二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案

文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

函数解题思路方法总结：

⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；

⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.

⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：

动点问题题型方法归纳总结

动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

二、 抛物线上动点

5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。

第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，

共同点：

⑤探究存在

性问题时，

先画出图

形，再根据

图形性质探

究答案。

二次函数

的动态问

题（动

点）

1.如图，已知

C与

抛物线

1

坐标轴的交点依次是(40)

E，．

A-，，(20)

B-，，(08)

（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；

（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形

MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围； （3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由． [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是

2(0)y ax bx c a =++≠，

则16404208a b c a b c c ++=??

++=??=-?

，，． 解得168a b c =-??

=??=-?

，，．

所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，． 过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．

当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．

根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．

所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤． 所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．

（3）781

444

S t ??=--+ ???，（04t <≤）．

所以74t =

时，S 有最大值814

． 提示：也可用顶点坐标公式来求．

（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．

由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．

所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．

所以22420t t +-=．解之得1222t t ==-，（舍）．

所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时2t =-．

[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，

能力要求较高。

2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线23

4

y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐

标为1-，过点(03)C ，的直线3

34y x t =-+与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB

⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．

（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；

（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：

(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；

（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形若存在，求出所有t 的值；若不存

在，说明理由．

[解] （1）9

4

b =

（2）(40)B ，

（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时

PH OB ⊥，则GH HB =

②当PB QB =时 得445t t -= ③当PQ QB =时，如图

解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =

则5

22

BP BD t =

= 又BDQ BOC △∽△ 解法二：作Rt OBC △斜边中线OE 则5

22

BC OE BE BE ==

=，， 此时OEB PQB △∽△

解法三：在Rt PHQ △中有2QH + 32

057

t t ∴=

=，（舍去） 又01t << ∴当13t =

或49或32

57

时，PQB △为等腰三角形． 解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综

合运用。

代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析

Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直接直接用t 表

示，进行分组讨论即可计算。

[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾，应舍去

3.如图1，已知直线12y x =-与抛物线21

64y x =-+交于A B ，两点．

（1）求A B ，两点的坐标；

（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；

（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．

[解] （1

3（2）作AB 由（1）可知：OA = 过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足 由BEO OCM △∽△，得：

5

4

OC OM OC OB OE =∴=，， 同理：55500242OD C D ???

?=∴- ? ????

?，，，， 设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠

AB ∴的垂直平分线的解析式为：5

22

y x =-．

（3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线

1

2

y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．

抛物线与直线只有一个交点，

图1

图1 第26题

2

114(6)024m ??

∴--?-= ???，

在直线125

24

GH y x =-+：中，

设O 到GH 的距离为d ，

P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．

另解：过P 做PC ∥y 轴，PC 交AB 于C ，当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h 与PC 夹角

固定），则S

△PBA 最大 →

问题转化为求PC P （x, ）,C （x,

）,从而可以

表示PC 长度，进行极值求取。

最后，以PC 为底边，分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。

[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。

4.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点

A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，

出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．

（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．

（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．

（抛物线()2

0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ??-- ???

，．

[解] （1）作P

A

图2

H

G B

()()01084A B ，，，，

86FB FA ∴==，．

10AB ∴=．

（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又

1010101AB =÷=，．

P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．

（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．

GA AP FA AB ∴

=，即610

GA t

=．

3

5

GA t ∴=．

3

105OG t ∴=-．

4OQ t =+， ()113410225S OQ OG t t ?

?∴=

??=+- ??

?． 即2319

20105

S t t =-

++． 19195323

210b a -=-=???- ???，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时476331

1051555

GP t OG t ===-=，，

∴点P 的坐标为7631155??

???

，．

（8分）

方法二：当5t =时，163

7922

OG OQ S OG OQ ====，，．

设所求函数关系式为220S at bt =++．

抛物线过点()63102852??

???

，，，，

2319

20105

S t t ∴=-

++． 19195323

210b a -=-=???- ???，且190103≤≤， ∴当19

3t =

时，S 有最大值． 此时7631

155

GP OG ==，，

∴点P 的坐标为7631155??

???

，．

（4）2．

[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。

．

5. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠=，

30CAB ∠=．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点B 的坐标为

(5，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B C →→的方向匀速运动，同时点Q 从点(02)D ，出发，

沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．

（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．

（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．

（4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠=的点P 有几个请说明理由．

解: （1）60BAO =∠．

（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3

）(10)P t -（05t ≤≤）

2

9121

24t ??=--+ ???． ∴当92t =

时，S 有最大值为1214

，

此时112P ? ??

．

（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ <∠，

当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度， 作90OPM =∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ， 由OPH OPM △∽△

得：11.53

OM =

=， 所以OQ OM >，从而90OPQ >∠．

所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ =∠的点P 有1个． ②同理当点P 在BC

边上运动时，可算得12

OQ =+

=而构成直角时交y 轴于03?? ? ???

，，20.217.83

=>， 所以90OCQ <∠，从而90OPQ =∠的点P 也有1个．

（第29题图

x

t

（第29题图

所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =∠的点P 有2个．

6. （本题满分14分）如图12，直线43

4+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数

的图象经过点A 、C 和点()0,1-B . （1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积；

（3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒2

3个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A

→C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当

D 、

E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ?的面积为S .

①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；

②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = . 解：（1）令0=x ，则4=y ； 令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为

又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，

∴093404a b a b =++??=-+?，．

解之，得34-

=a ，3

8

=b ． ∴所求二次函数的关系式为43

8

342++-=x x y

（2）∵43

8

342++-=x x y

=()3

161342

+--x

∴顶点M 的坐标为1613??

???

，

过点M 作MF x ⊥轴于F ∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形

=()1013164213161321=???

?

??+?+?-? ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC

∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴54431-=

t x ，∴5

12

121-=t x ∵DE OC ∥， ∴

t t 2

351212=- ∴38

=t

∵3

8

=t >2，不满足12t <<．

∴不存在DE OC ∥．

②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为

1124

42

3543=

+++（秒） 现分情况讨论如下：

ⅰ）当01t <≤时，213

4322

S t t t =?=；

ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ， ∴

()544542--=

t y ，∴5

16362t

y -= ∴t t t t S 5

275125163623212+-=-??=

ⅲ）当2

16363t

y -=

设点D 的坐标为()44,y x

∴5

32

344

-=t y ， ∴512

64-=t y

∴AOE AOD S S S =-△△

=5

72

533+

-

t ③80

243

0=S

7.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；

（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为

l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式；

（3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．

参考资料：抛物线2

(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a

a ??-- ?

??，，对称轴是直线2b

x a =-． 解：（1）据题意得：240k -=，

2k ∴=±．

当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<．

又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=．

∴抛物线的解析式为：22y x =-+．

函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可） （2）解：令220x -+=

，得x =

不0x <<112A D x =，2112A B x =-+，

211112()244l A B A D x x ∴=+=-++．

当x >222A D x =，

2

2

22(2)2A B x x =--+=-． 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-．

l ∴关于x 的函数关系是：

当0x <<2244l x x =-++；

当x >2244l x x =+-．

（3

）解法一：当0x <<1111A B A D =， 得2220x x +-=．

解得1x =-

（舍），或1x =-+

将1x =-+2244l x x =-++，

得8l =．

当x >2222A B A D =，得2220x x --=．

解得1x =

1x =+

将1x =+2244l x x =+-

，得8l =．

综上，矩形ABCD

能成为正方形，且当1x =

时正方形的周长为8

；当1x =时，正方

形的周长为8．

解法二：当0x <<

1x =-+

∴

正方形的周长11488l A D x ===．

当x >

1x =+

∴

正方形的周长22488l A D x ===．

综上，矩形ABCD

能成为正方形，且当1x =

时正方形的周长为8

；当1x =时，正方

形的周长为8．

（第26

解法三：点A 在y 轴右侧的抛物线上，

0x ∴>，且点A

的坐标为2(2)x x -+，

． 令AB AD =，则222x x -+=．

∴222x x -+=，

①或222x x -+=-②

由①解得13x =--（舍），或13x =-+； 由②解得13x =-（舍），或13x =+． 又8l x =，

∴当13x =-+时838l =-；

当13x =+时838l =+．

综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+．

8.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴

的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB

（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；

（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；

（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x 2－10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8

∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC

第26题图

∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2＋bx

＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得

?

??

??

0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得???

a ＝－2

3

b ＝－8

3

∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8

3x ＋8

（3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴

EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m

8

∴EF ＝40－5m 4

过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4

5

∴

FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4

＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－12（8－m ）（8－m ）

＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－1

2m 2＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在．

理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2＋8 且－1

2＜0，

∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8

第26题图(批卷教师用图)

∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形．

9.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式.

（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a

=-

） （1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)

因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3

所以抛物线解析式为2111

(3)(4)4333

y x x x x =-+-=-++

解法二：设抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，

依题意得：c=4且934016440a b a b -+=??++=? 解得13

13a b ?

=-????=??

所以 所求的抛物线的解析式为211

433

y x x =-++

（2）连接DQ ，在Rt △AOB

中，5AB === 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB

DQ CD AB CA = 即210

,577

DQ DQ ==

所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=257 ，2525177

t =÷= 所以t 的值是

257

（3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为1

22

b x a =-

= 所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线1

2

x =对称 连接AQ 交直线1

2

x =

于点M ，则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO

QE DQ

DE

BO AB

AO == 即 10

7453

QE DE == 所以QE=

8

7

，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，8

7

）

设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠

则2087730k m k m ?+=???-+=? 由此得 8412441

k m ?=???

?=?? 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立128244141x y x ?

=????=+

??

由此得128244141x y x ?

=????=+

?? 所以M 128(,)241

则：在对称轴上存在点M 128

(

,)241

，使MQ+MC 的值最小。 10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），

OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝3

1

．

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．

（4）如图10，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当

. （

方法二：由已知得：C（0，－3），A（－1，0）………………………1分

设该表达式为：)3

)(

1

(-

+

=x

x

a

y……………………2分将C点的坐标代入得：1

=

a……………………3分所以这个二次函数的表达式为：3

2

2-

-

=x

x

y……………………3分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，－3）……………………4分

理由：易得D（1，－4），所以直线CD的解析式为：3

-

-

=x

y

∴E点的坐标为（－3，0）……………………4分

由A、C、E、F四点的坐标得：AE＝CF＝2，AE∥CF

∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形