量自回归模型分析了商业银行信贷对经济增长和通货膨胀的不同作用，并肯定了金融危机背景下我国商业银行大规模的信贷投放促进了宏观经济回暖；盛松成和吴培新（2008）进一步明确指出了信贷规模是我国货币政策的中介目标和工具。在理论方面，现有研究大多运用“金融加速器”模型解释我国宏观经济波动（杜清源和龚六堂，2005；崔光灿，2006），但总的来说，金融加速器模型在经济波动的持续性方面解释性较差；相比之下，银行贷款渠道则对我国经济的模拟结果更为接近，许伟和陈斌开（2009）构建了一个带有银行部门的DSGE模型，模型结果显示，商业银行信贷不仅解释了大部分的国内消费和货币余额的波动，还对投资和产出的波动有重要影响。 本文通过在“现金先行”的真实经济周期模型中加入了银行部门，以DSGE方法分析我国宏观经济波动背后银行信贷的作用。与盛松成和吴培新(2008)的观察一致，在本文的模型中，货币政策正是体现在货币当局对整个银行系统的货币注入和撤出上。在此基础上，本文进而比较了货币政策的弗里德曼规则和泰勒规则对宏观经济变量的影响，并评价不同的货币政策类型在宏观调控中的适用性。相比已有文献，本文有以下三个重要特点：第一，本文在DSGE模型中引入了银行部门，刻画了银行信贷对宏观经济波动的内在影响；值得指出的是，不同于许伟和陈斌开（2009），本文的模型明确了银行贷款的作用，即支付劳动力成本,且本文的模型并不存在垄断竞争的假设。第二，
洛必达公式
洛必达公式+泰勒公式+柯西中值定理+罗尔定理 洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+ Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式：P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）/（(x-x.)^(n+1)-0）=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得（Rn'(ξ1)-Rn'(x.)）/（(n+1)(ξ1-x.)^n-0）=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项
(完整版)洛必达法则巧解高考压轴题
洛必达法则巧解高考压轴题 洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim 0x a f x →= 及()lim 0x a g x →=； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 00 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) ()lim x a f x →=∞及()lim x a g x →=∞； (2)在点a 的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g '(x)≠0； (3)()() lim x a f x l g x →'='， 那么 ()()lim x a f x g x →=()()lim x a f x l g x →'='。 ∞∞ 型 注意： ○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x a +→，x a -→洛必达法则 也成立。 ○ 2若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 典例剖析 例题1。 求极限 （1）x x x 1ln lim 0 +→ (∞∞型) （2）lim x ?p 2 sin x -1cos x (00型) （3） 20 cos ln lim x x x → (00 型) （4）x x x ln lim +∞→ (∞∞型) 变式练习: 求极限（1）x x x )1ln(lim 0+→ (2)a x a x a x --→sin sin lim (3)x e e x x x sin lim 0-→- (4)22 )2(sin ln lim x x x -→ππ 例题2。 已知函数R m x e x m x f x ∈+-=,)1()(2
费雪等式和泰勒规则
假设： 投资品数量是1，价格是1，则投资品的名义价格是11*1=。 （1）将1单位的投资品进行投资，如果实际利率是r ，则，下一期的投资总收益为：r 1r 1*1+=+）（。 （2）将名义价值为1的货币进行投资，如果名义利率是i ，则下一期的投资总收益为：i i +=+1)1(*1 （3）如果本期到下一期，通货膨胀率为π，下一期的价格水平为π+1 （4）在均衡状态下，两种投资渠道的投资收益是相等的，则：r 11i 1+=++π （5）将上式进行整理：ππr r i ++=，因为πr 的值比较小，可以忽略，则 （6）π+=r i ，费雪等式。 （7）此公式为，在没有宏观政策当局干涉下市场自发形成的均衡。 （8）如果宏观政策当局，特别是中央银行，要对产出和价格目标进行有针对性的调控，则需要对（6）式进行修改。 （9）中央银行的政策目标，主要关注两点，产出和就业，更准确滴说是产出缺口和价格缺口。 （10）产出缺口：f t y -y ，其中，t y 为实际GDP 增长率，f y 是经济体的长期均衡增长率或者说是充分就业水平的增长率。 （11）价格缺口：*-t ππ，其中，t π为实际的通货膨胀率；在应用中， 多选用消费者价格指数CPI 来代替。*π为长期的均衡通货膨胀率，或者说是与长期均衡GDP 增长率相对应的价格增长率。当经济过热
时，往往意味着0y -y f t >，0*-t >ππ。中央银行的应对措施就是，提高市场利率，收银信贷。 （12）则中央银行的操作工具就在（6）式的基础上，改写为： （13））（）（*-b y -y a *r i t f t t πππ+++=，其中a>0，b>0。此式为泰勒 规则，Taylor Rule 。 （14）当不存在产出缺口和价格缺口的时候，央行的操作工具就会简化为市场均衡的费雪等式（6）。
(完整版)浅析洛必达法则求函数极限
本科学年论文论文题目：用洛必达法则求极限的方法 学生姓名：卫瑞娟 学号： 1004970232 专业：数学与应用数学 班级：数学1002班 指导教师：严惠云 完成日期： 2013 年 3月 8 日
用洛必达法则求未定式极限的方法 内容摘要 极限运算是微积分学的基础，在众多求极限方法中，洛必达法则是一种简单而又方便的求极限方法。但在具体使用过程中，一旦疏忽，解题就很可能出错。本文就针对利用此法则求极限的过程及解题过程中常见问题，对洛必达法则求函数极限的条件及范围、应用、何时失效做了整体分析与探讨，并举例说明。除此之外，还介绍了除洛必达法则之外其他求函数极限的方法以及同洛必达法则的比较，最后对洛必达法则进行小结。 关键词：洛必达法则函数极限无穷小量
目录 一、洛必达法则求极限的条件及适用范围 (1) （一）洛必达法则定理 (1) （二）洛必达法则使用条件 (2) 二、洛必达法则的应用 (2) （一）洛必达法则应用于基本不定型 (2) （二）洛必达法则应用于其他不定型 (3) 三、洛必达法则对于实值函数失效问题 (5) （一）使用洛必达法则后极限不存在 (5) （二）使用洛必达法则后函数出现循环 (6) （三）使用洛必达法则后函数越来越复杂 (6) （四）使用洛必达法则中求导出现零点 (6) 四、洛必达法则与其他求极限方法比较 (6) （一）洛必达法则与无穷小量替换求极限法 (7) （二）洛必达法则与利用极限运算和已知极限求极限 (8) （三）洛必达法则与夹逼定理求极限 (9) 五、洛必达法则求极限小结 (10) （一）洛必达法则条件不可逆 (10) （二）使用洛必达法则时及时化简 (11) （三）使用洛必达法则前不定型转化 (11) 参考文献 (13)
泰勒公式
泰勒公式 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式 由微分概念知：f 在点0x 可导，则有 ).())(()()(0000x x x x x f x f x f -+-'+=ο． 即在点0x 附近，用一次多项式))(()(000x x x f x f -'+逼近函数)(x f 时，其误差为(0x x -)的高阶无穷小量．然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二 次的多项式去逼近，并要求误差为n x x ))((0-ο，其中n 为多项式的次数．为此，我们考察 任一n 次多项式 .)()()()(0202010n n n x x a x x a x x a a x p -++-+-+= (1) 逐次求它在点0x 处的各阶导数，得到 00)(a x p n =，20!2)(a x p n ="，n n n a n x p !)(,0) (= ， 即 .! ) (,! 2)(,! 1)(),(0) (020100n x p a x p a x p a x p a n n n n n n = " = ' = = 由此可见，多项式)(x p n 的各项系数由其在点0x 的各阶导数值所唯一确定． 对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数．由这些导数构造一个n 次多项式
, )(! ) ()(! 2)()(! 1)()()(00) (2 00000n n n x x n x f x x x f x x x f x f x T -+ +-''+ -'+ = （2） 称为函数f 在点0x 处的泰勒(Taylor)多项式，)(x T n 的各项系数 =k k x f k (! ) (0) (1， 2，…，n )称为泰勒系数．由上面对多项式系数的讨论，易知)(x f 与其泰勒多项式)(x T n 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即.,,2,1,0),()(0) (0) (n k x T x f k n k == （3）下面 将要证明))(()()(0n n x x x T x f -=-ο，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近)(x f 时，其误差为关于n x x )(0-的高阶无穷小量． 定理6．8 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有+=)()(x T x f n 即),)((0n x x -ο ). )(()(! ) ()(! 2)())(()()(000) (2 00000n n n x x x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+-''+-'+=ο （4） 证 设 n R (,)()(),()()0n n n x x x Q x T x f x -=-= 现在只要证 .0) ()(lim =→x Q x R n n x x 由关系式(3)可知， 0)()()(0) (0'0===x R x R x R n n n n 并易知 !.)(,0)()()(0) (0)1(0'0n x Q x Q x Q x Q n n n n n n =====- 因为)(0) (x f n 存在，所以在点0x 的某邻域U(0x )内f 存在n —1阶导函数)(x f ．于是，当 )(0x U x ∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则，n —1次，得到 . 0)] () ()([ lim !1 ) (2)1() )(()()(lim ) ()(lim ) ()(lim )()(lim 0) (0 0) 1() 1(000) (0)1() 1() 1()1(' ' =---= -----====--→--→--→→→x f x x x f x f n x x n n x x x f x f x f x Q x R x Q x R x Q x R n n n x x n n n x x n n n n x x n n x x n x x 定理所证的(4)式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公
利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限之比较
利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限之比较 关于洛必达法则和含x 的幂展开的带有佩亚诺型余项的泰勒公式（也就是麦克劳林公式），以及利用它们求函数极限所必须满足的条件，这里均不赘述．本文意图通过实例说明，利用洛必达法则和麦克劳林公式求极限，各有各的优势，同时如果糅合代数式的恒等变形、无穷小替换、变量代换和把极限存在的函数分离出来等等方法，有可能大大简化求极限的计算过程．当然，利用上述两种方法求函数极限也有其局限性，本文将就具体例子对利用这两种方法求函数极限作一比较． 例1 当0→x 时，函数x x x f 3sin sin 3)(-=与k cx 是等价无穷小，求k c ,． 解法一 利用洛必达法则． 由等价无穷小的定义知0()lim 1k x f x cx →=,这里0,0>≠k c ．记0() lim k x f x I cx →=．第一次利用 洛必达法则，有1 03cos 3cos3lim k x x x I ckx -→-=；注意到上式分子趋于零，因而分母必趋于零， 且当1>k 时可再次利用洛必达法则，即有2 03sin 9sin 3lim (1)k x x x I ck k x -→-+=-；同样上式分子趋于 零，因此要求分母趋于零，则当2>k 时，可第三次利用洛必达法则，即 303c o s 27c o s 3 l i m (1)(2) k x x x I ck k k x -→-+=--．此时可见分子当0→x 时趋于24，因而不满足洛必达法则的条件．要使得当1=I 时，则必有24)2)(1(,03=--=-k k ck k ．故解得4,3==c k ． 解法二 利用麦克劳林公式展开． )(4)]()3(! 31 3[)](!333[3sin sin 3)(333333x o x x o x x x o x x x x x f +=+--+- =-= 则当4,3==c k 有3304() lim 1k x x o x I cx →+==．或注意到)(4)(33x o x x f +=，即34~)(x x f ，故有4,3==c k ． 比较上两种方法，方法二似乎简单一些，但以笔者多年来的教学经验看，初学者（大 一新生）会有把x sin 和x 3sin 展开到多少阶为合适的问题．比如，把x sin 3和x 3sin 分别展开为)(3sin 3x o x x +=和)(33sin x o x x +=，则)()(x o x f =．这样的展开不仅对求解该题无任何帮助，反而会得出错误结果．若将两者展开到比方法二更高阶，即四阶及四阶以上，则必出现冗余．因此方法一对初学者而言不失为一种较为稳妥的方法，尽管步骤看起来多一些． 例2 已知2 tan (1cos )lim 2ln(12)(1) x x a x b x I c x d e -→+-==-+-，则下列四个结论正确的是（ ）． （A ）d b 4=；（B ）d b 4-=；（C ）c a 4=；（D ）c a 4-=．
2021年洛必达法则 泰勒公式
*欧阳光明*创编
2021.03.07
第三章 微分中值定理与导数的应用
欧阳光明（2021.03.07）
第二讲 洛必达法则 泰勒公式
目的 1．使学生掌握用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法； 2．理解泰勒中值定理的内涵；
3． 了解
等函数的麦克劳林公式；
4．学会泰勒中值定理的一些简单应用．
重点 1．运用洛必达法则求各种类型未定式极限的方法；
2．使学生理解泰勒中值定理的内涵．
难点 使学生深刻理解泰勒中值定理的精髓．
一、洛必达法则
在第一章第七节中我们曾经讨论过无穷小的比较问题，并且已
经知道两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，既使它存
在也不能用商的极限运算法则去求解．而由无穷大与无穷小的关系
知，无穷大之比的极限问题也是如此．在数学上，通常把无穷小之
比的极限和无穷大之比的极限称为未定式，并分别简记为 和 ． 由于在讨论上述未定式的极限时，不能应用商的极限运算法
则，这或多或少地都会给未定式极限的讨论带来一定的困难．今天
*欧阳光明*创编
2021.03.07
*欧阳光明*创编
2021.03.07
在这里我们应用导数的理论推出一种既简便又重要的未定式极限的
计算方法，并着重讨论当 时， 型未定式极限的计算，关于这
种情形有以下定理．
定理 1 设
(1) 当 时，函数 及 都趋于零；
(2)在点 的某去心邻域内， 及 都存在，且
；
(3) 则
存在(或为无穷大)，
．
也就是说，当
存在时，
也存在，且等于
；当
为无穷大时，
也是无穷大．这种在一定条件下，通
过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式极限的方法称为洛必
达(L’Hospital)法则．
下面我们给出定理 1 的严格证明：
分析 由于上述定理的结论是把函数的问题转化为其导数的问
题，显然应考虑微分中值定理．再由分子和分母是两个不同的函
数，因此应考虑应用柯西中值定理．
证 因为求极限
与 及 的取值无关，所以可以假定
．于是由条件(1)和(2)知， 及 在点 的某一邻
域内是连续的．设 是这邻域内一点，则在以 及 为端点的区间
*欧阳光明*创编
2021.03.07
解析美联资料储的利率政策及其货币政策理念(DOC 8)
解析美联储的利率政策及其货币政策理念 2004年6月以来,美国联邦储备银行先后五次提高了联邦基金的目标利率,每次的幅度都为25个基点。截至2004年12月14日,美国的联邦基金目标利率已经提升至2.25%;从各种迹象来看,在未来一段时期中,美联储仍然有可能进一步加息。由于美联储利率政策的调整将导致美国国内资产市场乃至国内经济运行发生较大变化,美国的货币政策将对全球外汇市场的动态产生影响,并对其他国家的货币政策乃至宏观经济政策产生示范效应和连带影响,这些政策举措引起了全世界的广泛关注。 在中国,由于对人民币利率与国内物价上涨的关系过于关注,伴随美联储的每一次加息,理论界总要掀起一轮关于我们要否跟随加息的争论。然而,在我们看来,美联储的加息步调及其对我们的影响固然值得关注,其加息的动因以及所依据的货币政策理念却是更应当认真探究的。这是因为:如果我们不清楚美联储为何不断调高其联邦基金利率,则不仅难以理解其货币政策的真实含义,从而难以在国际经济交往中确定我们的适当对策(例如汇率政策和国际收支政策),而且。它还会对我们的货币政策产生误导。 正是认识到这一点,本文将在回顾美国货币政策发展历史的基础上,集中探究潜藏在其后的货币政策理念及其转变。 一、调整利率水平为的是恢复货币中性 美联储在每次调整联邦基金利率的目标值之后,都会发表一个简短的声明。这一看似平常而简短的声明,恰恰是我们理解其货币政策及货币政策操作理念的入手处。例如,2004年12月14日,美联储宣布提高联邦基金利率的目标值后,就发表了这样的声明: “联储公开市场委员会相信,即使提高了联邦基金利率,货币政策的松紧仍然是适度的,加之劳动生产率依然强劲地上升,货币政策将继续对经济活动提供支持。尽管早些时候受到了能源价格上涨的影响,产出依旧以适宜的速度在增长,劳动力市场的环境在继续逐渐改善。通货膨胀与长期通货膨胀预期依然得到了很好地控制。 “委员会认为,在未来几个季度里,在经济持续增长和价格稳定方面出现好坏两种情况的可能性大致相当。由于潜在的通货膨胀预期相对比较低,委员会相信,宽松的货币政策可以稳妥有序地被取消。
洛必达法则
洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母 分别求导再求极限来确定未定式值的方法。 设 (1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0； (3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 再设 (1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零； (2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0； (3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么 x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥 用洛必达法则会出错。当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这 时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。比如利用泰勒公式求解。 ②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 ③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往 计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因 子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（Taylor's formula） 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当 函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.)/n!*(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项 称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出 的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数 P(x)满足 P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是 可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)； P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!…… P(n)(x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=…… =Rn(n)(x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=（Rn(x)-Rn(x.)）
泰勒法则
泰勒法则 美国从1987年起逐渐扬弃义货币供给额为货币政策目标的操作方式，货币供给额的成长目标之重要性也逐渐被淡化，FED该采联邦资金利率（美国货币市场短期利率之一）目标的操作方式。现在在每次联邦公开市场操作委员会开会结束后，FED就会立即宣布是否调升或调降联邦资金利率目标。联邦资金利率目标变或不变及其变动幅度大小，不仅攸关未来美国经济之变动方向，而且立即对美国货币、债券、以后利率以及股票等金融市场造成直接影响，因此全世界的投资人都对联邦资金利率非常注意，尤其对未来的利率走向更是关心。在1993年泰勒法则尚未提出之前，投资人都缺乏可靠之依据来判断未来的联邦资金利率，而有了泰勒法则之后，投资人都可以计算最适联邦资金利率，当然并非每个投资人所估算的最适利率水准是完全相同的 根据1993年泰勒教授所提出的最适货币政策法则，认为FED若要达成最有效率的货币政策，应该将其采用的政策操作工具——联邦资金利率跟随者亮相总体目标变数作合理的正向回应。这两项变数一是实际物价膨胀率与物价膨胀率目标之差距，二是实质经济成长率与潜在经济成长率之差距，前项差距称为物价膨胀缺口，后者则称为产出缺口。根据二项原则，泰勒教授将最适利率政策法则设定分为两个步骤： 第一，名义联邦资金利率等于实际两帮资金利率加上实际物价上涨率，公式如下： R=r+P r代表实际资金利率，R代表名义利率 第二、将实际资金利率之公式设定如下： r=2+0.5×（p-p1）+0.5(y-yf) p代表物价上涨率，为消费者生活成本的上涨率 p1代表物价上涨目标 y代表经济增长率，为实际国内生产毛额增长率 yf代表在充分就业下，即失业率等于自然失业率的情况下，潜在经济增长率 (y-yf)代表产出缺口 使用泰勒法则计算最适的美国联邦资金利率必须有两项假设，首先要设定当前的自然失业率，或是充分就业的实际经济增长率，因为实际失业率与自然失业率之差额与产出缺口理论上呈现反向紧密相关，所以可以假定自然失业率也可以计算产出缺口。如果自然失业率是5%，而失业率实际值为4%，表示产出缺口为正值，实际经济成长率高于潜在经济成长率，将导致劳动市场需求紧俏，工资将上扬，同时物价水准有上涨之压力，货币当局应该提高利率，以抑制总合需求，减轻物价上涨之压力。其次要假设货币当局的物价膨胀目标，此项变数之设定比较主观，如果货币当局致力于物价稳定，不希望预期物价上涨率升高，货币的当局应会设定较低的物价上涨目标如果当前之物价上涨率高于物价上涨目标，货币当局应采取紧缩货币政策，提高联邦资金利率。泰勒法则是一个简便的最适短期利率计算器。 该项计算器有两个基本用途，第一项用途是检验目前利率目标是否过于宽松或紧缩，另一项